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第七章《平面直角坐标系》
第7讲 坐标平移与方程思想
一、 知识储备
1直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，其中水平的数轴称为x轴，竖直的数轴称为y轴，它们的公共原点称为直角坐标系的原点．
2对于平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的实数分别是x,y叫做点P的横坐标、纵坐标，这个有序实数对（x,y）叫P点的坐标．
3第一象限(+,+) 、 第二象限(-,+) 、 第三象限(-,-) 、 第四象限(+,-)．
x轴上的点可记为（x,0）；y轴上的点可记为(0,y) ；原点的坐标为（0，0） ．
4第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标互为相反数．
5P(x,y)关于x轴的对称点的坐标为(x,-y) ；关于y轴对称的点的坐标为(-x,y) ；关于原点的对称的点的坐标为(-x,-y)．【版权所有：21教育】
6点P(x,y)到x轴的距离为，到y轴的距离为，到原点的距离为 ．
7图形平移：在平面直角坐标系内，若图形向右（或向左）平移个单位长度，则点(x,y)可以得到对应点为(x+a,y)或(x-a,y)；若图形向上（或向下）平移个单位长度，则点(x,y)可以得到对应点(x,y+a)或(x,y-a),即平移中坐标值变化规律简记为“上加下减，左减右加”；
8 等腰直角三角形三边之比为1：1：
二、方法技巧
1理清坐标值与距离值互化关系，抓住点的坐标与坐标轴的距离关系，所以常作坐标轴的垂线，可以很好启迪解答思路2·1·c·n·j·y
2熟练利用点的坐标特征，特别是特殊点的坐标特点，充分利用数形结合、分类讨论思想分析图形结构，从而转化为方程，解决图形中线段、角、面积等问题【来源：21·世纪·教育·网】
3 对于面积问题，在割补法理念下，在坐标系中框矩形是计算面积最常用的思路
三 、习题精练
范例：如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A(a,0),c(0,b),且满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O-C-B-A的线路移动
（1）点B的坐标为 当点P移动3.5秒时，点P的坐标为 .
（2）若过C点的直线交AB于D，恰好把长方形OABC周长分成3：1两部分，求D点坐标，若在此时，将线段CD向下平移2个单位，得到线段MN，计算四边形OAMN的面积
(3)P在移动过程中，当P点到x轴的距离为4个单位长度时，求P移动的时间
（4）P在移动过程中，当△OPB的面积是10时，求点P移动时间
【解答】解：(1)点B(4，6)，P(1，6)
（2）由图可知：OC=AB=6，OA=CB=4，∴（DB+CB）：（CO+OA+AD）=1：3 ，∴（6-AD+4）：（6+4+AD）=1：3 ， ∴ AD=5 ， ∴点D的坐标为（4，5）；21·世纪*教育网
由题意知：N（0，4），M（4，3） ,∴
(3)由题意知：在移动过程中，当P到x轴的距离为4个单位长度时，存在两种情况：
情形1：当P在OC上时，点P移动时间为4÷2=2秒；
情形2，当P在BA上时，点P移动时间为（6+4+2）÷2＝6秒
综上所述，当P点移动到距X轴4个单位长度时，点P移动时间为2秒或6秒
(4)如图1，因为OBP面积＝10，∴，即,∴OP=5，此时t=2.5秒
如图2，，因为OBP面积＝10，,即,∴∴，此时秒
如图3，,即,∴，此时秒
如图4，,即,∴，此时秒
综上所述，在P点移动中，当t=2.5或或或秒时，有△OPB的面积是10
四：跟进演练（时限60分钟，满分120分）
一、选择题（共10题，每题4分计40分）
1. （2016·成都）平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（2，﹣3） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）
2 (2017·泸州）已知点A（，1）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则+b的值为（ ）
A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3
3、(2016·广东)在平面直角坐标系中，点P（-2，-3）所在的象限是（ ）
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
4.在平面直角坐标系中，点P（m﹣3，4﹣2m）不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限．
5（2017·西宁）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，﹣2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点B′的坐标为（ ）21世纪教育网版权所有
A (﹣3，﹣2) B （2，2） C（﹣2，2） D（2，﹣2）
6（2017·邵阳）如图所示，三架飞机P，Q，R保持编队飞行，某时刻在坐标系中的坐标分别为（﹣1，1），（﹣3，1），（﹣1，﹣1），30秒后，飞机P飞到P′（4，3）位置，则飞机Q，R的位置Q′，R′分别为（ ）21教育网
A Q′（2，3），R′（4，1） B Q′（2，3），R′（2，1）
C Q′（2，2），R′（4，1） D Q′（3，3），R′（3，1）
7.(2017·湖州)在平面直角坐标系中，点 P(1，2)关于原点的对称点 P'的坐标是( )
A (1，2) B (﹣1，2) C (1，﹣2) D (﹣1，﹣2)
8（2017·大连）在平面直角坐标系xOy中，线段AB的两个端点坐标分别为A（﹣1，﹣1），B（1，2），平移线段AB，得到线段A′B′，已知A′的坐标为（3，﹣1），则点B′的坐标为（ ）21·cn·jy·com
A（4，2） B（5，2） C（6，2） D（5，3）
9若y轴上的点P到x轴的距离为3，则点P的坐标为( ).
A（3，0） B（3，0）或（﹣3，0） C（0，3） D（0，3）或（0，﹣3）
10（2016·孝感）将含有30°角的直角三角板OAB如图放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若OA=2，将三角板绕原点O顺时针旋转75°，则点A的对应点A′的坐标为（ ）
A （，﹣1） B（1，﹣） C（，﹣） D（﹣，）
二、填空题（共5题，每题4分计20分）
11点A（－3， 2）关于y轴对称的点的坐标是 ．
12（2016·呼和浩特）已知平行四边形ABCD的顶点A在第三象限，对角线AC的中点在坐标原点，一边AB与x轴平行且AB=2，若点A的坐标为（a，b），则点D的坐标为 ．
13（2016·泰安）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形AnBn﹣1Bn顶点Bn的横坐标为 ． www-2-1-cnjy-com
14 (2017·阿坝州)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1(0，1)，P2(1，1)，P3(1，0)，P4(1，－1)，P5(2，－1)，P6(2，0)，…，则点P2017的坐标是 ．2-1-c-n-j-y
15（2016·威海）如图，点A1的坐标为（1，0），A2在y轴的正半轴上，且∠A1A2O=30°，过点A2作A2A3⊥A1 A2，垂足为A2，交x轴于点A3；过点A3作A3A4⊥A2 A3，垂足为A3，交y轴于点A4；过点A4作A4A5⊥A3 A4，垂足为A4，交x轴于点A5；过点A5作A5A6⊥A4A5，垂足为A5，交y轴于点A6；…按此规律进行下去，则点A2016的纵坐标为 ．
三、解答题（共6题计60分）
16（2017·巴中）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图的平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：21*cnjy*com
（1）将△ABC向下平移5个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；
（2）若点M是△ABC内一点，其坐标为（a，b），点M在△A1B1C1内的对应点为M1，则点M1的坐标为 ；www.21-cn-jy.com
（3）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2．
17（2014·北京调考）在平面直角坐标系xoy中，对于点这（x,y），我们把点P/（y-1,-x-1）叫做P的友好点，已知点A1的友好点为A2，点A2的友好点为A3,点A3的友好点为A4…….,我们依次得到点【出处：21教育名师】
（1）当点A1的坐标为（4，1）时，点A3的坐标为 ，点A2018的坐标为 .
（2）若点A2019的坐标为（－3，2），设点A1(a，b),求a+b的值
（3）对于任意正整数m，设点A1的坐标为（a,b）,若点A1,A2,A3……..Am均在y轴左侧，求a,b的取值范围21教育名师原创作品
18（2015北京调考）如图，在平面直角坐标系中，AB∥CD∥x轴，BC∥DE∥y轴，且AB=CD=4cm，OA=5cm，DE=2cm，动点P从点A出发，沿A→B→C路线运动到点C停止；动点Q从点O出发，沿O→E→D→C路线运动到点C停止；若P、Q两点同时出发，且点P的运动速度为1cm/s，点Q的运动速度为2cm/s．21cnjy.com
（1）直接写出B、C、D三个点的坐标；
（2）当P、Q两点出发s时，试求△PQC的面积；
（3）设两点运动的时间为t s，用t的式子表示运动过程中△OPQ的面积S．
19如图1，A点坐标为（0，3）将点A向右平移6个单位得到B点，过B作BC⊥x轴于C，
(1)求B，C的坐标及四边形AOCB的面积
(2)点Q从O点以1个单位每秒的速度在y轴上向上运动，点P从C点以2个单位每秒的速度在x轴上向左运动，设运动时间为t(0
(3)求证：四边形BPOQ的面积是一个定值
20如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别是（－1，0），（3，0），同时将A,B分别向上平移2个单位后再向右平移1个单位，分别得到点A,B的对应点为C,D，连AC,BD，
(1)求C，D的坐标
(2)若在y轴上存在点M，连MA,MB，使得△MAB的面积等于平行四边形ABCD的面积，求M的坐标
(3)若点P在直线BD上运动，连PC,PO
①若P在线段BD之间时（不与B,D重合），求的取值范围
②若P在直线BD上运动时，请写出∠CPO，∠DCP，∠BOP的数量关系
21如图1，在平面直角坐标系中，A(a，0) ，C(b，6) ，且与互为相反数，过C作CB⊥x轴于B，【来源：21cnj*y.co*m】
(1)求△ABC的面积
(2)如图2，过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，求∠AED度数
（3）在y轴上是否存在P点，使得三角形ABC和三角形ACP面积相等？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由21*cnjy*com
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第七章《平面直角坐标系》
第7讲 坐标平移与方程思想
一、 知识储备
1直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，其中水平的数轴称为x轴，竖直的数轴称为y轴，它们的公共原点称为直角坐标系的原点．
2对于平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的实数分别是x,y叫做点P的横坐标、纵坐标，这个有序实数对（x,y）叫P点的坐标．
3第一象限(+,+) 、 第二象限(-,+) 、 第三象限(-,-) 、 第四象限(+,-)．
x轴上的点可记为（x,0）；y轴上的点可记为(0,y) ；原点的坐标为（0，0） ．
4第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标互为相反数．
5P(x,y)关于x轴的对称点的坐标为(x,-y) ；关于y轴对称的点的坐标为(-x,y) ；关于原点的对称的点的坐标为(-x,-y)．2-1-c-n-j-y
6点P(x,y)到x轴的距离为，到y轴的距离为，到原点的距离为 ．
7图形平移：在平面直角坐标系内，若图形向右（或向左）平移个单位长度，则点(x,y)可以得到对应点为(x+a,y)或(x-a,y)；若图形向上（或向下）平移个单位长度，则点(x,y)可以得到对应点(x,y+a)或(x,y-a),即平移中坐标值变化规律简记为“上加下减，左减右加”；
8 等腰直角三角形三边之比为1：1：
二、方法技巧
1理清坐标值与距离值互化关系，抓住点的坐标与坐标轴的距离关系，所以常作坐标轴的垂线，可以很好启迪解答思路
2熟练利用点的坐标特征，特别是特殊点的坐标特点，充分利用数形结合、分类讨论思想分析图形结构，从而转化为方程，解决图形中线段、角、面积等问题【版权所有：21教育】
3 对于面积问题，在割补法理念下，在坐标系中框矩形是计算面积最常用的思路
三 、习题精练
范例：如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A(a,0),c(0,b),且满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O-C-B-A的线路移动
（1）点B的坐标为 当点P移动3.5秒时，点P的坐标为 .
（2）若过C点的直线交AB于D，恰好把长方形OABC周长分成3：1两部分，求D点坐标，若在此时，将线段CD向下平移2个单位，得到线段MN，计算四边形OAMN的面积
(3)P在移动过程中，当P点到x轴的距离为4个单位长度时，求P移动的时间
（4）P在移动过程中，当△OPB的面积是10时，求点P移动时间
【解答】解：(1)点B(4，6)，P(1，6)
（2）由图可知：OC=AB=6，OA=CB=4，∴（DB+CB）：（CO+OA+AD）=1：3 ，∴（6-AD+4）：（6+4+AD）=1：3 ， ∴ AD=5 ， ∴点D的坐标为（4，5）；【来源：21·世纪·教育·网】
由题意知：N（0，4），M（4，3） ,∴
(3)由题意知：在移动过程中，当P到X轴的距离为4个单位长度时，存在两种情况：
情形1：当P在OC上时，点P移动时间为4÷2=2秒；
情形2，当P在BA上时，点P移动时间为（6+4+2）÷2＝6秒
综上所述，当P点移动到距X轴4个单位长度时，点P移动时间为2秒或6秒
(4)如图1，因为OBP面积＝10，∴，即,∴OP=5，此时t=2.5秒
如图2，，因为OBP面积＝10，,即,∴∴，此时秒
如图3，,即,∴，此时秒
如图4，,即,∴，此时秒
综上所述，在P点移动中，当t=2.5或或或秒时，有△OPB的面积是10
四：跟进演练（时限60分钟，满分120分）
一、选择题（共10题，每题4分计40分）
1. （2016·成都）平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（2，﹣3） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）
【解答】解： A．
2 (2017·泸州）已知点A（，1）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则+b的值为（ ）
A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3
【解答】解：C．
3、(2016·广东)在平面直角坐标系中，点P（-2，-3）所在的象限是（ ）
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
【解答】解：C
4.在平面直角坐标系中，点P（m﹣3，4﹣2m）不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：A．
5（2017·西宁）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，﹣2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点B′的坐标为（ ）21世纪教育网版权所有
A (﹣3，﹣2) B （2，2） C（﹣2，2） D（2，﹣2）
【解答】解：B．
6（2017·邵阳）如图所示，三架飞机P，Q，R保持编队飞行，某时刻在坐标系中的坐标分别为（﹣1，1），（﹣3，1），（﹣1，﹣1），30秒后，飞机P飞到P′（4，3）位置，则飞机Q，R的位置Q′，R′分别为（ ）www-2-1-cnjy-com
A Q′（2，3），R′（4，1） B Q′（2，3），R′（2，1）
C Q′（2，2），R′（4，1） D Q′（3，3），R′（3，1）
【解答】解：A．
7.(2017·湖州)在平面直角坐标系中，点 P(1，2)关于原点的对称点 P'的坐标是( )
A (1，2) B (﹣1，2) C (1，﹣2) D (﹣1，﹣2)
【解答】解：D．
8（2017·大连）在平面直角坐标系xOy中，线段AB的两个端点坐标分别为A（﹣1，﹣1），B（1，2），平移线段AB，得到线段A′B′，已知A′的坐标为（3，﹣1），则点B′的坐标为（ ）【出处：21教育名师】
A（4，2） B（5，2） C（6，2） D（5，3）
【解答】解：B．
9若y轴上的点P到x轴的距离为3，则点P的坐标为( ).
A（3，0） B（3，0）或（﹣3，0） C（0，3） D（0，3）或（0，﹣3）
【解答】解：D
10（2016·孝感）将含有30°角的直角三角板OAB如图放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若OA=2，将三角板绕原点O顺时针旋转75°，则点A的对应点A′的坐标为（ ）
A （，﹣1） B（1，﹣） C（，﹣） D（﹣，）
【解答】解：如图所示：过点A′作A′C⊥OB．∵将三角板绕原点O顺时针旋转75°，
∴∠AOA′=75°，OA′=OA=2．∴∠COA′=45°．∴OC= OA′, ∴OC=，CA′= OA′∴CA′=．∴A′的坐标为（，﹣）．21cnjy.com
故答案：C．
二、填空题（共5题，每题4分计20分）
11点A（－3， 2）关于y轴对称的点的坐标是 ．
【解答】解：（3， 2）．
12（2016·呼和浩特）已知平行四边形ABCD的顶点A在第三象限，对角线AC的中点在坐标原点，一边AB与x轴平行且AB=2，若点A的坐标为（a，b），则点D的坐标为 ．
【解答】解：（﹣2﹣a，﹣b），（2﹣a，﹣b）．
13（2016·泰安）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形AnBn﹣1Bn顶点Bn的横坐标为 ． 21·cn·jy·com
【解答】解：由题意得OA=OA1=2，∴OB1=OA1=2，B1B2=B1A2=4，B2A3=B2B3=8，
∴B1（2，0），B2（6，0），B3（14，0）…，2=22﹣2，6=23﹣2，14=24﹣2，.,,,,,,,,
∴Bn的横坐标为2n+1﹣2．
故答案:2n+1﹣2．
14 (2017·阿坝州)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1(0，1)，P2(1，1)，P3(1，0)，P4(1，－1)，P5(2，－1)，P6(2，0)，…，则点P2017的坐标是 ．2·1·c·n·j·y
【解答】解：由图可得，P6(2，0)，P12(4，0)，…，P6n(2n，0)，P6n+1(2n，1)，
2016÷6=336，∴P2016 (2×336，0)即P2016(672，0)，∴P2017(672，1)，21·世纪*教育网
故答案：(672，1)．
15（2016·威海）如图，点A1的坐标为（1，0），A2在y轴的正半轴上，且∠A1A2O=30°，过点A2作A2A3⊥A1 A2，垂足为A2，交x轴于点A3；过点A3作A3A4⊥A2 A3，垂足为A3，交y轴于点A4；过点A4作A4A5⊥A3 A4，垂足为A4，交x轴于点A5；过点A5作A5A6⊥A4A5，垂足为A5，交y轴于点A6；…按此规律进行下去，则点A2016的纵坐标为 ．
【解答】解：∵A1（1，0），A2[0，]，A3[﹣，0]．A4[0，﹣]，A5 [，0]…………【来源：21cnj*y.co*m】
∴序号被4整除的点在y轴的负半轴上，余数是1在x轴的正半轴上，余数是2在y轴的正半轴上，余数是3在x轴的负半轴上，∵2016÷4=504，∴A2016在y轴的负半轴上，纵坐标为﹣,故答案:﹣21*cnjy*com
三、解答题（共6题计60分）
16（2017·巴中）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图的平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：
（1）将△ABC向下平移5个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；
（2）若点M是△ABC内一点，其坐标为（a，b），点M在△A1B1C1内的对应点为M1，则点M1的坐标为 ；21教育名师原创作品
（3）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）∵点M是△ABC内一点，其坐标为（a，b），点M在△A1B1C1内的对应点为M1，
∴点M1的坐标为：（a，b－5）；故答案为：（a，b－5）；
（3）如图所示：△A2B2C2，即为所求．
17（2014·北京调考）在平面直角坐标系xoy中，对于点这（x,y），我们把点P/（y-1,-x-1）叫做P的友好点，已知点A1的友好点为A2，点A2的友好点为A3,点A3的友好点为A4…….,我们依次得到点21教育网
（1）当点A1的坐标为（4，1）时，点A3的坐标为 ，点A2018的坐标为 .
（2）若点A2019的坐标为（－3，2），设点A1(a，b),求a+b的值
（3）对于任意正整数m，设点A1的坐标为（a,b）,若点A1,A2,A3……..Am均在y轴左侧，求a,b的取值范围
【解答】解：（1）∵A1的坐标为（4，1），∴A2（0，－5），A3（-6，－1），A4（－2，5），A5（4，1）…，依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，∴A4n+1(4，1) ， A4n+2(0，-5) ，A4n+3(-6，-1) ， A4n+4(4，1)，∵2018÷4=504余2，∴点A2018的坐标与A2的坐标相同，为（0，－5）；
（2）∵点A1的坐标为（a，b），∴A2（b-1，-a-1），A3（-a-2，-b），A4（-b-1，a+1），A5（a，b）…依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，∴A4n+1(a，b) ， A4n+2(b-1，-a-1) ，A4n+3(-a-2，-b) ， A4n+4(-b-1，a+1)(n为自然数)，∵2019÷4=504余3，∴点A2019的坐标与A3的坐标相同，∴-a-2=-3, -b=2, ∴a=1,b=-2, ∴a+b=-1；
（3）∵A1(a，b) ， A2(b-1，-a-1) ，A3(-a-2，-b) ， A4(-b-1，a+1) ……由此发现点的坐标特征是每4个为一循环组依次循环，∵对于任意的正整数n，点An均在y轴左侧，∴a<0, -a-2<0,b-1<0, -b-1<0,解得-218（2015北京调考）如图，在平面直角坐标系中，AB∥CD∥x轴，BC∥DE∥y轴，且AB=CD=4cm，OA=5cm，DE=2cm，动点P从点A出发，沿A→B→C路线运动到点C停止；动点Q从点O出发，沿O→E→D→C路线运动到点C停止；若P、Q两点同时出发，且点P的运动速度为1cm/s，点Q的运动速度为2cm/s．
（1）直接写出B、C、D三个点的坐标；
（2）当P、Q两点出发s时，试求△PQC的面积；
（3）设两点运动的时间为t s，用t的式子表示运动过程中△OPQ的面积S．
【解答】解：（1）B（4，5），C（4，2），D（8，2）；
（2）当t=s时，当t=s时，点P运动的路程为，点Q运动的路程为
×2=11，∴P（4，），Q（7，2），∴CP=，CQ=3，∴S△CPQ=CP CQ=××3=
（3）由题意得，有在种情形：
①，如图1，当0≤t＜4时OA=5，OQ=2t， S△OPQ=OQ OA=×2t×5=5t；
②如图2，当4≤t＜5时， OE=8，EM=9-t，PM=4MQ=17-3t，EQ=2t-8，S△OPQ=S梯形OPMB-S△PMQ-S△OEQ=（4+8）×（9-t）-×4（17-3t）-×8（2t-8）=52-8t；
③如图3，当5≤t≤7时， PF=14-2t，FQ=7-t，QG=2，OG=18-2t，FG=9-t，S△OPQ=S梯形OPFG-S△PFQ-S△OGQ=×（14-2t+18-2t）×（9-t）-×（14-2t）（7-t）-（18-2t）×2=，综上所述，．
19如图1，A点坐标为（0，3）将点A向右平移6个单位得到B点，过B作BC⊥x轴于C，
(1)求B，C的坐标及四边形AOCB的面积
(2)点Q从O点以1个单位每秒的速度在y轴上向上运动，点P从C点以2个单位每秒的速度在x轴上向左运动，设运动时间为t(0(3)求证：四边形BPOQ的面积是一个定值
【解答】解：(1)A（0，3），将A向右平移6个单位得到B点，因为BC⊥x轴于C，所以B(6,3),C(6,0),四边形AOCB面积=3×6=18
(2),,∴,∴,∴当时，有△BOQ面积小于△BOP的面积的一半
(3)
所以四边形BPOQ的面积是定值9
20如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别是（－1，0），（3，0），同时将A,B分别向上平移2个单位后再向右平移1个单位，分别得到点A,B的对应点为C,D，连AC,BD，
(1)求C，D的坐标
(2)若在y轴上存在点M，连MA,MB，使得△MAB的面积等于平行四边形ABCD的面积，求M的坐标
(3)若点P在直线BD上运动，连PC,PO
①若P在线段BD之间时（不与B,D重合），求的取值范围
②若P在直线BD上运动时，请写出∠CPO，∠DCP，∠BOP的数量关系
【解答】解：（1）由点的坐标平移规律可得C(0,，2) ，D(4，2)
（2）因为AB＝4，CD=2,所以，设M坐标为（0，m），
所以，解得m=4或－4，所以M坐标为（0，4）或(0,-4)
（3）①当P在线段BD上运动时，
有,
当点P运动到B时，最小，最小值＝，,
当点P运动到D时，最大，最大值＝，
∴
②若P在直线BD上运动时
当点P在BD上时，如图1，作PE∥CD，∵CD∥AB，∴CD∥PE∥AB，∴∠DCP=∠EPC, ∠BOP=∠EPO, ∴∠DCP+∠BOP=∠EPC+∠EPO=∠CPOwww.21-cn-jy.com
当点P在线段BD延长线上时，如图2,仍作PE∥CD，同理可证CD∥PE∥AB，∴∠DCP=∠EPC，∠BOP＝∠EPO，∴∠EPO-∠EPC=∠BOP-∠DCP, ∴∠BOP-∠DCP=∠CPO
同理，当点P在线段DB延长线上时，可证得∠DCP-∠BOP=∠CPO
21如图1，在平面直角坐标系中，A(a，0) ，C(b，6) ，且与互为相反数，过C作CB⊥x轴于B，21*cnjy*com
(1)求△ABC的面积
(2)如图2，过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，求∠AED度数
（3）在y轴上是否存在P点，使得三角形ABC和三角形ACP面积相等？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由
【解答】解：（1）且与互为相反数，所以且+＝0，所以a+6=0，b-6=0，解得a=-6，b=6，∵CB⊥AB，∴A(-6，0) ，B(6，0) ，C(6，6) ，∴
(2)过E作EF∥AC， BD∥AC，∴BD∥EF∥AC, ∴∠1=∠3, ∠2=∠4, ∠CAC=∠5, ∠ODB=∠6, 又CB∥y轴，∴∠CAB+∠ODB=90°,∵AE平分∠CAB, ∴∠CAB=2∠3, ∵DE平分∠ODB, ∴∠ODB=2∠4, ∴∠CAB=2∠1, ∠ODB=2∠2, ∴2∠1+2∠2=90°,即∠AED＝45°
（3）设P(0,m）,过P作MN∥X轴，AN∥y轴,BM∥y轴,显然P在原点时，,所以如存在P点，应有以下两种情形：
如图2，当P在y轴正半轴上时
∵
∴,解得t=9
如图3，当P在y轴负半轴上时
，解得t=－3
综上所述，当P(0,9)或P(0,-3)时，有
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