16.3 可化为一元一次方程的分式方程（2）同步练习

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16.3可化为一元一次方程的分式方程（2）同步练习
姓名：__________班级：__________学号：__________
本节应掌握和应用的知识点
１.列分式方程解应用题的基本步骤:①审———仔细审题找等量关系,②设———合理设未知数,③列———根据等量关系列出方程,④解———解出方程,⑤验———验根是否为原分式方程的根,是否符合题意,⑥答———答题．
２. 列分式方程的关键同样是从问题中抽象出等量关系,对求得的解的检验要注意两个方 面:一是符合原分式方程,二是符合实际意义．
基础知识和能力拓展训练
一、选择题
1．高速铁路列车已成为人们出行的重要交通工具，甲、乙两地相距810km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用5h，已知高铁列车的平均速度是特快列车的2.6倍．如果设乘高铁列车从甲地到乙地需y h，那么下面所列方程正确的是（　　）
A. = B. =+5 C. = D. =
2．一艘船顺流航行90千米与逆流航行60千米所用的时间相等，若水流的速度是2千米/时，求船在静水中的速度．设船在静水中的速度为x千米/时，则可列出的方程为（　　）
A. B. C. D.
3．某工厂原计划完成120个零件，每天生产x个，采用新技术后，每天可多生产2个零件，结果提前3天完成．可列方程(　　)
A. B. C. D.
4．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（　　）
A. B.
C. D.
5．甲、乙两个工程队共同承包某一城市美化工程，已知甲队单独完成这项工程需要30天,若由甲队先做10天,剩下的工程由甲、乙两队合作8天可完成,问乙队单独完成这项工程需要多少天？若设乙队单独完成这项工程需要x天,则可列方程为（ ）
A. B. 10＋8＋x＝30 C. D.
6．某开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如 期完成；②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工.小亮设规定的工期为x天，根据题意列出了方 程： ，则方案③中被墨水污染的部分应该是（ ）
A. 甲先做了4天 B.甲乙合作了4天 C.甲先做了工程的 D. 甲乙合作了工程的
7．小明骑自行车沿公路以akm/h的速度行走全程的一半，又以bkm/h的速度行走余下的一半路程；小刚骑自行车以akm/h的速度走全程时间的一半，又以bkm/h的速度行走另一半时间(a≠b)，则谁走完全程所用的时间较少？( )
A. 小明 B. 小刚 C. 时间相同 D. 无法确定
8．“五一”节即将来临，某旅游景点超市用700元购进甲、乙两种商品260个，其中甲种商品比乙种商品少用100元，已知甲种商品单价比乙种商品单价高20%．那么乙种商品单价是（ ）
A. 2元 B. 2.5元 C. 3元 D. 5元
9．某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时对“”，设实际每天铺设管道米，则可得方程．根据此情景，题中用“”表示的缺失的条件应补为（ ）．
A. 每天比原计划多铺设米，结果延期天才完成
B. 每天比原计划少铺设米，结果延期天才完成
C. 每天比原计划多铺设米，结果提前天才完成
D. 每天比原计划少铺设米，结果提前天才完成
10．一水池有甲、乙两根进水管．两管同时开放6小时可以将水池注满水．如果单开甲管5小时后，两管同时开放，还需3小时才能注满水池，那么单独开放甲管注满水池需( )
A. 7．5小时 B. 10小时 C. 12．5小时 D. 15小时
二、填空题
11．端午节当天，“味美早餐店”的粽子打九折出售，小红的妈妈去该店买粽子花了54元，比平时多买了3个.求平时每个棕子卖多少元？设平时每个棕子卖x元，列方程为____.
12．某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，则每天应多做_________件.
13．设A、B、C为三个连续的正偶数，若A的倒数与C的倒数的2倍之和等于B的倒数的3倍．设B数为，则所列方程是___________．
14．教室里有几名学生，这个时候一位身高170厘米的老师走进了教室，使得教室里所有人的平均身高从140厘米变成了145厘米，使得所有人的平均体重从35千克变成了39千克，则老师的体重是_________千克.
15．在“校园文化”建设中，某校用8 000元购进一批绿色植物，种植在礼堂前的空地处．根据建设方案的要求，该校又用7500元购进第二批绿植植物．若两次所买植物的盆数相同，且第二批每盆的价格比第一批的少10元．则第二批绿植每盆的价格为__________元．
三、解答题
16．比邻而居的蜗牛神和蚂蚁王相约，第二天上午8时结伴出发，到相距16米的银杏树下参加探讨环境保护问题的微型动物首脑会议．蜗牛神想到“笨鸟先飞”的古训，于是给蚂蚁王留下一纸便条后提前2小时独自先行，蚂蚁王按既定时间出发，结果它们同时到达．已知蚂蚁王的速度是蜗牛神的4倍，求它们各自的速度．
17．甲乙两人各加工30个零件，甲比乙少用1小时完成任务；乙改进操作方法，使生产效率提高了一倍，结果乙完成30个零件的时间比甲完成24个零件所用的时间少1小时．问甲乙两人原来每小时各加工多少个零件．
18．如图，学校为生物兴趣小组规划一块长方形试验田．长AD为22m，宽AB为18m．现在试验田中留出分别与AD，AB平行且宽度相同的小路，将试验田分割成形状、大小完全相同的四个小长方形，每个小长方形的长宽之比为5：4．求小路的宽度．
19．列方程或方程组解应用题：
某中学为迎接校运会，筹集7000元购买了甲、乙两种品牌的篮球共30个，其中购买甲品牌篮球花费3000元，已知甲品牌篮球比乙品牌篮球的单价高50%，求乙品牌篮球的单价及个数。
20．某高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的：若由甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作60天完成．
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
(2)已知甲队每天的施工费用为8.6万元，乙队每天的施工费用为5.4万元，工程预算的施工费用为1000万元．若在甲、乙工程队工作效率不变的情况下使施工时间最短，问拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？
21．列分式方程解应用题：
某学校准备组织部分学生到少年宫参加活动，陈老师从少年宫带回来两条信息：
信息一：按原来报名参加的人数，共需要交费用320元，如果参加的人数能够增加到原来人数的2倍，就可以享受优惠，此时只需交费用480元；
信息二：如果能享受优惠，那么参加活动的每位同学平均分摊的费用比原来少4元．
根据以上信息，原来报名参加的学生有多少人？
22．为迎接“均衡教育大检查”，县委县府对通往某偏远学校的一段全长为1200 米的道路进行了改造，铺设草油路面．铺设400 米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高25%，结果共用13天完成道路改造任务．
（1）求原计划每天铺设路面多少米；
（2）若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增长了20%，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？
23．江津某服装店今年9月用4000元购进了一款秋衣若干件，上市后很快售完，服装店于10月初又购进同样数量的该款秋衣，由于第二批衬衣进货时价格比第一批衬衣进货时价格提高了20元，结果第二批衬衣进货用了5000元
（1）第一批秋衣进货时的价格是多少？
（2）第一批秋衣售价为120元/件，为保证第二批衬衣的利润率不低于第一批衬衣的利润率，那么第二批衬衣每件售价至少是多少元？
（提示：利润=售价﹣成本，利润率 =）
24．近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．下面是小明与爸爸的对话：
小明：“爸爸，听说今年5月份的汽油价格上涨了不少啊！”
爸爸：“是啊，今年5月份每升汽油的价格是去年5月份每升汽油的价格的倍，用150元给汽车加的油量比去年少11.25升.”
小明：“今年5月份每升汽油的价格是多少呢？”
聪明的你，根据上面的对话帮小明计算一下今年5月份每升汽油的价格？
25．某商店用1000元人民币购进水果销售，过了一段时间，又用2400元人民币购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每千克的价格比第一次购进的贵了2元．
（1）该商店第一次购进水果多少千克？
（2）假设该商店两次购进的水果按相同的标价销售，最后剩下的20千克按标价的五折优惠销售．若两次购进水果全部售完，利润不低于950元，则每千克水果的标价至少是多少元？
注：每千克水果的销售利润等于每千克水果的销售价格与每千克水果的购进价格的差，两批水果全部售完的利润等于两次购进水果的销售利润之和．
参考答案
1．D
【解析】由题意可知，若乘高铁从甲地到乙地的时间为y小时，则乘特快列车所用时间为（y+5）小时，这样高铁的速度为千米/时，特快列车的速度为： 千米/时，根据高铁速度是特快列车速度的2.6倍即可得到方程： .
故选D.
2．A
【解析】试题解析：设船在静水中的速度为x千米/时，由题意得：
，
故选A．
3．B
【解析】由题意得原计划完成任务所需天数为,实际完成所需天数为,所以=+3.
故选B.
4．C
【解析】设每个A型包装箱可以装书x本，则每个B型包装箱可以装书（x+15）本，根据单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个，列方程得： ，故选C.
5．D
【解析】试题分析：根据等量关系“甲队先做10天,剩下的工程由甲、乙两队合作8天可完成”列方程即可得D正确.
考点：分式方程的应用
6．B
【解析】试题解析：由题意： ＝1，可知甲做了4天，乙做了x天．
由此可以推出，开始他们合做了4天，
故条件③是甲乙合做了4天．
故选B．
点睛：用到的等量关系为：工效×工作时间=工作总量．
7．B
【解析】设路程是s,小明用的时间是,
小刚所用时间是．
-=＞0
所以小明用的时间多
故选B
点睛：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
8．B
【解析】试题解析：设乙种商品单价为 元，则甲种商品单价为 元，由题易得，甲种商品花费300元，乙种商品花费400元，所以 ，
解得 元.所以本题应选B.
9．C
【解析】题中方程表示原计划每天铺设管道米，即实际每天比原计划多铺设米，结果提前天完成，选．
10．B
【解析】设单独开放甲管,注满水池需要xh,则甲管的工作效率为，
根据题意得×5+×3=1，
解得x=10.
经检验，x=10是原方程的解。
答：单独开放甲管，注满水池需要10h.
故选B.
点睛：本题考查分式方程的应用，分析题意找到合适的等量关系，找相等关系是着眼点，要学会分析题意提高理解能力.要掌握常见问题中的数量关系，路程问题：速度=，工作量问题：工作效率=.
二、填空题
11．
【解析】平时每个棕子卖x元，那么平时卖的粽子个数为个，打九折售出的粽子单价为0.9x元/个，所以端午节当天的买的粽子个数为个，又题意可列方程： .
故答案为.
12．24
【解析】解：设每天应多做x件，则依题意得：
，解得：x=24．
经检验x=24是方程的根．
故答案为：24．
点睛：找到合适的等量关系是解决问题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．
13．
【解析】设乙数位x,则甲数为x-2.丙数为x+2，根据甲数的倒数与丙数的倒数的2倍之和等于乙数的倒数的3倍.列出方程
故答案为：
点睛：此题考查了代数式的正确书写，能够根据运算顺序正确书写，同时注意数位的意义.列代数式要注意的四个问题：1.在同一个式子或具体问题中，每个字母只能代表一个量；2.要注意书写的规范性：乘号可以省略不写；3.在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母前面，带分数要化为假分数；4.含有字母的除法。一般不用除号，而是写成分数的形式.
14．59
【解析】试题解析有：设该班有x名学生，根据题意得：
解得：x=5
经检验：x=5是原方程的根.
∴老师的体重为：39×6-35×5=59千克.
15．150
【解析】试题解析：设第二批绿植每盆的价格为x元，依题意有
解得：x=150
经检验：x=150是原方程的根.
答：第二批绿植每盆的价格为150元.
【点睛】考查了分式方程的应用，列方程解应用题的关键是正确确定题目中的相等关系，根据相等关系确定所设的未知数，列方程．
16．蜗牛神和蚂蚁王的速度分别为6米/小时和24米/小时.
【解析】试题分析：
这是一道行程问题，我们首先要利用“行程问题中的基本数量关系：路程=速度时间”，设蜗牛神的速度为x米/小时，蚂蚁王的速度为4x米/小时，从而利用二者所行路程均为16米，表达出各自所用的时间，最后利用蚂蚁王比蜗牛神少用2小时这一数量关系列出方程来求解.
试题解析：
设蜗牛神的速度为x米/小时，根据题意可得： ，
去分母得： ，
解得： ，经检验： 是所列方程的解，
∴，
答：蜗牛神的速度是6米/小时，蚂蚁王的速度是24米/小时.
17．6个、5个．
【解析】试题分析：甲乙原来生产零件之间有一定的等量关系。乙改进之后，两者之间又存在一定的等量关系。所以可以用二元一次方程组解答，分别设甲乙原来每小时加工零件分别为x,y个，根据题意列出方程。
解：设甲乙两人原来每小时各加工零件分别为x个、y个，
由题意得， ，
解得： ．
经检验它是原方程的组解，且符合题意．
答：甲乙两人原来每小时各加工零件分别为6个、5个．
18．小路的宽度为2m.
【解析】试题分析：设小路的宽度为xm，根据题意列出方程解答即可．
试题解析：设小路的宽度为xm，可得：
，
解得：x=2，
经检验x=2是原方程的解，
答：小路的宽度为2m．
19．乙品牌篮球的单价为200元/个，购买了20个.
【解析】试题分析：设B品牌足球的单价为x元/个，则A品牌足球的单价为1.5x元/个，根据相等关系：7000元购买了A、B两种品牌的足球共30个，即可得出关于x的分式方程，求解即可．
试题解析：解：设乙品牌篮球的单价为x元，则甲品牌篮球的单价为1.5x元/个，根据题意得：
解得：x=200．
经检验：x=200是原方程的解，且符合题意．
∴．
答：乙品牌篮球的单价为200元/个，购买了20个．
点睛：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
20．（1）甲、乙两队单独完成这项工程分别需120天、180天；（2）工程预算的施工费用不够用，需追加预算8万元.
【解析】试题分析：（1）首先表示出甲、乙两队需要的天数，进而利用由甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作60天完成得出等式求出答案；
（2）首先求出两队合作需要的天数，进而求出答案．
试题解析：解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，则甲队单独完成这项工程需要x天．
根据题意，得，解得：x=180．
经检验，x=180是原方程的根，∴=×180=120，答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需120天和180天；
（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，则有，解得 y=72．
需要施工费用：72×（8.6+5.4）=1008（万元）．
∵1008＞1000，∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算8万元．
点睛：此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
21．20人
【解析】分析：设原来报名参加的学生有x人，根据如果参加的人数能够增加到原来人数的2倍，就可以享受优惠，如果能享受优惠，那么参加活动的每位同学平均分摊的费用比原来少4元，可列方程求解．
本题解析：
解：设原来报名参加的学生有x人，
依题意，得．
解这个方程，得x=20．
经检验，x=20是原方程的解且符合题意．
答：原来报名参加的学生有20人．
22．（1）80；（2）21900．
【解析】试题分析：（1）设原计划每天铺设路面米，则提高工作效率后每天完成（1+25%）x米，根据等量关系“利用原计划的速度铺设400 米所用的时间+提高工作效率后铺设剩余的道路所用的时间=13”，列出方程，解方程即可；（2）先求得利用原计划的速度铺设400 米所用的时间和提高工作效率后铺设剩余的道路所用的时间，根据题意再计算总工资即可.
试题解析：
（1）设原计划每天铺设路面米，根据题意可得：
解得：
检验： 是原方程的解且符合题意，∴
答：原计划每天铺设路面80米．
原来工作400÷80＝5（天）．
（2）后来工作（天）．
共支付工人工资：1500×5+1500×（1+20%）×8=21900（元）
答：共支付工人工资21900元．
点睛：本题考查了分式方程的应用，根据题意正确找出等量关系，由等量关系列出方程是解决本题的关键．
23．（1）第一批秋衣进货的价格是80元；（2）第二批秋衣每件售价至少是150元．
【解析】试题分析：
（1）设第一批秋衣的价格是x元/件，则第二批秋衣的价格为（x+20）元/件，根据题意可得方程： ，解方程即可得到所求答案；
（2）设第二批秋衣每件售价至少是y元/件，结合第1小题的结果列出不等式，解不等式即可求得所求答案；
试题解析：
解：（1）设第一批秋衣的价格是x元/件，根据题意得：
，
解得：x=80
经检验x=80是分式方程的解．
答：第一批秋衣进货的价格是80元．
（2）设第二批秋衣每件售价至少是y元，根据题意得：
×100%≥×100% ，
解得：y≥150
答：第二批秋衣每件售价至少是150元．
24．今年5月份每升汽油的价格是8元.
【解析】试题分析：设去年5月份的石油价格为每升x元，则今年5月份的石油价格为每升1.6x元，根据用150元给汽车加的油量比去年少11.25升，列出方程求解即可．
试题解析：设去年5月份每升汽油的价格是x元，则今年5月份每升汽油的价格是1.6x元.
根据题意得：
解得x=5.
经检验：x=5是原方程的解，
∴（元）；
答：今年5月份每升汽油的价格是8元.
25．（1）该商店第一次购进水果100千克；（2）每千克水果的标价至少是15元．
【解析】试题分析：（1）首先根据题意，设该商店第一次购进水果x千克，则第二次购进水果2x千克，然后根据：（ +2）×第二次购进的水果的重量=2400，列出方程，求出该商店第一次购进水果多少千克即可．
（2）首先根据题意，设每千克水果的标价是x元，然后根据：（两次购进的水果的重量﹣20）×x+20×0.5x≥两次购进水果需要的钱数+950，列出不等式，求出每千克水果的标价是多少即可．
试题解析：解：（1）设该商店第一次购进水果x千克，则第二次购进水果2x千克，（ +2）×2x=2400
整理，可得：2000+4x=2400，解得x=100．
经检验，x=100是原方程的解．
答：该商店第一次购进水果100千克．
（2）设每千克水果的标价是x元，则（100+100×2﹣20）×x+20×0.5x≥1000+2400+950
整理，可得：290x≥4350，解得x≥15，∴每千克水果的标价至少是15元．
答：每千克水果的标价至少是15元．
点睛：此题主要考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，要熟练掌握，注意建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
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