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湘教版数学九年级2.5.2圆的切线 教学设计
课题 2.5.2 圆的切线 单元 二单元 学科 数学 年级 九年级
学习目标 掌握切线的判定定理；能够判定直线与圆相切的三种方法；掌握切线的性质定理和切线性质定理的三个推论。通过学生小组讨论，探究等活动，让学生掌握圆的切线的相关知识本节课让学生通过小组动手，讨论，体会到小组团队的力量的强大。
重点 切线的判定定理；切线的性质定理
难点 根据切线的判定定理与性质定理解决具体的应用问题
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 【复习旧知】师：上节课我们学习了直线与圆的位置关系，那么直线与圆的位置关系有哪些呢？有哪几种方法区分直线与圆的位置关系呢？（出示课件1）回答：直线与圆的位置关系有相切、相交、相离。我们可以通过公共点个数和圆心到直线的距离d与半径r的关系来进行区分。师：什么是切线呢？（出示课件2）回答：直线和圆有唯一一个公共点，叫做直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。【新课导入】（出示课件4）当我们在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向呢？工人用砂轮磨一把刀， 在接触的一瞬间， 擦出的火花是沿着砂轮的什么方向飞出去的？我们一起来学习一下“圆的切线”，学完本节课的内容后，这两个问题你就能解决啦。 复习回忆知识思考并回答问题思考并回答问题 通过复习“直线与圆的位置关系”以及“切线的概念”为本节课“圆的切线”做基础通过生活中的实例进行引入，吸引学生学习兴趣
讲授新课 一、切线的判定师：如图所示：1. 直线BC与⊙O的位置关系是相切。2. 直线BC是⊙O的切线。公共点A是⊙O的 切点 。（出示课件5）师：满足什么条件的直线是圆的切线呢？我们一起来探究一下吧。【探究】如图，OA是⊙O 的半径， 经过 OA 的外端点 A， 作一条直线l⊥ OA ， 圆心 O 到直线 l 的距离是多少？ 直线 l 和⊙O 有怎样的位置关系？（出示课件6）回答：我们可以得到：1. 圆心O到直线 l 的距离等于半径OA。2. 由圆的切线定义可知直线 l 与圆O相切。结论：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。【切线的判定定理】师：根据刚才的探究，我们可以得到：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。（出示课件8）几何表达：OA为⊙O半径，l ⊥ OA于A，则：l 即为⊙O的切线师：这里需要注意一下，圆的切线有无数条！！！【切线的判定定理解读】师：判断直线是圆的切线必须同时满足：1. 经过半径的外端；2. 垂直于这条半径。思考：如果只满足其中一个条件还能说直线是圆的切线吗？请同学们自己在草稿纸上画一画。（出示课件9）回答：不能。师：根据图片展示，我们很明显可以发现只满足其中一个条件并不能说直线是圆的切线。师：我们一起来看看几个练习题。（出示课件10）1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ × ）2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ × ）3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ × ）解析：利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件,缺一不可 (1)直线经过半径的外端; (2)直线与这条半径垂直。【做一做】如图，已知⊙O 上一点 P， 过点 P 画⊙O 的切线。（出示课件11）作图步骤：（出示课件12）（1）连接OP，将三角尺的直角顶点放在点P处，并使一直角边与半径OP重合。（2）过点P沿着三角尺的另一条直角边画直线l，则l就是所要画的切线。师：为什么画出的直线l是⊙O的切线呢？回答：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。【例题讲解】如图 ，已知 AD 是⊙O 的直径， 直线 BC 经过点 D， 并且 AB = AC，∠BAD＝ ∠CAD。求证： 直线 BC 是⊙O 的切线。证明 ∵ AB=AC， ∠BAD＝ ∠CAD，∴ AD⊥ BC．又∵ OD 是⊙O 的半径， 且 BC经过点 D，∴ 直线 BC 是⊙O 的切线．【判定直线与圆相切的方法】师：请和同桌讨论一下，判定直线与圆相切的方法有哪些呢？回答：①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。师：我们一起来看看两个题，巩固一下。1. 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。 求证：直线AB是⊙O的切线。分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可。 证明：连结OC(如图) ∵ ⊿OAB中， OA＝OB , CA＝CB, ∴ AB⊥OC。 ∵ OC是⊙O的半径 ∴ AB是⊙O的切线。【总结】当直线与圆有公共点时，简说成“连半径，证垂直”2. 已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D，以O为圆心，OD为半径作⊙O。求证：⊙O与AC相切。证明：过O作OE⊥AC于E。 ∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB ∴ OE＝OD ∴ OE是⊙O的半径 ∵ OE⊥AC ∴ AC是⊙O切线。【总结】当直线与圆无公共点时，简说成“作垂直，证半径”。 师：根据上面两个题，你能总结出我们在证明圆的切线时，该怎样添加辅助线吗？ 回答：证明圆的切线时，常常要添加辅助线，有两种方法：（1）当直线与圆有公共点时，简说成“连半径，证垂直”；（2）当直线与圆无公共点时，简说成“作垂直，证半径”。二、切线的性质定理【动脑筋】如图 ，直线 l 是⊙O 的切线， A为切点，切线 l 与半径 OA 垂直吗？（出示课件18）分析：可以用量角器量，也可以用反证法证明。（出示课件19）假设直线 l 与半径 OA 不垂直。过圆心 O 作 OB⊥l 于点 B。由于垂线段最短， 可得 OB ＜ OA， 那么圆心 O到直线 l 的距离小于半径， 即直线 l 与⊙O 相交. 这与已知直线 l 是⊙O 的切线相矛盾。因此直线 l ⊥ OA。【结论】圆的切线垂直于过切点的半径。【切线的性质定理】师：我们可以得到，切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。（出示课件20）几何语言：∵直线 l 是⊙O 的切线，点 A 为切点，∴OA ⊥ l师：因为经过一点只有一条直线与已知直线垂直，所以经过圆心垂直于切线的直线一定过切点；反之，过切点且垂直于切线的直线也一定过圆心。因此我们可以得到两个推论。切线的性质定理的推论１:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。切线的性质定理的推论２:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。【例题讲解】如图 ， AB 是⊙O的直径， C 为⊙O上一点， BD 和过点 C 的切线 CD 垂直， 垂足为 D。求证： BC 平分∠ABD．证明：连接OC.∵ CD 是⊙O的切线，∴ OC ⊥ CD .又∵ BD ⊥ CD ，∴ BD ∥ OC .∴ ∠ 1 = ∠ 2 .又 OC = OB ，∴ ∠ 1 = ∠ 3 .∴ ∠ 2 = ∠ 3 ， 即 BC 平分∠ABD.师：请同学们证明：经过直径两端点的切线互相平行。已知： 如图 ，AB是⊙O 的直径， l1，l2分别是经过点 A， B的切线．求证： l1 ∥l2．证明 ∵ OA 是⊙O 的半径， l1 是过点 A的切线，∴ l1⊥ OA．同理 l2⊥ OB．∴ l1⊥ AB， 且 l2⊥ AB．∴ l1∥ l2 ．【切线判定和切线性质定理的比较】（出示课件26）切线判定定理：①过半径外端;②垂直于这条半径.切线性质定理：①圆的切线;②过切点的半径.总结：切线的性质：切线和圆只有一个交点。圆心到切线的距离等于半径。切线垂直于过切点的半径。经过圆心垂直于切线的直线必经过切点。经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。 思考并回答问题探究，思考并回答问题观看课件动手操作，思考并回答问题完成练习题动手操作，完成作图完成例题思考并回答问题完成练习题完成练习题总结知识思考并回答问题观看课件完成例题思考问题 通过已有知识引入切线的判定，由浅入深，方便学生理解学习通过探究，让学生知道该怎样判定一条直线圆的切线通过总结，得到切线的判定定理。让学生知道切线的判定定理以及其几何表达通过实际操作，让学生明白判断直线是圆的切线必须同时满足两个判定条件通过练习，巩固所学知识通过作图，让学生知道怎样画圆的切线，了解其原理通过具体的例子让学生巩固知识点：圆的切线的判定定理通过提问，让学生知道判定直线与圆相切的三种方法具体在实际练习中运用直线与圆相切的方法，巩固知识让学生知道如何做辅助线的两种方法：连半径、证垂直；作垂直，正半径通过证明，让学生理解切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径让学生知道切线的性质定理的两个推论通过具体的例子，巩固圆的切线的性质定理巩固圆的切线的判定与性质定理
巩固练习 1. 如图,这是手表的圆形表盘，两个圆的圆心都是O，大圆的弦AB所在直线是小圆的切线，切点为C。求证:C是线段AB的中点.分析：根据圆的切线垂直于过切点的半径，可以知道OC⊥AB，可以通过三角形全等（HL）证明AC=BC证明:两个同心圆。连接OA,OBOA=OB∴△OAB为等腰三角形C为切点,OC⊥AB即OC为△ABO的高,∴OC为△ABO的中线∴C为AB的中点2. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F。求证：EF与⊙O相切。分析：当直线与圆有公共点时，简说成“连半径，证垂直”。所以只需要连接OD，证明OD ⊥EF。证明：连接OD，∵AD平分∠CAB，∴ ∠OAD=∠EAD.∵ OD=OA ,∴ ∠ODA= ∠OAD.∴ ∠ODA= ∠EAD.∴ OD∥AE.∵ ∠ODF= ∠AEF=90 °且D在⊙O上，∴EF与⊙O相切。 完成练习题 通过做练习题，让学生巩固本节课所学知识
课堂小结 二、判定直线与圆相切的方法①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。三、切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径。四、切线的性质定理推论经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。经过直径两端点的切线互相平行。 自己总结知识点 让学生回忆本节课所学知识。进一步巩固知识。
板书 圆的切线1. 切线的判定定理2. 判定直线与圆相切的三种方法3. 切线的性质定理4. 切线性质定理的三个推论 观看板书 提示学生本节课我们应该要掌握哪些知识点。
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圆的切线
数学湘教版 九年级下
复习旧知
直线与圆的 位置关系 相交 相切 相离
图 形
公共点个数
公共点名称
直线名称
圆心到直线距离d与半径r的关系
2 个
交点
割线
1 个
切点
切线
d < r
d = r
d > r
没有
直线与圆的位置关系
复习旧知
直线和圆有唯一一个公共点，叫做直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。
相切
切线
切点
新课导入
当我们在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向呢？
工人用砂轮磨一把刀， 在接触的一瞬间， 擦出的火花是沿着砂轮的什么方向飞出去的？
新知讲解
1
切线的判定
1. 直线BC与⊙O的位置关系是 。
2. 直线BC是⊙O的 。公共点A是⊙O的 。
O
B
A
C
满足什么条件的直线是圆的切线呢？
相切
切线
切点
新知讲解
如图，OA是⊙O 的半径， 经过 OA 的外端点 A， 作一条直线l⊥ OA ， 圆心 O 到直线 l 的距离是多少？ 直线 l 和⊙O 有怎样的位置关系？
探 究
O
A
l
∟
新知讲解
O
A
l
∟
【结论】经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
1. 圆心O到直线 l 的距离等于半径OA。
2. 由圆的切线定义可知直线 l 与圆O相切。
新知讲解
一、切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
O
A
l
∟
l 即为⊙O的切线
OA为⊙O半径
l ⊥ OA于A
圆的切线有无数条！！！
新知讲解
二、切线的判定定理解读
O
A
l
直线是圆的切线
需要同时满足：
经过半径的外端；
垂直于这条半径。
O
A
l
∟
满足①不满足②
满足②不满足①
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ ）
2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ ）
3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ）
×
×
×
O
r
l
A
O
r
l
A
O
r
l
A
利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件,缺一不可
(1)直线经过半径的外端;
(2)直线与这条半径垂直。
新知讲解
新知讲解
用三角尺过圆上一点画圆的切线。
如图，已知⊙O 上一点 P， 过点 P 画⊙O 的切线。
做一做
O
P
新知讲解
l
O
P
（1）连接OP，将三角尺的直角顶点放在点P处，并使一直角边与半径OP重合。
（2）过点P沿着三角尺的另一条直角边画直线l，则l就是所要画的切线。
为什么画出的直线l是⊙O的切线呢？
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
新知讲解
如图 ，已知 AD 是⊙O 的直径， 直线 BC 经过点 D， 并且 AB = AC，∠BAD＝ ∠CAD。
求证： 直线 BC 是⊙O 的切线。
例题讲解
证明 ∵ AB=AC， ∠BAD＝ ∠CAD，
∴ AD⊥ BC．
又∵ OD 是⊙O 的半径， 且 BC经过点 D，
∴ 直线 BC 是⊙O 的切线．
新知讲解
三、判定直线与圆相切的方法
①定义法：直线与圆有唯一公共点；
②数量法：直线到圆心的距离等于该圆的半径；
③切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。
已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。
求证：直线AB是⊙O的切线。
O
B
A
C
分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可。
证明：连结OC(如图)
∵ ⊿OAB中， OA＝OB , CA＝CB,
∴ AB⊥OC。
∵ OC是⊙O的半径
∴ AB是⊙O的切线。
新知讲解
当直线与圆有公共点时，简说成“连半径，证垂直”
已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D，以O为圆心，OD为半径作⊙O。
求证：⊙O与AC相切。
O
A
B
C
E
D
证明：过O作OE⊥AC于E。
∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB
∴ OE＝OD
∴ OE是⊙O的半径
∵ OE⊥AC
∴ AC是⊙O切线。
新知讲解
当直线与圆无公共点时，简说成“作垂直，证半径”。
新知讲解
总
结
证明圆的切线时，常常要添加辅助线，有两种方法：
（1）当直线与圆有公共点时，简说成“连半径，证垂直”；
（2）当直线与圆无公共点时，简说成“作垂直，证半径”。
新知讲解
如图 ，直线 l 是⊙O 的切线， A为切点，切线 l 与半径 OA 垂直吗？
2
切线的性质定理
动脑筋
O
A
l
分析：可以用量角器量，也可以用反证法证明。
新知讲解
O
A
l
假设直线 l 与半径 OA 不垂直。
过圆心 O 作 OB⊥l 于点 B。由于垂线段最短， 可得 OB ＜ OA， 那么圆心 O
到直线 l 的距离小于半径， 即直线 l 与⊙O 相交. 这与已知直线 l 是⊙O 的切线
相矛盾。
因此直线 l ⊥ OA。
结论：圆的切线垂直于过切点的半径。
B
新知讲解
一、切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径。
O.
A
几何语言：
∵直线 l 是⊙O 的切线，点 A 为切点，
∴OA ⊥ l
新知讲解
切线的性质定理的推论１:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
切线的性质定理的推论２:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
O.
A
因为经过一点只有一条直线与已知直线垂直，所以经过圆心垂直于切线的直线一定过切点；反之，过切点且垂直于切线的直线也一定过圆心。因此我们可以得到两个推论。
新知讲解
如图 ， AB 是⊙O的直径， C 为⊙O上一点， BD 和过点 C 的切线 CD 垂直， 垂足为 D。
求证： BC 平分∠ABD．
例题讲解
O
A
B
D
C
∟
新知讲解
证明：连接OC.
∵ CD 是⊙O的切线，
∴ OC ⊥ CD .
又∵ BD ⊥ CD ，
∴ BD ∥ OC .
∴ ∠ 1 = ∠ 2 .
又 OC = OB ，
∴ ∠ 1 = ∠ 3 .
∴ ∠ 2 = ∠ 3 ， 即 BC 平分∠ABD.
O
A
B
D
C
∟
3
2
1
新知讲解
证明：经过直径两端点的切线互相平行。
已知： 如图 ，AB是⊙O 的直径， l1，l2分别是经过点 A， B的切线．
求证： l1 ∥l2．
O
A
l1
l2
新知讲解
证明 ∵ OA 是⊙O 的半径， l1 是过点 A的切线，
∴ l1⊥ OA．
同理 l2⊥ OB．
∴ l1⊥ AB， 且 l2⊥ AB．
∴ l1∥ l2 ．
O
A
l1
l2
新知讲解
二、切线判定和切线性质定理的比较
O.
A
①过半径外端;
②垂直于这条半径.
切线
①圆的切线;
②过切点的半径.
切线垂直于半径
切线判定定理：
切线性质定理：
新知讲解
总
结
切线的性质：
切线和圆只有一个交点。
圆心到切线的距离等于半径。
切线垂直于过切点的半径。
经过圆心垂直于切线的直线必经过切点。
经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。
巩固提升
·
·
·
A
B
O
求证:C是线段AB的中点.
1. 如图,这是手表的圆形表盘，两个圆的圆心都是O，大圆的弦AB所在直线是小圆的切线，切点为C。
C
分析：根据圆的切线垂直于过切点的半径，可以知道OC⊥AB，可以通过三角形全等（HL）证明AC=BC
巩固提升
·
·
·
A
B
O
C
∴C为AB的中点
证明:
两个同心圆。连接OA,OB
∴△OAB为等腰三角形
OA=OB
C为切点,OC⊥AB
即OC为△ABO的高,
∴OC为△ABO的中线
巩固提升
2. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F。
求证：EF与⊙O相切。
分析：当直线与圆有公共点时，简说成“连半径，证垂直”。所以只需要连接OD，证明OD ⊥EF。
巩固提升
证明：连接OD，
∵AD平分∠CAB，
∴ ∠OAD=∠EAD.
∵ OD=OA ,
∴ ∠ODA= ∠OAD.
∴ ∠ODA= ∠EAD.
∴ OD∥AE.
∵ ∠ODF= ∠AEF=90 °且D在⊙O上，
∴EF与⊙O相切。
课堂小结
一、切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
二、判定直线与圆相切的方法
①定义法：直线与圆有唯一公共点；
②数量法（d=r）：直线到圆心的距离等于该圆的半径；
③切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。
课堂小结
三、切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径。
四、切线的性质定理推论
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
经过直径两端点的切线互相平行。
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