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湘教版数学九年级第二章第五课时切线长定理教学设计
课题 2.5.3 切线长定理 单元 二单元 学科 数学 年级 九年级
学习目标 1. 能够说出切线长的概念2. 能够说出切线长定理是怎么推论出来的；3. 能够在实际练习中应用切线长定理解决问题。
重点 切线长的概念；切线长定理的内容。
难点 灵活应用切线长定理解决问题
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 【复习旧知】师：同学们还记得切线的概念吗？我们该怎样判定切线呢？切线的性质定理是什么呢？（出示课件2）回答：切线的概念：直线和圆有唯一一个公共点，叫做直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。师：过圆外一点可以引圆的几条切线呢？如何用尺规作图画出来呢？（出示课件3）回答：两条。（出示课件4）可以先连接圆心和圆外一点OP，以OP为直径画圆，与圆O相交于A ,B 两点，连接PA、PB，PA、PB即为圆外一点所画的两条切线。 师：PA、PB线段叫什么呢？PA、PB有什么关系呢？学完本节课都能解决这些问题了，让我们一起来学习一下吧。 复习切线的相关知识，思考并回答问题思考并回答问题 通过复习，让学生回忆切线、切线的判定定理、切线的性质定理的内容，为本节课的知识做铺垫通过具体操作，让学生知道如何做圆外一点的两条切线，为切线长的引入做准备
讲授新课 一、切线长的概念【说一说】如图 ， 将三角尺的一条直角边过⊙O 外一点 P 及圆上的点 A， 另一条直角边过圆心 O， 然后作直线 PA， 则 PA 是⊙O 的切线. 用同样的方法可作出切线 PB. 你能说出 PA 和 PB 是⊙O 的切线的理由吗？（出示课件5）解析：根据切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，可得：OA为⊙O半径，PA ⊥ OA于A， PA 即为⊙O的切线。OB为⊙O半径，PB ⊥ OA于A， PB 即为⊙O的切线。【切线长的概念】切线长的概念：经过圆外一点作圆的切线， 这点和切点之间的线段的长， 叫作这点到圆的切线长。（出示课件7）师：上图所示的哪几条线段叫做切线长呢？回答：线段 PA， PB 的长度是点 P 到⊙O 的切线长。师：切线和切线长一样吗？它们有什么联系和区别？回答：切线：PA、PB所在的直线；切线长：线段PA、PB的长度。切线和切线长是两个不同的概念： 1. 切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2. 切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。二、切线长定理【探究】在透明纸上画出图 ， 设 PA， PB 是⊙O 的两条切线， A， B 是切点， 沿直线 OP将图形对折， 你发现了什么？（出示课件10）师：PA、PB有怎样的数量关系？PO与∠APB又有怎样的关系？回答：PA=PBPO平分∠APB，即∠APO= ∠BPO师：该如何证明呢？（出示课件12）证明：连接 OA， OB. ∵ PA， PB 是⊙O 的切线， ∴ ∠PAO=∠PBO=90°， 即△PAO 和△PBO 均为直角三角形. 又∵ OA=OB， OP=OP， ∴ Rt△PAO≌Rt△PBO. ∴ PA=PB， ∠APO=∠BPO.【切线长定理】师：我们可以的得到结论，过圆外一点所画的圆的两条切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。这个结论即为切线长定理。师：几何语言该如何表达呢？（出示课件13）几何语言：∵PA、PB是⊙O的两条切线 ，∴PA=PB，∠APO= ∠BPO.师：切线长定理为证明线段相等、角相等，弧相等，垂直关系提供了新的方法。【切线长定理的拓展】探究：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于点C.（出示课件14）（1）写出图中所有的垂直关系回答：OA⊥PA，OB ⊥PB AB⊥OP（2）写出图中与∠OAC相等的角回答：∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC（3）写出图中所有的全等三角形回答：△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP（4）写出图中所有的等腰三角形回答：△ABP △AOB三、切线长定理的应用师：在解决有关圆的切线长问题时，往往我们需要构建基本图形。（出示课件16）我们该怎样添加辅助线呢？回答：与圆的切线相关的添加辅助线的方法：（1）分别连接圆心和切点（2）连接两切点（3）连接圆心和圆外一点【例题讲解】如图， AD是⊙O的直径， 点C为⊙O外一点， CA和CB是⊙O 的切线， A和B是切点， 连接BD。求证： CO∥BD。（出示课件17）解析：连接AB， 因为AD为直径， 那么 ∠ABD ＝90°， 即BD⊥AB. 因此要证CO∥BD， 只要证CO⊥AB即可。证明: 连接AB. ∵ CA， CB是⊙O的切线， 点A， B为切点，∴ CA=CB， ∠ACO=∠BCO. ∴ CO⊥AB. ∵ AD是⊙O的直径， ∴ ∠ABD＝90°， 即 BD⊥AB. ∴ CO∥BD. 思考并回答问题思考并回答问题动手操作，发现问题并证明观看课件，思考并回答问题思考并回答问题思考并回答问题完成例题 通过具体的练习，让学生理解切线的判定定理通过提问，让学生知道切线和切线长的区别通过实际操作，让学生在探究中习得知识通过提问，让学生知道切线长定理以及其几何表达引导学生思考问题，让学生能够举一反三通过提问，让学生知道解决圆的切线长时，有哪些添加辅助线的方法通过具体的练习，让学生巩固切线长定理
巩固练习 1. 从圆 外一点可以引圆的两条切线，它们的切线相等。这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角。即：如图，PA，PB分别为⊙O的切线，切点分别为A、B，则PA=PB，PO平分 ∠AOB 。2. 如图，直尺、三角尺均和圆O相切，AB＝8 cm，求⊙O的直径。分析：连接OE，OA，OB，根据切线长定理和切线性质可得∠OBA＝90°，∠OAE＝∠OAB＝∠EAC，求∠EAC即可求出∠OAB和∠BOA，进而求出OA，再根据勾股定理求出OB即可。解：如图，连接OE，OA，OB.∵AE，AB都是⊙O的切线，切点分别是E，B，∴∠OBA＝90°，∠OAE＝∠OAB＝∠BAE.∵∠EAC＝60°，∴∠BAE＝120°，∴∠OAB＝ ×120°＝60°，∴∠BOA＝30°，∴OA＝2AB＝16 cm，由勾股定理得 (cm)，即⊙O的半径是 cm，∴⊙O的直径是16 cm.3. 如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O分别相切于点L、M、N、P，求证： AD+BC=AB+CD。证明：由切线长定理得:AL=AP，LB=MB，NC=MC，DN=DP∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP即AB+CD=AD+BC结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等。 完成练习题 通过做练习题，让学生巩固本节课所学知识
课堂小结 二、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。几何语言：∵PA、PB是⊙O的两条切线 ，∴PA=PB，∠APO= ∠BPO. 自己总结知识点 让学生回忆本节课所学知识。进一步巩固知识。
板书 切线长定理1. 切线长的概念2. 切线长定理几何表达 观看板书 提示学生本节课我们应该要掌握哪些知识点。
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切线长定理
数学湘教版 九年级下
复习旧知
直线和圆有唯一一个公共点，叫做直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。
切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的概念
切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径。
新课导入
过圆外一点可以引圆的几条切线呢？如何用尺规作图画出来呢？
O
.
A
B
P
两条
新课导入
尺规作图：过⊙O外一点作⊙O的切线。
OP是所画圆的直径。
O
·
P
A
B
O
新知讲解
1
切线长的概念
如图 ， 将三角尺的一条直角边过⊙O 外一点 P 及圆上的点 A， 另一条直角边过圆心 O， 然后作直线 PA， 则 PA 是⊙O 的切线. 用同样的方法可作出切线 PB. 你能说出 PA 和 PB 是⊙O 的切线的理由吗？
说一说
O
.
A
B
P
新知讲解
O
.
A
B
P
解析：根据切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，可得：
PA 即为⊙O的切线
OA为⊙O半径
PA ⊥ OA于A
PB 即为⊙O的切线
OB为⊙O半径
PB ⊥ OA于A
新知讲解
一、切线长的概念
经过圆外一点作圆的切线， 这点和切点之间的线段的长， 叫作这点到圆的切线长。
O
.
A
B
P
如图， 线段 PA， PB 的长度是点 P 到⊙O 的切线长。
新知讲解
切线和切线长一样吗？它们有什么联系和区别？
新知讲解
二、切线与切线长
O
.
A
B
P
切线：PA、PB所在的直线；
切线长：线段PA、PB的长度。
切线和切线长是两个不同的概念：
1. 切线是一条与圆相切的直线，不能度量；
2. 切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。
新知讲解
2
切线长定理
在透明纸上画出图 ， 设 PA， PB 是⊙O 的两条切线， A， B 是切点， 沿直线 OP将图形对折， 你发现了什么？
O
.
A
B
P
探 究
新知讲解
O
.
A
B
P
PA、PB有怎样的数量关系？
PO与∠APB又有怎样的关系？
PA=PB
PO平分∠APB，
即∠APO= ∠BPO
该如何证明呢？
新知讲解
O
.
A
B
P
证明：连接 OA， OB.
∵ PA， PB 是⊙O 的切线，
∴ ∠PAO=∠PBO=90°， 即△PAO 和△PBO 均为直角三角形. 又∵ OA=OB， OP=OP，
∴ Rt△PAO≌Rt△PBO.
∴ PA=PB， ∠APO=∠BPO.
新知讲解
一、切线长定理
过圆外一点所画的圆的两条切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
几何语言：
∵PA、PB是⊙O的两条切线 ，∴PA=PB，∠APO= ∠BPO.
O
.
A
B
P
为证明线段相等、角相等，弧相等，垂直关系提供了新的方法。
新知讲解
二、切线长定理的拓展
O
.
D
E
C
A
B
P
探究：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于点C.
（1）写出图中所有的垂直关系
OA⊥PA，OB ⊥PB AB⊥OP
（2）写出图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
新知讲解
O
.
D
E
C
A
B
P
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
（4）写出图中所有的等腰三角形
△ABP △AOB
（3）写出图中所有的全等三角形
新知讲解
3
切线长定理的应用
在解决有关圆的切线长问题时，往往我们需要构建基本图形。
O
.
D
E
C
A
B
P
与圆的切线相关的添加辅助线的方法：
（1）分别连接圆心和切点
（2）连接两切点
（3）连接圆心和圆外一点
新知讲解
如图， AD是⊙O的直径， 点C为⊙O外一点， CA和CB是⊙O 的切线， A和B是切点， 连接BD。
求证： CO∥BD。
例题讲解
O
.
A
B
C
D
解析：连接AB， 因为AD为直径， 那么 ∠ABD ＝90°， 即BD⊥AB. 因此要证CO∥BD， 只要证CO⊥AB即可。
新知讲解
证明: 连接AB.
∵ CA， CB是⊙O的切线， 点A， B为切点，
∴ CA=CB， ∠ACO=∠BCO. ∴ CO⊥AB.
∵ AD是⊙O的直径，
∴ ∠ABD＝90°，
即 BD⊥AB.
∴ CO∥BD.
O
.
A
B
C
D
巩固提升
1. 从圆 一点可以引圆的 条切线，它们的切线 。这一点和圆心的连线 这两条切线的夹角。
即：如图，PA，PB分别为⊙O的切线，切点分别为A、B，
则 ，PO平分 。
外
O
.
A
B
P
两
相等
平分
PA=PB
∠AOB
巩固提升
2. 如图，直尺、三角尺均和圆O相切，AB＝8 cm，求⊙O的直径。
分析：连接OE，OA，OB，根据切线长定理和切线性质可得∠OBA＝90°，∠OAE＝∠OAB＝∠EAC，求∠EAC即可求出∠OAB和∠BOA，进而求出OA，再根据勾股定理求出OB即可。
E
C
E
C
巩固提升
解：如图，连接OE，OA，OB.
∵AE，AB都是⊙O的切线，切点分别是E，B，
∴∠OBA＝90°，∠OAE＝∠OAB＝ ∠BAE.
∵∠EAC＝60°，∴∠BAE＝120°，
∴∠OAB＝ ×120°＝60°，
∴∠BOA＝30°，∴OA＝2AB＝16 cm，
由勾股定理得 (cm)，
即⊙O的半径是 cm，∴⊙O的直径是16 cm.
巩固提升
3. 如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O分别相切于点L、M、N、P，求证： AD+BC=AB+CD。
证明：由切线长定理得:
AL=AP，LB=MB，NC=MC，DN=DP
∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP
即AB+CD=AD+BC
D
L
M
N
A
B
C
O
P
结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等。
课堂小结
一、切线长的概念
经过圆外一点作圆的切线， 这点和切点之间的线段的长， 叫作这点到圆的切线长。
二、切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
几何语言：
∵PA、PB是⊙O的两条切线 ，∴PA=PB，∠APO= ∠BPO.
O
.
A
B
P
谢谢
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