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16.2.2二次根式的加减(1)同步练习
姓名:__________班级:__________学号:__________
本节应掌握和应用的知识点
1.同类二次根式
(1)同类二次根式的定义几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式.
(2)同类二次根式的合并 合并同类二次根式类似于合并同类项,就是将同类二次根式的“系数”合并 ,根指数与被开方数保持不变 .
2.二次根式的加减
(1)二次根式的加减实质是合并同类二次根式,非同类二次根式不能合并.
(2)二次根式加减法的一般步骤: ①先把各根式化成最简二次根式; ②找出其中的同类 二次根式; ③ 合并同类二次根式.
3. 比较二次根式大小时,可将根号外的非负数(或式子) 移到根号内.
基础知识和能力拓展训练
一、选择题
1.下列各组数中,是同类二次根式的只有( )
A. B. C.- D.
2.若最简二次根式和能合并,则x的值可能为( )
A. B. C. 2 D. 5
3.下列计算正确的是( )
A. = B. C. D.
4.下列各式:① +=;②3+=3;③4-=3;④3-=;⑤=+=2+3=5,其中正确的是( )
A. ①和③ B. ②和④ C. ③和④ D. ③和⑤
5.计算3﹣2的结果是( )
A. B. 2 C. 3 D. 6
6.若a-b=-1,ab=,则代数式(a-1)(b+1)的值等于( )
A. 2+2 B. 2-2 C. 2 D. 2
7.计算(﹣)+|﹣|的结果是( )
A. 0 B. 2﹣2 C. 2﹣2 D. 2
8.设a=-,b=-1,c=,则a,b,c之间的大小关系是( )
A. c>b>a B. a>c>b C. b>a>c D. a>b>c
9.若,,则( )
A. B. C. D. 无法确定
二、填空题
10.在, , , 中,与是同类二次根式的有________ 个.
11.若最简二次根式与是同类二次根式,则 .
12.若x-y=,xy=,则代数式(x-1)(y+1)的值等于_____.
13.估算比较大小:(填“>”、“<”或“=” )_______
14.化简÷-(-)的结果是____.
15.对于任意实数a,b,定义一种运算“◇”如下:a◇b=a(a-b)+b(a+b),如:3◇2=3×(3-2)+2×(3+2)=13,那么◇=_____.
三、解答题
16.最简二次根式与是同类二次根式,求3a-b的值.
17.计算:
(1) (2)
18.(6分)先化简,再求值: ,其中,
19.若a+b=2,则称a与b是关于1的平衡数.
(1)3与 是关于1的平衡数,5﹣ 与 是关于1的平衡数;
(2)若(m+)×(1﹣)=﹣5+3,判断m+与5﹣是否是关于1的平衡数,并说明理由.
20.已知:x=2+,y=2﹣.
(1)求代数式:x2+3xy+y2的值;
(2)若一个菱形的对角线的长分别是x和y,求这个菱形的面积?
21.谋小区有一块长为m,宽为m的空地,现要对该空地植上草萍进行绿化,解答下面的问题: (其中,, 结果保留整数)
(1) 求该空地的周长 。
(2) 若种植草坪的造价为12元/㎡,求绿化该空地所需的总费用。
参考答案
1.【分析】分别化简四个选项,找到被开方数相同的选项即可.
【解析】
A、=,=,是同类二次根式;
B、=2,=2,不是同类二次根式;
C、-的被开方数-5<0,没有意义,不是同类二次根式;
D、=2,=3,被开方数不同,不是同类二次根式.
故选A.
2.C
【解析】解:∵最简二次根式和能合并,∴2x+1=4x﹣3,解得x=2.故选C.
点睛:本题考查同类二次根式的概念,同类二次根式是化为最简二次根式后,被开方数相同的二次根式称为同类二次根式.
3.D
【解析】试题解析:A. ,故原选项错误;
B. ,故原选项错误;
C. ,故原选项错误;
D. ,故原选项正确.
故选D.
4.C
【解析】试题分析:①和被开方数不同,不能合并,故此项错误;
②有理数与无理数不能合并,故此项错误;
③正确;
④==,故此项正确;
⑤==,故此项错误.
故选C.
点睛:本题主要考查了二次根式的加减运算,若二次根式不是最简二次根式,应先化简,只有当被开方数相同的二次根式才可以合并.
5.A
【解析】3﹣2所以选A.
6.B
【解析】(a-1)(b+1)=ab+a-b-1=.
故选B.
7.A
【解析】试题解析:(﹣)+|﹣|
=﹣+﹣
=0
故选A.
8.D
【解析】a=-=(-1),b=-1;c===×(-1),
∵>1>,
∴a>b>c.
故选:D.
9.C
【解析】∵;
∴a-b=;
又∵;
∴a-b≈-0.06<0;
∴a故选C。
二、填空题
10.2
【解析】试题解析: 与被开方数不相同,故不是同类二次根式;
与被开方数相同,故是同类二次根式;
与被开方数不相同,故不是同类二次根式;
与被开方数相同,故是同类二次根式;
与是同类二次根式的有2个.
11.-1
【解析】试题解析:∵最简二次根式与是同类二次根式,
∴3b-1=2,a+2=4b-a
解得,a=1,b=1,
∴(1-2)2017=-1.
12.2-
【解析】
故答案为:
13.>
【解析】=, =,
∵18>12,
∴>,
∴.
故答案为:>.
14.
【解析】原式=.
15.5
【解析】◇==5.
故本题应填5.
点睛:理解新定义运算的运算规则,其实就是一个对应关系,a对应,b对应,即将a=,b=,代入到代数式a(a-b)+b(a+b)中,再根据二次根式的混合运算法则进行计算,注意最终的结果一定要化为最简二次根式.
三、解答题
16.2.
【解析】试题分析:根据题意,它们的被开方数相同,列出方程求解.
试题解析:由最简二次根式与是同类二次根式,得
,
解得,
则3a-b=2.
17.(1) ;(2)
【解析】试题分析:(1)将各个二次根式进行化简,再合并同类二次根式即可得解;
(2)将原式按照完全平方公式和平方差公式进行计算,再合并同类二次根式即可得解.
试题解析:(1)原式=
=
(2)原式=
=
18.-8+
【解析】试题分析:利用平方差公式和完全平方公式展开,再合并.
试题解析:原式=2x-y-(2x-2+y)
=2x-y-2x+2-y
=2 -2y
当x=3,y=4时,
原式=2 2×4=4 8.
19.(1)﹣1,﹣3+;(2)不是,理由见解析.
【解析】试题分析:(1)根据所给的例子,可得出平衡数的求法,由此可得出答案.
(2)根据所给的等式,解出m的值,进而再代入判断即可.
试题解析:(1)由题意得,3+(﹣1)=2,5﹣+(﹣3+)=2,
∴3与﹣1是关于1的平衡数,5﹣与﹣3+是关于1的平衡数;
(2)不是.
∵(m+)×(1﹣)
=m﹣m+﹣3,
又∵(m+)×(1﹣)=﹣5+3,
∴m﹣m+﹣3=﹣5+3,
∴m﹣m=﹣2+2.
即 m(1﹣)=﹣2(1﹣).
∴m=﹣2.
∴(m+)+(5﹣)=(﹣2+)+(5﹣)=3,
∴(﹣2+)与(5﹣)不是关于1的平衡数.
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算,属于基础题,解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并.
20.(1)18;(2)1.
【解析】(1)求出x+y,xy的值,利用整体的思想解决问题;
(2)根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可.
解:(1)∵x=,y=,
∴x+y=4,xy=4-2=2
∴x2+3xy+y2=(x+y)2+xy
=16+2
=18
(2)S菱形=xy= =(4-2) =1
“点睛”本题考查菱形的性质,二次根式的加减乘除运算法则等知识,解题的关键是学会整体的思想进行化简计算,属于中考常考题型.
21.(1) 54;(2) 2112.
【解析】试题分析:(1)、首先根据二次根式的化简法则进行化简,然后根据矩形的周长计算公式进行计算,得出答案;(2)、根据矩形的面积计算法则求出面积,然后乘以每平方米的造价得出答案.
试题解析:(1)该空地周长为 c= 54()
(2)该空地面积为 s==176
种草坪造价为 M=17612=2112(元)
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