第06讲计数原理-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编

2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第06讲：计数原理
1、（2010一试8）方程满足的正整数解的个数是.
【答案】336675
易知 ，所以
，即.
从而满足的正整数解的个数为.
2、（2011一试5）现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为．（用数字作答）
【答案】15000
【解析】由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形：
（1）有一个项目有3人参加，共有种方案；
（2）有两个项目各有2人参加，共有种方案；
所以满足题设要求的方案数为．
3、（2011一试8）已知C，则数列中整数项的个数为．
【答案】15
【解析】C．
要使 为整数，必有均为整数，从而．
当2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，和均为非负整数，所以为整数，共有14个．
当时，C，在C中，中因数2的个数为
，
同理可计算得中因数2的个数为82，中因数2的个数为110，所以C中因数2的个数为，故是整数．
当时，C，在C中，同样可求得中因数2的个数为88,中因数2的个数为105,故C中因数2的个数为，故不是整数．
因此，整数项的个数为．
4、（2013一试6）从1,2，…，20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为.
【答案】
5、（2015一试8）对四位数,若,则称为类数,若,则称为类数,用与分别表示类数与类数的个数,则的值为
【答案】285
【解析】分别记P类数、Q类数的全体为A,B，再将个位数为零的P类数全体记为,个位数不等于零的P类数全体记为.
6、（2016一试8）设是1，2，…，100中的4个互不相同的数，满足
则这样的有序数组的个数为 .
【答案】40
先考虑的情况.
此时，注意到互素，故为正整数. 相应地，分别等于，它们均为正整数.这表明，对任意给定的，满足条件并以为公比的等比数列的个数，即为满足不等式的正整数的个数，即.
由于，故仅需考虑这些情况，相应的等比数列的个数为
.
当时，由对称性可知，亦有20个满足条件的等比数列.
综上可知，共有40个满足条件的有序数组.
7、（2017一试4）若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是.
【答案】75
【解析】考虑平稳数.
若b=0,则a=1,
8、（2010二试4）一种密码锁的密码设置是在正n边形的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？
同，标有a和b的边都是偶数条．所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记a，b，c，使得标有a和b的边都是偶数条的方法数的4倍．
设标有a的边有条，，标有b的边有条，．选取条边标记a的有种方法，在余下的边中取出条边标记b的有种方法，其余的边标记c．由乘法原理，此时共有种标记方法．对i，j求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为
． ①
这里我们约定．
当n为奇数时，，此时． ②
代入①式中，得
．
当n为偶数时，若，则②式仍然成立；若，则正n边形的所有边都标记a，此时只有一种标记方法．于是，当n为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为
．
综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当n为奇数时有种；当n为偶数时有种．