第11讲三角函数-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编

2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第11讲：三角函数
1、（2010一试2）已知函数的最小值为，则实数的取值范围是.
【答案】
【解析】令，则原函数化为，即.
由，，及知即. （1）
当时（1）总成立；
对；对.从而可知.
2、（2011一试4）如果，，那么的取值范围是．
【答案】
3、（2012一试7）满足的所有正整数的和是．
【答案】33
【解析】由正弦函数的凸性,有当时,由此得
所以
故满足的正整数的所有值分别为它们的和为.
4、（2014一试7）设等边三角形的内切圆半径为2，圆心为.若点满足，则与的面积之比的最大值为__________.
【答案】
其中，
由知，于是所以
根据（1）、（2）可知，当时，的最大值为
5、（2015二试2）若实数满足,则的值为 .
【答案】2
【解析】由条件知，，反复利用此结论，并注意到，得
6、（2015一试7）设为正实数,若存在,使得,则实数的取值范围是
【答案】
【解析】由知，而故题目条件等价于：存在整数，使得⑴
当时，区间的长度不小于故必存在满足（1）式,
当时，注意到故仅需考虑如下几种情况：
此时无解；
此时有
，此时有
综合，并注意到
7、（2016一试6）设函数，其中是一个正整数.若对任意实数，均有，则的最小值为 .
【答案】16
反之，当时，任意一个开区间均包含的一个完整周期，此时
成立.综上可知，正整数的最小值为.
8、（2017一试2）若实数满足，则的取值范围是.
【答案】
【解析】由于
由可知,因此当时,有最小值-1.
(这时y可以取)；当时，有最大值（这时y可取），由于的值域是
从而的取值范围是
9、（2011一试9）已知函数
（１）若对任意，都有，求的取值范围；
（２）若，且存在，使得，求的取值范围．
【解析】(1)令则
(2)因为所以所以
因此于是,存在,使得的充要条件是
故的取值范围是
10、（2014一试10）（本题满分20分）数列满足求正整数，使得
【解析】由已知条件可知，对任意正整数n，
11、（2016一试9）（本题满分16分）在中，已知.求的最大值.
即.
由余弦定理及基本不等式，得
所以.
等号成立当且仅当.因此的最大值是.