第08讲解析几何-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编

2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第08讲：解析几何
1、（2009一试2）已知直线和圆，点在直线上，，为圆上两点，在中，，过圆心，则点横坐标范围为．
【答案】
【解析】设，则圆心到直线的距离，由直线与圆相交，得．解得．
2、（2009一试5）椭圆上任意两点，，若，则乘积的最小值为．
【答案】
【解析】设，．
由，在椭圆上，有
① ②
得．于是当时，达到最小值．
3、（2010一试3）双曲线的右半支与直线围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是.
【答案】9800
4、（2011一试7）直线与抛物线交于两点，为抛物线上的一点，，则点的坐标为．
【答案】或
即，
即，即．
显然，否则，则点在直线上，从而点与点或点重合．所以，解得．故所求点的坐标为或．
5、（2012一试4）抛物线的焦点为，准线为ｌ，是抛物线上的两个动点，且满足．设线段ＡＢ的中点在ｌ上的投影为，则的最大值是.
【答案】1
【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得
在中,由余弦定理得
当且仅当时等号成立.故的最大值为1.
6、（2013一试2）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，满足，是抛物
线的焦点.则.
【答案】2.
【解析】点坐标为.设，，则，，故
，即，故.
.
7、（2013一试7）若实数满足，则的取值范围是.
【答案】.
如图所示，在平面内，点的轨迹是以为圆心，
为半径的圆在的部分，即点与弧的并集.因此
，从而.
8、（2014一试6）设椭圆的两个焦点是，过点的直线与交于点，若，且，则椭圆的短轴与长轴的比值为__________.
【答案】
【解析】
9、（2016一试7）双曲线C的方程为，左、右焦点分别为、，过点作直线与双曲线C的右半支交于点P，Q，使得=90°，则的内切圆半径是 .
【答案】
【解析】
10、（2017一试3）在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，为的上焦点，为的右顶点，是上位于第一象限内的动点，则四边形的面积的最大值为.
【答案】
【解析】易知
11、（2009一试9）设直线（其中，为整数）与椭圆交于不同两点，，与双曲线交于不同两点，，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．
【解析】由消去化简整理得
设，，则
①
由消去化简整理得
设，，则
②
因为，所以，此时．
由得．
所以或．由上式解得或．当时，由①和②得．因是整数，所以的值为，，，，，，．当，由①和②得．因是整数，所以，，．于是满足条件的直线共有9条．
12、（2010一试10）已知抛物线上的两个动点，其中且.线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的最大值.
【解析】解法一：设线段的中点为，则 ，
.
线段的垂直平分线的方程是. （1）
依题意，是方程（3）的两个实根，且，所以,
.
.
定点到线段的距离.
.
当且仅当，即,或
时等号成立.
所以，面积的最大值为.
,
所以, 当且仅当且，即
,或
时等号成立.所以，面积的最大值是.
13、（2011一试11）作斜率为的直线与椭圆：交于两点（如图所示），且在直线的左上方．
（1）证明：△的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若，求△的面积．
【解析】（1）
设直线：，．
将代入中，化简整理得．
上式中，分子
，
从而，．
又在直线的左上方，因此，的角平分线是平行于轴的直线，所以△的内切圆的圆心在直线上．
（2）若时，结合（1）的结论可知．
直线的方程为：，代入中，消去得．
它的两根分别是和，所以，即．所以
．
同理可求得．
．
14、（2012一试11）如图5，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，且．
（１）求证：为定值；（２）当点A在半圆（）上运动时，求点的轨迹．
(2)设其中则.
因为所以
由(1)的结论得所以从而
故点的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别为
15、（2013一试11）（本题满分20分）在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，分别为椭圆的左、右顶点，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上不同于和的任意一点.若平面中两个点满足，,,，试确定线段的长度与的大小关系，并给出证明.
【解析】令，则，，，.
设，，，其中，.
由，可知
，
根据,，同理可得.
因此，
由于，故（其中等号成立的充分必要条件是，即点为）.
16、（2014一试9）（本题满分16分）平面直角坐标系中，是不在轴上一个动点，满足条件：过可作抛物线的两条切线，两切点连线与垂直.设直线与，轴的交点分别为，
证明：是一个顶点.
求的最小值.
【解析】(1)设P点的坐标为(a,b),易知,记两切点的坐标为则的方程分别为
而点P的坐标为(a,b)同时满足（1）（2），
故A，B的坐标均满足方程，故（3）就是直线AB的方程.
直线PO与AB的斜率分别为
从而（3）即为故AB与x轴的交点R是定点（2,0）.
(2)因为a=-2，故直线PO的斜率
则为锐角，且
17、（2015一试11）(本题满分20分)在平面直角坐标系中,分别是椭圆的左,右焦点,设不经过焦点的直线与椭圆交于两个不同的点,焦点到直线的距离为.如果直线的斜率成等差数列,求的取值范围.
由于点A、B不重合，且直线l的斜率存在，故是方程（1）的两个不同实根，因此有（1）的判别式
即
由直线的斜率依次成等差数列，
所以
化简并整理得
假如，则直线L的方程为y=kx+k,即l经过点，不符合条件.
因此必有故由方程（1）及韦达定理知，
由化简得，这等价于
反之当m,k满足（3及）时，l必不经过点（否则将导致与（3）矛盾），
注意到，令，则上式可改写为
考虑到函数在上单调递减，故由（4）得即
18、（2016一试11）（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系中，F是轴正半轴上的一个动点.以F为焦点，O为顶点作抛物线C.设P是第一象限内C上的一点，Q是轴负半轴上一点，使得PQ为C的切线，且｜PQ｜=2.圆均与直线OP相切于点P，且均与轴相切.求点F的坐标，使圆与的面积之和取到最小值.
【解析】
设抛物线C的方程是，点Q的坐标为，并设的圆心分别为.
设直线PQ的方程为，将其与C的方程联立，消去可知.
因为PQ与C相切于点P，所以上述方程的判别式为，解得.进而可知，点P的坐标为.于是
.
由｜PQ｜=2可得
①
结合①，就有②
由共线，可得
.
化简得③
令，则圆的面积之和为.根据题意，仅需考虑T取到最小值的情况.
根据②、③可知，
.
作代换，由于，所以.于是
.
上式等号成立当且仅当，此时，因此结合①得，
从而F的坐标为.
y
x
O
P
A
B