第05讲集合函数-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编

2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第05讲：集合函数
1、（2009一试1）若函数且，则 ．
【答案】
【解析】，，……，．故．
2、（2009一试6）若方程仅有一个实根，那么的取值范围是 ．
【答案】或
【解析】当且仅当
①
②
③
对③由求根公式得， ④
或．
(ⅲ)当时，由③得，
所以，同为正根，且，不合题意，舍去．综上可得或为所求．
3、（2010一试1）函数的值域是 .
【答案】
【解析】易知的定义域是，且在上是增函数，从而可知的值域为.
4、（2010一试5）函数 在区间上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 .
【答案】
【解析】令则原函数化为,在上是递增的.
当时，,，
所以 ；
当时，，，
所以 .
综上在上的最小值为.
5、（2011一试1）设集合，若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合 ．
【答案】.
6、（2011一试2）函数的值域为 ．
【答案】
【解析】设，且，则．
设，则，且，所以 ．
7、（2012一试6）设是定义在上的奇函数，且当时，．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题设知,则因此,原不等式等价于
因为在上是增函数,所以即又所以当时,
取得最大值因此,解得故取值范围是
8、（2013一试1）设集合，集合.则集合中所有元素的和为 .
【答案】-5
9、（2013一试5）设为实数，函数满足：对任意，有.则的最大值为 .
【答案】.
【解析】易知，，则
.
当，即时，.故的最大值为.
10、（2014一试1）若正数满足,则的值为__________.
【答案】108
【解析】
11、（2014一试3）若函数在上单调递增，则的取值范围为_______.
【答案】[-2,0].
【解析】
12、(2015一试1)设为不相等的实数,若二次函数满足,则的值是 .
【答案】4
【解析】由已知条件及二次函数图象的轴对称性，可得，即，所以
13、（2016一试3）正实数均不等于1，若，，则的值为 .
【答案】
14、（2017一试1）设是定义在上的函数，对任意实数有.又当时，，则的值为 .
【答案】
【解析】由条件知，
15、（2011一试9）设函数，实数满足，，求的值．
【解析】因为，所以，
所以或，又因为，所以，所以．
又由有意义知，从而，
于是．
所以 ．
从而 ．
又，所以，
故 ．解得或（舍去）．
把代入解得． 所以 ，．
16、（2014二试3）（本题满分50分）设S={1，2,3，…，100}.求最大的整数k，使得S有k个互不相同的非空子集，具有性质：对这k个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同.
当n=3时，将{1，2,3}的全部7个非空子集分成3组，第一组：{3}，{1,3}，{2,3}；第二组：{2}，{1,2}；第三组：{1}，{1,2,3}.由抽屉原理，任意4个非空子集必有两个在同一组中，取同组中的两个子集分别记为，排在前面的记为，则满足（1）.
假设结论在n(n≥3)时成立，考虑n+1的情形.若中至少有个子集不含n+1，对其中的个子集用归纳假设，可知存在两个子集满足（1）.
若至多有个子集不含n+1,则至少有个子集含n+1,将其中子集都去掉n+1,得到{1,2，…，n}的个子集.
由于{1,2，…，n}的全体子集可分成组，每组两个子集互补，故由抽屉原理,
在上述个子集中一定有两个属于同一组，即互为补集.因此，相应地有两个子集
，满足={n+1},这两个集合显然满足（1），故n+1时结论成立.
综上所述，所求.
17、（2015一试 10）(本题满分20分)设是四个有理数,使得,
求的值.
18、（2015二试2） (本题满分40分)设,其中是个互不相同的有限集合,满足对任意,均有,若,证明:存在,使得属于中的至少个集合(这里表示有限集合的元素个数)
19、（2016一试10）（本题满分20分）已知是R上的奇函数，，且对任意，均有.
求…的值.
【解析】设=1，2，3，…），则.
在中取，注意到，及为奇函数.可知
即，从而.
因此