第03讲导数-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编

2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第03讲：导数
1、（2011一试4）如果，，那么的取值范围是．
【答案】
【解析】不等式
等价于.
又,因为
所以是上的增函数，所以，故
Z)．
因为，所以的取值范围是．
2、（2009二试2）求证不等式：，，2，…
⑵．令，则，
因此．
又因为．
从而
．
3、（2010一试9）已知函数，当时，，试求的最大值.
【解析】解法一： 由 得
.
所以，
所以. 又易知当（为常数）满足题设条件，所以最大值为.
容易知道当时，. 从而当时， ， 即 ，
从而 ,，由 知.
又易知当（为常数）满足题设条件，所以最大值为.
4、（2010一试11）证明：方程恰有一个实数根，且存在唯一的严格递增正整数数列，使得 .
【解析】令，则，所以是严格递增的.又
，故有唯一实数根.
所以 ，.
去掉上面等式两边相同的项，有，
这里，所有的与都是不同的.
不妨设，则，
，
矛盾.故满足题设的数列是唯一的.
【解析】证明:首先证明一个不等式
I+y o
事实上,令加()x-(+2,E()-m+x)-1+x
则对x>0,h()-11>0,8(x)1+x(+珍-0
于是hx)>(O)=0,g(x)>g(0)=0.在()中取x=-得
解法二:∫(x)=3x2+2bx+c.设g(x)=fx)+1,则当0≤x≤1时,0≤8(x)≤2
z+1
设z=2x-1,则
h(2)=g()
故数列an=3-2(H=12…是满足题设要求的数列
若存在两个不同的正整数数列a1p+p2+
=r+r4+r+