第12讲数列-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编

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名称 第12讲数列-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编
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科目 数学
更新时间 2018-02-01 13:36:06

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2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第12讲:数列
1、(2009一试7)一个由若干行数字组成的数表,从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和,最后一行仅有一个数,第一行是前个正整数按从小到大排成的行,则最后一行的数是(可以用指数表示)
【答案】
【解析】易知:(ⅰ)该数表共有100行;
(ⅱ)每一行构成一个等差数列,且公差依次为,,,…,
(ⅲ)为所求.设第行的第一个数为,则
=……
故.
2、(2010一试4)已知是公差不为的等差数列,是等比数列,其中,且存在常数使得对每一个正整数都有,则.
【答案】
从而,求得,.
3、(2013一试8)已知数列共有9项,其中,且对每个,均有则这样的数列的个数为.
【答案】491
【解析】令,则对每个符合条件的数列有
,且. 
反之,由符合条件的8项数列可唯一确定一个符合题设条件的9项数列.
记符合条件的数列的个数为.显然中有偶数个,即个;继而有个2,个1.当给定时,的取法有种,易见的可能值只有0,1,2,所以
.
因此,根据对应原理,符合条件的数列的个数为491
4、(2014一试4)数列满足,则=_____.
【答案】.
5、(2017一试8)设两个严格递增的正整数数列,满足,对任意的正整数,有则的所有可能值为.
【答案】13,20.
【解析】由条件可知,均为正整数,且
由于故反复运用的递推关系知
因此
而故有
另一方面,注意到有
当时,(1)(2)分别化为无解.
当时,(1)(2)分别化为得到唯一的正整数此时
当时,(1)(2)分别化为得到唯一的正整数此时
综上所述,的所有可能值为
6、(2009一试10)已知,是实数,方程有两个实根,,数列满足,,
(Ⅰ)求数列的通项公式(用,表示);(Ⅱ)若,,求的前项和.
数列的首项为:.
所以,即.
所以.
①当时,,,变为.整理得,,.所以,数列成公差为的等差数列,其首项为.所以.
于是数列的通项公式为;
②当时,,

整理得,.
所以,数列成公比为的等比数列,其首项为
.所以.
于是数列的通项公式为.
(Ⅱ)若,,则,此时.由第(Ⅰ)步的结果得,数列的通项公式为,所以,的前项和为
以上两式相减,整理得
所以.
,解得.故.
②当时,通项.由,得,解得,.故

(Ⅱ)同方法一.
7、(2010二试3)给定整数,设正实数满足,记

求证:.
【解析】由知,对,有.
注意到当时,有,于是对,有

故.
8、(2011一试10)已知数列满足:R且,
N.
(1)求数列的通项公式;(2)若,试比较与的大小.
【解析】(1)由原式变形得,
则.
记,则, .
又,从而有

故,于是有.
(2)

显然在时恒有,故.
9、(2012一试10)已知数列的各项均为非零实数,且对于任意的正整数,都有
(1)当时,求所有满足条件的三项组成的数列;
(2)是否存在满足条件的无穷数列,使得若存在,
求出这样的无穷数列的一个通项公式;若不存在,说明理由.
综上,满足条件的三项数列有三个:1,2,3或1,2,-2或1,-,1
(2)令则从而
两式相减,结合得当时,由(1)知;
当时,即
所以或
又所以
10、(2012二试4)设,n是正整数.证明:对满足的任意实数,数列中有无穷多项属于.这里,表示不超过实数x的最大整数.
又令,则
因此存在使得所以
不然一定存在使得因此
这与矛盾.所以一定存在使得
(2)假设只有有限个正整数使得令则则不存在使得这与(1)的结论矛盾.
所以数列中有无穷多项属于.终上所述原命题成立
证法二:(1)
因此,当充分大时,可以大于如何一个正数,令则当时,
因此,对于如何大于的正整数总存在使
即否则,一定存在使且
这样就有
而矛盾.故一定存在使得
令则故一定存在
使,因此
这样的有无穷多个,所以数列中有无穷多项属于
11、(2013一试10)(本题满分16分)给定正数数列满足,,这里
.证明:存在常数,使得
,.
【解析】当时,等价于. 
对常数,用数学归纳法证明:,. 
12、(2013二试2)(本题满分40分)给定正整数.数列定义如下:,对整数,
记.证明:数列中有无穷多项是完全平方数.
【证明】对正整数,有

所以
.
设,其中是非负整数,是奇数.取,其中为满足的任意正整数,此时,注意到是奇数,故

所以,是完全平方数.由于有无穷多个,故数列中有无穷多项是完全平方数.
13、(2013二试3)(本题满分50分)一次考试共有道试题,个学生参加,其中为给定的整数.每道题的得分规则是:若该题恰有个学生没有答对,则每个答对该题的学生得分,未答对的学生得零分.每个学生得总分为其道题的得分总和.将所有学生总分从高到低排列为,求得最大可能值.
因为每一个人在第道题上至多得分,故.
由于,故有.所以
.
由柯西不等式得,
于是
.
另一方面,若有一个学生全部答对,其他个学生全部答错,则
.
综上所述,的最大值为.
14、(2016二试4)(本题满分50分)设p与p+2均是素数,p>3, 数列定义为,这里表示不小于实数的最小整数.
证明:对均有成立
对,设对成立,此时.

故对,有
因此,
由此知(注意是整数) ①
因n15、(2017二试2)(本题满分40分)设数列定义为.
当t=1时,由于由定义,
结论成立.
设对某个成立,则由定义
即结论对t+1也成立,由数学归纳法可知,(1)对所有t=1,2成立,
特别当t=r-1时,有从而
若将所有满足的正整数r从小到大记为则由上面的结论可知
由此可知,从而
由于在满足的数有2018个,为
由(1)可知,对每个恰有一半满足
由于均为奇数,而在中,奇数均满足偶数均满足其中偶数必奇数少1个,因此满足的正整数r的个数为
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