第10讲平面几何-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编

2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第10讲：平面几何
1、（2009二试1）如图，，分别为锐角三角形（）的外接圆上弧、的中点．过点作交圆于点，为的内心，连接并延长交圆于．
⑴求证：；
⑵在弧（不含点）上任取一点（，，），记，的内心分别为，，
求证：，，， 四点共圆．
【解析】⑴连，．由于，，，，共圆，
故是等腰梯形．因此，．
连，，则与交于，因为
，所以．
同理．
于是，．
故四边形为平行四边形．因此（同底，等高）．
又，，，四点共圆，故，由三角形面积公式
于是．
又因，有．
故，从而．
因此，，，四点共圆．
2、（2010二试1）如图，锐角三角形ABC的外心为O，K是边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M．求证：若OK⊥MN，则A，B，D，C四点共圆．
同理，
所以，
故⊥．由题设，OK⊥MN，所以PQ∥MN，于是
．①
由梅内劳斯（Menelaus）定理，得
，②
．③
由①，②，③可得，所以，故△DMN∽△DCB，于是，所以BC∥MN，故OK⊥BC，即K为BC的中点，矛盾！从而四点共圆.
注1：“P的幂（关于⊙O）K的幂（关于⊙O）”的证明：延长PK至点F，使得
，④
则P，E，F，A四点共圆，故
，
从而E，C，F，K四点共圆，于是
，⑤
⑤-④，得
P的幂（关于⊙O）K的幂（关于⊙O）．
注2：若点E在线段AD的延长线上，完全类似．
3、（2011二试1）如图，分别是圆内接四边形的对角线的中点．若，证明：．
【解析】延长线段与圆交于另一点，则，又是线段的中点，故，从而．
又，所以△∽△，于是，即 .
从而有，
即．
又，所以△ABQ∽△ACD，所以．
延长线段与圆交于另一点，则，故．
又因为为的中点，所以．
又，所以．
4、（2012二试1）如图，在锐角中，是边上不同的两点，使得设和的外心分别为，求证：三点共线.
是的切线.因此, 因为
所以
因而是的外接圆的切线, 故所以三点共线.
5、（2013二试1）（本题满分40分）如图，是圆的一条弦，为弧内一点，E、F为线段上两点，满足.连接并延长，与圆分别相交于点.求证：
【证明】连接AD，BC，CF，DE.由于AE=EF=FB，从而
. (1 )
同样
. (2 )
另一方面，由于
，
，
6、（2014二试2）（本题满分40分）如图，在锐角三角形ABC中，∠BAC60°，过点B,C分别作三角形ABC的外接圆的切线BD,CE,且满足BD=CE=BC,直线DE与AB，AC的延长线分别交于点F,G，设CF与BD交于点M,CE与BG交于点N，证明：AM=AN.
7、(2015二试3)(本题满分50分)如图,内接于圆为上一点,点在线段上,使得平分,过三点的圆与边交于点,连结交圆于点,连结并延长与边交于点,证明:
8、（2016二试2）（本题满分40分）如图所示，在△ABC中，X,Y是直线BC上两点（X,B,C,Y顺次排列），使得BX·AC=CY·AB. 设△ACX，△ABY的外心分别为，直线与AB,AC分别交于点U、V.证明：△AUV是等腰三角形.
即CP·PX=BP·PY.故P对圆和的幂相等，所以P在和的根轴上.
于是AP⊥，这表明点U、V关于直线AP对称，从而△AUV是等腰三角形.
9、（2017二试1）（本题满分40分）如图，在中，，为的内心，以为圆心，为半径作圆，以为圆心，为半径作圆，过点的圆与,分别交于点（不同于点），设与交于点.证明：.
证明：连接