第09讲立体几何-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编

2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第09讲：立体几何
1、（2010一试7）正三棱柱的9条棱长都相等，是的中点，二面角,则
【答案】
【解析】
设分别与平面、平面垂直的向量是、，则
由此可设，所以，即
.所以.
解法二：如图， .
设与交于点则 .
从而平面 .
过在平面上作,垂足为.
连结,则为二面角的平面角.设,则易求得
.
在直角中，,即.
..
2、（2011一试6）在四面体中，已知，，，则四面体的外接球的半径为
【答案】
【解析】
因为，设与平面所成角为，可求得．
在△中，．
由余弦定理得，
故．四边形的外接圆的直径
．故球的半径．
3、（2012一试5）设同底的两个正三棱锥和内接于同一个球．若正三棱锥的侧面与底面所成的角为，则正三棱锥的侧面与底面所成角的正切值是．
【答案】4
【解析】
,从而,因为
所以即
所以,故
4、（2013一试4）已知正三棱锥底面边长为1，高为，则其内切球半径为.
【答案】
【解析】
如图，设球心在面与面内的射影分别为和，中点为，内切球半径为，则共线，共线，，且,
，,,
于是有，解得.
5、（2014一试5）已知正四棱锥中，侧面是边长为1的正三角形，分别是边的中点，则异面直线与之间的距离是_____________.
【答案】
6、（2016一试5）设P为一圆锥的顶点，A，B，C是其底面圆周上的三点，满足=90°，M为AP的中点.若AB=1，AC=2，，则二面角M—BC—A的大小为 .
【答案】
【解析】
由=90°知，AC为底面圆的直径.设底面中心为O，则平面ABC，易知，进而.
设H为M在底面上的射影，则H为AO的中点.在底面中作于点K，则由三垂线定理知，从而为二面角M—BC—A的平面角.
因，结合与平行知，，即，这样.故二面角M—BC—A的大小为.
7、（2017一试5）正三棱锥中，过的平面将其体积平分，则棱与平面所成角的余弦值为.
【答案】
【解析】设的中点分别为,则易证平面就是平面.由中线长公式得