2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第02讲:初等数论
1、(2010一试8)方程满足的正整数解的个数是.
【答案】336675
易知 ,所以
,即.
从而满足的正整数解的个数为.
2、(2011一试8)已知C,则数列中整数项的个数为.
【答案】15
【解析】C.
要使 为整数,必有均为整数,从而.
当2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时,和均为非负整数,所以为整数,共有14个.
当时,C,在C中,中因数2的个数为
,
同理可计算得中因数2的个数为82,中因数2的个数为110,所以C中因数2的个数为,故是整数.
当时,C,在C中,同样可求得中因数2的个数为88,中因数2的个数为105,故C中因数2的个数为,故不是整数.
因此,整数项的个数为.
3、(2015一试8)对四位数,若,则称为类数,若,则称为类数,用与分别表示类数与类数的个数,则的值为
【答案】285
4、(2016一试8)设是1,2,…,100中的4个互不相同的数,满足
则这样的有序数组的个数为 .
【答案】40
【解析】由柯西不等式知,,等号成立的充分必要条件是,即成等比数列.于是问题等价于计算满足…的等比数列的个数.设等比数列的公比,且为有理数.记,其中为互素的正整数,且.
先考虑的情况.
此时,注意到互素,故为正整数. 相应地,分别等于,它们均为正整数.这表明,对任意给定的,满足条件并以为公比的等比数列的个数,即为满足不等式的正整数的个数,即.
由于,故仅需考虑这些情况,相应的等比数列的个数为
.
当时,由对称性可知,亦有20个满足条件的等比数列.
综上可知,共有40个满足条件的有序数组.
5、(2017一试4)若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1,则称其为“平稳数”.平稳数的个数是.
【答案】75
6、(2009二试3)设, 是给定的两个正整数.证明:有无穷多个正整数,使得与互素.
【解析】证法一:对任意正整数,令.我们证明.
设是的任一素因子,只要证明:p/|.
若p/|k!,则由.
及,且pα+1/|k!,知且/|.从而p/|.
证法二:对任意正整数,令,我们证明.
设是的任一素因子,只要证明:p/|. 若p/|k!,则由
.
即不整除上式,故p/|.
若,设使,但..故由
,及,且pα+1/|k!,知
且/|.从而p/|.
7、(2009二试4)在非负数构成的数表
中每行的数互不相同,前6列中每列的三数之和为1,,,,,,,均大于.如果的前三列构成的数表
满足下面的性质:对于数表中的任意一列(,2,…,9)均存在某个使⑶.
求证:(ⅰ)最小值,,2,3一定自数表的不同列.
(ⅱ)存在数表中唯一的一列,,2,3使得数表
仍然具有性质.
【解析】(ⅰ)假设最小值,,2,3不是取自数表的不同列.则存在一列不含任何.不妨设,,2,3.由于数表中同一行中的任何两个元素都不等,于是,,2,3.另一方面,由于数表具有性质,在⑶中取,则存在某个使得.矛盾.
(ⅱ)由抽届原理知,,,中至少有两个值取在同一列.不妨设,.由前面的结论知数表的第一列一定含有某个,所以只能是.同样,第二列中也必含某个,,2.不妨设.于是,即是数表中的对角线上数字.
下面证明数表
具有性质.
从上面的选法可知,.这说明
,.
又由满足性质.在⑶中取,推得,于是.下证对任意的,存在某个,2,3使得.假若不然,则,,3且.这与的最大性矛盾.因此,数表满足性质.
下证唯一性.设有使得数表
具有性质,不失一般性,我们假定
⑷
.
由于,及(ⅰ),有.又由(ⅰ)知:或者,或者.
如果成立,由数表具有性质,则
,
⑸,
.
由数表满足性质,则对于至少存在一个使得.由及⑷和⑹式知,,.于是只能有.类似地,由满足性质及可推得.从而.
8、(2010一试11)证明:方程恰有一个实数根,且存在唯一的严格递增正整数数列,使得 .
若存在两个不同的正整数数列和满足
,
去掉上面等式两边相同的项,有,
这里,所有的与都是不同的.
不妨设,则,
,
矛盾.故满足题设的数列是唯一的.
9、(2010二试2)设k是给定的正整数,.记,.证明:存在正整数m,使得为一个整数.这里,表示不小于实数x的最小整数,例如:,.
【解析】记表示正整数n所含的2的幂次.则当时,为整数.
下面我们对用数学归纳法.
当时,k为奇数,为偶数,此时
为整数.
假设命题对成立.
对于,设k的二进制表示具有形式,
这里,或者1,.
于是
, ①
这里.
显然中所含的2的幂次为.故由归纳假设知,经过f的v次迭代得到整数,由①知,是一个整数,这就完成了归纳证明.
10、(2010二试4)一种密码锁的密码设置是在正n边形的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个,同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一,使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同.问:该种密码锁共有多少种不同的密码设置?
设标有a的边有条,,标有b的边有条,.选取条边标记a的有种方法,在余下的边中取出条边标记b的有种方法,其余的边标记c.由乘法原理,此时共有种标记方法.对i,j求和,密码锁的所有不同的密码设置方法数为
. ①
这里我们约定.
当n为奇数时,,此时. ②
代入①式中,得
.
.
综上所述,这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是:当n为奇数时有种;当n为偶数时有种.
11、(2011二试2)证明:对任意整数,存在一个次多项式
具有如下性质:(1)均为正整数;(2)对任意正整数,及任意个互不相同的正整数,均有.
【解析】令 , ①
将①的右边展开即知是一个首项系数为1的正整数系数的次多项式.
下面证明满足性质(2).
对任意整数,由于,故连续的个整数中必有一个为4的倍数,从而由①知.
因此,对任意个正整数,有 .
但对任意正整数,有,故,
从而.
所以符合题设要求.
12、(2011二试3)设是给定的正实数,.对任意正实数,满足的三元数组的个数记为.证明:.
因此,当为偶数时,设,则有
.
当为奇数时,设,则有
.
13、(2011二试4)设A是一个的方格表,在每一个小方格内各填一个正整数.称A中的一个方格表为“好矩形”,若它的所有数的和为10的倍数.称A中的一个的小方格为“坏格”,若它不包含于任何一个“好矩形”.求A中“坏格”个数的最大值.
【解析】首先证明A中“坏格”不多于25个.
用反证法.假设结论不成立,则方格表中至多有1个小方格不是“坏格”.由表格的对称性,不妨假设此时第1行都是“坏格”.
设方格表第列从上到下填的数依次为.记
,
这里.
即第2行至第3行、第列至第列组成一个“好矩形”,从而至少有2个小方格不是“坏格”,矛盾.
类似地,也不存在,使.
因此上述断言得证.故,
所以 ,
矛盾!故假设不成立,即“坏格”不可能多于25个.
另一方面,构造如下一个的方格表,可验证每个不填10的小方格都是“坏格”,此时有25个“坏格”.
1
1
1
2
1
1
1
1
10
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
10
1
1
1
1
2
综上所述,“坏格”个数的最大值是25.
14、(2012二试2)试证明:集合满足
(1)对每个,及,若,则一定不是的倍数;
(2)对每个(其中表示在N 中的补集),且,必存在,,使是的倍数.
【解析】证明:对任意的,设则如果是任意一个小于的正整数,则
则
下面给出(2)的三种证明方法:
证法一:令消去得
由于这方程必有整数解;其中为方程的特解.
把最小的正整数解记为则,故使是的倍数.
证法二:由于由中国剩余定理知,同余方程组
在区间上有解即存在使是的倍数.
证法三:由于总存在使取使则
存在使
此时因而是的倍数.
15.(2013二试4)(本题满分50分)设为大于1的整数,.证明:存在个不被整除的整数,若将它们任意分成两组,则总有一组若干个数的和被整除.
【证明】先考虑为2的幂的情形.
设,则.取3个及个1,显然这些数均不被整除.将这个数任意分成两组,则总有一组中含2个,它们的和为,被整除.
现在设不是2的幂,取个数为,
因为不是2的幂,故上述个数均不被整除.
若可将这些数分成两组,使得每一组中任意若干个数的和均不能被整除.不妨设1在第一组,由于(-1)+1=0,被整除,故两个-1必须在第二组;因(-1)+(-1)+2=0,被整除,故2在第一组,进而推出-2在第二组.
现归纳假设均在第一组,而均在第二组,这里,由于,被整除,故在第一组,从而在第二组.故由数学归纳法可知,在第一组,在第二组.最后,由于
,
16、(2014二试4)(本题满分50分)设整数
模2014也互不同余.证明:可将重新排列为,使得模4028互不同余.
【证明】
17、(2015二试4)(本题满分50分)求具有下述性质的所有正整数:对任意正整数不整除.
18、(2016二试3)(本题满分50分)给定空间中10个点,其中任意四点不在一个平面上,将某些点之间的线段相连,若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形,试确定所连线段数目的最大值.
【解析】以这10个点为顶点,所连线段为边,得到一个10界简单图G,我们证明G的边数不超过15.
边,否则就形成三角形,所以,之间恰有条边.
对每个,至多与中的一个顶点相邻(否则设与)相邻,则就对应了一个空间四边形的四个顶点,这与题设条件矛盾,从而与之间的边数至多条.
在这个顶点之间,由于没有三角形,由托兰定理,至多条边,因此G的边数
如图给出的图共有15条边,且满足要求,综上所述,所求边数的最大值为15.
19、(2017二试3)(本题满分50分)将33×33方格纸中每个小方格染三种颜色之一,使得每种颜色的小方格的个数相等,若相邻两个小方格的颜色不同,则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.
解:记分隔边的条数为L,首先,将方格纸按如图分成三个区域,分别染成三种颜色,粗线上均为分隔边,此时共有56个分隔边,即L=56.
20、(2017二试4)(本题满分50分)设均是大于1的整数,是个不超过的互不相同的正整数,且互素.证明:对任意实数,均存在一个,使得,这里表示实数到它最近的整数的距离.
证明:首先证明以下两个结论.
结论1:存在整数
由于
下面证明,通过调整,存在一组
因为均是非负整数,故通过有限次上述的调整,可得到一组