第01讲 不等式-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编+Word版含解析

2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第01讲：不等式
1、（2009一试3）在坐标平面上有两个区域和，为，是随变化的区域，它由不等式所确定，的取值范围是，则和的公共面积是函数．
【答案】
【解析】
由题意知
2、（2009一试4）使不等式对一切正整数都成立的最小正整数的值为．
【答案】2009
3、（2011一试3）设为正实数，，，则．
【答案】-1
【解析】由，得．又，
即①于是②
再由不等式①中等号成立的条件，得．与②联立解得或故．
4、（2012一试3）设，则的最大值是.
【答案】
【解析】不妨设则
因为
所以
当且仅当时上式等号同时成立.故
5、(2014一试2)设集合中的最大值与最小值分别为，则=_________.
【答案】
6、（2015一试6）在平面直角坐标系中点
所对应的平面区域的面积为.
【答案】24
【解析】设，先考虑在第一象限中的部分，此时有x+3y≤6，
故这些点对应于图中的△OCD及其内部.由对称性知，对应的区域是图中以原点O为中心的
菱形ABCD及其内部.
同理，设，则对应的区域是图中以O为中心的菱形EFGH
及其内部.
由点集K的定义知，K所对应的平面区域是被中恰好一个所覆盖的部分，因此本题要
求的即为图中阴影区域的面积S.
由于直线CD的方程为x+3y=6,直线GH的方程为3x+y=6,故它们的交点P的坐标为，
由对称性知，
7、（2016一试1）设实数满足，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】由可得，原不等式可变形为
即，所以.又，故.
8、（2009一试11）求函数的最大和最小值．
又由柯西不等式得
所以．
由柯西不等式等号成立的条件，得，解得．故当时等号成立．因此的最大值为．
9、（2009二试2）求证不等式：，，2，…
【解析】证明：首先证明一个不等式：
⑴，．
事实上，令，．
则对，，．
于是，．在⑴中取得
⑵．令，则，
因此．
又因为．
从而
．
10、（2012二试3）设是平面上个点，它们两两间的距离的最小值为
求证：
以为圆心,为半径画个圆,它们两两相离或外切;以圆心，为半径画圆，这个圆覆盖上述个圆
所以
由易知
所以对时也成立.
综上,对任意正整数都有.
因而
证法二: 不妨设
故
所以
11、（2013一试12）（本题满分20分）求所有的正实数对，使得函数满足：对任意实数，有.
【解析】已知条件可转化为：对任意实数，有
. 
先寻找所满足的必要条件.
在式中令，得，即对任意实数，有
.
由于，故可取到任意大的正值，因此必有，即.
在式中再令，得，即对任意实数，有
. 
将的左边记为，显然（否则，由可知，此时，其中，故可取到负值，矛盾），于是
对一切实数成立，从而必有，即.
进一步，考虑到此时，再根据，可得.
至此，求得满足的必要条件如下：
，，. 
下面证明，对满足的任意实数对以及任意实数，总有成立，即
对任意取非负值.
综上所述，所求的正实数对全体为.
12、（2014二试1）（本题满分40分）设，满足，，
求证：
【证明】
13、（2015一试9）（本题满分16分）若实数满足,求的最小值.
14、（2015二试1）（本题满分40分）设是实数,证明:可以连取使得
【证明】我们证明：
15、（2016二试1）（本题满分40分）设实数满足.
求的最大值.
以下考虑的情况，约定,由平均不等式得
,
所以.
当时，上述不等式等号成立，且有，此时.
综上所述，所求最大值为.
16、（2017一试9）（本题满分16分）设为实数，不等式对所有成立，证明：.
证明：令
17、（2017一试10）（本题满分20分）设是非负实数，满足，求
的最小值和最大值.
解：由柯西不等式