16.1 二次根式同步练习
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16.1二次根式同步练习
姓名：__________班级：__________学号：__________
本节应掌握和应用的知识点
１.我们把形如(a≥０) 的式子叫做二次根式,称为二次根号．
２.二次根式的定义中含有两个要点:①必须含有二次根号 ;②被开方数为非负数 ．
３. (a≥０)是一个非负数．
基础知识和能力拓展训练
一．选择题
1．下列各式一定是二次根式的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．下列二次根式里，被开方数中各因式的指数都为1的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．下列各式中① ( http: / / www.21cnjy.com / )；② ( http: / / www.21cnjy.com / )； ③ ( http: / / www.21cnjy.com / )； ④ ( http: / / www.21cnjy.com / )（x≥1）； ⑤ ( http: / / www.21cnjy.com / )；⑥ ( http: / / www.21cnjy.com / )一定是二次根式的有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如果 ( http: / / www.21cnjy.com / )是二次根式，a的范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / )B． ( http: / / www.21cnjy.com / )C． ( http: / / www.21cnjy.com / )D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
5．如果 ( http: / / www.21cnjy.com / )是二次根式，那么x应满足的条件是（ ）
A．x≠8 B．x＜8 C．x≤8 D．x＞0且x≠8
6． ( http: / / www.21cnjy.com / )是整数，正整数n的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
7．若 ( http: / / www.21cnjy.com / )在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞5 B．x≥5 C．x≤5 D．x≠5
8．若 ( http: / / www.21cnjy.com / )+ ( http: / / www.21cnjy.com / )有意义，则（﹣n）2的平方根是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
9．已知x，y为实数，且 ( http: / / www.21cnjy.com / )，则x y的值为（ ）
A．3 B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
10．若实数a满足方程 ( http: / / www.21cnjy.com / )，则[a]=（ ），其中[a]表示不超过a的最大整数．
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题
11．正方形的面积是24，那么它的边长是 ．
12．已知a满足|2017﹣a|+ ( http: / / www.21cnjy.com / )=a，则a﹣20172的值是 ．
13．当x= 时，代数式 ( http: / / www.21cnjy.com / )有最小值．
14．观察分析下列数据，寻找规律：0， ( http: / / www.21cnjy.com / )， ( http: / / www.21cnjy.com / )，3，2 ( http: / / www.21cnjy.com / )…那么第10个数据应是 ．
15．下列各式：① ( http: / / www.21cnjy.com / )、② ( http: / / www.21cnjy.com / )、③ ( http: / / www.21cnjy.com / )、④ ( http: / / www.21cnjy.com / )、⑤ ( http: / / www.21cnjy.com / )、⑥ ( http: / / www.21cnjy.com / )，其中一定是二次根式的是 ．（填正确答案的序号）21cnjy.com
16．若x是正整数，二次根式 ( http: / / www.21cnjy.com / )是正整数，则最小值x= ．
17．如果 ( http: / / www.21cnjy.com / )的值是一个整数，且是大于1的数，那么满足条件的最小的整数a= ．
18．若x，y为实数，y= ( http: / / www.21cnjy.com / )，则4y﹣3x的平方根是 ．
三．解答题
19．判断下列各式，哪些是二次根式，哪些不是，为什么？
( http: / / www.21cnjy.com / )，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )， ( http: / / www.21cnjy.com / )， ( http: / / www.21cnjy.com / )， ( http: / / www.21cnjy.com / )（a≥0）， ( http: / / www.21cnjy.com / )．
20．已知， ( http: / / www.21cnjy.com / )，且x、y均为整数，求x+y的值．
21．当a取什么值时，代数式 ( http: / / www.21cnjy.com / )取值最小？并求出这个最小值．
22．已知 ( http: / / www.21cnjy.com / )+ ( http: / / www.21cnjy.com / )=b+8．
（1）求a的值；
（2）求a2﹣b2的平方根．
23．若 ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )，求（x+1） ( http: / / www.21cnjy.com / )的值．
24．若实数x，y，m适合关系式 ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )，求m的值．
答案与试题解析
一．选择题
1．下列各式一定是二次根式的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】根据二次根式的概念和性质，逐一判断．
解：A、二次根式无意义，故A错误；
B、是三次根式，故B错误；
C、被开方数是正数，故C正确；
D、当b=0或a、b异号时，根式无意义，故D错误．
故选：C．
2．下列二次根式里，被开方数中各因式的指数都为1的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】根据二次根式的定义判断即可．
解：A．x，y的指数分别为2，2．所以此选项错误；
B．x2+y2的指数为1，所以此选项正确；
C．x+y的指数为2，所以此选项错误；
D．x，y的指数分别为1，2．所以此选项错误；
故选B．
3．下列各式中① ( http: / / www.21cnjy.com / )；② ( http: / / www.21cnjy.com / )； ③ ( http: / / www.21cnjy.com / )； ④ ( http: / / www.21cnjy.com / )（x≥1）； ⑤ ( http: / / www.21cnjy.com / )；⑥ ( http: / / www.21cnjy.com / )一定是二次根式的有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】二次根式的定义：一般地，我们把形如 ( http: / / www.21cnjy.com / )（a≥0）的式子叫做二次根式．
解：① ( http: / / www.21cnjy.com / )符合二次根式的定义，故正确．
② ( http: / / www.21cnjy.com / )无意义，故错误．
③ ( http: / / www.21cnjy.com / )中的a2≥0，符合二次根式的定义，故正确．
④ ( http: / / www.21cnjy.com / )（x≥1）中的x﹣1≥0，符合二次根式的定义，故正确．
⑤ ( http: / / www.21cnjy.com / )是开3次方，故错误．
⑥ ( http: / / www.21cnjy.com / )中的x2+2x+1=（x+1）2≥0，符合二次根式的定义，故正确．
故选：B．
4．如果 ( http: / / www.21cnjy.com / )是二次根式，a的范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】依据二次根式被开方数为非负数列不等式求解即可．
解：由题意得：3a+1≥0，解得：a≥﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )．
故选：A．
5．如果 ( http: / / www.21cnjy.com / )是二次根式，那么x应满足的条件是（ ）
A．x≠8 B．x＜8 C．x≤8 D．x＞0且x≠8
【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．
解：∵ ( http: / / www.21cnjy.com / )是二次根式，
∴8﹣x≥0，
解得：x≤8．
故选：C．
6． ( http: / / www.21cnjy.com / )是整数，正整数n的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
【分析】如果一个根式是整数，则被开方数是完全平方数，首先把 ( http: / / www.21cnjy.com / )化简，然后求n的最小值．
解：∵ ( http: / / www.21cnjy.com / )=2 ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴要使 ( http: / / www.21cnjy.com / )是整数，正整数n的最小值是2，
故选C．
7．若 ( http: / / www.21cnjy.com / )在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞5 B．x≥5 C．x≤5 D．x≠5
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
解：由题意可知：x﹣5≥0，
∴x≥5
故选（B）
8．若 ( http: / / www.21cnjy.com / )+ ( http: / / www.21cnjy.com / )有意义，则（﹣n）2的平方根是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】直接利用二次根式的性质得出n的值，再利用平方根的定义得出答案．
解：∵ ( http: / / www.21cnjy.com / )+ ( http: / / www.21cnjy.com / )有意义，
∴1﹣2n=2n﹣1=0，
解得：n= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴（﹣n）2= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴（﹣n）2的平方根是：± ( http: / / www.21cnjy.com / )．
故选：D．
9．已知x，y为实数，且 ( http: / / www.21cnjy.com / )，则x y的值为（ ）
A．3 B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】直接利用二次根式的性质得出x，y的值，进而得出答案．
解：∵ ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴6x﹣1=0，
解得：x= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
则y= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
故xy= ( http: / / www.21cnjy.com / )× ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )．
故选：D．
10．若实数a满足方程 ( http: / / www.21cnjy.com / )，则[a]=（ ），其中[a]表示不超过a的最大整数．
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】对已知条件变形整理并平方，解方程即可得到a的值，求出后直接选取答案．
解：根据二次根式有意义的条件，可得a≥1．
原方程可以变形为：
a﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )，两边同平方得：
a2+1﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )﹣2a ( http: / / www.21cnjy.com / )=a﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )，a2+1﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com / )=a．
a2﹣a﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com / )+1=0，
解得 ( http: / / www.21cnjy.com / )=1，
∴a2﹣a=1，a= ( http: / / www.21cnjy.com / )（负值舍去）．
a≈1.618．
所以[a]=1，故选B．
二．填空题
11．正方形的面积是24，那么它的边长是 2 ( http: / / www.21cnjy.com / ) ．
【分析】根据正方形的面积公式可以求得该正方形的边长a= ( http: / / www.21cnjy.com / )=2 ( http: / / www.21cnjy.com / )．
解：设该正方形的边长为a（a＞0），则
a2=24，
所以a= ( http: / / www.21cnjy.com / )=2 ( http: / / www.21cnjy.com / )．
故答案是：2 ( http: / / www.21cnjy.com / )．
12．已知a满足|2017﹣a|+ ( http: / / www.21cnjy.com / )=a，则a﹣20172的值是 2018 ．
【分析】先依据二次根式有意义得到a≥2018，进而化简原式求出答案．
解：∵|2017﹣a|+ ( http: / / www.21cnjy.com / )=a，
∴a﹣2018≥0，
故a≥2018，
则原式可变为：a﹣2017+ ( http: / / www.21cnjy.com / )=a，
故a﹣2018=20172，
则a﹣20172=2018．
故答案为：2018．
13．当x= ﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / ) 时，代数式 ( http: / / www.21cnjy.com / )有最小值．
【分析】根据二次根式的有意义的条件即可求出答案．
解：∵4x﹣5≥0，
∴x≥﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )
当x=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )时，
( http: / / www.21cnjy.com / )的最小值为0，
故答案为：﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )
14．观察分析下列数据，寻找规律：0， ( http: / / www.21cnjy.com / )， ( http: / / www.21cnjy.com / )，3，2 ( http: / / www.21cnjy.com / )…那么第10个数据应是 3 ( http: / / www.21cnjy.com / ) ．
【分析】根据已知的数可以得到第n个数是被开方数是3的n﹣1倍，据此即可求解．
解：0= ( http: / / www.21cnjy.com / )， ( http: / / www.21cnjy.com / )， ( http: / / www.21cnjy.com / )，3= ( http: / / www.21cnjy.com / )，2 ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )，可以得到第10个数的被开方数一定能是3的9倍，则第10个数是： ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )=3 ( http: / / www.21cnjy.com / )．21世纪教育网版权所有
故答案是：3 ( http: / / www.21cnjy.com / )．
15．下列各式：① ( http: / / www.21cnjy.com / )、② ( http: / / www.21cnjy.com / )、③ ( http: / / www.21cnjy.com / )、④ ( http: / / www.21cnjy.com / )、⑤ ( http: / / www.21cnjy.com / )、⑥ ( http: / / www.21cnjy.com / )，其中一定是二次根式的是 ①④⑤ ．（填正确答案的序号）21教育网
【分析】根据二次根式的定义，可得答案．
解：① ( http: / / www.21cnjy.com / )是二次根式，
② ( http: / / www.21cnjy.com / )当a＜0时，不是二次根式；
③ ( http: / / www.21cnjy.com / )当﹣＜b＜1时，不是二次根式；
④ ( http: / / www.21cnjy.com / )是二次根式；
⑤ ( http: / / www.21cnjy.com / )是二次根式；
⑥ ( http: / / www.21cnjy.com / )不是二次根式；
故答案为：①④⑤．
16．若x是正整数，二次根式 ( http: / / www.21cnjy.com / )是正整数，则最小值x= 3 ．
【分析】12分解质因数，然后根据二次根式的性质解答．
解：∵12=4×3，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )是整数的正整数x的最小值是3．
故答案为：3．
17．如果 ( http: / / www.21cnjy.com / )的值是一个整数，且是大于1的数，那么满足条件的最小的整数a= 1 ．
【分析】由于 ( http: / / www.21cnjy.com / )=7 ( http: / / www.21cnjy.com / )，又7是质数，故要使 ( http: / / www.21cnjy.com / )的值是一个整数，且a也是整数，则a是一个完全平方数，最小的完全平方数是1，符合题意，从而得出结果．
解：∵ ( http: / / www.21cnjy.com / )=7 ( http: / / www.21cnjy.com / )，又7是质数，
故要使 ( http: / / www.21cnjy.com / )的值是一个整数，且a也是整数，
∴a是一个完全平方数，
∴a=1．
18．若x，y为实数，y= ( http: / / www.21cnjy.com / )，则4y﹣3x的平方根是 ± ( http: / / www.21cnjy.com / ) ．
【分析】要求4y﹣3x的平方根，一要先求出x，y的值，要求x、y的值就要根据： ( http: / / www.21cnjy.com / )与 ( http: / / www.21cnjy.com / )同时成立，根号里的数一定是0．依此来求x、y的值．21·cn·jy·com
解：∵ ( http: / / www.21cnjy.com / )与 ( http: / / www.21cnjy.com / )同时成立，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )故只有x2﹣4=0，即x=±2，
又∵x﹣2≠0，
∴x=﹣2，y= ( http: / / www.21cnjy.com / )=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )，
4y﹣3x=﹣1﹣（﹣6）=5，
故4y﹣3x的平方根是± ( http: / / www.21cnjy.com / )．
故答案：± ( http: / / www.21cnjy.com / )．
三．解答题
19．判断下列各式，哪些是二次根式，哪些不是，为什么？
( http: / / www.21cnjy.com / )，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )， ( http: / / www.21cnjy.com / )， ( http: / / www.21cnjy.com / )， ( http: / / www.21cnjy.com / )（a≥0）， ( http: / / www.21cnjy.com / )．
【分析】根据形如 ( http: / / www.21cnjy.com / )（a≥0）的式子是二次根式，可得答案．
解： ( http: / / www.21cnjy.com / )，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )， ( http: / / www.21cnjy.com / )（a≥0）， ( http: / / www.21cnjy.com / )符合二次根式的形式，故是二次根式；
( http: / / www.21cnjy.com / )，是三次根式，故不是二次根式；
( http: / / www.21cnjy.com / )，被开方数小于0，无意义，故不是二次根式；
20．已知， ( http: / / www.21cnjy.com / )，且x、y均为整数，求x+y的值．
【分析】先求出x的取值范围，再根据x，y均为整数，可得x的值，再分情况得到x+y的值．
解：由题意知：20≤x≤30，
又因为x，y均为整数，
所以x﹣20，30﹣x均需是一个整数的平方，
所以x﹣20=1，30﹣x=1，
故x只能取21或29，
当x=21时，y=4，x+y的值为25；
当x=29时，y=4，x+y的值为33．
故x+y的值为25或33．
21．当a取什么值时，代数式 ( http: / / www.21cnjy.com / )取值最小？并求出这个最小值．
【分析】根据 ( http: / / www.21cnjy.com / )≥0，即可求得a的值，以及所求式子的最小值．
解：∵ ( http: / / www.21cnjy.com / )≥0，
∴当a=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )时， ( http: / / www.21cnjy.com / )有最小值，是0．
则 ( http: / / www.21cnjy.com / )+1的最小值是1．
22．已知 ( http: / / www.21cnjy.com / )+ ( http: / / www.21cnjy.com / )=b+8．
（1）求a的值；
（2）求a2﹣b2的平方根．
【分析】（1）根据被开方数是非负数，即可求得a的值；
（2）根据（1）的结果即可求得b的值，然后利用平方根的定义求解．
解：根据题意得： ( http: / / www.21cnjy.com / )，
解得：a=17；
（2）b+8=0，
解得：b=﹣8．
则a2﹣b2=172﹣（﹣8）2=225，
则平方根是：±15．
23．若 ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )，求（x+1） ( http: / / www.21cnjy.com / )的值．
【分析】根据负数没有平方根求出x的范围，化简原式即可．
解：∵ ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴99﹣x≥0，x﹣99≥0，
解得：x=99，
则原式=（x+1） ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )=10 ( http: / / www.21cnjy.com / )．
24．若实数x，y，m适合关系式 ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )，求m的值．
【分析】由（x+y）﹣20≥0，20﹣（x+y）≥0，所以x+y=20．再利用两个根式的和等于0，即每一个被开方数等于0．www.21-cn-jy.com
解：依题意，得 ( http: / / www.21cnjy.com / )，解得x+y=20，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )=0
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )
解方程得 ( http: / / www.21cnjy.com / )
即m的值是60．
( http: / / www.21cnjy.com / )
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16.1二次根式同步练习
姓名：__________班级：__________学号：__________
本节应掌握和应用的知识点
１.我们把形如(a≥０) 的式子叫做二次根式,称为二次根号．
２.二次根式的定义中含有两个要点:①必须含有二次根号 ;②被开方数为非负数 ．
３. (a≥０)是一个非负数．
基础知识和能力拓展训练
一．选择题
1．下列各式一定是二次根式的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．下列二次根式里，被开方数中各因式的指数都为1的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．下列各式中① ( http: / / www.21cnjy.com / )；② ( http: / / www.21cnjy.com / )； ③ ( http: / / www.21cnjy.com / )； ④ ( http: / / www.21cnjy.com / )（x≥1）； ⑤ ( http: / / www.21cnjy.com / )；⑥ ( http: / / www.21cnjy.com / )一定是二次根式的有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如果 ( http: / / www.21cnjy.com / )是二次根式，a的范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / )B． ( http: / / www.21cnjy.com / )C． ( http: / / www.21cnjy.com / )D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
5．如果 ( http: / / www.21cnjy.com / )是二次根式，那么x应满足的条件是（ ）
A．x≠8 B．x＜8 C．x≤8 D．x＞0且x≠8
6． ( http: / / www.21cnjy.com / )是整数，正整数n的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
7．若 ( http: / / www.21cnjy.com / )在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞5 B．x≥5 C．x≤5 D．x≠5
8．若 ( http: / / www.21cnjy.com / )+ ( http: / / www.21cnjy.com / )有意义，则（﹣n）2的平方根是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
9．已知x，y为实数，且 ( http: / / www.21cnjy.com / )，则x y的值为（ ）
A．3 B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
10．若实数a满足方程 ( http: / / www.21cnjy.com / )，则[a]=（ ），其中[a]表示不超过a的最大整数．
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题
11．正方形的面积是24，那么它的边长是 ．
12．已知a满足|2017﹣a|+ ( http: / / www.21cnjy.com / )=a，则a﹣20172的值是 ．
13．当x= 时，代数式 ( http: / / www.21cnjy.com / )有最小值．
14．观察分析下列数据，寻找规律：0， ( http: / / www.21cnjy.com / )， ( http: / / www.21cnjy.com / )，3，2 ( http: / / www.21cnjy.com / )…那么第10个数据应是 ．
15．下列各式：① ( http: / / www.21cnjy.com / )、② ( http: / / www.21cnjy.com / )、③ ( http: / / www.21cnjy.com / )、④ ( http: / / www.21cnjy.com / )、⑤ ( http: / / www.21cnjy.com / )、⑥ ( http: / / www.21cnjy.com / )，其中一定是二次根式的是 ．（填正确答案的序号）21cnjy.com
16．若x是正整数，二次根式 ( http: / / www.21cnjy.com / )是正整数，则最小值x= ．
17．如果 ( http: / / www.21cnjy.com / )的值是一个整数，且是大于1的数，那么满足条件的最小的整数a= ．
18．若x，y为实数，y= ( http: / / www.21cnjy.com / )，则4y﹣3x的平方根是 ．
三．解答题
19．判断下列各式，哪些是二次根式，哪些不是，为什么？
( http: / / www.21cnjy.com / )，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )， ( http: / / www.21cnjy.com / )， ( http: / / www.21cnjy.com / )， ( http: / / www.21cnjy.com / )（a≥0）， ( http: / / www.21cnjy.com / )．
20．已知， ( http: / / www.21cnjy.com / )，且x、y均为整数，求x+y的值．
21．当a取什么值时，代数式 ( http: / / www.21cnjy.com / )取值最小？并求出这个最小值．
22．已知 ( http: / / www.21cnjy.com / )+ ( http: / / www.21cnjy.com / )=b+8．
（1）求a的值；
（2）求a2﹣b2的平方根．
23．若 ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )，求（x+1） ( http: / / www.21cnjy.com / )的值．
24．若实数x，y，m适合关系式 ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )，求m的值．
答案与试题解析
一．选择题
1．下列各式一定是二次根式的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】根据二次根式的概念和性质，逐一判断．
解：A、二次根式无意义，故A错误；
B、是三次根式，故B错误；
C、被开方数是正数，故C正确；
D、当b=0或a、b异号时，根式无意义，故D错误．
故选：C．
2．下列二次根式里，被开方数中各因式的指数都为1的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】根据二次根式的定义判断即可．
解：A．x，y的指数分别为2，2．所以此选项错误；
B．x2+y2的指数为1，所以此选项正确；
C．x+y的指数为2，所以此选项错误；
D．x，y的指数分别为1，2．所以此选项错误；
故选B．
3．下列各式中① ( http: / / www.21cnjy.com / )；② ( http: / / www.21cnjy.com / )； ③ ( http: / / www.21cnjy.com / )； ④ ( http: / / www.21cnjy.com / )（x≥1）； ⑤ ( http: / / www.21cnjy.com / )；⑥ ( http: / / www.21cnjy.com / )一定是二次根式的有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】二次根式的定义：一般地，我们把形如 ( http: / / www.21cnjy.com / )（a≥0）的式子叫做二次根式．
解：① ( http: / / www.21cnjy.com / )符合二次根式的定义，故正确．
② ( http: / / www.21cnjy.com / )无意义，故错误．
③ ( http: / / www.21cnjy.com / )中的a2≥0，符合二次根式的定义，故正确．
④ ( http: / / www.21cnjy.com / )（x≥1）中的x﹣1≥0，符合二次根式的定义，故正确．
⑤ ( http: / / www.21cnjy.com / )是开3次方，故错误．
⑥ ( http: / / www.21cnjy.com / )中的x2+2x+1=（x+1）2≥0，符合二次根式的定义，故正确．
故选：B．
4．如果 ( http: / / www.21cnjy.com / )是二次根式，a的范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】依据二次根式被开方数为非负数列不等式求解即可．
解：由题意得：3a+1≥0，解得：a≥﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )．
故选：A．
5．如果 ( http: / / www.21cnjy.com / )是二次根式，那么x应满足的条件是（ ）
A．x≠8 B．x＜8 C．x≤8 D．x＞0且x≠8
【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．
解：∵ ( http: / / www.21cnjy.com / )是二次根式，
∴8﹣x≥0，
解得：x≤8．
故选：C．
6． ( http: / / www.21cnjy.com / )是整数，正整数n的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
【分析】如果一个根式是整数，则被开方数是完全平方数，首先把 ( http: / / www.21cnjy.com / )化简，然后求n的最小值．
解：∵ ( http: / / www.21cnjy.com / )=2 ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴要使 ( http: / / www.21cnjy.com / )是整数，正整数n的最小值是2，
故选C．
7．若 ( http: / / www.21cnjy.com / )在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞5 B．x≥5 C．x≤5 D．x≠5
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
解：由题意可知：x﹣5≥0，
∴x≥5
故选（B）
8．若 ( http: / / www.21cnjy.com / )+ ( http: / / www.21cnjy.com / )有意义，则（﹣n）2的平方根是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】直接利用二次根式的性质得出n的值，再利用平方根的定义得出答案．
解：∵ ( http: / / www.21cnjy.com / )+ ( http: / / www.21cnjy.com / )有意义，
∴1﹣2n=2n﹣1=0，
解得：n= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴（﹣n）2= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴（﹣n）2的平方根是：± ( http: / / www.21cnjy.com / )．
故选：D．
9．已知x，y为实数，且 ( http: / / www.21cnjy.com / )，则x y的值为（ ）
A．3 B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】直接利用二次根式的性质得出x，y的值，进而得出答案．
解：∵ ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴6x﹣1=0，
解得：x= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
则y= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
故xy= ( http: / / www.21cnjy.com / )× ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )．
故选：D．
10．若实数a满足方程 ( http: / / www.21cnjy.com / )，则[a]=（ ），其中[a]表示不超过a的最大整数．
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】对已知条件变形整理并平方，解方程即可得到a的值，求出后直接选取答案．
解：根据二次根式有意义的条件，可得a≥1．
原方程可以变形为：
a﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )，两边同平方得：
a2+1﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )﹣2a ( http: / / www.21cnjy.com / )=a﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )，a2+1﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com / )=a．
a2﹣a﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com / )+1=0，
解得 ( http: / / www.21cnjy.com / )=1，
∴a2﹣a=1，a= ( http: / / www.21cnjy.com / )（负值舍去）．
a≈1.618．
所以[a]=1，故选B．
二．填空题
11．正方形的面积是24，那么它的边长是 2 ( http: / / www.21cnjy.com / ) ．
【分析】根据正方形的面积公式可以求得该正方形的边长a= ( http: / / www.21cnjy.com / )=2 ( http: / / www.21cnjy.com / )．
解：设该正方形的边长为a（a＞0），则
a2=24，
所以a= ( http: / / www.21cnjy.com / )=2 ( http: / / www.21cnjy.com / )．
故答案是：2 ( http: / / www.21cnjy.com / )．
12．已知a满足|2017﹣a|+ ( http: / / www.21cnjy.com / )=a，则a﹣20172的值是 2018 ．
【分析】先依据二次根式有意义得到a≥2018，进而化简原式求出答案．
解：∵|2017﹣a|+ ( http: / / www.21cnjy.com / )=a，
∴a﹣2018≥0，
故a≥2018，
则原式可变为：a﹣2017+ ( http: / / www.21cnjy.com / )=a，
故a﹣2018=20172，
则a﹣20172=2018．
故答案为：2018．
13．当x= ﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / ) 时，代数式 ( http: / / www.21cnjy.com / )有最小值．
【分析】根据二次根式的有意义的条件即可求出答案．
解：∵4x﹣5≥0，
∴x≥﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )
当x=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )时，
( http: / / www.21cnjy.com / )的最小值为0，
故答案为：﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )
14．观察分析下列数据，寻找规律：0， ( http: / / www.21cnjy.com / )， ( http: / / www.21cnjy.com / )，3，2 ( http: / / www.21cnjy.com / )…那么第10个数据应是 3 ( http: / / www.21cnjy.com / ) ．
【分析】根据已知的数可以得到第n个数是被开方数是3的n﹣1倍，据此即可求解．
解：0= ( http: / / www.21cnjy.com / )， ( http: / / www.21cnjy.com / )， ( http: / / www.21cnjy.com / )，3= ( http: / / www.21cnjy.com / )，2 ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )，可以得到第10个数的被开方数一定能是3的9倍，则第10个数是： ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )=3 ( http: / / www.21cnjy.com / )．21世纪教育网版权所有
故答案是：3 ( http: / / www.21cnjy.com / )．
15．下列各式：① ( http: / / www.21cnjy.com / )、② ( http: / / www.21cnjy.com / )、③ ( http: / / www.21cnjy.com / )、④ ( http: / / www.21cnjy.com / )、⑤ ( http: / / www.21cnjy.com / )、⑥ ( http: / / www.21cnjy.com / )，其中一定是二次根式的是 ①④⑤ ．（填正确答案的序号）21教育网
【分析】根据二次根式的定义，可得答案．
解：① ( http: / / www.21cnjy.com / )是二次根式，
② ( http: / / www.21cnjy.com / )当a＜0时，不是二次根式；
③ ( http: / / www.21cnjy.com / )当﹣＜b＜1时，不是二次根式；
④ ( http: / / www.21cnjy.com / )是二次根式；
⑤ ( http: / / www.21cnjy.com / )是二次根式；
⑥ ( http: / / www.21cnjy.com / )不是二次根式；
故答案为：①④⑤．
16．若x是正整数，二次根式 ( http: / / www.21cnjy.com / )是正整数，则最小值x= 3 ．
【分析】12分解质因数，然后根据二次根式的性质解答．
解：∵12=4×3，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )是整数的正整数x的最小值是3．
故答案为：3．
17．如果 ( http: / / www.21cnjy.com / )的值是一个整数，且是大于1的数，那么满足条件的最小的整数a= 1 ．
【分析】由于 ( http: / / www.21cnjy.com / )=7 ( http: / / www.21cnjy.com / )，又7是质数，故要使 ( http: / / www.21cnjy.com / )的值是一个整数，且a也是整数，则a是一个完全平方数，最小的完全平方数是1，符合题意，从而得出结果．
解：∵ ( http: / / www.21cnjy.com / )=7 ( http: / / www.21cnjy.com / )，又7是质数，
故要使 ( http: / / www.21cnjy.com / )的值是一个整数，且a也是整数，
∴a是一个完全平方数，
∴a=1．
18．若x，y为实数，y= ( http: / / www.21cnjy.com / )，则4y﹣3x的平方根是 ± ( http: / / www.21cnjy.com / ) ．
【分析】要求4y﹣3x的平方根，一要先求出x，y的值，要求x、y的值就要根据： ( http: / / www.21cnjy.com / )与 ( http: / / www.21cnjy.com / )同时成立，根号里的数一定是0．依此来求x、y的值．21·cn·jy·com
解：∵ ( http: / / www.21cnjy.com / )与 ( http: / / www.21cnjy.com / )同时成立，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )故只有x2﹣4=0，即x=±2，
又∵x﹣2≠0，
∴x=﹣2，y= ( http: / / www.21cnjy.com / )=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )，
4y﹣3x=﹣1﹣（﹣6）=5，
故4y﹣3x的平方根是± ( http: / / www.21cnjy.com / )．
故答案：± ( http: / / www.21cnjy.com / )．
三．解答题
19．判断下列各式，哪些是二次根式，哪些不是，为什么？
( http: / / www.21cnjy.com / )，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )， ( http: / / www.21cnjy.com / )， ( http: / / www.21cnjy.com / )， ( http: / / www.21cnjy.com / )（a≥0）， ( http: / / www.21cnjy.com / )．
【分析】根据形如 ( http: / / www.21cnjy.com / )（a≥0）的式子是二次根式，可得答案．
解： ( http: / / www.21cnjy.com / )，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )， ( http: / / www.21cnjy.com / )（a≥0）， ( http: / / www.21cnjy.com / )符合二次根式的形式，故是二次根式；
( http: / / www.21cnjy.com / )，是三次根式，故不是二次根式；
( http: / / www.21cnjy.com / )，被开方数小于0，无意义，故不是二次根式；
20．已知， ( http: / / www.21cnjy.com / )，且x、y均为整数，求x+y的值．
【分析】先求出x的取值范围，再根据x，y均为整数，可得x的值，再分情况得到x+y的值．
解：由题意知：20≤x≤30，
又因为x，y均为整数，
所以x﹣20，30﹣x均需是一个整数的平方，
所以x﹣20=1，30﹣x=1，
故x只能取21或29，
当x=21时，y=4，x+y的值为25；
当x=29时，y=4，x+y的值为33．
故x+y的值为25或33．
21．当a取什么值时，代数式 ( http: / / www.21cnjy.com / )取值最小？并求出这个最小值．
【分析】根据 ( http: / / www.21cnjy.com / )≥0，即可求得a的值，以及所求式子的最小值．
解：∵ ( http: / / www.21cnjy.com / )≥0，
∴当a=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )时， ( http: / / www.21cnjy.com / )有最小值，是0．
则 ( http: / / www.21cnjy.com / )+1的最小值是1．
22．已知 ( http: / / www.21cnjy.com / )+ ( http: / / www.21cnjy.com / )=b+8．
（1）求a的值；
（2）求a2﹣b2的平方根．
【分析】（1）根据被开方数是非负数，即可求得a的值；
（2）根据（1）的结果即可求得b的值，然后利用平方根的定义求解．
解：根据题意得： ( http: / / www.21cnjy.com / )，
解得：a=17；
（2）b+8=0，
解得：b=﹣8．
则a2﹣b2=172﹣（﹣8）2=225，
则平方根是：±15．
23．若 ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )，求（x+1） ( http: / / www.21cnjy.com / )的值．
【分析】根据负数没有平方根求出x的范围，化简原式即可．
解：∵ ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴99﹣x≥0，x﹣99≥0，
解得：x=99，
则原式=（x+1） ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )=10 ( http: / / www.21cnjy.com / )．
24．若实数x，y，m适合关系式 ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )，求m的值．
【分析】由（x+y）﹣20≥0，20﹣（x+y）≥0，所以x+y=20．再利用两个根式的和等于0，即每一个被开方数等于0．www.21-cn-jy.com
解：依题意，得 ( http: / / www.21cnjy.com / )，解得x+y=20，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )=0
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )
解方程得 ( http: / / www.21cnjy.com / )
即m的值是60．
( http: / / www.21cnjy.com / )
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