5.1.2垂线（课件）
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(共32张PPT)
5.1.2垂线
人教版 七年级下
学习目标
1.在生动有趣的情境中，通过画、折等活动，进一步丰富对两条直线互相垂直的认识，掌握有关的符号表示。
2.会借助三角尺、量角器、方格纸画垂线，进一步丰富操作活动经验。
3.通过操作活动，探索有关垂直的一些性质。
一、实验探究
垂 直
1、在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b。
⑴ 当 b 的位置变化时， a， b所成的角α也会发生变化。
a
b
转 动
⑵ 当 α＝90°时，
a 与 b 互相垂直
90°
⑴ 垂直是相交的一种特殊情形；
相交
垂直
⑵ 两条直线互相垂直，其中一条直线
叫做另一条直线的垂线。
二、引入新课
⑴ 垂直是相交的一种特殊情形；
⑵ 两条直线互相垂直，其中一条直线
叫做另一条直线的垂线。
⑶ 它们的交点叫做垂足；
A
B
C
D
O
如图，直线 AB⊥CD
垂足为 O
三、垂直的表示方法
l⊥m
AB⊥CD
O
D
C
A
B
m
l
O
读作 ：AB垂直于CD
读作： l 垂直于m
A
B
C
D
O
根据两条直线垂直的定义可知：
如果两条直线相交所成的四个角中的任意一个角等于90°，那么这两条直线垂直。
如图，如果直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝90°，
那么AB⊥CD.
A
B
C
D
O
如图，如果直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝90°，
那么AB⊥CD.
这个推理过程可以写成下面形式：
∵∠AOC＝90°
∴ AB⊥CD
(垂直的定义)
四、垂直的推理书写
日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，
下面举一些互相垂直的实例：
1、利用三角尺可以作出互相垂直的两条直线。
画900的角（即 直角）
五、垂线的画法
l
Ａ
1、利用三角尺可以作出互相垂直的两条直线。
画900的角（即 直角）
五、垂线的画法
l
Ａ
l
Ａ
【问题】⑴ 过直线 l 上一点Ａ作直线 l 的垂线，
你能作出多少条？
l
Ａ
答：只能画出一条垂线。
【问题】⑵ 过直线 l 外一点Ａ作直线 l 的垂线，
你能作出多少条？
l
A
答：只能画出一条垂线。
经过一点(已知直线上或直线外)，能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线。
l
Ａ
l
A
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
垂线的性质公理
1、找出下列各图中互相垂直的直线.
O
B
Ａ
C
D
Ａ
D
C
B
OA⊥OC
OB⊥OD
CD⊥AB
AC⊥BC
六、课堂练习
2. 利用方格纸可以用其中的横竖线作出互相垂直的两条直线，你还有其它方法吗？
3、画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在的直线的垂线。如图，请你过点P画出射线AB或线段AB的垂线。
P
A
B
P
A
B
A
B
P
4、当两条直线相交所成的四个角都相等时，
这两条直线有什么位置关系？为什么？
O
D
C
A
B
∵∠AOC＝∠BOC＝∠BOD＝∠AOD
解：这两条直线互相垂直，理由如下：
∴ 4∠AOC＝360°
∴ ∠AOC＝90°
∴ AB⊥CD
且∠AOC＋∠BOC＋∠BOD＋∠AOD＝360°
【思考】如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？请你画图形。
P
H
【探究】如图，连接直线 l 外的一点P与直线l 上各点O，A1，A2，A3，···，其中PO⊥l (我们称PO为点P到直线的垂线段)。比较线段PO，PA1，PA2，PA3，···的长短，这些线段中，哪一条最短？
P
A1
A2
A3
A4
O
l
PO最短！
P
A1
A2
A3
A4
O
l
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简单说成：
垂线段最短。
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
课堂练习
1、画出下列各图中点P到直线AB的垂线段，指出
点P到直线AB的距离。
P
A
B
M
A
B
P
M
答：P到直线AB的距离是垂线段PM的长度。
2、如图，△ABC中，∠C＝90°，△ABC的三条边AB，BC，CA哪条边最长？为什么？
A
C
B
答：边AB最长。理由如下 ：
∵AC⊥BC
∴AC＜AB
∵BC⊥AC
∴BC＜AB
∴ AB、BC、CA中，边AB最长。
课堂练习
3、若A、B、C是直线 l 上的三点，P是直线 l 外一点，且PA＝5cm，PB＝4cm，PC＝3cm，则点P到直线 l 的距离是【 】
(A)等于3cm； (B)大于3cm而小于4cm；
(C)不大于3cm； (D)小于3cm。
C
课堂练习
4、如图，点A、O、E在一条直线上，OB⊥AE，
OC⊥OD，则图中互余的角有 对，
互补的角有 对.
1
2
3
4
O
A
B
C
D
E
4
课堂练习
∠1＋∠2＝90°
解：互为余角有：
∠1＋∠4＝90°
∠3＋∠2＝90°
∠3＋∠4＝90°
4、如图，点A、O、E在一条直线上，OB⊥AE，
OC⊥OD，则图中互余的角有 对，
互补的角有 对.
1
2
3
4
O
A
B
C
D
E
4
5
课堂练习
∠1＋∠COE＝180°
解：互为补角有：
∠3＋∠COE＝180°
∠4＋∠AOD＝180°
∠2＋∠AOD＝180°
∠AOB＋∠BOE＝180°
5、如图，直线AB、EF相交于O，∠DOE＝90°， ∠BOC＝90°。说出∠AOD的余角、补角； ∠BOE的补角。
∠BOE的补角是：
∠AOE、 ∠COD、∠BOF
∠BOD、 ∠COE
∠AOE 、∠COD、∠BOF
答：∠AOD的余角有：
∠AOD的补角是：
A
O
B
C
D
E
F
6、直线AB、CD相交于O.
⑴OE、OF分别是∠AOC、 ∠BOD的平分线。画出这个图形。
A
B
C
D
O
F
E
⑵ 射线OE、OF在同一条直线上吗？
答： 射线OE、OF在同一条直线上。
6、直线AB、CD相交于O.
⑶ 画∠AOD的平分线OG，OE与OG有什么位置关系？
A
B
C
D
O
F
E
答： OG⊥OE。
G
一、垂线、垂直及表示方法、垂足、垂线段的概念
二、垂线的性质公理：
垂线的画法、点到直线的距离。
归纳与整理
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
垂线段最短。
谢谢
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5.1.2垂线
人教版 七年级下
学习目标
1.在生动有趣的情境中，通过画、折等活动，进一步丰富对两条直线互相垂直的认识，掌握有关的符号表示。
2.会借助三角尺、量角器、方格纸画垂线，进一步丰富操作活动经验。
3.通过操作活动，探索有关垂直的一些性质。
一、实验探究
垂 直
1、在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b。
⑴ 当 b 的位置变化时， a， b所成的角α也会发生变化。
a
b
转 动
⑵ 当 α＝90°时，
a 与 b 互相垂直
90°
⑴ 垂直是相交的一种特殊情形；
相交
垂直
⑵ 两条直线互相垂直，其中一条直线
叫做另一条直线的垂线。
二、引入新课
⑴ 垂直是相交的一种特殊情形；
⑵ 两条直线互相垂直，其中一条直线
叫做另一条直线的垂线。
⑶ 它们的交点叫做垂足；
A
B
C
D
O
如图，直线 AB⊥CD
垂足为 O
三、垂直的表示方法
l⊥m
AB⊥CD
O
D
C
A
B
m
l
O
读作 ：AB垂直于CD
读作： l 垂直于m
A
B
C
D
O
根据两条直线垂直的定义可知：
如果两条直线相交所成的四个角中的任意一个角等于90°，那么这两条直线垂直。
如图，如果直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝90°，
那么AB⊥CD.
A
B
C
D
O
如图，如果直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝90°，
那么AB⊥CD.
这个推理过程可以写成下面形式：
∵∠AOC＝90°
∴ AB⊥CD
(垂直的定义)
四、垂直的推理书写
日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，
下面举一些互相垂直的实例：
1、利用三角尺可以作出互相垂直的两条直线。
画900的角（即 直角）
五、垂线的画法
l
Ａ
1、利用三角尺可以作出互相垂直的两条直线。
画900的角（即 直角）
五、垂线的画法
l
Ａ
l
Ａ
【问题】⑴ 过直线 l 上一点Ａ作直线 l 的垂线，
你能作出多少条？
l
Ａ
答：只能画出一条垂线。
【问题】⑵ 过直线 l 外一点Ａ作直线 l 的垂线，
你能作出多少条？
l
A
答：只能画出一条垂线。
经过一点(已知直线上或直线外)，能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线。
l
Ａ
l
A
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
垂线的性质公理
1、找出下列各图中互相垂直的直线.
O
B
Ａ
C
D
Ａ
D
C
B
OA⊥OC
OB⊥OD
CD⊥AB
AC⊥BC
六、课堂练习
2. 利用方格纸可以用其中的横竖线作出互相垂直的两条直线，你还有其它方法吗？
3、画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在的直线的垂线。如图，请你过点P画出射线AB或线段AB的垂线。
P
A
B
P
A
B
A
B
P
4、当两条直线相交所成的四个角都相等时，
这两条直线有什么位置关系？为什么？
O
D
C
A
B
∵∠AOC＝∠BOC＝∠BOD＝∠AOD
解：这两条直线互相垂直，理由如下：
∴ 4∠AOC＝360°
∴ ∠AOC＝90°
∴ AB⊥CD
且∠AOC＋∠BOC＋∠BOD＋∠AOD＝360°
【思考】如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？请你画图形。
P
H
【探究】如图，连接直线 l 外的一点P与直线l 上各点O，A1，A2，A3，···，其中PO⊥l (我们称PO为点P到直线的垂线段)。比较线段PO，PA1，PA2，PA3，···的长短，这些线段中，哪一条最短？
P
A1
A2
A3
A4
O
l
PO最短！
P
A1
A2
A3
A4
O
l
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简单说成：
垂线段最短。
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
课堂练习
1、画出下列各图中点P到直线AB的垂线段，指出
点P到直线AB的距离。
P
A
B
M
A
B
P
M
答：P到直线AB的距离是垂线段PM的长度。
2、如图，△ABC中，∠C＝90°，△ABC的三条边AB，BC，CA哪条边最长？为什么？
A
C
B
答：边AB最长。理由如下 ：
∵AC⊥BC
∴AC＜AB
∵BC⊥AC
∴BC＜AB
∴ AB、BC、CA中，边AB最长。
课堂练习
3、若A、B、C是直线 l 上的三点，P是直线 l 外一点，且PA＝5cm，PB＝4cm，PC＝3cm，则点P到直线 l 的距离是【 】
(A)等于3cm； (B)大于3cm而小于4cm；
(C)不大于3cm； (D)小于3cm。
C
课堂练习
4、如图，点A、O、E在一条直线上，OB⊥AE，
OC⊥OD，则图中互余的角有 对，
互补的角有 对.
1
2
3
4
O
A
B
C
D
E
4
课堂练习
∠1＋∠2＝90°
解：互为余角有：
∠1＋∠4＝90°
∠3＋∠2＝90°
∠3＋∠4＝90°
4、如图，点A、O、E在一条直线上，OB⊥AE，
OC⊥OD，则图中互余的角有 对，
互补的角有 对.
1
2
3
4
O
A
B
C
D
E
4
5
课堂练习
∠1＋∠COE＝180°
解：互为补角有：
∠3＋∠COE＝180°
∠4＋∠AOD＝180°
∠2＋∠AOD＝180°
∠AOB＋∠BOE＝180°
5、如图，直线AB、EF相交于O，∠DOE＝90°， ∠BOC＝90°。说出∠AOD的余角、补角； ∠BOE的补角。
∠BOE的补角是：
∠AOE、 ∠COD、∠BOF
∠BOD、 ∠COE
∠AOE 、∠COD、∠BOF
答：∠AOD的余角有：
∠AOD的补角是：
A
O
B
C
D
E
F
6、直线AB、CD相交于O.
⑴OE、OF分别是∠AOC、 ∠BOD的平分线。画出这个图形。
A
B
C
D
O
F
E
⑵ 射线OE、OF在同一条直线上吗？
答： 射线OE、OF在同一条直线上。
6、直线AB、CD相交于O.
⑶ 画∠AOD的平分线OG，OE与OG有什么位置关系？
A
B
C
D
O
F
E
答： OG⊥OE。
G
一、垂线、垂直及表示方法、垂足、垂线段的概念
二、垂线的性质公理：
垂线的画法、点到直线的距离。
归纳与整理
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
垂线段最短。
谢谢
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