5.3.2 命题、定理、证明（课件）
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(共41张PPT)
5.3.2 命题、定理、证明
人教版 七年级下
一、定义 (补充内容)
对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义(definition) .
定义是交流的基础。定义即具有确定含义的语句，它反映了事物最本质的意义。
定义:具有确定含义的语句。
二、命题
前面，我们学过一些对某一件事情作出判断的语句
⑴ 如果两条直线都与第三条直线平行，
那么这两条直线也互相平行；
⑵ 两条平行线被第三条直线所截，
同旁内角互补；
⑶ 对顶角相等；
⑷等式两边加同一个数，结果仍是等式。
例如：
判断一件事情的语句，叫做命题。
1、洞察命题的组成，例如：
⑴ 如果两条直线都与第三条直线平行，
那么这两条直线也互相平行；
命题由题设和结论两部分组成。
←已知事项
←推出事项
题设
结论
2、命题的书写形式
命题常书写成“如果······，那么······”的形式。
*
判断一件事情的语句，叫做命题。
【例】将命题“对顶角相等”，改写成：
“如果······，那么······”的形式；
1、如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；
题设 (条件)
结论
注意：改写以后：⑴句子要通顺；⑵还要符合语法要求。
因此，需要在原句上添加一些适当的字词。
【例】将命题“对顶角相等”，改写成：
“如果······，那么······”的形式；
4、命题的分类
⑴ 正确的命题，叫做 真命题 ；
⑵ 错误的命题，叫做 假命题 ；
命题 包括 真命题 和 假命题
命题
真命题
假命题
5、命题的证明方法
⑴、真命题必须用推理的方法进行证明。
⑵、要证明一个假命题 ，或者说明假命题是错误的，
只需要：
简单地说就是举反例
举出一个具有命题的条件，而不具有命题的结论的一个例子，就可以了。
三、公理
在生产、生活、科学研究中，人们总结出来的一些显而易见的真命题叫做公理(也叫基本事实)。
在科学研究中，确定一些不必证明，不需要再问为什么，且公认的真命题叫做公理。
公理就是公认的真理！
太阳永远从东方升起
四、定理
用推理的方法经过证明的真命题叫做定理。
定理必须用推理的方法加以证明，才能成为定理，否则只能叫做“命题”或“猜想”。
公理和定理 的最大区别就是前者不必证明，
后者必须证明。
公理和定理的共同之处：
①都是真命题，②都可以作为证明命题的根据！
五、公理和定理的作用
公理和定理都可以用来作为证明其它命题的根据。
运用公理和定理证明其它真命题或假命题时，只能用已学过的公理或证明过的定理去证明未学过的命题。
举反例
推理证明
证明的依据：定义、公理、定理和性质。
命题的形式：“如果……， 那么……。”
课堂小结
1、命题都是由题设和结论两部分组成。
2. 说明一个命题是假命题的方法：
命题的分类：命题包括真命题和假命题。
3. 说明一个命题是真命题的方法：
课堂练习 (共11道题)
1、命题“等角的补角相等”的
⑴ 题设是 ，
⑵ 结论是 。
如果两个角相等
那么这两个角的补角相等.
注：您可以学习部分题目或全部
课堂练习
2、下列命题中真命题是【 】
A、同位角的平分线互相平行；
B、内错角的平分线互相平行；
C、同旁内角的平分线互相垂直。
D、对顶角的平分线互为反向延长线；
D
课堂练习
3、下列关于定理的说法中，正确的是【 】
A、真命题都是定理；
B、假命题不是定理；
C、真命题不是定理就是公理；
D、定理不一定是真命题。
B
课堂练习
4、将下列命题改写为“如果……，那么……”的形式
并指出其题设和结论。
⑴、内错角相等；
解：⑴如果两个角是内错角，那么这两个角相等。
题设是：两个角是内错角，
结论是：这两个角相等.
⑵、直角都相等；
⑵如果两个角是直角，那么这两个角相等。
题设是：两个角是直角，
结论是：这两个角相等.
课堂练习
4、将下列命题改写为“如果……，那么……”的形式
并指出其题设和结论。
⑶、相等的角是对顶角；
⑶如果两个角相等，那么这两个角是对顶角。
题设是：两个角相等，
结论是：这两个角是对顶角.
课堂练习
4、将下列命题改写为“如果……，那么……”的形式
并指出其题设和结论。
⑷、末位数是5的整数能被5整除；
⑷如果一个整数的末位数是5，那么这个数能被5整除。
题设是：一个整数的末位数是5，
结论是：这个数能被5整除.
课堂练习
4、将下列命题改写为“如果……，那么……”的形式
并指出其题设和结论。
⑸、互为邻补角的两个角的和是180°。
⑸如果两个角是邻补角，那么这两个角的和是180° 。
题设是：两个角是邻补角，
结论是：这两个角的和是180°.
课堂练习
4、将下列命题改写为“如果……，那么……”的形式
并指出其题设和结论。
⑹ 两直线平行，同位角相等；
题设是：两条直线平行，
结论是：同位角相等。
⑹如果两条直线平行，那么同位角相等 。
课堂练习
4、将下列命题改写为“如果……，那么……”的形式
并指出其题设和结论。
5、有下列命题：①锐角都相等；
②大于直角小于平角的角是钝角；
③互为相反数的两个数的商是－1；
④在同一平面内，若l1⊥l2，l1⊥l3，则l2∥l3 ，
其中真命题是【 】
A、①②； B、②③； C、③④； D、②④。
D
0
6、有下列命题：①若x2＝4，则 x＝2；
②若│m│＝3，则m＝±3；
③互余的两个角的和一定是90°；
④若a＝b，则 │a│＝│b│，
⑤锐角大于它的余角；
⑥互为相反数的两个数的积是负数。
其中假命题的个数为【 】
A、1； B、2； C、3； D、4。
C
0
30°
x＝－2
7、对于同一平面内的三条直线a、b、c给出下列五个论断：
① a∥b ； ②b∥c； ③ a⊥b； ④ a∥c ； ⑤ a⊥c。
以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题是：
在同一平面内的三条直线a、b、c，
如果a∥b，b∥c；那么a∥c ；
在同一平面内的三条直线a、b、c，
如果a⊥b， a⊥c；那么b∥c；
8、试判断下列命题中哪些是真命题，哪些是假命题？
若是假命题，请举出一个反例。
① 若ab＞0 ； 则a＞0，b＞0；
答：①是假命题，例如：
当a＝－3，b＝－2时
ab＝(－3)(－2)＝6＞0
则 a＝－3＜0，b＝－2＜0
8、试判断下列命题中哪些是真命题，哪些是假命题？
若是假命题，请举出一个反例。
② 三条直线两两相交，必有三个交点；
答：②是假命题，例如：
a
b
c
O
③ 绝对值等于它本身的数是非负数；
答：③是真命题。
④ 钝角大于它的补角；
答：④是真命题。
8、试判断下列命题中哪些是真命题，哪些是假命题？
若是假命题，请举出一个反例。
⑤ 一个角的补角一定大于这个角。
答：⑤是假命题，例如：
已知∠1＝120°，它的补角为∠2＝60°
则有∠2＜∠1
⑹ 邻补角是互补的角；
答：是真命题。
8、试判断下列命题中哪些是真命题，哪些是假命题？
若是假命题，请举出一个反例。
⑺互补的角是邻补角；
答：是假命题，例如：
如图，∠1＝125°，∠2＝55°
1
2
∠1和∠2不是邻补角。
⑻ 两个锐角的和是锐角；
⑼ 正方形的四个角都相等；
答：是假命题，例如：
已知：∠1＝75°，∠2＝55°
∠1＋∠2＝130°
答：是真命题。
8、试判断下列命题中哪些是真命题，哪些是假命题？
若是假命题，请举出一个反例。
⑽ 两个角的和等于平角时，这两个角互为补角；
⑾ 相等的角是对顶角；
答：是真命题。
答：是假命题，例如：
如图，已知 ∠1＝∠2
∠1和∠2不是对顶角。
2
1
8、试判断下列命题中哪些是真命题，哪些是假命题？
若是假命题，请举出一个反例。
⑿ 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；
答：是真命题。
8、试判断下列命题中哪些是真命题，哪些是假命题？
若是假命题，请举出一个反例。
9、在四边形ABCD中，给出下列论断：
① AB∥CD； ②∠A＝∠C； ③ AD∥BC。
以其中两个作为条件，另外一个作为结论，用“如果……，那么……”的形式写出一个你认为正确的命题，并画出图形。
解：在四边形ABCD中，
A
B
C
D
如果AB∥CD，AD∥BC，那么∠A＝∠C。
10、⑴ 判断命题真假：如果 a＞1，那么a＞ .
解：是真命题。
⑵ 把⑴中的命题的题设和结论交换位置，写出得到的新命题，并判断真假，如果是假命题，请举出一个反例。
解：如果a＞ ，那么a＞1。
是假命题，例如：
a ＝－0.5，
11、⑴ 如图，已知DE∥BC，∠1＝∠3，CD⊥AB
试说明FG⊥AB的理由。
证明：∵ DE∥BC (已知)
∴∠1＝∠2 (两直线平行，内错角相等)
∵ ∠1＝∠3 (已知)
∴∠2＝∠3 (等量代换)
∴ CD∥FG (同位角相等，两直线平行)
∴∠BFG＝∠BDC (两直线平行，同位角相等)
A
B
C
D
E
F
G
1
3
2
11、⑴ 如图，已知DE∥BC，∠1＝∠3，CD⊥AB
试说明FG⊥AB的理由。
∴∠2＝∠3 (等量代换)
∴ CD∥FG (同位角相等，两直线平行)
∵ CD⊥AB (已知)
∴∠BDC＝90° (垂直定义)
∴∠BFG＝∠BDC (两直线平行，同位角相等)
∴∠BFG＝90° (等量代换)
∴ FG⊥AB (垂直定义)
A
B
C
D
E
F
G
1
3
2
⑵ 若把⑴中的题设“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，
所得命题是否为真命题？试说明理由。
解：⑵ 对调后命题为：
证明：∵ CD⊥AB FG⊥AB (已知)
是真命题，理由如下：
已知：FG⊥AB，CD⊥AB，∠1＝∠3
那么：DE∥BC
∴ CD∥FG (垂直于同一直线的两条直线平行)
A
B
C
D
E
F
G
1
3
2
证明：∵ CD⊥AB FG⊥AB (已知)
是真命题，理由如下：
已知：FG⊥AB，CD⊥AB，∠1＝∠3，那么：DE∥BC
∴ CD∥FG (垂直于同一直线的两条直线平行)
∴∠2＝∠3 (两直线平行，同位角相等)
∵ ∠1＝∠3 (已知)
∴∠1＝∠2 (等量代换)
∴ DE∥BC (内错角相等，两直线平行)
A
B
C
D
E
F
G
1
3
2
⑶ 若把⑴中的题设“∠1＝∠3”与结论“FG⊥AB”对调呢？
A
B
C
D
E
F
G
1
3
2
解：⑶ 对调后命题为：
是真命题，理由如下：
已知： DE∥BC，FG⊥AB，CD⊥AB，
那么：∠1＝∠3
证明：∵ CD⊥AB FG⊥AB (已知)
∴ CD∥FG (垂直于同一直线的两条直线平行)
∴∠2＝∠3 (两直线平行，同位角相等)
A
B
C
D
E
F
G
1
3
2
是真命题，理由如下：
已知： DE∥BC，FG⊥AB，CD⊥AB，
那么：∠1＝∠3
证明：∵ CD⊥AB FG⊥AB (已知)
∴ CD∥FG (垂直于同一直线的两条直线平行)
∴∠2＝∠3 (两直线平行，同位角相等)
又∵ DE∥BC (已知)
∴∠1＝∠2 (两直线平行，内错角相等)
∴∠1＝∠3 (等量代换)
谢谢
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5.3.2 命题、定理、证明
人教版 七年级下
一、定义 (补充内容)
对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义(definition) .
定义是交流的基础。定义即具有确定含义的语句，它反映了事物最本质的意义。
定义:具有确定含义的语句。
二、命题
前面，我们学过一些对某一件事情作出判断的语句
⑴ 如果两条直线都与第三条直线平行，
那么这两条直线也互相平行；
⑵ 两条平行线被第三条直线所截，
同旁内角互补；
⑶ 对顶角相等；
⑷等式两边加同一个数，结果仍是等式。
例如：
判断一件事情的语句，叫做命题。
1、洞察命题的组成，例如：
⑴ 如果两条直线都与第三条直线平行，
那么这两条直线也互相平行；
命题由题设和结论两部分组成。
←已知事项
←推出事项
题设
结论
2、命题的书写形式
命题常书写成“如果······，那么······”的形式。
*
判断一件事情的语句，叫做命题。
【例】将命题“对顶角相等”，改写成：
“如果······，那么······”的形式；
1、如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；
题设 (条件)
结论
注意：改写以后：⑴句子要通顺；⑵还要符合语法要求。
因此，需要在原句上添加一些适当的字词。
【例】将命题“对顶角相等”，改写成：
“如果······，那么······”的形式；
4、命题的分类
⑴ 正确的命题，叫做 真命题 ；
⑵ 错误的命题，叫做 假命题 ；
命题 包括 真命题 和 假命题
命题
真命题
假命题
5、命题的证明方法
⑴、真命题必须用推理的方法进行证明。
⑵、要证明一个假命题 ，或者说明假命题是错误的，
只需要：
简单地说就是举反例
举出一个具有命题的条件，而不具有命题的结论的一个例子，就可以了。
三、公理
在生产、生活、科学研究中，人们总结出来的一些显而易见的真命题叫做公理(也叫基本事实)。
在科学研究中，确定一些不必证明，不需要再问为什么，且公认的真命题叫做公理。
公理就是公认的真理！
太阳永远从东方升起
四、定理
用推理的方法经过证明的真命题叫做定理。
定理必须用推理的方法加以证明，才能成为定理，否则只能叫做“命题”或“猜想”。
公理和定理 的最大区别就是前者不必证明，
后者必须证明。
公理和定理的共同之处：
①都是真命题，②都可以作为证明命题的根据！
五、公理和定理的作用
公理和定理都可以用来作为证明其它命题的根据。
运用公理和定理证明其它真命题或假命题时，只能用已学过的公理或证明过的定理去证明未学过的命题。
举反例
推理证明
证明的依据：定义、公理、定理和性质。
命题的形式：“如果……， 那么……。”
课堂小结
1、命题都是由题设和结论两部分组成。
2. 说明一个命题是假命题的方法：
命题的分类：命题包括真命题和假命题。
3. 说明一个命题是真命题的方法：
课堂练习 (共11道题)
1、命题“等角的补角相等”的
⑴ 题设是 ，
⑵ 结论是 。
如果两个角相等
那么这两个角的补角相等.
注：您可以学习部分题目或全部
课堂练习
2、下列命题中真命题是【 】
A、同位角的平分线互相平行；
B、内错角的平分线互相平行；
C、同旁内角的平分线互相垂直。
D、对顶角的平分线互为反向延长线；
D
课堂练习
3、下列关于定理的说法中，正确的是【 】
A、真命题都是定理；
B、假命题不是定理；
C、真命题不是定理就是公理；
D、定理不一定是真命题。
B
课堂练习
4、将下列命题改写为“如果……，那么……”的形式
并指出其题设和结论。
⑴、内错角相等；
解：⑴如果两个角是内错角，那么这两个角相等。
题设是：两个角是内错角，
结论是：这两个角相等.
⑵、直角都相等；
⑵如果两个角是直角，那么这两个角相等。
题设是：两个角是直角，
结论是：这两个角相等.
课堂练习
4、将下列命题改写为“如果……，那么……”的形式
并指出其题设和结论。
⑶、相等的角是对顶角；
⑶如果两个角相等，那么这两个角是对顶角。
题设是：两个角相等，
结论是：这两个角是对顶角.
课堂练习
4、将下列命题改写为“如果……，那么……”的形式
并指出其题设和结论。
⑷、末位数是5的整数能被5整除；
⑷如果一个整数的末位数是5，那么这个数能被5整除。
题设是：一个整数的末位数是5，
结论是：这个数能被5整除.
课堂练习
4、将下列命题改写为“如果……，那么……”的形式
并指出其题设和结论。
⑸、互为邻补角的两个角的和是180°。
⑸如果两个角是邻补角，那么这两个角的和是180° 。
题设是：两个角是邻补角，
结论是：这两个角的和是180°.
课堂练习
4、将下列命题改写为“如果……，那么……”的形式
并指出其题设和结论。
⑹ 两直线平行，同位角相等；
题设是：两条直线平行，
结论是：同位角相等。
⑹如果两条直线平行，那么同位角相等 。
课堂练习
4、将下列命题改写为“如果……，那么……”的形式
并指出其题设和结论。
5、有下列命题：①锐角都相等；
②大于直角小于平角的角是钝角；
③互为相反数的两个数的商是－1；
④在同一平面内，若l1⊥l2，l1⊥l3，则l2∥l3 ，
其中真命题是【 】
A、①②； B、②③； C、③④； D、②④。
D
0
6、有下列命题：①若x2＝4，则 x＝2；
②若│m│＝3，则m＝±3；
③互余的两个角的和一定是90°；
④若a＝b，则 │a│＝│b│，
⑤锐角大于它的余角；
⑥互为相反数的两个数的积是负数。
其中假命题的个数为【 】
A、1； B、2； C、3； D、4。
C
0
30°
x＝－2
7、对于同一平面内的三条直线a、b、c给出下列五个论断：
① a∥b ； ②b∥c； ③ a⊥b； ④ a∥c ； ⑤ a⊥c。
以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题是：
在同一平面内的三条直线a、b、c，
如果a∥b，b∥c；那么a∥c ；
在同一平面内的三条直线a、b、c，
如果a⊥b， a⊥c；那么b∥c；
8、试判断下列命题中哪些是真命题，哪些是假命题？
若是假命题，请举出一个反例。
① 若ab＞0 ； 则a＞0，b＞0；
答：①是假命题，例如：
当a＝－3，b＝－2时
ab＝(－3)(－2)＝6＞0
则 a＝－3＜0，b＝－2＜0
8、试判断下列命题中哪些是真命题，哪些是假命题？
若是假命题，请举出一个反例。
② 三条直线两两相交，必有三个交点；
答：②是假命题，例如：
a
b
c
O
③ 绝对值等于它本身的数是非负数；
答：③是真命题。
④ 钝角大于它的补角；
答：④是真命题。
8、试判断下列命题中哪些是真命题，哪些是假命题？
若是假命题，请举出一个反例。
⑤ 一个角的补角一定大于这个角。
答：⑤是假命题，例如：
已知∠1＝120°，它的补角为∠2＝60°
则有∠2＜∠1
⑹ 邻补角是互补的角；
答：是真命题。
8、试判断下列命题中哪些是真命题，哪些是假命题？
若是假命题，请举出一个反例。
⑺互补的角是邻补角；
答：是假命题，例如：
如图，∠1＝125°，∠2＝55°
1
2
∠1和∠2不是邻补角。
⑻ 两个锐角的和是锐角；
⑼ 正方形的四个角都相等；
答：是假命题，例如：
已知：∠1＝75°，∠2＝55°
∠1＋∠2＝130°
答：是真命题。
8、试判断下列命题中哪些是真命题，哪些是假命题？
若是假命题，请举出一个反例。
⑽ 两个角的和等于平角时，这两个角互为补角；
⑾ 相等的角是对顶角；
答：是真命题。
答：是假命题，例如：
如图，已知 ∠1＝∠2
∠1和∠2不是对顶角。
2
1
8、试判断下列命题中哪些是真命题，哪些是假命题？
若是假命题，请举出一个反例。
⑿ 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；
答：是真命题。
8、试判断下列命题中哪些是真命题，哪些是假命题？
若是假命题，请举出一个反例。
9、在四边形ABCD中，给出下列论断：
① AB∥CD； ②∠A＝∠C； ③ AD∥BC。
以其中两个作为条件，另外一个作为结论，用“如果……，那么……”的形式写出一个你认为正确的命题，并画出图形。
解：在四边形ABCD中，
A
B
C
D
如果AB∥CD，AD∥BC，那么∠A＝∠C。
10、⑴ 判断命题真假：如果 a＞1，那么a＞ .
解：是真命题。
⑵ 把⑴中的命题的题设和结论交换位置，写出得到的新命题，并判断真假，如果是假命题，请举出一个反例。
解：如果a＞ ，那么a＞1。
是假命题，例如：
a ＝－0.5，
11、⑴ 如图，已知DE∥BC，∠1＝∠3，CD⊥AB
试说明FG⊥AB的理由。
证明：∵ DE∥BC (已知)
∴∠1＝∠2 (两直线平行，内错角相等)
∵ ∠1＝∠3 (已知)
∴∠2＝∠3 (等量代换)
∴ CD∥FG (同位角相等，两直线平行)
∴∠BFG＝∠BDC (两直线平行，同位角相等)
A
B
C
D
E
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G
1
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2
11、⑴ 如图，已知DE∥BC，∠1＝∠3，CD⊥AB
试说明FG⊥AB的理由。
∴∠2＝∠3 (等量代换)
∴ CD∥FG (同位角相等，两直线平行)
∵ CD⊥AB (已知)
∴∠BDC＝90° (垂直定义)
∴∠BFG＝∠BDC (两直线平行，同位角相等)
∴∠BFG＝90° (等量代换)
∴ FG⊥AB (垂直定义)
A
B
C
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⑵ 若把⑴中的题设“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，
所得命题是否为真命题？试说明理由。
解：⑵ 对调后命题为：
证明：∵ CD⊥AB FG⊥AB (已知)
是真命题，理由如下：
已知：FG⊥AB，CD⊥AB，∠1＝∠3
那么：DE∥BC
∴ CD∥FG (垂直于同一直线的两条直线平行)
A
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C
D
E
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G
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证明：∵ CD⊥AB FG⊥AB (已知)
是真命题，理由如下：
已知：FG⊥AB，CD⊥AB，∠1＝∠3，那么：DE∥BC
∴ CD∥FG (垂直于同一直线的两条直线平行)
∴∠2＝∠3 (两直线平行，同位角相等)
∵ ∠1＝∠3 (已知)
∴∠1＝∠2 (等量代换)
∴ DE∥BC (内错角相等，两直线平行)
A
B
C
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2
⑶ 若把⑴中的题设“∠1＝∠3”与结论“FG⊥AB”对调呢？
A
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C
D
E
F
G
1
3
2
解：⑶ 对调后命题为：
是真命题，理由如下：
已知： DE∥BC，FG⊥AB，CD⊥AB，
那么：∠1＝∠3
证明：∵ CD⊥AB FG⊥AB (已知)
∴ CD∥FG (垂直于同一直线的两条直线平行)
∴∠2＝∠3 (两直线平行，同位角相等)
A
B
C
D
E
F
G
1
3
2
是真命题，理由如下：
已知： DE∥BC，FG⊥AB，CD⊥AB，
那么：∠1＝∠3
证明：∵ CD⊥AB FG⊥AB (已知)
∴ CD∥FG (垂直于同一直线的两条直线平行)
∴∠2＝∠3 (两直线平行，同位角相等)
又∵ DE∥BC (已知)
∴∠1＝∠2 (两直线平行，内错角相等)
∴∠1＝∠3 (等量代换)
谢谢
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