16.3 二次根式的加减（1）同步练习
文档属性
| 名称 | 16.3 二次根式的加减（1）同步练习 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 427.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-02-02 16:58:14 | ||
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文档简介
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16.3 二次根式的加减（1）同步练习
姓名：__________班级：__________学号：__________
本节应掌握和应用的知识点
１.同类二次根式
(１)同类二次根式的定义几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
(２)同类二次根式的合并合并同类二次根式类似于合并同类项,就是将同类二次根式的“系数”合并 ,根指数与被开方数保持不变 ．
２.二次根式的加减
(１)二次根式的加减实质是合并同类二次根式,非同类二次根式不能合并．
(２)二次根式加减法的一般步骤: ①先把各根式化成 最简二次根式; ②找出其中的同类 二次根式; ③ 合并同类二次根式．
3. 比较二次根式大小时,可将根号外的非负数(或式子) 移到根号内．
基础知识和能力拓展训练
一、选择题
1．下列各组二次根式中，是同类二次根式的是( )
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
2．下列二次根式中，不能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
3．已知二次根式与是同类二次根式，则的值可以是（ ）
A. 5 B. 3 C. 7 D. 8
4．下列运算正确的是（ ）
A. （﹣a2）3=a6 B. （a+b）2=a2+b2 C. ﹣= D. 5﹣=4
5．已知等腰三角形的两边长为2和5，则此等腰三角形的周长为（ ）
A. 4+5 B. 2+10 C. 4+10 D. 4+5或2+10
6．计算|2﹣|+|4﹣|的值是（ ）
A. ﹣2 B. 2 C. 2﹣6 D. 6﹣2
7．计算： ﹣的结果是（ ）
A. B. 2 C. 2 D. 2.8
8．实数的值在( )
A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D . 3和4之间
9．设a＝－，b＝－1，c＝，则a，b，c之间的大小关系是( )
A. c＞b＞a B. a＞c＞b C. b＞a＞c D. a＞b＞c
10．设的小数部分为，则的值是（ ）
A. B. 是一个无理数 C. D. 无法确定
二、填空题
11．若最简二次根式与是同类二次根式，则a＝______，b＝___________．
12．若最简二次根式与能合并为一个二次根式，则x=_______。
13．计算________.
14．已知三角形三边的长分别为cm, cm, cm，则它的周长为_____cm.
15．当x=2+时，代数式x2﹣4x+4的值是 ．
16．请将,,用连接起来，______________。
三、解答题
17．计算:
（1）
(2)
(3)
(4)
18．如果二次根式 与 能够合并，能否由此确定a=1？若能，请说明理由；不能，请举一个反例说明．
19．若a+b=2，则称a与b是关于1的平衡数．
（1）3与 是关于1的平衡数，5﹣ 与 是关于1的平衡数；
（2）若（m+）×（1﹣）=﹣5+3，判断m+与5﹣是否是关于1的平衡数，并说明理由．
20．已知m是的小数部分，n是的整数部分．求：
（1）（m﹣n）2的值；
（2）+m的值．
21．阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如， 这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ；
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
（1）化简．
（2）化简： ．
22．阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．
∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=__，b=__；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：__+__=（___）+__）2；
（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？
参考答案
1．C
【解析】解：A． 与的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；
B． 与的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；
C． 与的被开方数相同，所以它们是同类二次根式；故本选项正确；
D． 与=3的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；
故选C．
点睛：本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
2．C
【解析】试题解析：A、，故A能与合并；
B、，故B能与合并；
C、，故C不能与合并；
D、，故D能与合并；
故选C．
3．B
【解析】试题分析：根据同类二次根式的概念，可知其在化为最简二次根式，其被开方数相同，可知2a-4=2，解得a=3.
故选：B
4．C
【解析】A. ∵（﹣a2）3=-a6 , 故不正确；
B. ∵（a+b）2=a2++2ab+b2 , 故不正确；
C. ∵﹣= ﹣ , 故正确；
D. ∵5﹣=4, 故不正确；
故选C.
5．B
【解析】解：∵2×＜，∴只能是腰长为，∴等腰三角形的周长=2×+=．故选B．
点睛：本题考查了等腰三角形的性质：两腰相等，注意要用三角形的三边关系确定出第三边．
6．B
【解析】解：原式==2．故选B．
点睛：本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是掌握绝对值的化简．
7．C
【解析】解：原式=，故选C
点睛：此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．D
【解析】∵9＜10＜16，∴3＜√10＜4．故选D．
点睛：本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．
9．D
【解析】a=－=（-1），b=-1；c===×（-1），
∵＞1＞，
∴a＞b＞c．
故选：D．
10．B
【解析】∵，
∴的小数部分为＝，
∴b(b+3)= ，
又∵是无理数，
∴也是无理数。
故选B。
11． 1 1
【解析】试题解析：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴3b-1=2，a+2=4b-a
解得，a=1，b=1.
12．1
【解析】由最简二次根式与能合并为一个二次根式，得
x+1=2x.
解得x=1，
故答案为：1.
13．
【解析】试题解析：原式=
=
14．9
【解析】三角形的周长为： .
故本题应填.
15．2015
【解析】试题解析：
故答案为：
点睛：完全平方公式：
16．
【解析】由题意得,,，
所以.
17．(1) ;(2) ;(3) (4)
【解析】试题分析：(1)、首先根据二次根式的化简法则将各二次根式进行化简，然后再进行加减法计算得出答案；(2)、根据二次根式的乘除法计算法则进行计算得出答案；(3)、根据二次根式的化简法则将各二次根式进行化简，然后进行加减法计算；(4)、将括号里面的二次根式进行化简计算，然后根据二次根式的除法计算法则进行计算得出答案.
试题解析：(1) == =
(2)===
(3) ==
(4) = ===
18．见解析
【解析】试题分析：由于二次根式与能够合并，如果是最简二次根式，由此可以得到3a-1=2，由此可以确定a=1，但不一定是最简二次根式，所以还有其他的情况，由此即可求解．
试题解析：二次根式 与-3能够合并，不能由此确定a=1．
当 是最简二次根式，∴3a－1=2，∴a=1；
当 不是最简二次根式，∴3a－1=8，∴a=3．
还有其他情况．
故不能确定a=1．
19．（1）﹣1，﹣3+；（2）不是，理由见解析.
【解析】试题分析：（1）根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此可得出答案．
（2）根据所给的等式，解出m的值，进而再代入判断即可．
试题解析：（1）由题意得，3+（﹣1）=2，5﹣+（﹣3+）=2，
∴3与﹣1是关于1的平衡数，5﹣与﹣3+是关于1的平衡数；
（2）不是．
∵（m+）×（1﹣）
=m﹣m+﹣3，
又∵（m+）×（1﹣）=﹣5+3，
∴m﹣m+﹣3=﹣5+3，
∴m﹣m=﹣2+2．
即 m（1﹣）=﹣2（1﹣）．
∴m=﹣2．
∴（m+）+（5﹣）=（﹣2+）+（5﹣）=3，
∴（﹣2+）与（5﹣）不是关于1的平衡数．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
20．（1）43﹣12；（2）﹣1．
【解析】试题分析：根据二次根式的性质，分别表示出m、n的值，然后代入求值即可.
试题解析：∵m是的小数部分，n是的整数部分，
∴m=﹣2，n=4；
（1）（m﹣n）2=（﹣2﹣4）2=（﹣6）2=7﹣12+36=43﹣12；
（2）+m=+﹣2=﹣1．
21．（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）根据材料运用两种方法进行分母有理化即可；
（2）先分母有理化，再根据式子的规律即可求解．
试题解析：（1）
（2）原式==
=.
22． a=m2+3n2 b=2mn 4 2 1 1
【解析】（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；
（2）首先确定好m、n的正整数值，然后根据（1）的结论即可求出a、b的值；
（3）根据题意，4=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a的值．
解：（1）∵a+b=，
∴a+b=m2+3n2+2mn，
∴a=m2+3n2，b=2mn．
故答案为：m2+3n2，2mn．
（2）设m=1，n=1，
∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2．
故答案为4、2、1、1．
（3）由题意，得：
a=m2+3n2，b=2mn
∵4=2mn，且m、n为正整数，
∴m=2，n=1或者m=1，n=2，
∴a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13．
“点睛”本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式，解题的关键在于熟练运算完全平方公式和二次根式的运算法则．
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16.3 二次根式的加减（1）同步练习
姓名：__________班级：__________学号：__________
本节应掌握和应用的知识点
１.同类二次根式
(１)同类二次根式的定义几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
(２)同类二次根式的合并合并同类二次根式类似于合并同类项,就是将同类二次根式的“系数”合并 ,根指数与被开方数保持不变 ．
２.二次根式的加减
(１)二次根式的加减实质是合并同类二次根式,非同类二次根式不能合并．
(２)二次根式加减法的一般步骤: ①先把各根式化成 最简二次根式; ②找出其中的同类 二次根式; ③ 合并同类二次根式．
3. 比较二次根式大小时,可将根号外的非负数(或式子) 移到根号内．
基础知识和能力拓展训练
一、选择题
1．下列各组二次根式中，是同类二次根式的是( )
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
2．下列二次根式中，不能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
3．已知二次根式与是同类二次根式，则的值可以是（ ）
A. 5 B. 3 C. 7 D. 8
4．下列运算正确的是（ ）
A. （﹣a2）3=a6 B. （a+b）2=a2+b2 C. ﹣= D. 5﹣=4
5．已知等腰三角形的两边长为2和5，则此等腰三角形的周长为（ ）
A. 4+5 B. 2+10 C. 4+10 D. 4+5或2+10
6．计算|2﹣|+|4﹣|的值是（ ）
A. ﹣2 B. 2 C. 2﹣6 D. 6﹣2
7．计算： ﹣的结果是（ ）
A. B. 2 C. 2 D. 2.8
8．实数的值在( )
A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D . 3和4之间
9．设a＝－，b＝－1，c＝，则a，b，c之间的大小关系是( )
A. c＞b＞a B. a＞c＞b C. b＞a＞c D. a＞b＞c
10．设的小数部分为，则的值是（ ）
A. B. 是一个无理数 C. D. 无法确定
二、填空题
11．若最简二次根式与是同类二次根式，则a＝______，b＝___________．
12．若最简二次根式与能合并为一个二次根式，则x=_______。
13．计算________.
14．已知三角形三边的长分别为cm, cm, cm，则它的周长为_____cm.
15．当x=2+时，代数式x2﹣4x+4的值是 ．
16．请将,,用连接起来，______________。
三、解答题
17．计算:
（1）
(2)
(3)
(4)
18．如果二次根式 与 能够合并，能否由此确定a=1？若能，请说明理由；不能，请举一个反例说明．
19．若a+b=2，则称a与b是关于1的平衡数．
（1）3与 是关于1的平衡数，5﹣ 与 是关于1的平衡数；
（2）若（m+）×（1﹣）=﹣5+3，判断m+与5﹣是否是关于1的平衡数，并说明理由．
20．已知m是的小数部分，n是的整数部分．求：
（1）（m﹣n）2的值；
（2）+m的值．
21．阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如， 这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ；
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
（1）化简．
（2）化简： ．
22．阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．
∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=__，b=__；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：__+__=（___）+__）2；
（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？
参考答案
1．C
【解析】解：A． 与的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；
B． 与的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；
C． 与的被开方数相同，所以它们是同类二次根式；故本选项正确；
D． 与=3的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；
故选C．
点睛：本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
2．C
【解析】试题解析：A、，故A能与合并；
B、，故B能与合并；
C、，故C不能与合并；
D、，故D能与合并；
故选C．
3．B
【解析】试题分析：根据同类二次根式的概念，可知其在化为最简二次根式，其被开方数相同，可知2a-4=2，解得a=3.
故选：B
4．C
【解析】A. ∵（﹣a2）3=-a6 , 故不正确；
B. ∵（a+b）2=a2++2ab+b2 , 故不正确；
C. ∵﹣= ﹣ , 故正确；
D. ∵5﹣=4, 故不正确；
故选C.
5．B
【解析】解：∵2×＜，∴只能是腰长为，∴等腰三角形的周长=2×+=．故选B．
点睛：本题考查了等腰三角形的性质：两腰相等，注意要用三角形的三边关系确定出第三边．
6．B
【解析】解：原式==2．故选B．
点睛：本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是掌握绝对值的化简．
7．C
【解析】解：原式=，故选C
点睛：此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．D
【解析】∵9＜10＜16，∴3＜√10＜4．故选D．
点睛：本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．
9．D
【解析】a=－=（-1），b=-1；c===×（-1），
∵＞1＞，
∴a＞b＞c．
故选：D．
10．B
【解析】∵，
∴的小数部分为＝，
∴b(b+3)= ，
又∵是无理数，
∴也是无理数。
故选B。
11． 1 1
【解析】试题解析：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴3b-1=2，a+2=4b-a
解得，a=1，b=1.
12．1
【解析】由最简二次根式与能合并为一个二次根式，得
x+1=2x.
解得x=1，
故答案为：1.
13．
【解析】试题解析：原式=
=
14．9
【解析】三角形的周长为： .
故本题应填.
15．2015
【解析】试题解析：
故答案为：
点睛：完全平方公式：
16．
【解析】由题意得,,，
所以.
17．(1) ;(2) ;(3) (4)
【解析】试题分析：(1)、首先根据二次根式的化简法则将各二次根式进行化简，然后再进行加减法计算得出答案；(2)、根据二次根式的乘除法计算法则进行计算得出答案；(3)、根据二次根式的化简法则将各二次根式进行化简，然后进行加减法计算；(4)、将括号里面的二次根式进行化简计算，然后根据二次根式的除法计算法则进行计算得出答案.
试题解析：(1) == =
(2)===
(3) ==
(4) = ===
18．见解析
【解析】试题分析：由于二次根式与能够合并，如果是最简二次根式，由此可以得到3a-1=2，由此可以确定a=1，但不一定是最简二次根式，所以还有其他的情况，由此即可求解．
试题解析：二次根式 与-3能够合并，不能由此确定a=1．
当 是最简二次根式，∴3a－1=2，∴a=1；
当 不是最简二次根式，∴3a－1=8，∴a=3．
还有其他情况．
故不能确定a=1．
19．（1）﹣1，﹣3+；（2）不是，理由见解析.
【解析】试题分析：（1）根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此可得出答案．
（2）根据所给的等式，解出m的值，进而再代入判断即可．
试题解析：（1）由题意得，3+（﹣1）=2，5﹣+（﹣3+）=2，
∴3与﹣1是关于1的平衡数，5﹣与﹣3+是关于1的平衡数；
（2）不是．
∵（m+）×（1﹣）
=m﹣m+﹣3，
又∵（m+）×（1﹣）=﹣5+3，
∴m﹣m+﹣3=﹣5+3，
∴m﹣m=﹣2+2．
即 m（1﹣）=﹣2（1﹣）．
∴m=﹣2．
∴（m+）+（5﹣）=（﹣2+）+（5﹣）=3，
∴（﹣2+）与（5﹣）不是关于1的平衡数．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
20．（1）43﹣12；（2）﹣1．
【解析】试题分析：根据二次根式的性质，分别表示出m、n的值，然后代入求值即可.
试题解析：∵m是的小数部分，n是的整数部分，
∴m=﹣2，n=4；
（1）（m﹣n）2=（﹣2﹣4）2=（﹣6）2=7﹣12+36=43﹣12；
（2）+m=+﹣2=﹣1．
21．（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）根据材料运用两种方法进行分母有理化即可；
（2）先分母有理化，再根据式子的规律即可求解．
试题解析：（1）
（2）原式==
=.
22． a=m2+3n2 b=2mn 4 2 1 1
【解析】（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；
（2）首先确定好m、n的正整数值，然后根据（1）的结论即可求出a、b的值；
（3）根据题意，4=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a的值．
解：（1）∵a+b=，
∴a+b=m2+3n2+2mn，
∴a=m2+3n2，b=2mn．
故答案为：m2+3n2，2mn．
（2）设m=1，n=1，
∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2．
故答案为4、2、1、1．
（3）由题意，得：
a=m2+3n2，b=2mn
∵4=2mn，且m、n为正整数，
∴m=2，n=1或者m=1，n=2，
∴a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13．
“点睛”本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式，解题的关键在于熟练运算完全平方公式和二次根式的运算法则．
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