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第八章《二元一次方程组》
第8讲 消元化归思悟解
一、 知识储备
1一元一次方程的解的情况：当时，方程的解是 ；当a=0，b＝0时，方程有无数个解；当a=0 时，方程无解【来源：21·世纪·教育·网】
2 解一次方程组时，消元的基本方法有代入消元法和加减消元法
二、方法技巧
通过消元化归，把二元一次方程组转化为一元一次方程求解，然后根据条件讨论解的情况,对于某些涉及取值范围的选择题，不妨试试特殊值法，可能解题更准更快
三 、习题精练
范例1:（2014·安顺）已知等腰三角形的两边长分别为a,b，且a,b满足，则此等腰三角形的周长为（ ）
A 7或8 B 6或10 C 6或7 D 7或10
【解答】解：A
范例2:解方程组时，小明由于看错了系数c，经检查，其他步骤再无错误，得到的解为，而王老师告诉他正确的解应为，求的值
【解答】解：∵是正确解，∴代入时，得，∴，∴正确的c值应为－2，∵小明看错系数c得到解为，∴代入方程组得，∴，由题意c=-11是错误的，而a-b=－1是成立的，∴，∴，21·世纪*教育网
四：跟进演练（时限60分钟，满分120分）
一、选择题（共10题，每题4分计40分）
1．（2017·天津）方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
2．已知下列三个方程 ①2x+3y=6-6a，②3x+7y=6-15a，③4x+4y=9a+9，要使这三个方程组成的方程组有解，则常数a的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
3.（2017·巴中）若方程组的解满足x+y=0，则k的值为（ ）
A．－1 B．1 C．0 D．不能确定
4如果的解都是正数，那么a的取值范围是（ ）
A B C D
5关于x,y的方程组的解是方程3x+2y=34的一组解，那么m的值是（ ）
A 2 B -1 C 1 D -2
6 下列方程组中，只有一组解的是（ ）
A B C D
7已知方程组有无穷多个解，则a,b的值等于（ ）
A a=-3,b=-14 B a=3,b=-7 C a=-1,b=9 D a=-3,b=14
8 若与互为相反数，则的值是（ ）
A 14 B -4 C -12 D122-1-c-n-j-y
9以方程组的解为坐标的点（x,y）在平面直角坐标系中的位置是第（ ）象限
A一 B二 C三 D四
10 把一根长7米的钢管截成2米长和1米长两种规格的钢管（两种都有），如果不造成浪费，那么截法有（ ）种21*cnjy*com
A 6 B 5 C 4 D 3【来源：21cnj*y.co*m】
二、填空题（共5题，每题4分计20分）
11．（2017·荆州）若单项式－5x4y2m＋n与2017xm－ny2是同类项，则m－7n的算术平方根是 ．21教育网
12 已知非负数a,b,c满足条件3a+2b+c=4,2a+b+3c=5,设S=5a+4b+7c的最大值为m，最小值为n,则n-m= ．【出处：21教育名师】
13 已知(x,y,z均不为0)，则＝ ．
14 若方程组与有公共解，则= ．
15（2017·湘潭）阅读材料：设＝（x1，y1），＝（x2，y2），∥，则x1·y2＝x2·y1．根据该材料填空：已知＝（2，3），＝（4，m），且∥，则m＝ ．
三、解答题（共6题每题各10分，计60分）
16．①(2017·乐山)二元一次方程组．
②（2017·广州）解方程组．
③（2017·舟山）若二元一次方程组的解为，求a－b
17（1）解方程组时，小马看错了方程（1），解得，小虎看错（2）解得，试求
（2） m取什么整数值时，方程组的解
①无解；②解是正数； ③解是正整数，求出其所有整数解
18 （1）使成立的x,y的值，满足且，求a的值
（2）当a,b满足什么条件时，方程与方程组都无解
19（2013北京西城区）已知代数式．
（1）若代数式M的值为零，求此时，，的值；
（2）若，，满足不等式，其中，，都为非负整数，且为偶数，直接写出，，的值．
20（2013无锡滨湖区）（本题满分10分）直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B 在直线MN上运动.
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小. www.21-cn-jy.com
（2）如图2，已知AB不平行CD， AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值.2·1·c·n·j·y
（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数.
21. (2017·达州)探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，可通过构造直角三角形利用图1得到结论：P1P2=他还利用图2证明了线段P1P2的中点P(x，y)P的坐标公式：x=，y=．21cnjy.com
(1)请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；
运用：
(2)①已知点M(2，﹣1)，N(﹣3，5)，则线段MN长度为 ；
②直接写出以点A(2，2)，B(﹣2，0)，C(3，﹣1)，D为顶点的平行四边形顶点D的坐标： ；21世纪教育网版权所有
拓展：(3)如图3，点P(2，n)在函数y=x(x≥0)的图象OL与x轴正半轴夹角的平分线上，请在OL、x轴上分别找出点E、F，使△PEF的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值．21·cn·jy·com
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第八章《二元一次方程组》
第8讲 消元化归思悟解
一、 知识储备
1一元一次方程的解的情况：当时，方程的解是 ；当a=0，b＝0时，方程有无数个解；当a=0 时，方程无解www.21-cn-jy.com
2 解一次方程组时，消元的基本方法有代入消元法和加减消元法
二、方法技巧
通过消元化归，把二元一次方程组转化为一元一次方程求解，然后根据条件讨论解的情况,对于某些涉及取值范围的选择题，不妨试试特殊值法，可能解题更准更快
三 、习题精练
范例1:（2014·安顺）已知等腰三角形的两边长分别为a,b，且a,b满足，则此等腰三角形的周长为（ ）
A 7或8 B 6或10 C 6或7 D 7或10
【解答】解：A
范例2:解方程组时，小明由于看错了系数c，经检查，其他步骤再无错误，得到的解为，而王老师告诉他正确的解应为，求的值
【解答】解：∵是正确解，∴代入时，得，∴，∴正确的c值应为－2，∵小明看错系数c得到解为，∴代入方程组得，∴，由题意c=-11是错误的，而a-b=－1是成立的，∴，∴，21世纪教育网版权所有
四：跟进演练（时限60分钟，满分120分）
一、选择题（共10题，每题4分计40分）
1．（2017·天津）方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：D．
2．已知下列三个方程 ①2x+3y=6-6a，②3x+7y=6-15a，③4x+4y=9a+9，要使这三个方程组成的方程组有解，则常数a的值为（ ）。21教育网
A．2 B． C．3 D．
【解答】解：D．
3.（2017·巴中）若方程组的解满足x+y=0，则k的值为（ ）
A．－1 B．1 C．0 D．不能确定
【解答】解：B．
4如果的解都是正数，那么a的取值范围是（ ）
A B C D
【解答】解：C．
5关于x,y的方程组的解是方程3x+2y=34的一组解，那么m的值是（ ）
A 2 B -1 C 1 D -2
【解答】解：A．
6 下列方程组中，只有一组解的是（ ）
A B C D
【解答】解：C
7已知方程组有无穷多个解，则a,b的值等于（ ）
A a=-3,b=-14 B a=3,b=-7 C a=-1,b=9 D a=-3,b=14
【解答】解：A
8 若与互为相反数，则的值是（ ）
A 14 B -4 C -12 D1221cnjy.com
【解答】解：B
9以方程组的解为坐标的点（x,y）在平面直角坐标系中的位置是第（ ）象限
A一 B二 C三 D四
【解答】解：D
10 把一根长7米的钢管截成2米长和1米长两种规格的钢管（两种都有），如果不造成浪费，那么截法有（ ）种【来源：21·世纪·教育·网】
A 6 B 5 C 4 D 321·世纪*教育网
【解答】解：D
二、填空题（共5题，每题4分计20分）
11．（2017·荆州）若单项式－5x4y2m＋n与2017xm－ny2是同类项，则m－7n的算术平方根是 ．2-1-c-n-j-y
【解答】解： 4．
12 已知非负数a,b,c满足条件3a+2b+c=4,2a+b+3c=5,设S=5a+4b+7c的最大值为m，最小值为n,则n-m= ．【来源：21cnj*y.co*m】
【解答】解：由题意得：a=6-5c,b=7c-7; ∴S=5a+4b+7c＝10c+2
∵a,b,c均为非负数，∴，得，∴,∴,∴m=14,n=12,∴n-m=-2
故答案：－2
13 已知(x,y,z均不为0)，则＝ ．
【解答】解：消元化归得y=2z,x=3z, ∴
故答案：
14 若方程组与有公共解，则= ．
【解答】解：先由4x-y=5和3x+y=9,求得x=2,y=3,再分别回代到含a,b的方程，解得a=1,b=-1,
故答案：
15（2017·湘潭）阅读材料：设＝（x1，y1），＝（x2，y2），∥，则x1·y2＝x2·y1．根据该材料填空：已知＝（2，3），＝（4，m），且∥，则m＝ ．
【解答】解：由题意：∵＝（2，3），＝（4，m），且∥，∴2m＝12，∴m＝6，
故答案：6．
三、解答题（共6题每题各10分，计60分）
16．①(2017·乐山)二元一次方程组．
②（2017·广州）解方程组．
③（2017·舟山）若二元一次方程组的解为，求a－b
【解答】解：①原方程可化为：，化简为，解得：．
②，（1）×3－（2）得：x＝4，把x＝4代入（1）得：y＝1，则方程组的解为．
③：∵x＋y＝3，3x－5y＝4，∴两式相加可得：（x＋y）＋（3x－5y）＝3＋4，∴4x－4y＝7，
∴x－y＝，∵x＝a，y＝b，∴a－b＝x－y＝
17（1）解方程组时，小马看错了方程（1），解得，小虎看错（2）解得，试求
（2） m取什么整数值时，方程组的解
①无解；②解是正数； ③解是正整数，求出其所有整数解
【解答】解：（1）因为小马看错方程（1）解得，所以满足方程（2），小虎看错方程（2）解得，所以满足方程（1），所以分别代入所满足的方程得，解得，所以
（2）解： 由方程组可消去x后得（m+4）y=4,
①当m=-4时，方程无解，故原方程组无解
当m≠-4时，方程组有解，且解为
②若解是正数，则只需m+4>0,故m>-4时，原方程组的解为正数
③因为m是整数，若方程组的解是正整数，则需m+4>0且4要能被(m+4)整除，故得m+4=1或m+4=2或m+4=4,,故符合条件的m值为－3，－2，0，所以原方程正整数解有三组，分别是或或21·cn·jy·com
18 （1）使成立的x,y的值，满足且，求a的值
（2）当a,b满足什么条件时，方程与方程组都无解
【解答】解：（1）解：因为，所以2x+y-1=0且3y-x=0，所以，所以，所以a=1或a=-1，又因为|a|+a=0，所以|a|=-a，所以a=-1
(2) 因为无解，所以，b=3或b=-3,
当b=3时，那么方程组是，加减消元法消去y可得(3-2a)x=-4，如果方程组无解，,那么3-2a=0，∴；www-2-1-cnjy-com
如果b=-3，那么方程组是，消去y可得(3-2a)x=-10；如果方程组无解，那么3-2a=0，21*cnjy*com
综上所述，得，b=3或b=-3时，方程与方程组无解
19（2013北京西城区）2．已知代数式．
（1）若代数式M的值为零，求此时，，的值；
（2）若，，满足不等式，其中，，都为非负整数，且为偶数，直接写出，，的值．
【解答】解：（1）∵， ∴．
∵，，，∴，，．
∴， ∴，．
（2），，．
20（2013无锡滨湖区）（本题满分10分）直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B 在直线MN上运动.
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小. 【出处：21教育名师】
（2）如图2，已知AB不平行CD， AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值.【版权所有：21教育】
（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数.
【解答】解：(1) ∠AEB的大小不变，∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB=90°， ∴∠OAB+∠OBA=90°，∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线， ∴∠BAE=∠OAB ，∠ABE=∠ABO ， ∴∠BAE+∠ABE=（∠OAB+∠ABO）=45°，∴∠AEB=135°．
（2）∠CED的大小不变，延长AD、BC交于点F．∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB=90°， ∴∠OAB+∠OBA=90°，∴∠PAB+∠MBA=270°，∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，∴∠BAD=∠BAP ，∠ABC=∠ABM ， ∴∠BAD+∠ABC=（∠PAB+∠ABM）=135°， ∴∠F=45°，∴∠FDC+∠FCD=135°，∴∠CDA+∠DCB=225°，∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，∴∠CDE+∠DCE=112.5°， ∴∠E=67.5°．21*cnjy*com
（3）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E， ∴∠EAO=∠BAO ，∠EOQ=∠BOQ∴∠E=∠EOQ－∠EAO=(∠BOQ－∠BAO)= ∠ABO，∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线， ∴∠EAF=90°．在△AEF中，∵ 有一个角是另一个角的3倍，故有：∠EAF=3∠E, ∠E=30°，∠ABO=60°；∠EAF=3∠F, ∠E=60°，∠ABO=120°（舍去）； ∠F=3∠E, ∠E=22.5°，∠ABO=45°；∠E=3∠F, ∠E=67.5°，∠ABO=135°（舍去）．∴∠ABO为60°或45°．
21. (2017·达州)探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，可通过构造直角三角形利用图1得到结论：P1P2=他还利用图2证明了线段P1P2的中点P(x，y)P的坐标公式：x=，y=．21教育名师原创作品
(1)请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；
运用：
(2)①已知点M(2，﹣1)，N(﹣3，5)，则线段MN长度为 ；
②直接写出以点A(2，2)，B(﹣2，0)，C(3，﹣1)，D为顶点的平行四边形顶点D的坐标： ；2·1·c·n·j·y
拓展：(3)如图3，点P(2，n)在函数y=x(x≥0)的图象OL与x轴正半轴夹角的平分线上，请在OL、x轴上分别找出点E、F，使△PEF的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值．
【解答】解：(1)∵P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，∴Q1Q2=OQ2﹣OQ1=x2﹣x1，∴Q1Q=，∴OQ=OQ1+Q1Q=x1+=，∵PQ为梯形P1Q1Q2P2的中位线，∴PQ==，即线段P1P2的中点P(x，y)P的坐标公式为x=，y=；
(2)①∵M(2，﹣1)，N(﹣3，5)，∴MN=，
故答案为：；
②∵A(2，2)，B(﹣2，0)，C(3，﹣1)，∴当AB为平行四边形的对角线时，其对称中心坐标为(0，1)，设D(x，y)，则x+3=0，y+(﹣1)=2，解得x=﹣3，y=3，∴此时D点坐标为(﹣3，3)，当AC为对角线时，同理可求得D点坐标为(7，1)，当BC为对角线时，同理可求得D点坐标为(﹣1，﹣3)，综上可知D点坐标为(﹣3，3)或(7，1)或(﹣1，﹣3)，
故答案为：(﹣3，3)或(7，1)或(﹣1，﹣3)；
(3)如图，设P关于直线OL的对称点为M，关于x轴的对称点为N，连接PM交直线OL于点R，连接PN交x轴于点S，连接MN交直线OL于点E，交x轴于点F，又对称性可知EP=EM，FP=FN，∴PE+PF+EF=ME+EF+NF=MN，∴此时△PEF的周长即为MN的长，为最小，设R(x，x)，由题意可知OR=OS=2，PR=PS=n，∴，解得x=﹣ (舍去)或x=，∴R(，)，∴，解得n=1，∴P(2，1)，∴N(2，﹣1)，设M(x，y)，则，解得x=，y=，∴M(，)，∴MN=，即△PEF的周长的最小值为．
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图2
F
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