复习课(一) 算法初步
程序框图
本考点是高考的必考内容，主要考查算法的三种基本结构，题型为选择题、填空题．涉及题型有算法功能判断型、条件判断型以及输出结果型，属于中、低档题．
1．程序框图中的框图
2．算法的三种基本逻辑结构
①顺序结构：
②条件结构：
③循环结构：
直到型 当型
[典例] (1)执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出S的值为( )
A．105 B．16
C．15 D．1
(2)如图是计算某年级500名学生期末考试(满分为100分)及格率q的程序框图，则图中空白框内应填入( )
A．q＝ B．q＝
C．q＝ D．q＝
(3)如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N≥2)和实数a1，a2，…，aN，输出A，B，则( )
A．A＋B为a1，a2，…，aN的和
B.为a1，a2，…，aN的算术平均数
C．A和B分别是a1，a2，…，aN中最大的数和最小的数
D．A和B分别是a1，a2，…，aN中最小的数和最大的数
[解析] (1)执行过程为S＝1×1＝1，i＝3；S＝1×3＝3，i＝5；S＝3×5＝15，i＝7≥6，跳出循环．故输出S的值为15.
(2)程序执行的过程是如果输入的成绩不小于60分即及格，就把变量M的值增加1，即变量M为成绩及格的人数，否则，由变量N统计不及格的人数，但总人数由变量i进行统计，不超过500就继续输入成绩，直到输入完500个成绩停止循环，输出变量q，变量q代表的含义为及格率，也就是＝，故选择D.
(3)结合题中程序框图，当x＞A时，A＝x可知A应为a1，a2，…，aN中最大的数，当x＜B时，B＝x可知B应为a1，a2，…，aN中最小的数．
[答案] (1)C (2)D (3)C
[类题通法]
解答程序框图问题，首先要弄清程序框图结构，同时要注意计数变量和累加变量，在处理循环结构的框图时，关键是理解并认清终止循环结构的条件及循环次数．
1．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为( )
A．1 B．－1
C．－2 D．0
解析：选D 程序运行第一次：T＝1，S＝0；运行第二次：T＝1，S＝－1；运行第三次：T＝0，S＝－1；运行第四次：T＝－1，S＝0；－1<0，循环结束，输出S＝0.
2．若如图所示的程序框图输出的S的值为126，则条件①为( )
A．n≤5? B．n≤6?
C．n≤7? D．n≤8?
解析：选B 由题知，第一次循环后，S＝2，n＝2；第二次循环后，S＝6，n＝3；第三次循环后，S＝14，n＝4；第四次循环后，S＝30，n＝5；第五次循环后，S＝62，n＝6；第六次循环后，S＝126，n＝7，满足S＝126，循环结束．所以条件①为n≤6？，故选B.
3．执行如图所示的程序框图，输出的n为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选B a＝1，n＝1时，条件成立，进入循环体；
a＝，n＝2时，条件成立，进入循环体；
a＝，n＝3时，条件成立，进入循环体；
a＝，n＝4时，条件不成立，退出循环体，此时n的值为4.
1．下列给出的赋值语句中正确的是( )
A．0＝M B．x＝－x
C．B＝A＝－3 D．x＋y＝0
解析：选B 赋值语句不能计算，不能出现两个或两个以上的“＝”，且变量在“＝”左边，故选B.
2．如下图所示的程序框图输出的结果是( )
A．1 B．3
C．4 D．5
解析：选C 由a＝1，
知b＝a＋3＝4，
故输出结果为4.
3．执行如下图所示的程序框图，若输入－2，则输出的结果为( )
A．－5 B．－1
C．3 D．5
解析：选C 根据题意，该框图的含义是求分段函数的函数值．当x>2时，y＝log2x；
当x≤2时，y＝x2－1.
若输入－2，满足x≤2，得y＝x2－1＝3，故选C.
4．如图所示的程序框图的功能是( )
A．求a，b，c中的最大值
B．求a，b，c中的最小值
C．将a，b，c由小到大排列
D．将a，b，c由大到小排列
解析：选A 逐步分析框图中各图框的功能可知，此程序的功能为求a，b，c中的最大值．故选A.
5．(陕西高考)如图所示，当输入x为2 006时，输出的y＝( )
A．28 B．10
C．4 D．2
解析：选B 由题意，当x＝－2时结束循环．
故y＝3－(－2)＋1＝10.
6．(北京高考)执行如图所示程序框图，输出的k值为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选B k＝0，a＝3，q＝；a＝，k＝1；a＝，k＝2；a＝，k＝3；a＝<，k＝4，故k＝4.
7．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a＝________.
解析：a＝14，b＝18.
第一次循环：14≠18且14<18，b＝18－14＝4；
第二次循环：14≠4且14>4，a＝14－4＝10；
第三次循环：10≠4且10>4，a＝10－4＝6；
第四次循环：6≠4且6>4，a＝6－4＝2；
第五次循环：2≠4且2<4，b＝4－2＝2；
第六次循环：a＝b＝2，跳出循环，输出a＝2.
答案：2
8．已知程序如下，若输出的结果为2 016，则输入的x的值为________．
解析：由算法语句可知，该程序是求函数c＝的函数值．由题意知c＝2 016，若x≤0，则有2x＋1＝2 016，解得x＝，显然不合题意；若x>0，则有x2－x＋2 014＝2 016，即x2－x－2＝0，解得x＝－1或x＝2，显然x＝－1不合题意，故x＝2.
答案：2
9．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为________．
解析：第一次循环，s＝×(1×2)＝2，i＝4，k＝2；
第二次循环，s＝×(2×4)＝4，i＝6，k＝3；
第三次循环，s＝×(4×6)＝8，i＝8，k＝4.
此时退出循环，输出s的值为8.
答案：8
10．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s＝________.
解析：程序在运行过程中各变量的值如下：
第一次循环：当n＝1时，得s＝1，a＝3；
第二次循环：当n＝2时，得s＝4，a＝5；
第三次循环：当n＝3时，得s＝9，a＝7，
此时n＝3，不再循环，所以输出s＝9.
答案：9
11．定义n！＝1×2×3×…×n，画求10！的值的程序框图．
解：
12．某商场实行优惠措施，若购物金额x在800元以上(包括800元)，则打8折，若购物金额x在800元以下500元以上(包括500元)，则打9折；否则不打折．设计算法的程序框图，要求输入购物金额x，能输出实际交款额．
解：本题的实质是求函数y＝的值．
程序框图如下：
课件13张PPT。复习课(三) 概 率
古典概型
古典概型是命题的热点，主要考查古典概型概率的求法，常与互斥事件、对立事件结合在一起考查．也有时与抽样方法交汇命题．主要以选择题、填空题为主．有时也出解答题，属中低档题．
1．互斥事件与对立事件的概率
(1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．
(2)当事件A与B互斥时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，当事件A与B对立时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1，即P(A)＝1－P(B)．
(3)求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P()求解．
2．古典概型的求法
对于古典概型概率的计算，关键是分清基本事件的总数n与事件A包含的基本事件的个数m，有时需用列举法把基本事件一一列举出来，再利用公式P(A)＝求出事件发生的概率，这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某种顺序，以保证不重复、不遗漏．
[典例] 甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．
[解] 甲校两名男教师分别用A，B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两名女教师分别用E，F表示．
(1)从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种．
从中选出的2名教师性别相同的结果有：
(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种，
所以选出的2名教师性别相同的概率为P＝.
(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．
从中选出的2名教师来自同一学校的结果有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6种．
所以，选出的2名教师来自同一学校的概率为P＝＝.
[类题通法]
解决与古典概型问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．
1．某导演先从2个金鸡奖和3个百花奖的5位演员名单中挑选2名演主角，后又从剩下的演员中挑选1名演配角．这位导演挑选出2个金鸡奖演员和1个百花奖演员的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 设2个金鸡奖演员编号为1,2,3个百花奖演员编号为3,4,5.从编号为1,2,3,4,5的演员中任选3名有10种挑选方法：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10种．其中挑选出2名金鸡奖和1名百花奖的有3种：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，故所求的概率为P＝.
2．随着经济的发展，人们生活水平的提高，中学生的营养与健康问题越来越得到学校与家长的重视．从学生体检评价报告单了解到我校3 000名学生的体重发育评价情况，得下表：
偏痩
正常
肥胖
女生/人
300
865
y
男生/人
x
885
z
已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏痩男生的概率为0.15.
(1)求x的值；
(2)若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取60名，问应在肥胖学生中抽多少名？
(3)已知y≥243，z≥243，求肥胖学生中男生不少于女生的概率．
解：(1)由题意得，从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏痩男生的概率为0.15，可知＝0.15，所以x＝450.
(2)由题意，可知肥胖学生人数为y＋z＝500(人)．设应在肥胖学生中抽取m人，则＝.所以m＝10.
即应在肥胖学生中抽10名．
(3)由题意，可知y＋z＝500，且y≥243，z≥243，满足条件的基本事件如下：
(243,257)，(244,256)，…，(257,243)，共有15组．
设事件A：“肥胖学生中男生不少于女生”，即y≤z，满足条件的(y，z)的基本事件有：(243,257)，(244,256)，…，(250,250)，共有8组，所以P(A)＝.
所以肥胖学生中男生不少于女生的概率为.
几何概型
题型多为选择题和填空题，主要涉及长度型、面积型以及体积型的几何概率模型．属低档题．
(1)几何概型满足的两个特点：①等可能性；②无限性．
(2)几何概型的概率求法公式
P(A)＝.
[典例] (1)已知平面区域D1＝，D2＝.在区域D1内随机选取一点P，则点P恰好取自区域D2的概率是( )
A. B.
C. D.
(2)把一根均匀木棒随机地按任意点折成两段，则“其中一段长度大于另一段长度2倍”的概率为________．
[解析] (1)因区域D1和D2的公共部分是一个半径为2的圆的，从而所求概率P＝＝，故选C.
(2)将木棒折成两段的折点应位于距木棒两端点小于木棒长度的区域内，故所求概率为2×＝.
[答案] (1)C (2)
[类题通法]
几何概型问题的解题方法
(1)由于基本事件的个数和结果的无限性，其概率就不能应用P(A)＝求解，因此需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解．
(2)在解题时要准确把握，要把实际问题作合理的转化；要注意古典概型和几何概型的区别，正确地选用几何概型的类型解题．
1．如图，两个正方形的边长均为2a，左边正方形内四个半径为的圆依次相切，右边正方形内有一个半径为a的内
切圆，在这两个图形上各随机撒一粒黄豆，落在阴影内的概率分别为P1，P2，则P1，P2的大小关系是( )
A．P1＝P2 B．P1＞P2
C．P1＜P2 D．无法比较
解析：选A 由题意知正方形的边长为2a.左图中圆的半径为正方形边长的，故四个圆的面积和为πa2，右图中圆的半径为正方形边长的一半，圆的面积也为πa2，故P1＝P2.
2．在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log≤1”发生的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 不等式－1≤log≤1可化为log2≤log≤log，即≤x＋≤2，解得0≤x≤，故由几何概型的概率公式得P＝＝.
3．已知区域E＝{(x，y)|0≤x≤3,0≤y≤2}，F＝{(x，y)|0≤x≤3,0≤y≤2，x≥y}，若向区域E内随机投掷一点，则该点落入区域F内的概率为________．
解析：依区域E和区域F的对应图形如图所示．
其中区域E的面积为3×2＝6，区域F的面积为×(1＋3)×2＝4，所以向区域E内随机投掷一点，该点落入区域F内的概率为P＝＝.
答案：
1.同时掷3枚质地均匀的骰子，记录3枚骰子的点数之和，则该试验的基本事件总数是( )
A．15 B．16
C．17 D．18
解析：选B 点数之和可以为3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18，共16个基本事件．
2．某娱乐栏目中的“百宝箱”互动环节是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标中，有5个商标的背面注明了一定的奖金额，其余商标的背面是一张苦脸，若翻到带苦脸的商标就不获奖．参加这个游戏的观众有三次翻商标的机会．某观众前两次翻商标均获若干奖金，如果翻过的商标不能再翻，那么这位观众第三次翻商标获奖的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 该观众翻两次商标后，还有18个商标，其中有3个含奖金，所以第三次翻商标获奖的概率为P＝＝.
3．欧阳修在《卖油翁》中写道：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．已知铜钱是直径为3 cm的圆，中间有边长为1 cm的正方形孔．若你随机向铜钱上滴一滴油，则这滴油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 本题显然是几何概型，用A表示事件“这滴油正好落入孔中”，可得P(A)＝＝＝.
4．掷一枚质地均匀的硬币两次，事件M＝{一次正面向上，一次反面向上}，事件N＝{至少一次正面向上}．则下列结果正确的是( )
A．P(M)＝，P(N)＝ B．P(M)＝，P(N)＝
C．P(M)＝，P(N)＝ D．P(M)＝，P(N)＝
解析：选B 掷一枚质地均匀的硬币两次，所有基本事件为(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，所以P(M)＝＝，P(N)＝.
5．在全运会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 从1,2,3,4,5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，所以选出的火炬手的编号相连的概率为P＝.
6．任意抛掷两颗骰子，得到的点数分别为a，b，则点P(a，b)落在区域|x|＋|y|≤3中的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 基本事件为6×6＝36，P(a，b)落在区域|x|＋|y|≤3中的有(1,1)，(1,2)，(2,1)，所以P＝＝.
7．为了调查新疆阿克苏野生动物保护区内鹅喉羚的数量，调查人员逮到这种动物400只做过标记后放回．一个月后，调查人员再次逮到该种动物800只，其中做过标记的有2只，估算该保护区共有鹅喉羚________只．
解析：设保护区内共有鹅喉羚x只，每只鹅喉羚被逮到的概率是相同的，所以≈，解得x≈160 000.
答案：160 000
8．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈.若|a－b|≤1，则称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为________．
解析：当a为0时，b只能取0,1两个数；当a为9时，b只能取8,9两个数；当a取其他数时，b都可以取3个数，所以他们“心有灵犀”的情况共有28种，又基本事件总数为100，所以所求的概率为＝0.28.
答案：0.28
9．在一棱长为6 cm的密闭的正方体容器内，自由飘浮着一气泡(大小忽略不计)，则该气泡距正方体的顶点不小于1 cm的概率为________．
解析：距离顶点小于1 cm的所有点对应的区域可构成一个半径为1 cm的球，其体积为，正方体的体积为216，故该气泡距正方体的顶点不小于1 cm的概率为1－.
答案：1－
10．设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
解：设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”，当a≥0，b≥0时，此方程有实根的条件是a≥b.
从两组数中各取数一个数的所有的基本事件有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共12个(其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值)，事件A包含的基本事件有(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共9个．故P(A)＝＝.
11．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
解：(1)由题意，(a，b，c)所有可能的结果为：(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．
设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，
则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种，
所以P(A)＝＝，
因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.
(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，
则事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种，所以P(B)＝1－P()＝1－＝，因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.
12．如图，从A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0，0,1)，C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点．
(1)求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；
(2)求这3点与原点O共面的概率．
解：从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是：x轴上取2个点的有A1A2B1，A1A2B2，A1A2C1，A1A2C2，共4种；y轴上取2个点的有B1B2A1，B1B2A2，B1B2C1，B1B2C2，共4种；z轴上取2个点的有C1C2A1，C1C2A2，C1C2B1，C1C2B2，共4种．
所选取的3个点在不同坐标轴上有A1B1C1，A1B1C2，A1B2C1，A1B2C2，A2B1C1，A2B1C2，A2B2C1，A2B2C2，共8种．因此，从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共4＋4＋4＋8＝20种．
(1)选取的这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有A1B1C1，A2B2C2，共2种，因此，这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为P1＝＝.
(2)选取的这3个点与原点O共面的所有可能结果有A1A2B1，A1A2B2，A1A2C1，A1A2C2，B1B2A1，B1B2A2，B1B2C1，B1B2C2，C1C2A1，C1C2A2，C1C2B1，C1C2B2，共12种，因此，这3个点与原点O共面的概率为P2＝＝.
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为( )
A．0.95 B．0.7
C．0.35 D．0.05
解析：选D “抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件，所以“抽到一等品或二等品”的概率为0.65＋0.3＝0.95，“抽到不合格品”与“抽到一等品或二等品”是对立事件，故其概率为1－0.95＝0.05.
2．总体容量为203，若采用系统抽样法进行抽样，当抽样间距为多少时不需要剔除个体( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选D 由于203＝7×29，即203在四个选项中只能被7整除，故间隔为7时不需剔除个体．
3．如图所示是计算函数y＝
的值的程序框图，则在①、②、③处应分别填入的是( )
A．y＝－x，y＝0，y＝x2
B．y＝－x，y＝x2，y＝0
C．y＝0，y＝x2，y＝－x
D．y＝0，y＝－x，y＝x2
解析：选B 框图为求分段函数的函数值，当x≤－1时，y＝－x，故①y＝－x，当－1＜x≤2时，y＝0，故③为y＝0，那么②y＝x2.
4．某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重(单位：kg)数据进行整理后分为五组，并绘制频率分布直方图(如图所示)．根据一般标准，高三男生的体重超过65 kg属于偏胖，低于55 kg属于偏瘦．已知图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的纵坐标分别为0.05,0.04,0.02,0.01，第二小组的频数为400，则该校高三年级的男生总数和体重正常的频率分别为( )
A．1 000,0.50 B．800,0.50
C．800,0.60 D．1 000,0.60
解析：选D 第二小组的频率为0.40，所以该校高三年级的男生总数为＝1 000(人)；体重正常的频率为0.40＋0.20＝0.60.
5．现有甲、乙两颗骰子，从1点到6点出现的概率都是，掷甲、乙两颗骰子，设分别出现的点数为a，b时，则满足a＜|b2－2a|＜的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B ∵试验发生包含的总的基本事件有36种，满足条件的事件需要进行讨论．
若a＝1时，b＝2或3；若a＝2时，b＝1；
∴共有3种情况满足条件，
∴概率为P＝＝.
6．为积极倡导“学生每天锻炼一小时”的活动，某学校举办了一次以班级为单位的广播操比赛，9位评委给高三(1)班打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是( )
评委给高三(1)班打出的分数
A.2 B．3
C．4 D．5
解析：选A ∵由题意知记分员在去掉一个最高分94和一个最低分87后，余下的7个数字的平均数是91，即
＝91.
∴635＋x＝91×7＝637，∴x＝2.
7．点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|＜1的概率为( )
A. B.
C. D．π
解析：选C 如图所示，动点P在阴影部分满足|PA|＜1，该阴影是半径为1，圆心角为直角的扇形，其面积为S′＝，又正方形的面积是S＝1，则动点P到定点A的距离|PA|＜1的概率为＝.
8.甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5名评委打的分数用茎叶图表示(如右图)．s1，s2分别表示甲、乙选手分数的标准差，则s1与s2的关系是( )
A．s1＞s2 B．s1＝s2
C．s1＜s2 D．不确定
解析：选C 由茎叶图可知：甲得分为78,81,84,85,92；乙得分为76,77,80,94,93.则甲＝84，乙＝84，则s1＝＝，同理s2＝，故s1＜s2，所以选C.
9．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 随机取出2个小球得到的结果数有10种，取出的小球标注的数字之和为3或6的结果为，，，共3种，故所求概率为.
10．将二进制数110 101(2)转化为十进制数为( )
A．106 B．53
C．55 D．108
解析：选B 110 101(2)＝1×25＋1×24＋0×23＋1×22＋0×2＋1×20＝53.
11．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8,9～16，…，153～160)，若第16组得到的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是( )
A．8 B．6
C．4 D．2
解析：选B ∵＝8，∴抽样间隔为8，
∴第1组中号码为126－15×8＝6.
12．某公司共有职工8 000名，从中随机抽取了100名，调查上、下班乘车所用时间，得下表：
所用时间
(分钟)
[0,20)
[20,40)
[40,60)
[60,80)
[80,100]
人数
25
50
15
5
5
公司规定，按照乘车所用时间每月发给职工路途补贴，补贴金额y(元)与乘车时间t(分钟)的关系是y＝200＋40，其中表示不超过的最大整数．以样本频率为概率，则公司一名职工每月用于路途补贴不超过300元的概率为( )
A．0.5 B．0.7
C．0.8 D．0.9
解析：选D 由题意知y≤300，
即200＋40≤300，
即≤2.5，解得0≤t<60，
由表可知t∈[0,60)的人数为90人，
故所求概率为＝0.9.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．将参加数学竞赛的1 000名学生编号如下：0 001，0 002，…，1 000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，从第一部分随机抽取一个号码为0 015，则第40个号码为________．
解析：根据系统抽样方法的定义，得第40个号码对应15＋39×20＝795，即得第40个号码为0 795.
答案：0 795
14．有一根长为1米的细绳子，随机从中间将细绳剪断，则使两截的长度都大于米的概率为________．
解析：如图，将细绳八等分，C，D分别是第一个和最后一个等分点，则在线段CD的任意位置剪断此绳得到的两截细绳长度都大于米．由几何概型的概率计算公式可得，两截的长度都大于米的概率为P＝＝.
答案：
15．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是________(结果用最简分数表示)．
解析：从中任意取出两个的所有基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，…，(2,3)，(2,4)，…，(6,7)共21个．而这两个球编号之积为偶数的有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(3,4)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(6,7)共15个．故所求的概率P＝＝.
答案：
16．某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：
产量x(千件)
2
3
5
6
成本y(万元)
7
8
9
12
由表中数据得到的线性回归方程＝x＋中＝1.1，预测当产量为9千件时，成本约为________万元．
解析：由表中数据得＝4，＝9，代入回归直线方程得＝4.6，∴当x＝9时，＝1.1×9＋4.6＝14.5.
答案：14.5
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)某制造商3月生产了一批乒乓球，随机抽样100个进行检查，测得每个球的直径(单位：mm)，将数据分组如下：
分组
频数
频率
[39.95,39.97)
10
[39.97,39.99)
20
[39.99,40.01)
50
[40.01,40.03]
20
合计
100
(1)请在上表中补充完成频率分布表(结果保留两位小数)，并在图中画出频率分布直方图；
(2)若以上述频率作为概率，已知标准乒乓球的直径为40.00 mm，试求这批球的直径误差不超过0.03 mm的概率；
(3)统计方法中，同一组数据经常用该组区间的中点值(例如区间[39.99,40.01)的中点值是40.00)作为代表．据此估计这批乒乓球直径的平均值(结果保留两位小数)．
解：(1)频率分布表如下：
分组
频数
频率
[39.95,39.97)
10
0.10
5
[39.97,39.99)
20
0.20
10
[39.99,40.01)
50
0.50
25
[40.01,40.03]
20
0.20
10
合计
100
1
频率分布直方图如图．
(2)误差不超过0.03 mm，即直径落在[39.97,40.03]范围内的概率为0.2＋0.5＋0.2＝0.9.
(3)整体数据的平均值约为39.96×0.10＋39.98×0.20＋40.00×0.50＋40.02×0.20≈40.00(mm)．
18.(本小题满分12分)某电脑公司现有A，B，C三种型号的甲品牌电脑和D，E两种型号的乙品牌电脑．希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各随机选购一种型号的电脑，有关报价信息如图．
(1)写出所有选购方案；
(2)如果(1)中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号电脑被选中的概率是多少？
解：(1)画出树状图如图：
则选购方案为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)．
(2)A型号电脑被选中的情形为(A，D)，(A，E)，即基本事件为2种，所以A型号电脑被选中的概率为P＝＝.
19．(本小题满分12分)随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示.
(1)计算甲班的样本方差；
(2)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率．
解：(1)甲班的平均身高为
＝(158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋182)＝170，
甲班的样本方差为
s2＝[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2.
(2)设“身高为176 cm的同学被抽中”的事件为A，用(x，y)表示从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm的同学的身高，则所有的基本事件有
(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)，共10个基本事件，
而事件A含有(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)，共4个基本事件，
故P(A)＝＝.
20．(本小题满分12分)甲、乙两人参加知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．
(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
解：甲、乙两人各抽一题共有20种情况．把3个选择题记为x1，x2，x3,2个判断题记为p1，p2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；
“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种．
(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为＝，
“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为＝，
故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为＋＝.
(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为＝，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－＝.
21．(本小题满分12分)某车间为了规定工时定额，需要确定加工某零件所花费的时间，为此作了四次实验，得到的数据如下：
零件的个数x(个)
2
3
4
5
加工的时间y(小时)
2.5
3
4
4.5
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
(2)求出y关于x的线性回归方程；
(3)试预测加工10个零件需要多少时间？
注：＝，＝－.
解：(1)散点图如图所示．
(2)由表中数据得：
iyi＝52.5，＝3.5，
＝3.5，＝54.
∴＝＝0.7，
∴＝3.5－0.7×3.5＝1.05，
∴＝0.7x＋1.05.
(3)将x＝10代入回归直线方程，
得＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)．
∴预测加工10个零件需要8.05小时．
22．(本小题满分12分)(2015·全国卷Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．
图①
B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
频数
2
8
14
10
6
(1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)．
图②
(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．
解：(1)如图所示．
通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散．
(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．
记CA表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；CB表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”．由直方图得P(CA)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(CB)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.
所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．
课件21张PPT。复习课(二) 统 计
抽样方法
系统抽样、分层抽样是各类考试命题的热点．多以选择、填空题形式出现，有时与用样本估计总体或概率问题交汇命题．属于中、低档题．
1．简单随机抽样
(1)特征：
①一个一个不放回的抽取；
②每个个体被抽到可能性相等．
(2)常用方法：
①抽签法；
②随机数表法．
2．系统抽样
(1)适用环境：当总体中个数较多时，可用系统抽样．
(2)操作步骤：将总体平均分成几个部分，再按照一定方法从每个部分抽取一个个体作为样本．
3．分层抽样
(1)适用范围：当总体由差异明显的几个部分组成时可用分层抽样．
(2)操作步骤：将总体中的个体按不同特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比实施抽样．
[典例] (1)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查．为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为( )
A．7 B．9
C．10 D．15
(2)某地区有小学150所，中学75所，大学25所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取________所学校，中学中抽取________所学校．
[解析] (1)从960人中用系统抽样方法抽取32人，则每30人抽取一人，因为第一组抽到的号码为9，则第二组抽到的号码为39，第n组抽到的号码为an＝9＋30(n－1)＝30n－21，由451≤30n－21≤750，得≤n≤，所以n＝16,17，…，25，共有25－16＋1＝10人．
(2)小学中抽取30×＝18所学校；从中学中抽取30×＝9所学校．
[答案] (1)C (2)18 9
[类题通法]
1．系统抽样的特点
(1)适用于元素个数很多且均衡的总体．
(2)各个个体被抽到的机会均等．
(3)总体分组后，在起始部分抽样时采用的是简单随机抽样．
(4)如果总体容量N能被样本容量n整除，则抽样间隔为k＝.
2．与分层抽样有关问题的常见类型及解题策略
(1)确定抽样比．可依据各层总数与样本数之比，确定抽样比．
(2)求某一层的样本数或总体个数．可依据题意求出抽样比，再由某层总体个数(或样本数)确定该层的样本(或总体)数．
(3)求各层的样本数．可依据题意，求出各层的抽样比，再求出各层样本数．
1．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )
A．抽签法 B．系统抽样法
C．分层抽样法 D．随机数法
解析：选C 根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法．
2．某学校高一、高二、高三3个年级共有430名学生，其中高一年级学生160名，高二年级学生180名，为了解学生身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中高二学生有32人，则该样本中高三学生人数为________．
解析：高三年级学生人数为430－160－180＝90，设高三年级抽取x人，由分层抽样可得＝，解得x＝16.
答案：16
3．某单位有职工960人，其中青年职工420人，中年职工300人，老年职工240人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为14人，则样本容量为________．
解析：因为分层抽样的抽样比应相等，所以＝，样本容量＝＝32.
答案：32
用样本的频率分布估计总体的频率分布
题型既有选择题、填空题，也有解答题，主要考查频率分布直方图的画法以及频率分布直方图的读图问题．
1．频率分布直方图
2．茎叶图
[典例] (1)如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，
其中平均气温的范围是[20.5,26.5]．样本数据的分组为[20.5，21.5)，[21.5,22.5)，[22.5，23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5]．已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为________．
(2)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．
①求图中a的值；
②根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
③若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数．
分数段
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
x∶y
1∶1
2∶1
3∶4
4∶5
[解析] (1)设样本容量为n，则n×(0.1＋0.12)×1＝11，所以n＝50，故所求的城市个数为50×0.18＝9.
答案：9
(2)解：①由频率分布直方图可知(0.04＋0.03＋0.02＋2a)×10＝1.
所以a＝0.005.
②该100名学生的语文成绩的平均分约为
＝0.05×55＋0.4×65＋0.3×75＋0.2×85＋0.05×95＝73.
③由频率分布直方图及已知的语文成绩、数学成绩分布在各分数段的人数比，可得下表：
分数段
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
x
5
40
30
20
x∶y
1∶1
2∶1
3∶4
4∶5
y
5
20
40
25
于是数学成绩在[50,90)之外的人数为
100－(5＋20＋40＋25)＝10.
[类题通法]
与频率分布直方图有关问题的常见类型及解题策略
(1)已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据，可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1就可求出其他数据．
(2)已知频率分布直方图，求某种范围内的数据，可利用图形及某范围结合求解．
1.如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的频率为( )
A．0.2 B．0.4
C．0.5 D．0.6
解析：选B 由茎叶图可知数据落在区间[22,30)内的频数为4，所以数据落在区间[22,30)内的频率为＝0.4，故选B.
2．为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示．根据此图，估计该校2 000名高中男生中体重大于70.5公斤的人数为( )
A．300 B．360
C．420 D．450
解析：选B 样本中体重大于70.5公斤的频率为：
(0.04＋0.034＋0.016)×2＝0.090×2＝0.18.
故可估计该校2 000名高中男生中体重大于70.5公斤的人数为：2 000×0.18＝360(人)．
3．某商场在庆元宵节促销活动中，对元宵节9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为________万元．
解析：总销售额为＝25(万元)，故11时至12时的销售额为0.4×25＝10(万元)．
答案：10
用样本的数字特征估计总体的数字特征
题型为选择题或填空题，常与直观图、茎叶图等内容相结合命题．
有关数据的数字特征
[典例] (1)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )
A．46,45,56 B．46,45,53
C．47,45,56 D．45,47,53
(2)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
(3)由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列)
[解析] (1)从茎叶图中可以看出样本数据的中位数为中间两个数的平均数，即＝46，众数为45，极差为68－12＝56，故选择A.
(2)由题意可知，甲的成绩为4,5,6,7,8，乙的成绩为5,5,5,6,9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A错；甲、乙的成绩的中位数分别为6,5，B错；甲、乙的成绩的方差分别为×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝，C对；甲、乙的成绩的极差均为4，D错．故选C.
(3)假设这组数据按从小到大的顺序排列为x1，x2，x3，x4，则∴
又s＝
＝
＝＝1，
∴(x1－2)2＋(x2－2)2＝2.
同理可求得(x3－2)2＋(x4－2)2＝2.
由x1，x2，x3，x4均为正整数，且(x1，x2)，(x3，x4)均为圆(x－2)2＋(y－2)2＝2上的点，分析知x1，x2，x3，x4应为1,1,3,3.
[答案] (1)A (2)C (3)1,1,3,3
[类题通法]
平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小．
1．(山东高考)为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：
①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；
②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；
③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；
④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．
其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
解析：选B 法一：∵甲＝＝29，
乙＝＝30，
∴甲<乙，
又s＝＝，s＝＝2，
∴s甲>s乙．故可判断结论①④正确．
法二：甲地该月14时的气温数据分布在26和31之间，且数据波动较大，而乙地该月14时的气温数据分布在28和32之间，且数据波动较小，可以判断结论①④正确，故选B.
2．甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温(单位：℃)用茎叶图记录如图所示，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是__________，气温波动较大的城市是__________.
解析：根据题中所给的茎叶图可知，甲城市上半年的平均温度为＝16，乙城市上半年的平均温度为＝19，故两城市中平均温度较高的是乙城市，观察茎叶图可知，甲城市的温度更加集中在峰值附近，故乙城市的温度波动较大．
答案：乙 乙
3．甲、乙两台机床同时加工直径为100 mm的零件，为了检验产品的质量，从产品中各随机抽取6件进行测量，测得数据如下(单位：mm)：
甲：99,100,98,100,100,103；
乙：99,100,102,99,100,100.
(1)分别计算上述两组数据的平均数和方差；
(2)根据(1)的计算结果，说明哪一台机床加工的这种零件更符合要求．
解：(1)甲＝＝100(mm)，
乙＝＝100(mm)，
s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝(mm2)，
s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1(mm2)．
(2)因为s＞s，说明甲机床加工零件波动比较大，因此乙机床加工零件更符合要求.
线性回归
主要考查线性相关关系的判断，回归方程的求法以及利用回归分析解决实际问题．考查形式为选择题、填空题、解答题，属于中低档题．
1．两个变量的线性相关
(1)散点图：将样本中n个数据点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的图形．
(2)正相关与负相关：
①正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域．
②负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域．
2．回归直线的方程
(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
(2)线性回归方程：
方程＝x＋是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的线性回归方程，其中a，b是待定参数．
[典例] 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x(元)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y(件)
90
84
83
80
75
68
(1)求回归直线方程＝x＋，其中＝－20，＝－；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
[解] (1)由于＝(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，＝(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.
所以＝－＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为＝－20x＋250.
(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得
L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)
＝－20x2＋330x－1 000
＝－20(x－8.25)2＋361.25.
当且仅当x＝8.25时，L取得最大值．
故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．
[类题通法]
(1)线性回归分析就是研究两组变量间线性相关关系的一种方法，通过对统计数据的分析，可以预测可能的结果，这就是线性回归方程的基本应用，因此利用最小二乘法求线性回归方程是关键，必须熟练掌握线性回归方程中两个重要估计量的计算．
(2)回归直线方程恒过点(，)．
某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：
日期
1月10日
2月10日
3月10日
4月10日
5月10日
6月10日
昼夜温
差x(℃)
10
11
13
12
8
6
就诊人数
y(人)
22
25
29
26
16
12
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．
(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；
(2)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程＝x＋；
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？
解：(1)将6组数据按月份顺序编号为1,2,3,4,5,6，从中任取两组数据，基本事件构成的集合为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}共15个基本事件，设抽到相邻两个月的事件为A，则A＝{(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)}共5个基本事件，
∴P(A)＝＝.
(2)由表中数据求得＝11，＝24，
iyi＝1 092，＝498.
代入公式可得＝.
再由＝－，求得＝－，
所以y关于x的线性回归方程为
＝x－.
(3)当x＝10时，＝，＝＜2；
同样，当x＝6时，＝，＝＜2.
所以该小组所得线性回归方程是理想的．
1．某全日制大学共有学生5 600人，其中专科生有1 300人、本科生有3 000人、研究生有1 300人，现采用分层抽样的方法抽取280人，调查学生利用因特网查找学习资料的情况，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取( )
A．65人，150人，65人
B．30人，150人，100人
C．93人，94人，93人
D．80人，120人，80人
解析：选A 抽样比为＝，所以专科生应抽取×1 300＝65(人)，本科生应抽取×3 000＝150(人)，研究生应抽取×1 300＝65(人)，故选A.
2．某学校为调查学生的学习情况，对学生的课堂笔记进行了抽样调查，已知某班级一共有56名学生，根据学号(001～056)，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知007号、021号、049号在样本中，那么样本中还有一个学生的学号为( )
A．014 B．028
C．035 D．042
解析：选C 由系统抽样的原理知抽样的间隔为＝14，故第一组的学号为001～014，所以007为第一组内抽取的学号，所以第二组抽取的学号为021；第三组抽取的学号为035；第四组抽取的学号为049.故选C.
3．如图是2016年某中学举行的校园之星评选活动中，七位评委为某位同学打出的分数的茎叶图，则该组数据的中位数和众数分别为( )
A.86,84 B．84,84
C．85,84 D．85,93
解析：选B 将打分按从小到大的顺序排列为79,84,84,84,86,87,93，则中位数为84，而众数就是出现次数最多的数，即84，故选B.
4．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )
A. 6 B. 8
C. 12 D. 18
解析：选C 由题意，第一组和第二组的频率之和为0.24＋0.16＝0.4，故样本容量为＝50，又第三组的频率为0.36，故第三组的人数为50×0.36＝18，故该组中有疗效的人数为18－6＝12.
5．某题的得分情况如下：
得分/分
0
1
2
3
4
频率/%
37.0
8.6
6.0
28.2
20.2
其中众数是( )
A．37.0% B．20.2%
C．0分 D．4分
解析：选C 根据众数的概念可知C正确．
6．观察下列各图：
其中两个变量x，y具有相关关系的图是( )
A．①② B．①④
C．③④ D．②③
解析：选C 由散点图知③④具有相关关系．
7．某学生在一门功课的22次考试中，所得分数如茎叶图所示，则该学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为________.
解析：最大数为98，最小数为56，极差为98－56＝42，中位数为76，所以极差与中位数之和为118.
答案：118
8．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系：
时间x
1
2
3
4
5
命中率y
0.4
0.5
0.6
0.6
0.4
小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________．
解析：平均命中率＝×(0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4)＝0.5；而＝3，xiyi＝7.6，x＝55，由公式得＝0.01，＝－ ＝0.5－0.01×3＝0.47，∴＝0.01x＋0.47，令x＝6，得＝0.53.
答案：0.5 0.53
9．某高中共有学生900人，其中高一年级240人，高二年级260人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为45的样本，则在高三年级抽取的人数是________．
解析：高三的人数为900－240－260＝400，所以在高三抽取的人数为×400＝20.
答案：20
10．(重庆高考改编)20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图：
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)分别求出成绩落在[50,60]与[60,70]中的学生人数．
解：(1)据直方图知组距为10，由(2a＋3a＋7a＋6a＋2a)×10＝1，解得a＝＝0.005.
(2)成绩落在[50,60)中的学生人数为2×0.005×10×20＝2.
成绩落在[60,70)中的学生人数为3×0.005×10×20＝3.
11．高三某班学生每周用于物理学习的时间x(单位：小时)与物理成绩y(单位：分)之间有如下关系：
x
24
15
23
19
16
11
20
16
17
13
y
92
79
97
89
64
47
83
68
71
59
根据上表可得回归方程的斜率为3.53，求回归直线在y轴上的截距．(保留一位小数)
解：由已知可得
＝＝17.4，
＝＝74.9.
设回归直线方程为＝3.53x＋，
则74.9＝3.53×17.4＋，
解得≈13.5.
12．为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2．5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3．2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1．6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
解：(1)设A药观测数据的平均数为，B药观测数据的平均数，由观测结果可得
＝×(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，
＝×(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6，由以上计算结果可得＞，
因此可以看出A药的疗效更好．
(2)由观测结果可绘制如下茎叶图
从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎2,3上，B药疗效的试验结果有的叶集中在茎0,1上，由此可以看出A药的疗效更好．
课件46张PPT。
