18.2.1 矩形（2）同步练习
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18.2.1矩形（2）同步练习
姓名：__________班级：__________学号：__________
本节应掌握和应用的知识点
１.有一个角是直角的平行四边形是矩形．
２.对角线相等的平行四边形是矩形．
３.有三个角是直角的四边形是矩形．
基础知识和能力拓展训练
一、选择题
1．下列叙述错误的是（ ）
A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
C. 矩形的对角线相等 D. 对角线相等的四边形是矩形
2．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A. AB=CD B. OA=OC，OB=OD C. AC⊥BD D. AB∥CD，AD=BC
3．如已知：线段AB，BC，∠ABC = 90°. 求作：矩形ABCD. 以下是甲、乙两同学的作业：
对于两人的作业，下列说法正确的是（ ）
A. 两人都对 B. 两人都不对 C. 甲对，乙不对 D. 甲不对，乙对
4．矩形ABCD中，E，F，M为AB，BC，CD边上的点，且AB=6，BC=7，AE=3，DM=2，EF⊥FM，则EM的长为（ ）
A. 5 B. C. 6 D.
5．如图，E，F分别是矩形ABCD边AD、BC上的点，且△ABG，△DCH的面积分别为15和20，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 15 B. 20 C. 35 D. 40
6．如图，矩形ABCD中，BC=2AB，对角线相交于O，过C点作CE⊥BD交BD于E点，H为BC中点，连接AH交BD于G点，交EC的延长线于F点，下列5个结论：①EH=AB；②∠ABG=∠HEC；③△ABG≌△HEC；④S△GAD=S四边形GHCE；⑤CF=BD．正确的有（ ）个
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7．如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,E为AB上一点,分别以ED,EC为折痕将两个角(∠A,∠B)向内折起,点A,B恰好落在CD边的点F处.若AD=3,BC=5,则EF的值是 ( )
A. B. 2 C. D. 2
8．如图，E是矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AFE，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点，若∠AEB＝55°，则∠DAF＝（ ）
A. 40° B. 35° C. 20° D. 15°
9．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，AB=2，∠ABE=45°，则DE的长为( )
A. 2-2 B. -1 C. -1 D. 2-
10．有一块矩形的牧场如图1，它的周长为700米．将它分隔为六块完全相同的小矩形牧场，如图2，每一块小矩形牧场的周长是（ ）
A. 150米 B. 200米 C. 300米 D. 400米
二、填空题
11．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，∠ABC＝90°，则四边形ABCD是________；若AC＝5cm，则BD＝________．
12．平行四边形ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①∠ABC=90°；②AC⊥BD；③AB=BC；④AC平分∠BAD；⑤AO=DO．使得四边形ABCD是矩形的条件有________
13．如图，矩形ABCD中，AB=8cm，BC=3cm，E是DC的中点，BF=FC，则四边形DBFE的面积为_______ cm2．
14．如图，在△ABC，AB=AC，点D为BC的中点，AE是∠BAC外角的平分线，DE//AB交AE于E，则四边形ADCE的形状是___________.
15．已知：如图，矩形ABCD中，E，F是CD的两个点，EG⊥AC，FH⊥AC，垂足分别为G，H，若AD=2，DE=1，CF=2，且AG=CH，则EG+FH=_____．
16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则△AEF的周长为________cm．
三、解答题
17．如图，Rt△ABE与Rt△DCF关于直线m对称，已知∠B=90°，∠C=90°，连接EF，AD，点B，E，F，C在同一条直线上．求证：四边形ABCD是矩形．
18．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD为BC边上的高，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AC，AE与DE交于点E，AB与DE交于点F，连结BE．求四边形AEBD的面积
19．如图，在 ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF.
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若CF＝6，BF＝8，DF＝10，求证：AF是∠DAB的平分线．
20．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F．
⑴求证：ΔABF≌ΔEDF；
⑵将折叠的图形恢复原状，点F与BC边上的点G正好重合，连接DG，若AB=6，BC=8，求DG的长.
21．如图，在 ABCD中，各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．
（1）求证：△ABG≌△CDE；
（2）猜一猜：四边形EFGH是什么样的特殊四边形？证明你的猜想；
（3）若AB=6，BC=4，∠DAB=60°，求四边形EFGH的面积．
22．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=8，CF=6，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？
并说明理由．
参考答案
1．D
【解析】A. 平行四边形的对角线互相平分，正确，不符合题意；B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；C. 矩形的对角线相等，正确，不符合题意；D. 对角线相等的四边形是矩形，也可能是等腰梯形，也可能是一般四边形，故错误，符合题意，
故选D.
2．B
【解析】解：A．由AB=DC，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；
B．∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．故正确；
C．由AC⊥BD，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形，故错误．
D．由AB∥CD，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形，故错误．
故选B．
点睛：本题考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键，记住对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是90度的平行四边形是矩形，有三个角是90度的四边形是矩形，属于中考常考题型．
3．A
【解析】由甲同学的作业可知，CD=AB，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴ ABCD是矩形．
所以甲的作业正确；
由乙同学的作业可知，CM=AM，MD=MB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴ ABCD是矩形．
所以乙的作业正确；
故选A．
4．B
【解析】
过E作EG⊥CD于G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
又∵EG⊥CD，
∴∠EGD=90°，
∴四边形AEGD是矩形，
∴AE=DG，EG=AD，
∴EG=AD=BC=7，MG=DG DM=3 2=1，
∵EF⊥FM，
∴△EFM为直角三角形，
∴在Rt△EGM中,
EM====.
故选B.
点睛：本题考查了矩形的判定、勾股定理等知识，过E作EG⊥CD于G，利用矩形的判定可得，四边形AEGD是矩形，则AE=DG，EG=AD，于是可求MG=DG-DM=1，在Rt△EMG中，利用勾股定理可求EM．
5．C
【解析】试题解析：连接EF，由图可知 ，那么 ，
所以 ，同理， ，则,
故本题应选C.
6．B
【解析】试题解析：由图可知， ，因为 ,所以 ,故①正确；
因为 ,所以 ,由于 ， ，所以 ,则 ,故②正确；
在△ABG与△HEC中， ，从而两三角形不全等，故③错误；
过点A作AM⊥BG于点M，由图可知 ，而 ，即
，则 ，故④错误；
因为 ， ， ，所以
，又因为 ，所以 ，则
，故⑤正确.
综上所述，正确的结论有3个，故选B.
点睛：矩形的对角线相等且相互平分.
7．A
【解析】先根据折叠的性质得EA=EF,BE=EF,DF=AD=3,CF=CB=5,则AB=2EF,DC=8,再作DH⊥BC于H,因为AD∥BC, ∠B=90°,则可判定四边形ABHD为矩形,所以DH=AB=2EF,
HC=BC－AD=2,然后在Rt△DHC中,利用勾股定理计算出DH=,所以EF=.
8．C
【解析】∵△ABE沿AE折叠到△AEF，
∴∠BAE=∠FAE，
∵∠AEB=55°，∠ABE=90°，
∴∠BAE=90° 55°=35°，
∴∠DAF=∠BAD ∠BAE ∠FAE=90° 35° 35°=20°，
故答案为：20°，故选C.
9．A
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC.
∴∠DEC=∠BCE.
∵EC平分∠DEB，
∴∠DEC=∠BEC.
∴∠BEC=∠ECB.
∴BE=BC.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°.
∵∠ABE=45°，
∴∠ABE=AEB=45°.
∴AB=AE=2.
∵由勾股定理得：BE= =，
∴BC=BE=.
∴DE=AD-AE=BC-AB=-2
故选：A.
点睛：本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理的应用等知识；要学会添加常用的辅助线，构造特殊三角形来解决问题.熟练掌握矩形的性质、等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键.
10．C
【解析】试题分析：根据题意设小长方形的长为x，宽为y，则可知2（2x+3y）=700，且2y+x=2x，解得y=50，x=100，所以小长方形的周长为300米.
故选：C.
11． 矩形 5cm
【解析】试题解析：∵AO＝OC，BO＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形。
∴AC=BD
∵AC=5cm
∴BD=5cm
12．①⑤
【解析】解：要使得平行四边形ABCD为矩形添加：①∠ABC=90°；⑤AO=DO2个即可；故答案为：①⑤．
13．8
【解析】试题解析：∵矩形ABCD中，AB=8cm，BC=3cm，E是DC的中点，BF=FC，
∴∠C=90°，AB=DC=8cm，DE=CE=4cm，CF=2cm，BF=1cm，
∴四边形DBFE的面积是S△BDC-S△CEF=×8cm×3cm-×2cm×4cm=8cm2
14．矩形
【解析】∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵AE是∠BAC的外角平分线，
∴∠FAE=∠EAC，
∵∠B+∠ACB=∠FAE+∠EAC，
∴∠B=∠ACB=∠FAE=∠EAC，
∴AE∥CD，
又∵DE∥AB，
∴四边形EABD是平行四边形，
∴AE平行且等于BD，
又∵BD=DC，
∴AE平行且等于DC，
故四边形ADCE是平行四边形，
又∵∠ADC=90°，
∴平行四边形EADC是矩形．
即四边形EADC是矩形．
故答案是：矩形。
【点睛】首先利用外角性质得出∠B=∠ACB=∠FAE=∠EAC，进而得到AE∥CD，即可求出四边形AEDB是平行四边形，再利用平行四边形的性质求出四边形ADCE是平行四边形，即可求出四边形ADCE是矩形．
15．
【解析】试题解析：如图所示，过E点作EM⊥AB交AB于点M，延长EG交AB于点Q，
在△AQG和△CFH中，
，
所以△AQG≌△CFH（ASA）, FH=QG，AQ=CF=2.
∴在△AQG中，MQ=1，EM=2，EQ=EG+GQ=EG+FH=.
16．9
【解析】利用勾股定理求出AC，再根据矩形的对角线互相平分且相等求出OA=OD=AC，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF=OD，再求出AF，AE，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
解：由勾股定理得，AC===10cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD=AC=×10=5cm，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF=OD=cm，
AF=×8=4cm，
AE=OA=cm，
∴△AEF的周长=+4+=9cm.
故答案为：9.
17．证明见解析.
【解析】试题分析：先利用对称证明ABCD是平行四边形，因为∠B=90°，所以四边形ABCD是矩形.
试题解析：
解：∵Rt△ABE与Rt△DCF关于直线m对称，
∴AB=DC.
∵∠B=90°，∠C=90°，点B，E，F，C在同一条直线上，
∴AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠B=90°，∴平行四边形ABCD是矩形．
18．12.
【解析】试题分析：利用平行四边形的性质和矩形的判定定理推知平行四边形AEBD是矩形．在Rt△ADC中，由勾股定理可以求得AD的长度，由等腰三角形的性质求得CD（或BD）的长度，则矩形的面积=长×宽=AD BD=AD CD．
试题解析：解：∵AE∥BC，BE∥AC，∴四边形AEDC是平行四边形，∴AE=CD．
在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，∴∠ADB=90°，BD=CD，∴BD=AE，∴平行四边形AEBD是矩形．
在Rt△ADC中，∠ADB=90°，AC=5，CD=BC=3，∴AD==4，∴四边形AEBD的面积为：BD AD=CD AD=3×4=12．
点睛：本题考查了矩形的判定与性质和勾股定理，根据“等腰三角形的性质和有一内角为直角的平行四边形为矩形”推知平行四边形AEBD是矩形是解题的难点．
19．（1）证明见解析；（2）见解析
【解析】试题分析：（1）根据已知条件易证四边形BFDE是平行四边形，再证明∠DEB=90°即可得结论；（2）根据已知条件证明AD＝DF，根据等腰三角形的性质可得∠DAF＝∠DFA；再由AB∥CD，可得∠DFA＝∠FAB.即可得∠DAF＝∠FAB，结论得证.
试题解析：
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
又∵CF＝AE，
∴BE＝DF.
又∵BE∥DF，
∴四边形BFDE为平行四边形．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°.
∴四边形BFDE是矩形．
（2）∵四边形BFDE是矩形，
∴∠BFD＝90°.∴∠BFC＝90°.
在Rt△BFC中，由勾股定理，得BC＝＝＝10.
∴AD＝BC＝10.
又∵DF＝10，
∴AD＝DF.
∴∠DAF＝∠DFA.
∵AB∥CD，
∴∠DFA＝∠FAB.
∴∠DAF＝∠FAB.
∴AF是∠DAB的平分线．
20．（1）证明见解析；（2）
【解析】试题分析：（1）因为△BCD关于BD折叠得到△BED，显然△BCD≌△BED，得出CD=DE=AB，∠E=∠C=∠A=90°，再加上一对对顶角相等，可证出△ABF≌△EDF；
（2）利用折叠知识及勾股定理可得出四边形DG的长．
试题解析：
证明：在矩形ABCD中，AB=CD， ，
由折叠的性质可知：DE=CD， ，
∴AB=DE， ，
又∵，
∴△ABF≌△EDF（AAS）
（2）解：∵AD//BC，∴，由折叠的性质可知：
∴
∴BG=DG
设GC为，则BG=DG=8-x
在Rt△DCG中，由勾股定理可得：
解得：
21．（1）证明见解析；（2）矩形；（3）．
【解析】试题分析：（1）根据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得到AB=CD，∠BAG=∠DCE，∠ABG=∠CDE，进而判定△ABG≌△CDE；
（2）根据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得出∠AGB=90°，∠DEC=90°，∠AHD=90°=∠EHG，进而判定四边形EFGH是矩形；
（3）根据含30°角的直角三角形的性质，得到BG，AG，BF，CF，进而得出EF和GF的长，可得四边形EFGH的面积．
试题解析：解：（1）∵GA平分∠BAD，EC平分∠BCD，∴∠BAG=∠BAD，∠DCE=∠DCB，∵ ABCD中，∠BAD=∠DCB，AB=CD，∴∠BAG=∠DCE，同理可得，∠ABG=∠CDE，在△ABG和△CDE中，∵∠BAG=∠DCE，AB=CD，∠ABG=∠CDE，∴△ABG≌△CDE（ASA）；
（2）四边形EFGH是矩形．
证明：∵GA平分∠BAD，GB平分∠ABC，∴∠GAB=∠BAD，∠GBA=∠ABC，∵ ABCD中，∠DAB+∠ABC=180°，∴∠GAB+∠GBA=（∠DAB+∠ABC）=90°，即∠AGB=90°，同理可得，∠DEC=90°，∠AHD=90°=∠EHG，∴四边形EFGH是矩形；
（3）依题意得，∠BAG=∠BAD=30°，∵AB=6，∴BG=AB=3，AG==CE，∵BC=4，∠BCF=∠BCD=30°，∴BF=BC=2，CF=，∴EF=﹣=，GF=3﹣2=1，∴矩形EFGH的面积=EF×GF=．
点睛：本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定以及全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：有三个角是直角的四边形是矩形．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
22．（1）证明见解析；（2）5；（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．证明见解析.
【解析】试题分析：（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案；（2）根据已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可得出CO的长；（3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
试题解析：（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，∠4=∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1=∠5，∠3=∠6，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴EO=CO，FO=CO，
∴OE=OF；
（2）∵∠2=∠5，∠4=∠6，
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，
∵CE=8，CF=6，
∴EF==10，
∴OC=EF=5；
（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
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18.2.1矩形（2）同步练习
姓名：__________班级：__________学号：__________
本节应掌握和应用的知识点
１.有一个角是直角的平行四边形是矩形．
２.对角线相等的平行四边形是矩形．
３.有三个角是直角的四边形是矩形．
基础知识和能力拓展训练
一、选择题
1．下列叙述错误的是（ ）
A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
C. 矩形的对角线相等 D. 对角线相等的四边形是矩形
2．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A. AB=CD B. OA=OC，OB=OD C. AC⊥BD D. AB∥CD，AD=BC
3．如已知：线段AB，BC，∠ABC = 90°. 求作：矩形ABCD. 以下是甲、乙两同学的作业：
对于两人的作业，下列说法正确的是（ ）
A. 两人都对 B. 两人都不对 C. 甲对，乙不对 D. 甲不对，乙对
4．矩形ABCD中，E，F，M为AB，BC，CD边上的点，且AB=6，BC=7，AE=3，DM=2，EF⊥FM，则EM的长为（ ）
A. 5 B. C. 6 D.
5．如图，E，F分别是矩形ABCD边AD、BC上的点，且△ABG，△DCH的面积分别为15和20，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 15 B. 20 C. 35 D. 40
6．如图，矩形ABCD中，BC=2AB，对角线相交于O，过C点作CE⊥BD交BD于E点，H为BC中点，连接AH交BD于G点，交EC的延长线于F点，下列5个结论：①EH=AB；②∠ABG=∠HEC；③△ABG≌△HEC；④S△GAD=S四边形GHCE；⑤CF=BD．正确的有（ ）个
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7．如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,E为AB上一点,分别以ED,EC为折痕将两个角(∠A,∠B)向内折起,点A,B恰好落在CD边的点F处.若AD=3,BC=5,则EF的值是 ( )
A. B. 2 C. D. 2
8．如图，E是矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AFE，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点，若∠AEB＝55°，则∠DAF＝（ ）
A. 40° B. 35° C. 20° D. 15°
9．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，AB=2，∠ABE=45°，则DE的长为( )
A. 2-2 B. -1 C. -1 D. 2-
10．有一块矩形的牧场如图1，它的周长为700米．将它分隔为六块完全相同的小矩形牧场，如图2，每一块小矩形牧场的周长是（ ）
A. 150米 B. 200米 C. 300米 D. 400米
二、填空题
11．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，∠ABC＝90°，则四边形ABCD是________；若AC＝5cm，则BD＝________．
12．平行四边形ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①∠ABC=90°；②AC⊥BD；③AB=BC；④AC平分∠BAD；⑤AO=DO．使得四边形ABCD是矩形的条件有________
13．如图，矩形ABCD中，AB=8cm，BC=3cm，E是DC的中点，BF=FC，则四边形DBFE的面积为_______ cm2．
14．如图，在△ABC，AB=AC，点D为BC的中点，AE是∠BAC外角的平分线，DE//AB交AE于E，则四边形ADCE的形状是___________.
15．已知：如图，矩形ABCD中，E，F是CD的两个点，EG⊥AC，FH⊥AC，垂足分别为G，H，若AD=2，DE=1，CF=2，且AG=CH，则EG+FH=_____．
16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则△AEF的周长为________cm．
三、解答题
17．如图，Rt△ABE与Rt△DCF关于直线m对称，已知∠B=90°，∠C=90°，连接EF，AD，点B，E，F，C在同一条直线上．求证：四边形ABCD是矩形．
18．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD为BC边上的高，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AC，AE与DE交于点E，AB与DE交于点F，连结BE．求四边形AEBD的面积
19．如图，在 ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF.
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若CF＝6，BF＝8，DF＝10，求证：AF是∠DAB的平分线．
20．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F．
⑴求证：ΔABF≌ΔEDF；
⑵将折叠的图形恢复原状，点F与BC边上的点G正好重合，连接DG，若AB=6，BC=8，求DG的长.
21．如图，在 ABCD中，各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．
（1）求证：△ABG≌△CDE；
（2）猜一猜：四边形EFGH是什么样的特殊四边形？证明你的猜想；
（3）若AB=6，BC=4，∠DAB=60°，求四边形EFGH的面积．
22．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=8，CF=6，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？
并说明理由．
参考答案
1．D
【解析】A. 平行四边形的对角线互相平分，正确，不符合题意；B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；C. 矩形的对角线相等，正确，不符合题意；D. 对角线相等的四边形是矩形，也可能是等腰梯形，也可能是一般四边形，故错误，符合题意，
故选D.
2．B
【解析】解：A．由AB=DC，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；
B．∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．故正确；
C．由AC⊥BD，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形，故错误．
D．由AB∥CD，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形，故错误．
故选B．
点睛：本题考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键，记住对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是90度的平行四边形是矩形，有三个角是90度的四边形是矩形，属于中考常考题型．
3．A
【解析】由甲同学的作业可知，CD=AB，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴ ABCD是矩形．
所以甲的作业正确；
由乙同学的作业可知，CM=AM，MD=MB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴ ABCD是矩形．
所以乙的作业正确；
故选A．
4．B
【解析】
过E作EG⊥CD于G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
又∵EG⊥CD，
∴∠EGD=90°，
∴四边形AEGD是矩形，
∴AE=DG，EG=AD，
∴EG=AD=BC=7，MG=DG DM=3 2=1，
∵EF⊥FM，
∴△EFM为直角三角形，
∴在Rt△EGM中,
EM====.
故选B.
点睛：本题考查了矩形的判定、勾股定理等知识，过E作EG⊥CD于G，利用矩形的判定可得，四边形AEGD是矩形，则AE=DG，EG=AD，于是可求MG=DG-DM=1，在Rt△EMG中，利用勾股定理可求EM．
5．C
【解析】试题解析：连接EF，由图可知 ，那么 ，
所以 ，同理， ，则,
故本题应选C.
6．B
【解析】试题解析：由图可知， ，因为 ,所以 ,故①正确；
因为 ,所以 ,由于 ， ，所以 ,则 ,故②正确；
在△ABG与△HEC中， ，从而两三角形不全等，故③错误；
过点A作AM⊥BG于点M，由图可知 ，而 ，即
，则 ，故④错误；
因为 ， ， ，所以
，又因为 ，所以 ，则
，故⑤正确.
综上所述，正确的结论有3个，故选B.
点睛：矩形的对角线相等且相互平分.
7．A
【解析】先根据折叠的性质得EA=EF,BE=EF,DF=AD=3,CF=CB=5,则AB=2EF,DC=8,再作DH⊥BC于H,因为AD∥BC, ∠B=90°,则可判定四边形ABHD为矩形,所以DH=AB=2EF,
HC=BC－AD=2,然后在Rt△DHC中,利用勾股定理计算出DH=,所以EF=.
8．C
【解析】∵△ABE沿AE折叠到△AEF，
∴∠BAE=∠FAE，
∵∠AEB=55°，∠ABE=90°，
∴∠BAE=90° 55°=35°，
∴∠DAF=∠BAD ∠BAE ∠FAE=90° 35° 35°=20°，
故答案为：20°，故选C.
9．A
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC.
∴∠DEC=∠BCE.
∵EC平分∠DEB，
∴∠DEC=∠BEC.
∴∠BEC=∠ECB.
∴BE=BC.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°.
∵∠ABE=45°，
∴∠ABE=AEB=45°.
∴AB=AE=2.
∵由勾股定理得：BE= =，
∴BC=BE=.
∴DE=AD-AE=BC-AB=-2
故选：A.
点睛：本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理的应用等知识；要学会添加常用的辅助线，构造特殊三角形来解决问题.熟练掌握矩形的性质、等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键.
10．C
【解析】试题分析：根据题意设小长方形的长为x，宽为y，则可知2（2x+3y）=700，且2y+x=2x，解得y=50，x=100，所以小长方形的周长为300米.
故选：C.
11． 矩形 5cm
【解析】试题解析：∵AO＝OC，BO＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形。
∴AC=BD
∵AC=5cm
∴BD=5cm
12．①⑤
【解析】解：要使得平行四边形ABCD为矩形添加：①∠ABC=90°；⑤AO=DO2个即可；故答案为：①⑤．
13．8
【解析】试题解析：∵矩形ABCD中，AB=8cm，BC=3cm，E是DC的中点，BF=FC，
∴∠C=90°，AB=DC=8cm，DE=CE=4cm，CF=2cm，BF=1cm，
∴四边形DBFE的面积是S△BDC-S△CEF=×8cm×3cm-×2cm×4cm=8cm2
14．矩形
【解析】∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵AE是∠BAC的外角平分线，
∴∠FAE=∠EAC，
∵∠B+∠ACB=∠FAE+∠EAC，
∴∠B=∠ACB=∠FAE=∠EAC，
∴AE∥CD，
又∵DE∥AB，
∴四边形EABD是平行四边形，
∴AE平行且等于BD，
又∵BD=DC，
∴AE平行且等于DC，
故四边形ADCE是平行四边形，
又∵∠ADC=90°，
∴平行四边形EADC是矩形．
即四边形EADC是矩形．
故答案是：矩形。
【点睛】首先利用外角性质得出∠B=∠ACB=∠FAE=∠EAC，进而得到AE∥CD，即可求出四边形AEDB是平行四边形，再利用平行四边形的性质求出四边形ADCE是平行四边形，即可求出四边形ADCE是矩形．
15．
【解析】试题解析：如图所示，过E点作EM⊥AB交AB于点M，延长EG交AB于点Q，
在△AQG和△CFH中，
，
所以△AQG≌△CFH（ASA）, FH=QG，AQ=CF=2.
∴在△AQG中，MQ=1，EM=2，EQ=EG+GQ=EG+FH=.
16．9
【解析】利用勾股定理求出AC，再根据矩形的对角线互相平分且相等求出OA=OD=AC，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF=OD，再求出AF，AE，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
解：由勾股定理得，AC===10cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD=AC=×10=5cm，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF=OD=cm，
AF=×8=4cm，
AE=OA=cm，
∴△AEF的周长=+4+=9cm.
故答案为：9.
17．证明见解析.
【解析】试题分析：先利用对称证明ABCD是平行四边形，因为∠B=90°，所以四边形ABCD是矩形.
试题解析：
解：∵Rt△ABE与Rt△DCF关于直线m对称，
∴AB=DC.
∵∠B=90°，∠C=90°，点B，E，F，C在同一条直线上，
∴AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠B=90°，∴平行四边形ABCD是矩形．
18．12.
【解析】试题分析：利用平行四边形的性质和矩形的判定定理推知平行四边形AEBD是矩形．在Rt△ADC中，由勾股定理可以求得AD的长度，由等腰三角形的性质求得CD（或BD）的长度，则矩形的面积=长×宽=AD BD=AD CD．
试题解析：解：∵AE∥BC，BE∥AC，∴四边形AEDC是平行四边形，∴AE=CD．
在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，∴∠ADB=90°，BD=CD，∴BD=AE，∴平行四边形AEBD是矩形．
在Rt△ADC中，∠ADB=90°，AC=5，CD=BC=3，∴AD==4，∴四边形AEBD的面积为：BD AD=CD AD=3×4=12．
点睛：本题考查了矩形的判定与性质和勾股定理，根据“等腰三角形的性质和有一内角为直角的平行四边形为矩形”推知平行四边形AEBD是矩形是解题的难点．
19．（1）证明见解析；（2）见解析
【解析】试题分析：（1）根据已知条件易证四边形BFDE是平行四边形，再证明∠DEB=90°即可得结论；（2）根据已知条件证明AD＝DF，根据等腰三角形的性质可得∠DAF＝∠DFA；再由AB∥CD，可得∠DFA＝∠FAB.即可得∠DAF＝∠FAB，结论得证.
试题解析：
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
又∵CF＝AE，
∴BE＝DF.
又∵BE∥DF，
∴四边形BFDE为平行四边形．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°.
∴四边形BFDE是矩形．
（2）∵四边形BFDE是矩形，
∴∠BFD＝90°.∴∠BFC＝90°.
在Rt△BFC中，由勾股定理，得BC＝＝＝10.
∴AD＝BC＝10.
又∵DF＝10，
∴AD＝DF.
∴∠DAF＝∠DFA.
∵AB∥CD，
∴∠DFA＝∠FAB.
∴∠DAF＝∠FAB.
∴AF是∠DAB的平分线．
20．（1）证明见解析；（2）
【解析】试题分析：（1）因为△BCD关于BD折叠得到△BED，显然△BCD≌△BED，得出CD=DE=AB，∠E=∠C=∠A=90°，再加上一对对顶角相等，可证出△ABF≌△EDF；
（2）利用折叠知识及勾股定理可得出四边形DG的长．
试题解析：
证明：在矩形ABCD中，AB=CD， ，
由折叠的性质可知：DE=CD， ，
∴AB=DE， ，
又∵，
∴△ABF≌△EDF（AAS）
（2）解：∵AD//BC，∴，由折叠的性质可知：
∴
∴BG=DG
设GC为，则BG=DG=8-x
在Rt△DCG中，由勾股定理可得：
解得：
21．（1）证明见解析；（2）矩形；（3）．
【解析】试题分析：（1）根据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得到AB=CD，∠BAG=∠DCE，∠ABG=∠CDE，进而判定△ABG≌△CDE；
（2）根据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得出∠AGB=90°，∠DEC=90°，∠AHD=90°=∠EHG，进而判定四边形EFGH是矩形；
（3）根据含30°角的直角三角形的性质，得到BG，AG，BF，CF，进而得出EF和GF的长，可得四边形EFGH的面积．
试题解析：解：（1）∵GA平分∠BAD，EC平分∠BCD，∴∠BAG=∠BAD，∠DCE=∠DCB，∵ ABCD中，∠BAD=∠DCB，AB=CD，∴∠BAG=∠DCE，同理可得，∠ABG=∠CDE，在△ABG和△CDE中，∵∠BAG=∠DCE，AB=CD，∠ABG=∠CDE，∴△ABG≌△CDE（ASA）；
（2）四边形EFGH是矩形．
证明：∵GA平分∠BAD，GB平分∠ABC，∴∠GAB=∠BAD，∠GBA=∠ABC，∵ ABCD中，∠DAB+∠ABC=180°，∴∠GAB+∠GBA=（∠DAB+∠ABC）=90°，即∠AGB=90°，同理可得，∠DEC=90°，∠AHD=90°=∠EHG，∴四边形EFGH是矩形；
（3）依题意得，∠BAG=∠BAD=30°，∵AB=6，∴BG=AB=3，AG==CE，∵BC=4，∠BCF=∠BCD=30°，∴BF=BC=2，CF=，∴EF=﹣=，GF=3﹣2=1，∴矩形EFGH的面积=EF×GF=．
点睛：本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定以及全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：有三个角是直角的四边形是矩形．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
22．（1）证明见解析；（2）5；（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．证明见解析.
【解析】试题分析：（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案；（2）根据已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可得出CO的长；（3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
试题解析：（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，∠4=∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1=∠5，∠3=∠6，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴EO=CO，FO=CO，
∴OE=OF；
（2）∵∠2=∠5，∠4=∠6，
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，
∵CE=8，CF=6，
∴EF==10，
∴OC=EF=5；
（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
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