18.2.2 菱形（2）同步练习
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18.2.2菱形（2）同步练习
姓名：__________班级：__________学号：__________
本节应掌握和应用的知识点
１. 一组邻边相等的平行四边形是菱形．
２.对角线互相垂直的平行四边形是菱形;四边相等的四边形是菱形
基础知识和能力拓展训练
一、选择题
1．下列说法中，不正确的是（ ）
A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
C. 一组对边平行另外一组对边相等的四边形是平行四边形
D. 有一组邻边相等的矩形是正方形
2．如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF，则四边形AECF是（ ）
A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 无法确定
3．如图所示，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AB=4，BC=3，则四边形CODE的周长是（ ）
A. 10 B. 12 C. 18 D. 24
4．如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的条件是（ ）
A. AC=BD B. ∠1=∠2 C. ∠ABC=90° D. ∠1=90°
5．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是( )
A. 当AB＝BC时，它是菱形 B. 当AC⊥BD时，它是菱形
C. 当∠ABC＝90°时，它是矩形 D. 当AC＝BD时，它是正方形
6．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G，若∠BAC=30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④△DBF≌△EFA．其中正确结论的序号是（ ）
A. ②④ B. ①③ C. ②③④ D. ①③④
7．如图，正方形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，连接DE，BF，CE，AF，正方形ABCD的面积为1，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
8．如图，已知∠AOB，王华同学按下列步骤作图：(1)以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D，分别以点C、点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线OE；(2)在射线OE上取一点F，分别以点O、点F为圆心，大于OF的长为半径作弧，两弧交于两点G、H，作直线GH，交OA于点M，交OB于点N；(3)连接FM、FN.那么四边形OMFN一定是( )
A. 梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
9．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AE∥CD交BC于点E，AE平分∠BAC，AO＝CO，AD＝DC＝2，下面结论：①AC＝2AB；②AB＝；③S△ADC＝2S△ABE；④BO⊥AE.其中正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10．如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，点B在y轴上，OA=1，先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2017次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2017的坐标为（ ）
A.（1345,0） B.（1345.5，） C.（1345，） D.（1345.5，0）
二、填空题
11．对角线相等的四边形顺次连接各边中点所得的四边形是__________．
12．用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是__________
13．如图，AD是△ABC的高，DE∥AC，DF∥AB，则△ABC满足条件________时，四边形AEDF是菱形．
14．如图，在菱形ABCD中，E是对角线AC上一点，若AE=BE=2，AD=3，则CE=_____．
15．如图，菱形中， =2， =5， 是上一动点（不与重合），∥交于， ∥交于，则图中阴影部分的面积为______________。
16．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=a，点E，F分别是边AB，AD上的动点，且AE+AF=a，则线段EF的最小值为_____．
三、解答题
17．如图，有一个等腰三角形ABD，AB=AD．
（1）请你用尺规作图法作出点A关于轴BD的对称点C；（不用写作法，但保留作图痕迹）
（2）连接（1）中的BC和CD，请判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论．
18．如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB，CD的延长线分别交于E，F．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）当EF与AC满足什么关系时，以A，E，C，F为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．
19．如图所示，在菱形ABCD中，点E，F分别在CD，BC上，且CE=CF，求证：AE=AF．
20．AC是□ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD、BC 于点E、F.
（1）求证：AE=CF；
（2）连接AF，CE.
①当EF⊥AC时，四边形AFCE是什么四边形？请证明你的结论；
②若AB=1，BC=2，∠B=60°，则四边形AFCE为矩形时，求EF的长.
21．如图，在矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm, 点P是线段AD上一动点，点O为BD的中点， PO的延长线交BC于Q.
（1）求证：OP=OQ；
（2）若P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）.设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；
（3）求t为何值时，四边形PBQD是菱形．
22．（13分）如图所示，四边形中， 于点, , ,点为线段上的一个动点。
（1）求证: 。
（2）过点分别作于点，作于点。
① 试说明为定值。
② 连结,试探索：在点运动过程中，是否存在点，使的值最小。若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由。
参考答案
1．C
【解析】试题解析：C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形有可能是等腰梯形，故错误；
故选C.
点睛：平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
2．B
【解析】AF ,∠DAC=∠BCA,∠AOF=∠COE,AC=OC,
∴.
,
四边形AECF是平行四边形，
EF⊥AC，
四边形AECF是菱形.所以选B.
3．A
【解析】首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD=2，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．
解：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD，
∴OD=OC， ，
∴四边形CODE是菱形，且，
∴四边形CODE的周长为： ．
故选A．
4．B
【解析】试题分析：A、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠DAC＝∠1，
∴AD＝CD，
∴平行四边形是菱形，故此选项符合题意；
C、根据有一个角是90°的平行四边形是矩形可知四边形ABCD是矩形；
D、∠1＝90°无法证明四边形ABCD是菱形，故此选项不符合题意．
故选B．
定睛：本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定方法；注意：菱形的判定定理有：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．．
5．D
【解析】试题分析：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
B、根据对角线垂直的平行四边形是菱形可知四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可知四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知四边形ABCD是矩形，但不一定是正方形，故本选项符合题意．
故选D．
点睛：本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键，难度适中．
6．D
【解析】解：∵△ACE是等边三角形，∴∠EAC=60°，AE=AC．
∵∠BAC=30°，∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC．
∵F为AB的中点，∴AB=2AF，∴BC=AF，∴△ABC≌△EFA，∴∠AEF=∠BAC=30°，∴EF⊥AC．故①正确；（含①的只有B和D，它们的区别在于有没有④．它们都是含30°的直角三角形，并且斜边是相等的）．
∵AD=BD，BF=AF，∴∠DFB=90°，∠BDF=30°．
∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，∴∠DFB=∠EAF．
∵EF⊥AC，∴∠AEF=30°，∴∠BDF=∠AEF，∴△DBF≌△EFA（AAS）．
故选D．
7．C
【解析】DEBF,AFEC,
EGFH是平行四边形，
E,F是中点，易得，四边形对角线垂直，
是菱形.EF=1，GH=,
面积=1=.
8．C
【解析】由作法可知：OF平分∠AOB，即∠MOF=∠NOF，
MN是线段OF的垂直平分线，
所以MO=MF，
所以∠MOF=∠MFO，
所以∠MFO=∠NOF，
所以MF∥ON，
同理MO∥NF，
所以四边形OMFN是平行四边形，
又因为MO=MF，
所以平行四边形OMFN是菱形.
故选：C.
点睛：本题考查了基本作图，菱形的判定方法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
9．D
【解析】试题分析：∵AD∥BC，AE∥CD，
∴四边形AECD是平行四边形．
∵AD＝DC，
∴四边形AECD是菱形，
∴AE＝EC＝CD＝AD＝2，
∴∠2＝∠3．
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝∠3．
∵∠ABC＝90°，
∴∠1＋∠2＋∠3＝90°，
∴∠1＝∠2＝∠3＝30°，
∴BE＝AE＝1，AC＝2AB．①正确；
在Rt△ABE中，由勾股定理，得
AB＝＝＝，②正确；
∵O是AC的中点，∠ABC＝90°，
∴BO＝AO＝CO＝AC．
∵∠1＝∠2＝∠3＝30°，
∴∠BAO＝60°，
∴△ABO为等边三角形．
∵∠1＝∠2，
∴AE⊥BO．④正确；
∵S△ADC＝S△AEC＝AB·CE ，S△ABE＝AB·BE，
∵CE＝2，BE＝1，
∴CE＝2BE，
∴S△ACE＝AB·2BE
＝2×AB·BE ，
∴S△ACE＝2S△ABE，
∴S△ADC＝2S△ABE．③正确．
∴正确的个数有4个．
故选D．
点睛：本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，等边三角形的性质的运用．解答时证明出四边形AECD是菱形是解答本题的关键．
10．B
【解析】连接AC，如图所示．
∵四边形OABC是菱形，
∴OA=AB=BC=OC．
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形．
∴AC=AB．
∴AC=OA．
∵OA=1，
∴AC=1．
画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如图所示．
由图可知：每翻转6次，图形向右平移4．
∵2017=336×6+1，
∴点B1向右平移1344（即336×4）到点B2017．
∵B1的坐标为（1.5， ），
∴B2017的坐标为（1.5+1344，），
故选B．
点睛：本题是规律题，能正确地寻找规律 “每翻转6次，图形向右平移4”是解题的关键.
11．菱形
【解析】顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是菱形，理由为：根据题意画出四边形ABCD，E，F，G，H分别为各边的中点，写出已知，求证，由E，H分别为AB，AD的中点，得到EH为三角形ABD的中位线，根据三角形的中位线定理得到EH平行于BD，且等于BD的一半，同理FG平行于BD，且等于BD的一半，可得出EH与FG平行且相等，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得出EFGH为平行四边形，再由EF为三角形ABC的中位线，得出EF等于AC的一半，由EH等于BD的一半，且AC=BD，可得出EH=EF，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得证．
12．四边相等的四边形是菱形
【解析】分析：本题利用菱形的判定定理得出即可.
解析：根据尺规作图得， 所以理论依据是四边相等的四边形是菱形.
故答案为四边相等的四边形是菱形.
13．AB=AC或∠B=∠C
【解析】∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形.
所以当四边形AEDF中有一组邻边相等时，它就是菱形了.
由此在△ABC中可添加条件：（1）AB=AC或（2）∠B=∠C.
（1）当添加条件“AB=AC”时，
∵AD是△ABC的高，AB=AC，
∴点D是BC边的中点，
又∵DE∥AC，DF∥AB，
∴点E、F分别是AB、AC的中点，
∴AE=AB，AF=AC，
∴AE=AF，
∴平行四边形AEDF是菱形.
（2）当添加条件“∠B=∠C”时，
则由∠B=∠C可得AB=AC，同（1）的方法可证得：AE=AF，
∴平行四边形AEDF是菱形.
14．
【解析】连接BD，交AC于O点，设EO=x，
因为菱形ABCD，∴AD=AB，BD⊥AC，AO=OC
在直角三角形△ABO和△EBO中，根据勾股定理
∴AB2﹣AO2=BO2=BE2﹣EO2
∵AE=BE=2，AD=3
∴3×3﹣（2+x）2=2×2﹣x2
解得x=，
∴CE=OC+EO=OA+EO=2+x+x=，
∴CE=．
点睛：本题主要利用菱形的对角线互相垂直平分及勾股定理来解决．
15．
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,BO=OD=12BD=2.5，
∴△ABC的面积是×AC×BO=2.5，
∵AD∥BC,AB∥DC，
又∵PE∥BC,PF∥CD，
∴PF∥AB,PE∥AD，
∴四边形AEPF是平行四边形，
∴△AEF的面积和△PEF的面积相等，
∴阴影部分的面积等于△ABC的面积是2.5.
故答案为：2.5.
16．a．
【解析】AE=AF=a,EF最短，∠A=120°，所以最长边EF是最短边AE的倍，所以EF=.
三、解答题
17．（1）画图见解析；
（2）四边形ABCD是菱形，理由见解析.
【解析】试题分析：（1）以点B为圆心，BA长度为半径画圆弧，以D为圆心，AD长度为半径画圆弧，两段圆弧的交点即为点C；（2）四边形ABCD是菱形，由C点是点A关于轴BD的对称点，不难得出AB=AD=BC=CD，即可证明.
试题解析：
（1）
（2）
连接BC、CD，
∵C点是点A关于轴BD的对称点，
∴AB=AD=BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形．
点睛：掌握尺规作图以及菱形的判定.
18．（1）详见解析；（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形，证明见解析.
【解析】试题分析：（1）根据矩形的性质定理可得OB=OD，AE∥CF，利用AAS即可证得△BOE≌△DOF；（2）添加条件EF⊥AC，先证明四边形AECF是平行四边形，即可得四边形AECF是菱形.
试题解析：
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD（矩形的对角线互相平分），
AE∥CF（矩形的对边平行）．
∴∠E=∠F，∠OBE=∠ODF．
∴△BOE≌△DOF（AAS）．
（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC（矩形的对角线互相平分）．
又∵由（1）△BOE≌△DOF得，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
19．证明见解析
【解析】试题分析：由四边形ABCD为菱形，可得AD=AB=CD=CB，∠B=∠D．又因为CE=CF，所以CD-CE=CB-CF，即DE=BF．可证△ADE≌△ABF，所以AE=AF．
试题分析：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=AB=CD=CB，∠B=∠D.
又∵CE=CF，
∴CD CE=CB CF，
即DE=BF.
∴△ADE≌△ABF.
∴AE=AF.
20．（1）证明见解析；（2）①菱形，证明见解析，②
【解析】试题分析：（1）由平行四边形的性质可知OA=OC，∠AEO=∠OFC，∠EAO=∠OCF，证出△AOE≌△COF，即可得出AE=CF．
（2）①先证明四边形AFCE是平行四边形，由EF⊥AC，即可得出四边形AFCE是菱形；
②由矩形的性质得出EF=AC，∠AFB=∠AFC=90°，求出AF、CF，由勾股定理求出AC，即可得出EF的长．
试题解析：（1）∵O是AC中点
∴AO=C0
∵ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∴∠DAC=∠BCA
在ΔAOE和ΔCOF中
∴ΔAOE ≌ ΔCOF(ASA)
∴AE=CF
（2）①菱形
∵AE∥CF且AE=CF
∴AECF是平行四边形
∵AC⊥EF
∴AECF是菱形
②∵AECF是矩形
∴AF⊥BC
∵∠B=60°AB=1
∴BF= AF=
∵BC=2
∴FC=
在RtΔAFC中AF=FC=
∴AC=
又∵AFCE是矩形
∴EF=AC=
21．见解析
【解析】试题分析；
由矩形ABCD中，AD∥BC可得∠PDO=∠QBO，再结合∠POD=∠QOB，OB=OD，可证△POD≌△QOB，从而得到OP=OQ；
（2）由题意可知：AP= ，∴PD=AD-AP= ；
（3）由（1）的结论OP=OQ，和题中已知OB=OD可得四边形PBQD是平行四边形，所以只需满足条件PD=PB，四边形PBQD就是菱形了.在Rt△ABP中，由勾股定理可得：AB2+AP2=PB2，把 AP= ，PD= ，AB=6代入上面式子建立方程就可求得的值.
试题解析：
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PDO=∠QBO，
又∵O为BD的中点，
∴OB=OD，
在△POD与△QOB中， ，
∴△POD≌△QOB（ASA），
∴OP=OQ；
（2）由题意可知：AP= ，∴PD=AD-AP= ；
（3）∵OP=OQ，OB=OD，
∴四边形PBQD是平行四边形，
∴当PD=PB时，四边形PBQD是菱形；
由PD= 得PB= ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB2+AP2=BP2，
即，
解得：
即运动时间为秒时，PB=PD，
∴此时平行四边形PBQD是菱形．
22．（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】试题分析：（1）由AC⊥BD，AO＝CO，可知BD是AC的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可知AD＝DC，AB＝BC，同理可得AD＝AB，CD＝BC，故AB＝BC＝CD＝AD；或先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形先证四边形ABCD是平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明四边形ABCD是菱形，进而得出结论；
（2）连接DP，根据题意可知： S△ADC＝S△ADP＋S△CDP，由三角形的面积公式可知： AC OD ＝AD PM＋DC PH，将AC、OD、AD、DC的长代入化简即可；
（3））由PM＋PH为定值，当PB最短时，PM＋PH＋PB有最小值，由垂线的性质可知当点P与点O重合时，OB有最小值．
试题解析：
（1）证明：∵AO＝CO，BD⊥AC，
∴AD＝CD，AB＝BC ，
同理可得AD＝AB,CD＝BC，
∴AB＝BC＝CD＝AD；
另证：∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD．
（2）证明：∵AC⊥BD，BO＝DO＝5，AO＝CO＝12，
∴由勾股定理得AD＝CD＝13，
连结DP则S△ADC＝S△ADP＋S△CDP ，
又∵PM⊥AD，PH⊥DC，DO⊥AC，
∴
∴
∴即为定值；
（3）存在点，使的值最小．
由（2）可知， 为定值
∴要使PM＋PH＋PB最小，则PB要取最小值
∵BO⊥AC，
∴当P与O重合时，PB最小，最小值为OB＝5，
∴PM＋PH＋PB的最小值为．
点睛：本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了平行四边形和菱形的判定、线段垂直平分线的性质 、勾股定理、三角形的面积公式、垂线段的性质，利用面积以及三角形的面公式求得PM＋PH的值是解答问题（2）的关键；利用垂线段的性质得到BP垂直于AC时，PM＋PH＋PB有最小值是解答问题（3）的关键．
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18.2.2菱形（2）同步练习
姓名：__________班级：__________学号：__________
本节应掌握和应用的知识点
１. 一组邻边相等的平行四边形是菱形．
２.对角线互相垂直的平行四边形是菱形;四边相等的四边形是菱形
基础知识和能力拓展训练
一、选择题
1．下列说法中，不正确的是（ ）
A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
C. 一组对边平行另外一组对边相等的四边形是平行四边形
D. 有一组邻边相等的矩形是正方形
2．如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF，则四边形AECF是（ ）
A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 无法确定
3．如图所示，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AB=4，BC=3，则四边形CODE的周长是（ ）
A. 10 B. 12 C. 18 D. 24
4．如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的条件是（ ）
A. AC=BD B. ∠1=∠2 C. ∠ABC=90° D. ∠1=90°
5．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是( )
A. 当AB＝BC时，它是菱形 B. 当AC⊥BD时，它是菱形
C. 当∠ABC＝90°时，它是矩形 D. 当AC＝BD时，它是正方形
6．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G，若∠BAC=30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④△DBF≌△EFA．其中正确结论的序号是（ ）
A. ②④ B. ①③ C. ②③④ D. ①③④
7．如图，正方形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，连接DE，BF，CE，AF，正方形ABCD的面积为1，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
8．如图，已知∠AOB，王华同学按下列步骤作图：(1)以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D，分别以点C、点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线OE；(2)在射线OE上取一点F，分别以点O、点F为圆心，大于OF的长为半径作弧，两弧交于两点G、H，作直线GH，交OA于点M，交OB于点N；(3)连接FM、FN.那么四边形OMFN一定是( )
A. 梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
9．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AE∥CD交BC于点E，AE平分∠BAC，AO＝CO，AD＝DC＝2，下面结论：①AC＝2AB；②AB＝；③S△ADC＝2S△ABE；④BO⊥AE.其中正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10．如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，点B在y轴上，OA=1，先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2017次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2017的坐标为（ ）
A.（1345,0） B.（1345.5，） C.（1345，） D.（1345.5，0）
二、填空题
11．对角线相等的四边形顺次连接各边中点所得的四边形是__________．
12．用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是__________
13．如图，AD是△ABC的高，DE∥AC，DF∥AB，则△ABC满足条件________时，四边形AEDF是菱形．
14．如图，在菱形ABCD中，E是对角线AC上一点，若AE=BE=2，AD=3，则CE=_____．
15．如图，菱形中， =2， =5， 是上一动点（不与重合），∥交于， ∥交于，则图中阴影部分的面积为______________。
16．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=a，点E，F分别是边AB，AD上的动点，且AE+AF=a，则线段EF的最小值为_____．
三、解答题
17．如图，有一个等腰三角形ABD，AB=AD．
（1）请你用尺规作图法作出点A关于轴BD的对称点C；（不用写作法，但保留作图痕迹）
（2）连接（1）中的BC和CD，请判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论．
18．如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB，CD的延长线分别交于E，F．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）当EF与AC满足什么关系时，以A，E，C，F为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．
19．如图所示，在菱形ABCD中，点E，F分别在CD，BC上，且CE=CF，求证：AE=AF．
20．AC是□ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD、BC 于点E、F.
（1）求证：AE=CF；
（2）连接AF，CE.
①当EF⊥AC时，四边形AFCE是什么四边形？请证明你的结论；
②若AB=1，BC=2，∠B=60°，则四边形AFCE为矩形时，求EF的长.
21．如图，在矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm, 点P是线段AD上一动点，点O为BD的中点， PO的延长线交BC于Q.
（1）求证：OP=OQ；
（2）若P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）.设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；
（3）求t为何值时，四边形PBQD是菱形．
22．（13分）如图所示，四边形中， 于点, , ,点为线段上的一个动点。
（1）求证: 。
（2）过点分别作于点，作于点。
① 试说明为定值。
② 连结,试探索：在点运动过程中，是否存在点，使的值最小。若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由。
参考答案
1．C
【解析】试题解析：C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形有可能是等腰梯形，故错误；
故选C.
点睛：平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
2．B
【解析】AF ,∠DAC=∠BCA,∠AOF=∠COE,AC=OC,
∴.
,
四边形AECF是平行四边形，
EF⊥AC，
四边形AECF是菱形.所以选B.
3．A
【解析】首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD=2，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．
解：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD，
∴OD=OC， ，
∴四边形CODE是菱形，且，
∴四边形CODE的周长为： ．
故选A．
4．B
【解析】试题分析：A、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠DAC＝∠1，
∴AD＝CD，
∴平行四边形是菱形，故此选项符合题意；
C、根据有一个角是90°的平行四边形是矩形可知四边形ABCD是矩形；
D、∠1＝90°无法证明四边形ABCD是菱形，故此选项不符合题意．
故选B．
定睛：本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定方法；注意：菱形的判定定理有：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．．
5．D
【解析】试题分析：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
B、根据对角线垂直的平行四边形是菱形可知四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可知四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知四边形ABCD是矩形，但不一定是正方形，故本选项符合题意．
故选D．
点睛：本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键，难度适中．
6．D
【解析】解：∵△ACE是等边三角形，∴∠EAC=60°，AE=AC．
∵∠BAC=30°，∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC．
∵F为AB的中点，∴AB=2AF，∴BC=AF，∴△ABC≌△EFA，∴∠AEF=∠BAC=30°，∴EF⊥AC．故①正确；（含①的只有B和D，它们的区别在于有没有④．它们都是含30°的直角三角形，并且斜边是相等的）．
∵AD=BD，BF=AF，∴∠DFB=90°，∠BDF=30°．
∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，∴∠DFB=∠EAF．
∵EF⊥AC，∴∠AEF=30°，∴∠BDF=∠AEF，∴△DBF≌△EFA（AAS）．
故选D．
7．C
【解析】DEBF,AFEC,
EGFH是平行四边形，
E,F是中点，易得，四边形对角线垂直，
是菱形.EF=1，GH=,
面积=1=.
8．C
【解析】由作法可知：OF平分∠AOB，即∠MOF=∠NOF，
MN是线段OF的垂直平分线，
所以MO=MF，
所以∠MOF=∠MFO，
所以∠MFO=∠NOF，
所以MF∥ON，
同理MO∥NF，
所以四边形OMFN是平行四边形，
又因为MO=MF，
所以平行四边形OMFN是菱形.
故选：C.
点睛：本题考查了基本作图，菱形的判定方法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
9．D
【解析】试题分析：∵AD∥BC，AE∥CD，
∴四边形AECD是平行四边形．
∵AD＝DC，
∴四边形AECD是菱形，
∴AE＝EC＝CD＝AD＝2，
∴∠2＝∠3．
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝∠3．
∵∠ABC＝90°，
∴∠1＋∠2＋∠3＝90°，
∴∠1＝∠2＝∠3＝30°，
∴BE＝AE＝1，AC＝2AB．①正确；
在Rt△ABE中，由勾股定理，得
AB＝＝＝，②正确；
∵O是AC的中点，∠ABC＝90°，
∴BO＝AO＝CO＝AC．
∵∠1＝∠2＝∠3＝30°，
∴∠BAO＝60°，
∴△ABO为等边三角形．
∵∠1＝∠2，
∴AE⊥BO．④正确；
∵S△ADC＝S△AEC＝AB·CE ，S△ABE＝AB·BE，
∵CE＝2，BE＝1，
∴CE＝2BE，
∴S△ACE＝AB·2BE
＝2×AB·BE ，
∴S△ACE＝2S△ABE，
∴S△ADC＝2S△ABE．③正确．
∴正确的个数有4个．
故选D．
点睛：本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，等边三角形的性质的运用．解答时证明出四边形AECD是菱形是解答本题的关键．
10．B
【解析】连接AC，如图所示．
∵四边形OABC是菱形，
∴OA=AB=BC=OC．
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形．
∴AC=AB．
∴AC=OA．
∵OA=1，
∴AC=1．
画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如图所示．
由图可知：每翻转6次，图形向右平移4．
∵2017=336×6+1，
∴点B1向右平移1344（即336×4）到点B2017．
∵B1的坐标为（1.5， ），
∴B2017的坐标为（1.5+1344，），
故选B．
点睛：本题是规律题，能正确地寻找规律 “每翻转6次，图形向右平移4”是解题的关键.
11．菱形
【解析】顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是菱形，理由为：根据题意画出四边形ABCD，E，F，G，H分别为各边的中点，写出已知，求证，由E，H分别为AB，AD的中点，得到EH为三角形ABD的中位线，根据三角形的中位线定理得到EH平行于BD，且等于BD的一半，同理FG平行于BD，且等于BD的一半，可得出EH与FG平行且相等，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得出EFGH为平行四边形，再由EF为三角形ABC的中位线，得出EF等于AC的一半，由EH等于BD的一半，且AC=BD，可得出EH=EF，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得证．
12．四边相等的四边形是菱形
【解析】分析：本题利用菱形的判定定理得出即可.
解析：根据尺规作图得， 所以理论依据是四边相等的四边形是菱形.
故答案为四边相等的四边形是菱形.
13．AB=AC或∠B=∠C
【解析】∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形.
所以当四边形AEDF中有一组邻边相等时，它就是菱形了.
由此在△ABC中可添加条件：（1）AB=AC或（2）∠B=∠C.
（1）当添加条件“AB=AC”时，
∵AD是△ABC的高，AB=AC，
∴点D是BC边的中点，
又∵DE∥AC，DF∥AB，
∴点E、F分别是AB、AC的中点，
∴AE=AB，AF=AC，
∴AE=AF，
∴平行四边形AEDF是菱形.
（2）当添加条件“∠B=∠C”时，
则由∠B=∠C可得AB=AC，同（1）的方法可证得：AE=AF，
∴平行四边形AEDF是菱形.
14．
【解析】连接BD，交AC于O点，设EO=x，
因为菱形ABCD，∴AD=AB，BD⊥AC，AO=OC
在直角三角形△ABO和△EBO中，根据勾股定理
∴AB2﹣AO2=BO2=BE2﹣EO2
∵AE=BE=2，AD=3
∴3×3﹣（2+x）2=2×2﹣x2
解得x=，
∴CE=OC+EO=OA+EO=2+x+x=，
∴CE=．
点睛：本题主要利用菱形的对角线互相垂直平分及勾股定理来解决．
15．
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,BO=OD=12BD=2.5，
∴△ABC的面积是×AC×BO=2.5，
∵AD∥BC,AB∥DC，
又∵PE∥BC,PF∥CD，
∴PF∥AB,PE∥AD，
∴四边形AEPF是平行四边形，
∴△AEF的面积和△PEF的面积相等，
∴阴影部分的面积等于△ABC的面积是2.5.
故答案为：2.5.
16．a．
【解析】AE=AF=a,EF最短，∠A=120°，所以最长边EF是最短边AE的倍，所以EF=.
三、解答题
17．（1）画图见解析；
（2）四边形ABCD是菱形，理由见解析.
【解析】试题分析：（1）以点B为圆心，BA长度为半径画圆弧，以D为圆心，AD长度为半径画圆弧，两段圆弧的交点即为点C；（2）四边形ABCD是菱形，由C点是点A关于轴BD的对称点，不难得出AB=AD=BC=CD，即可证明.
试题解析：
（1）
（2）
连接BC、CD，
∵C点是点A关于轴BD的对称点，
∴AB=AD=BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形．
点睛：掌握尺规作图以及菱形的判定.
18．（1）详见解析；（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形，证明见解析.
【解析】试题分析：（1）根据矩形的性质定理可得OB=OD，AE∥CF，利用AAS即可证得△BOE≌△DOF；（2）添加条件EF⊥AC，先证明四边形AECF是平行四边形，即可得四边形AECF是菱形.
试题解析：
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD（矩形的对角线互相平分），
AE∥CF（矩形的对边平行）．
∴∠E=∠F，∠OBE=∠ODF．
∴△BOE≌△DOF（AAS）．
（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC（矩形的对角线互相平分）．
又∵由（1）△BOE≌△DOF得，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
19．证明见解析
【解析】试题分析：由四边形ABCD为菱形，可得AD=AB=CD=CB，∠B=∠D．又因为CE=CF，所以CD-CE=CB-CF，即DE=BF．可证△ADE≌△ABF，所以AE=AF．
试题分析：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=AB=CD=CB，∠B=∠D.
又∵CE=CF，
∴CD CE=CB CF，
即DE=BF.
∴△ADE≌△ABF.
∴AE=AF.
20．（1）证明见解析；（2）①菱形，证明见解析，②
【解析】试题分析：（1）由平行四边形的性质可知OA=OC，∠AEO=∠OFC，∠EAO=∠OCF，证出△AOE≌△COF，即可得出AE=CF．
（2）①先证明四边形AFCE是平行四边形，由EF⊥AC，即可得出四边形AFCE是菱形；
②由矩形的性质得出EF=AC，∠AFB=∠AFC=90°，求出AF、CF，由勾股定理求出AC，即可得出EF的长．
试题解析：（1）∵O是AC中点
∴AO=C0
∵ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∴∠DAC=∠BCA
在ΔAOE和ΔCOF中
∴ΔAOE ≌ ΔCOF(ASA)
∴AE=CF
（2）①菱形
∵AE∥CF且AE=CF
∴AECF是平行四边形
∵AC⊥EF
∴AECF是菱形
②∵AECF是矩形
∴AF⊥BC
∵∠B=60°AB=1
∴BF= AF=
∵BC=2
∴FC=
在RtΔAFC中AF=FC=
∴AC=
又∵AFCE是矩形
∴EF=AC=
21．见解析
【解析】试题分析；
由矩形ABCD中，AD∥BC可得∠PDO=∠QBO，再结合∠POD=∠QOB，OB=OD，可证△POD≌△QOB，从而得到OP=OQ；
（2）由题意可知：AP= ，∴PD=AD-AP= ；
（3）由（1）的结论OP=OQ，和题中已知OB=OD可得四边形PBQD是平行四边形，所以只需满足条件PD=PB，四边形PBQD就是菱形了.在Rt△ABP中，由勾股定理可得：AB2+AP2=PB2，把 AP= ，PD= ，AB=6代入上面式子建立方程就可求得的值.
试题解析：
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PDO=∠QBO，
又∵O为BD的中点，
∴OB=OD，
在△POD与△QOB中， ，
∴△POD≌△QOB（ASA），
∴OP=OQ；
（2）由题意可知：AP= ，∴PD=AD-AP= ；
（3）∵OP=OQ，OB=OD，
∴四边形PBQD是平行四边形，
∴当PD=PB时，四边形PBQD是菱形；
由PD= 得PB= ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB2+AP2=BP2，
即，
解得：
即运动时间为秒时，PB=PD，
∴此时平行四边形PBQD是菱形．
22．（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】试题分析：（1）由AC⊥BD，AO＝CO，可知BD是AC的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可知AD＝DC，AB＝BC，同理可得AD＝AB，CD＝BC，故AB＝BC＝CD＝AD；或先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形先证四边形ABCD是平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明四边形ABCD是菱形，进而得出结论；
（2）连接DP，根据题意可知： S△ADC＝S△ADP＋S△CDP，由三角形的面积公式可知： AC OD ＝AD PM＋DC PH，将AC、OD、AD、DC的长代入化简即可；
（3））由PM＋PH为定值，当PB最短时，PM＋PH＋PB有最小值，由垂线的性质可知当点P与点O重合时，OB有最小值．
试题解析：
（1）证明：∵AO＝CO，BD⊥AC，
∴AD＝CD，AB＝BC ，
同理可得AD＝AB,CD＝BC，
∴AB＝BC＝CD＝AD；
另证：∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD．
（2）证明：∵AC⊥BD，BO＝DO＝5，AO＝CO＝12，
∴由勾股定理得AD＝CD＝13，
连结DP则S△ADC＝S△ADP＋S△CDP ，
又∵PM⊥AD，PH⊥DC，DO⊥AC，
∴
∴
∴即为定值；
（3）存在点，使的值最小．
由（2）可知， 为定值
∴要使PM＋PH＋PB最小，则PB要取最小值
∵BO⊥AC，
∴当P与O重合时，PB最小，最小值为OB＝5，
∴PM＋PH＋PB的最小值为．
点睛：本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了平行四边形和菱形的判定、线段垂直平分线的性质 、勾股定理、三角形的面积公式、垂线段的性质，利用面积以及三角形的面公式求得PM＋PH的值是解答问题（2）的关键；利用垂线段的性质得到BP垂直于AC时，PM＋PH＋PB有最小值是解答问题（3）的关键．
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