18.2.3 正方形（1）同步练习
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18.2.3 正方形（1）同步练习
姓名：__________班级：__________学号：__________
本节应掌握和应用的知识点
１.正方形既是特殊矩形,又是特殊菱形,它的四个角都是直角,四条边都相等 ,对角线互相垂直平分且相等,并且每一条对角线平分一组对角．
２.正方形是轴对称图形,它有４条对称轴．
基础知识和能力拓展训练
、选择题
菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等且互相平分 B．对角线相等且互相垂直平分
C．对角线互相平分 D．四条边相等，四个角相等
如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连结BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT=（ ）
A． B．2 C．2 D．1
已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥AB交BC于点E，若AD=8cm，则OE的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm
下列各图中，每个正方形网格都是由四个边长为1的小正方形组成，其中阴影部分面积为的是（ ）
A． B． C． D．
如图，在平面直角坐标系中，OABC是正方形，点A的坐标是（4，0），点P为边AB上一点，∠CPB=60°，沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点B′处，则B′点的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（，） C．（2，） D．（，）
如图，正方形ABCD的边长是3cm，一个边长为1cm的小正方形沿着正方形ABCD的边AB BC CD DA AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，它的方向是（ ）
A． B． C． D．
如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（ ）
A．n B． n﹣1 C．（）n﹣1 D． n
如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正确结论有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
、填空题
已知正方形ABCD中，点E在边CD上，DE=3，EC=1．点F是正方形边上一点，且BF=AE，则FC= ．
如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE的面积为18，CE=4，则线段BE的长为 ．
如图，边长为2a的正方形EFGH在边长为6a的正方形ABCD所在平面上移动，始终保持EF∥AB，线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为 ．
如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则的值等于 ．
有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为 ．
如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BA，P是CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R．则：（1）DE= ；（2）PQ+PR= ．
、解答题
正方形的边长为2，建立适当的直角坐标系，使它的一个顶点的坐标为（，0），并写出另外三个顶点的坐标．
如图，在正方形中，是边的中点，是边的中点，连结、.
求证:.
已知，如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为BA延长线上一点，且CE=AF．连接DE、DF．求证：DE=DF．
如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）
已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．
（1）求证：AP=BQ；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．
如图，长方形的宽AB=3，长BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．
（1）求线段AB′的长。
（2）当△CEB′为直角三角形时，求CE的长。
答案解析
、选择题
【分析】对菱形对角线相互垂直平分，矩形对角线平分相等，正方形对角线相互垂直平分相等的性质进行分析从而得到其共有的性质．
解：A．不正确，菱形的对角线不相等；
B、不正确，菱形的对角线不相等，矩形的对角线不垂直；
C、正确，三者均具有此性质；
D、不正确，矩形的四边不相等，菱形的四个角不相等；
故选C．
【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=∠CGE=45°，再求出∠GDT=45°，从而得到△DGT是等腰直角三角形，根据正方形的边长求出DG，再根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍求解即可．
解：∵BD、GE分别是正方形ABCD，正方形CEFG的对角线，
∴∠ADB=∠CGE=45°，
∴∠GDT=180°﹣90°﹣45°=45°，
∴∠DTG=180°﹣∠GDT﹣∠CGE=180°﹣45°﹣45°=90°，
∴△DGT是等腰直角三角形，
∵两正方形的边长分别为4，8，
∴DG=8﹣4=4，
∴GT=×4=2．
故选B．
【分析】根据正方形的性质得出AD=AB=8，AO=OC，由OE∥AB，得出OE是△ABC的中位线解答即可．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=8cm，OA=OC，
∵OE∥AB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE=AB=4cm，
故选B．
【分析】 根据正方形对角线相互垂直平分相等的性质对各个选项进行验证从而确定最后答案．
解：A中的阴影部分面积等于2，
B中的阴影部分面积等于2，
C中的阴影部分面积等于2，
D中的阴影部分面积等于1++1=，
故选D．
【分析】过点B′作B′D⊥OC，因为∠CPB=60°，CB′=OC=OA=4，所以∠B′CD=30°，B′D=2，根据勾股定理得DC=2，故OD=4﹣2，即B′点的坐标为（2，）．
解：过点B′作B′D⊥OC
∵∠CPB=60°，CB′=OC=OA=4
∴∠B′CD=30°，B′D=2
根据勾股定理得DC=2
∴OD=4﹣2，即B′点的坐标为（2，）
故选C．
【分析】 根据题意可得这个小正方形第一次回到起始位置时需12次翻转，而每翻转4次，它的方向重复依次，则此时就不难得到这个小正方形第一次回到起始位置时的方向．
解：根据题意分析可得：小正方形沿着正方形ABCD的边AB BC CD DA AB连续地翻转，正方形ABCD的边长是3cm，一个边长为1cm的小正方，即这个小正方形第一次回到起始位置时需12次翻转，而每翻转4次，它的方向重复依次，故回到起始位置时它的方向是向上．
故选A．
【分析】可以判断△ABD≌△BCD，△MDO≌△M′BO，△NOD≌△N′OB，△MON≌△M′ON′由此即可对称结论．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=CB=AD，∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90°，AD∥BC，
在△ABD和△BCD中，
，
∴△ABD≌△BCD，
∵AD∥BC，
∴∠MDO=∠M′BO，
在△MOD和△M′OB中，
，
∴△MDO≌△M′BO，同理可证△NOD≌△N′OB，∴△MON≌△M′ON′，
∴全等三角形一共有4对．
故选C．
【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为（n﹣1）个阴影部分的和．
解：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的，即是×4=1，
5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×4，
n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×（n﹣1）=n﹣1．
故选：B．
【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，设EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x与y的关系，表示出BE与EF，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF和2S△ABE再通过比较大小就可以得出结论
解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．
∵△AEF等边三角形，
∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．
∴∠BAE+∠DAF=30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，①正确．
∠BAE=∠DAF，
∴∠DAF+∠DAF=30°，
即∠DAF=15°②正确，
∵BC=CD，
∴BC﹣BE=CD﹣DF，
及CE=CF，
∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF．③正确．
设EC=x，由勾股定理，得
EF=x，CG=x，AG=x，
∴AC=，
∴AB=，
∴BE=﹣x=，
∴BE+DF=x﹣x≠x，④错误，
∵S△CEF=，
S△ABE==，
∴2S△ABE==S△CEF，⑤正确．
综上所述，正确的有4个，故选C．
、填空题
【分析】由正方形的性质得出BC=AB=AD=CD=DE+EC=4，∠BAD=∠C=∠D=90°，由勾股定理求出AE；分两种情况：①当点F在AD边上时，由勾股定理求出AF，得出DF，在由勾股定理求出FC即可；②当点F在CD边上时，由勾股定理求出FC即可．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD=DE+EC=4，∠BAD=∠C=∠D=90°，
∴AE===5，
分两种情况：
①当点F在AD边上时，如图1所示：
∵BF=AE=5，
∴AF===3，
∴DF=AD﹣AF=1，
∴FC===；
②当点F在CD边上时，如图2所示：
∵BF=AE=5，
∴FC===3；
综上所述：FC的长为或3；
故答案为：或3．
【考点】正方形的性质；三角形的面积；勾股定理．
【分析】根据正方形面积是△ABE面积的2倍，求出边长，再在RT△BCE中利用勾股定理即可．
解：设正方形边长为a，
∵S△ABE=18，
∴S正方形ABCD=2S△ABE=36，
∴a2=36，
∵a＞0，
∴a=6，
在RT△BCE中，∵BC=6，CE=4，∠C=90°，
∴BE===2．
故答案为2．
【分析】因为题目没有确定正方形EFGH的位置，所以我们可以将正方形EFGH的位置特殊化，使点H与点A重合，重新作出图形，这样有利于我们解题，过点M作MO⊥ED与O，则可得出OM是梯形FEDC的中位线，从而可求出ON、OM，然后在RT△MON中利用勾股定理可求出MN．
解：如图，将正方形EFGH的位置特殊化，使点H与点A重合，过点M作MO⊥ED与O，则MO是梯形FEDC的中位线，
∴EO=OD=4a，MO=（EF+CD）=4a．
∵点N、M分别是AD、FC的中点，
∴AN=ND=3a，
∴ON=OD﹣ND=4a﹣3a=a．
在Rt△MON中，MN2=MO2+ON2，即MN===a．
故答案是： a．
【分析】根据辅助线的性质得到∠ABD=∠CBD=45°，四边形MNPQ和AEFG均为正方形，推出△BEF与△BMN是等腰直角三角形，于是得到FE=BE=AE=AB，BM=MN=QM，同理DQ=MQ，即可得到结论．
解：在正方形ABCD中，
∵∠ABD=∠CBD=45°，
∵四边形MNPQ和AEFG均为正方形，
∴∠BEF=∠AEF=90°，∠BMN=∠QMN=90°，
∴△BEF与△BMN是等腰直角三角形，
∴FE=BE=AE=AB，BM=MN=QM，
同理DQ=MQ，
∴MN=BD=AB，
∴==，
故答案为：．
【分析】分两种情形讨论①当30度角是等腰三角形的顶角，②当30度角是底角，分别作腰上的高即可．
解：如图1中，当∠A=30°，AB=AC时，设AB=AC=a，
作BD⊥AC于D，∵∠A=30°，
∴BD=AB=a，
∴ a a=5，
∴a2=20，
∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20．
如图2中，当∠ABC=30°，AB=AC时，作BD⊥CA交CA的延长线于D，设AB=AC=a，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=30°，
∴∠BAC=120°，∠BAD=60°，
在RT△ABD中，∵∠D=90°，∠BAD=60°，
∴BD=a，
∴ a a=5，
∴a2=20，
∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20．
故答案为20或20．
【分析】（1）根据正方形的性质和勾股定理得出BD=，进而解答即可；
（2）连接BP，过C作CM⊥BD，利用面积法求解，PQ+PR的值等于C点到BE的距离，即正方形对角线的一半．
解：（1）∵边长为1的正方形ABCD，
∴DB=，
∴DE=﹣1；
（2）连接BP，过C作CM⊥BD，如图所示：
∵BC=BE，
∴S△BCE=S△BPE+S△BPC
=BC×PQ+BE×PR=BC×（PQ+PR）=BE×CM，
∴PQ+PR=CM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，CD=BC=1，∠CBD=∠CDB=45°，
∴BD=，
∵BC=CD，CM⊥BD，
∴M为BD中点，
∴CM=BD=，
即PQ+PR值是．
故答案为：；．
、解答题
【分析】 先找到A（，0），根据正方形的对称性，可知A点的对称点C的坐标，同样可得出B和D的坐标．
解：建立坐标轴，使正方形的对称中心为原点，
则A（，0），C（﹣，0），
那么B的坐标是（0，），
其对称点D的坐标是（0，﹣）．
解：是正方形，，.
又、分别是、的中点，
，
，
【分析】根据正方形的性质可得AD=CD，∠C=∠DAF=90°，然后利用“边角边”证明△DCE和△DAF全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠DAB=∠C=90°，
∴∠FAD=180°﹣∠DAB=90°．
在△DCE和△DAF中，
，
∴△DCE≌△DAF（SAS），
∴DE=DF．
解：满足条件的所有图形如图所示：
【分析】（1）根据正方形的性质得出AD=BA，∠BAQ=∠ADP，再根据已知条件得到∠AQB=∠DPA，判定△AQB≌△DPA并得出结论；（2）根据AQ﹣AP=PQ和全等三角形的对应边相等进行判断分析．
解：（1）∵正方形ABCD
∴AD=BA，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90°
∵DP⊥AQ
∴∠ADP+∠DAP=90°
∴∠BAQ=∠ADP
∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P
∴∠AQB=∠DPA=90°
∴△AQB≌△DPA（AAS）
∴AP=BQ
（2）①AQ﹣AP=PQ
②AQ﹣BQ=PQ
③DP﹣AP=PQ
④DP﹣BQ=PQ
【分析】（1）由折叠的性质可得：AB′=AB=3；
（2）当△CEB′为直角三角形，可知有两种情况：①当∠CB′E=90°时与②当∠B′EC=90°时；然后分别求解即可求得答案．
解：（1）由折叠的性质可得：AB′=AB=3；
故答案为：3；
（2）当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当∠CB′E=90°时，如答图1所示．
则A，B′，C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC==5，
∴EB=EB′，AB=AB′=3，
∴CB′=5﹣3=2，
设BE=x，则EB′=x，CE=4﹣x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2=CE2，
∴x2+22=（4﹣x）2，解得x=，
∴BE=，
∴CE=BC﹣BE=；
②当∠B′EC=90°时，如答图2所示．
此时ABEB′为正方形，
∴BE=AB=3，
∴CE=BC﹣BE=4﹣3=1；
综上所述，CE的长为1或．
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18.2.3 正方形（1）同步练习
姓名：__________班级：__________学号：__________
本节应掌握和应用的知识点
１.正方形既是特殊矩形,又是特殊菱形,它的四个角都是直角,四条边都相等 ,对角线互相垂直平分且相等,并且每一条对角线平分一组对角．
２.正方形是轴对称图形,它有４条对称轴．
基础知识和能力拓展训练
、选择题
菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等且互相平分 B．对角线相等且互相垂直平分
C．对角线互相平分 D．四条边相等，四个角相等
如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连结BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT=（ ）
A． B．2 C．2 D．1
已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥AB交BC于点E，若AD=8cm，则OE的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm
下列各图中，每个正方形网格都是由四个边长为1的小正方形组成，其中阴影部分面积为的是（ ）
A． B． C． D．
如图，在平面直角坐标系中，OABC是正方形，点A的坐标是（4，0），点P为边AB上一点，∠CPB=60°，沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点B′处，则B′点的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（，） C．（2，） D．（，）
如图，正方形ABCD的边长是3cm，一个边长为1cm的小正方形沿着正方形ABCD的边AB BC CD DA AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，它的方向是（ ）
A． B． C． D．
如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（ ）
A．n B． n﹣1 C．（）n﹣1 D． n
如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正确结论有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
、填空题
已知正方形ABCD中，点E在边CD上，DE=3，EC=1．点F是正方形边上一点，且BF=AE，则FC= ．
如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE的面积为18，CE=4，则线段BE的长为 ．
如图，边长为2a的正方形EFGH在边长为6a的正方形ABCD所在平面上移动，始终保持EF∥AB，线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为 ．
如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则的值等于 ．
有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为 ．
如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BA，P是CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R．则：（1）DE= ；（2）PQ+PR= ．
、解答题
正方形的边长为2，建立适当的直角坐标系，使它的一个顶点的坐标为（，0），并写出另外三个顶点的坐标．
如图，在正方形中，是边的中点，是边的中点，连结、.
求证:.
已知，如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为BA延长线上一点，且CE=AF．连接DE、DF．求证：DE=DF．
如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）
已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．
（1）求证：AP=BQ；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．
如图，长方形的宽AB=3，长BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．
（1）求线段AB′的长。
（2）当△CEB′为直角三角形时，求CE的长。
答案解析
、选择题
【分析】对菱形对角线相互垂直平分，矩形对角线平分相等，正方形对角线相互垂直平分相等的性质进行分析从而得到其共有的性质．
解：A．不正确，菱形的对角线不相等；
B、不正确，菱形的对角线不相等，矩形的对角线不垂直；
C、正确，三者均具有此性质；
D、不正确，矩形的四边不相等，菱形的四个角不相等；
故选C．
【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=∠CGE=45°，再求出∠GDT=45°，从而得到△DGT是等腰直角三角形，根据正方形的边长求出DG，再根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍求解即可．
解：∵BD、GE分别是正方形ABCD，正方形CEFG的对角线，
∴∠ADB=∠CGE=45°，
∴∠GDT=180°﹣90°﹣45°=45°，
∴∠DTG=180°﹣∠GDT﹣∠CGE=180°﹣45°﹣45°=90°，
∴△DGT是等腰直角三角形，
∵两正方形的边长分别为4，8，
∴DG=8﹣4=4，
∴GT=×4=2．
故选B．
【分析】根据正方形的性质得出AD=AB=8，AO=OC，由OE∥AB，得出OE是△ABC的中位线解答即可．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=8cm，OA=OC，
∵OE∥AB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE=AB=4cm，
故选B．
【分析】 根据正方形对角线相互垂直平分相等的性质对各个选项进行验证从而确定最后答案．
解：A中的阴影部分面积等于2，
B中的阴影部分面积等于2，
C中的阴影部分面积等于2，
D中的阴影部分面积等于1++1=，
故选D．
【分析】过点B′作B′D⊥OC，因为∠CPB=60°，CB′=OC=OA=4，所以∠B′CD=30°，B′D=2，根据勾股定理得DC=2，故OD=4﹣2，即B′点的坐标为（2，）．
解：过点B′作B′D⊥OC
∵∠CPB=60°，CB′=OC=OA=4
∴∠B′CD=30°，B′D=2
根据勾股定理得DC=2
∴OD=4﹣2，即B′点的坐标为（2，）
故选C．
【分析】 根据题意可得这个小正方形第一次回到起始位置时需12次翻转，而每翻转4次，它的方向重复依次，则此时就不难得到这个小正方形第一次回到起始位置时的方向．
解：根据题意分析可得：小正方形沿着正方形ABCD的边AB BC CD DA AB连续地翻转，正方形ABCD的边长是3cm，一个边长为1cm的小正方，即这个小正方形第一次回到起始位置时需12次翻转，而每翻转4次，它的方向重复依次，故回到起始位置时它的方向是向上．
故选A．
【分析】可以判断△ABD≌△BCD，△MDO≌△M′BO，△NOD≌△N′OB，△MON≌△M′ON′由此即可对称结论．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=CB=AD，∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90°，AD∥BC，
在△ABD和△BCD中，
，
∴△ABD≌△BCD，
∵AD∥BC，
∴∠MDO=∠M′BO，
在△MOD和△M′OB中，
，
∴△MDO≌△M′BO，同理可证△NOD≌△N′OB，∴△MON≌△M′ON′，
∴全等三角形一共有4对．
故选C．
【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为（n﹣1）个阴影部分的和．
解：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的，即是×4=1，
5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×4，
n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×（n﹣1）=n﹣1．
故选：B．
【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，设EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x与y的关系，表示出BE与EF，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF和2S△ABE再通过比较大小就可以得出结论
解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．
∵△AEF等边三角形，
∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．
∴∠BAE+∠DAF=30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，①正确．
∠BAE=∠DAF，
∴∠DAF+∠DAF=30°，
即∠DAF=15°②正确，
∵BC=CD，
∴BC﹣BE=CD﹣DF，
及CE=CF，
∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF．③正确．
设EC=x，由勾股定理，得
EF=x，CG=x，AG=x，
∴AC=，
∴AB=，
∴BE=﹣x=，
∴BE+DF=x﹣x≠x，④错误，
∵S△CEF=，
S△ABE==，
∴2S△ABE==S△CEF，⑤正确．
综上所述，正确的有4个，故选C．
、填空题
【分析】由正方形的性质得出BC=AB=AD=CD=DE+EC=4，∠BAD=∠C=∠D=90°，由勾股定理求出AE；分两种情况：①当点F在AD边上时，由勾股定理求出AF，得出DF，在由勾股定理求出FC即可；②当点F在CD边上时，由勾股定理求出FC即可．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD=DE+EC=4，∠BAD=∠C=∠D=90°，
∴AE===5，
分两种情况：
①当点F在AD边上时，如图1所示：
∵BF=AE=5，
∴AF===3，
∴DF=AD﹣AF=1，
∴FC===；
②当点F在CD边上时，如图2所示：
∵BF=AE=5，
∴FC===3；
综上所述：FC的长为或3；
故答案为：或3．
【考点】正方形的性质；三角形的面积；勾股定理．
【分析】根据正方形面积是△ABE面积的2倍，求出边长，再在RT△BCE中利用勾股定理即可．
解：设正方形边长为a，
∵S△ABE=18，
∴S正方形ABCD=2S△ABE=36，
∴a2=36，
∵a＞0，
∴a=6，
在RT△BCE中，∵BC=6，CE=4，∠C=90°，
∴BE===2．
故答案为2．
【分析】因为题目没有确定正方形EFGH的位置，所以我们可以将正方形EFGH的位置特殊化，使点H与点A重合，重新作出图形，这样有利于我们解题，过点M作MO⊥ED与O，则可得出OM是梯形FEDC的中位线，从而可求出ON、OM，然后在RT△MON中利用勾股定理可求出MN．
解：如图，将正方形EFGH的位置特殊化，使点H与点A重合，过点M作MO⊥ED与O，则MO是梯形FEDC的中位线，
∴EO=OD=4a，MO=（EF+CD）=4a．
∵点N、M分别是AD、FC的中点，
∴AN=ND=3a，
∴ON=OD﹣ND=4a﹣3a=a．
在Rt△MON中，MN2=MO2+ON2，即MN===a．
故答案是： a．
【分析】根据辅助线的性质得到∠ABD=∠CBD=45°，四边形MNPQ和AEFG均为正方形，推出△BEF与△BMN是等腰直角三角形，于是得到FE=BE=AE=AB，BM=MN=QM，同理DQ=MQ，即可得到结论．
解：在正方形ABCD中，
∵∠ABD=∠CBD=45°，
∵四边形MNPQ和AEFG均为正方形，
∴∠BEF=∠AEF=90°，∠BMN=∠QMN=90°，
∴△BEF与△BMN是等腰直角三角形，
∴FE=BE=AE=AB，BM=MN=QM，
同理DQ=MQ，
∴MN=BD=AB，
∴==，
故答案为：．
【分析】分两种情形讨论①当30度角是等腰三角形的顶角，②当30度角是底角，分别作腰上的高即可．
解：如图1中，当∠A=30°，AB=AC时，设AB=AC=a，
作BD⊥AC于D，∵∠A=30°，
∴BD=AB=a，
∴ a a=5，
∴a2=20，
∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20．
如图2中，当∠ABC=30°，AB=AC时，作BD⊥CA交CA的延长线于D，设AB=AC=a，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=30°，
∴∠BAC=120°，∠BAD=60°，
在RT△ABD中，∵∠D=90°，∠BAD=60°，
∴BD=a，
∴ a a=5，
∴a2=20，
∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20．
故答案为20或20．
【分析】（1）根据正方形的性质和勾股定理得出BD=，进而解答即可；
（2）连接BP，过C作CM⊥BD，利用面积法求解，PQ+PR的值等于C点到BE的距离，即正方形对角线的一半．
解：（1）∵边长为1的正方形ABCD，
∴DB=，
∴DE=﹣1；
（2）连接BP，过C作CM⊥BD，如图所示：
∵BC=BE，
∴S△BCE=S△BPE+S△BPC
=BC×PQ+BE×PR=BC×（PQ+PR）=BE×CM，
∴PQ+PR=CM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，CD=BC=1，∠CBD=∠CDB=45°，
∴BD=，
∵BC=CD，CM⊥BD，
∴M为BD中点，
∴CM=BD=，
即PQ+PR值是．
故答案为：；．
、解答题
【分析】 先找到A（，0），根据正方形的对称性，可知A点的对称点C的坐标，同样可得出B和D的坐标．
解：建立坐标轴，使正方形的对称中心为原点，
则A（，0），C（﹣，0），
那么B的坐标是（0，），
其对称点D的坐标是（0，﹣）．
解：是正方形，，.
又、分别是、的中点，
，
，
【分析】根据正方形的性质可得AD=CD，∠C=∠DAF=90°，然后利用“边角边”证明△DCE和△DAF全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠DAB=∠C=90°，
∴∠FAD=180°﹣∠DAB=90°．
在△DCE和△DAF中，
，
∴△DCE≌△DAF（SAS），
∴DE=DF．
解：满足条件的所有图形如图所示：
【分析】（1）根据正方形的性质得出AD=BA，∠BAQ=∠ADP，再根据已知条件得到∠AQB=∠DPA，判定△AQB≌△DPA并得出结论；（2）根据AQ﹣AP=PQ和全等三角形的对应边相等进行判断分析．
解：（1）∵正方形ABCD
∴AD=BA，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90°
∵DP⊥AQ
∴∠ADP+∠DAP=90°
∴∠BAQ=∠ADP
∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P
∴∠AQB=∠DPA=90°
∴△AQB≌△DPA（AAS）
∴AP=BQ
（2）①AQ﹣AP=PQ
②AQ﹣BQ=PQ
③DP﹣AP=PQ
④DP﹣BQ=PQ
【分析】（1）由折叠的性质可得：AB′=AB=3；
（2）当△CEB′为直角三角形，可知有两种情况：①当∠CB′E=90°时与②当∠B′EC=90°时；然后分别求解即可求得答案．
解：（1）由折叠的性质可得：AB′=AB=3；
故答案为：3；
（2）当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当∠CB′E=90°时，如答图1所示．
则A，B′，C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC==5，
∴EB=EB′，AB=AB′=3，
∴CB′=5﹣3=2，
设BE=x，则EB′=x，CE=4﹣x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2=CE2，
∴x2+22=（4﹣x）2，解得x=，
∴BE=，
∴CE=BC﹣BE=；
②当∠B′EC=90°时，如答图2所示．
此时ABEB′为正方形，
∴BE=AB=3，
∴CE=BC﹣BE=4﹣3=1；
综上所述，CE的长为1或．
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