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第九章《一元一次不等式（组）》
第10讲 探微不等式（组）解的情况
一、知识储备：
1不等式的性质：若，则 （c为数或整式）；若，，则ac bc, ;若，，则ac bc, 21cnjy.com
2不等式的解与不等式的解集:x=3是不等式的解，但的解集是
3一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是1，系数不为0，这样的不等式叫做一元一次不等式。21·cn·jy·com
4．一元一次方程的标准形式：（）或（）。
5 一元一次不等式的一般求解步骤： 去分母 、去特号、移项、合并同类项、系数化1； 解不等式组时，先解组成不等式组的每个不等式，再求它们的解集得原不等式的解集．
6 不等式组的解集：
不等式组（） 图 示 解集
空集
7 同解不等式：如果几个不等式的解集相同，那么这几个不等式称为同解不等式
8本次习题可能需要关联与拓展以下知识点
①,
②,
③(有此特点的算式可裂项相消进行计算)
二、基本思路：
1通过画数轴确定解集，领悟数形结合，类比等数学思想，解决含字母参数的一元一次不等式组的解的情况，
2形如不等式组的关于x的不等式组有n个整数解的问题，解决办法有两种，一是画数轴，借助点的平移，由整数解的情况进行比较，直观锁定；二是转化为a到3表示的点的距离为（见跟进练习3和6）
3借助数轴和绝对值意义拓展到解决绝对值不等式问题，学会转化,分类,特殊值等方法解决
三 、习题精练
范例1：（2017·天门）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来，并求其所有整数解．
【解答】解：解不等式5x+1＞3(x﹣1)，得：x＞﹣2，
解不等式x﹣1≤7﹣x，得：x≤4，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤4，
将解集表示在数轴上如下：
其整数解有：－1，0，1，2，3，4
范例2：解关于x的不等式
【解答】解：∵，∴，
∴有以下三种情形：
情形1：当时，得，即，显然不成立，∴时，原不等式无解
情形2：当时，得，∴时，原不等式解集为
情形3：当时，得，∴时，原不等式解集为
范例3：若不等式和是同解不等式，求m的值。
【解答】解：解法1：∵，∴；∵，∴；
∵和是同解不等式，∴，解得，∴
解法2：∵方程的解为，∴方程的解是，将代入可得
范例4：解下列含绝对值的不等式。
（1） （2）
【解答】解：（1）由绝对值的几何意义可把不等式转化为：，解这个不等式组得，∴的解集为
（2）由绝对值的几何意义可把不等式转化为或，解这两个不等式得或，∴的解集为或
四、跟进练习（时限60分钟满分120分）
一、单选题（共10小题，每题4分，计40分）
1已知且，为任意有理数，下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2下列判断不正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
3（2017·百色）关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则正数a的最小值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
4（2017·内江）不等式组的非负整数解的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5（2017·大庆）若实数3是不等式2x﹣a﹣2＜0的一个解，则a可取的最小正整数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6． 关于x的不等式组 有四个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7（2017·恩施）关于x的不等式组无解，那么m的取值范围为（ ）
A．m≤﹣1 B．m＜﹣1 C．﹣1＜m≤0 D．﹣1≤m＜0
8．(2017·金华)若关于x的一元一次不等式组的解是x＜5，则m的取值范围是( )
A．m≥5 B．m＞5 C．m≤5 D．m＜5
9（2017·毕节）关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4，则m的值为（ ）
A．14 B．7 C．﹣2 D．2
10（2017·重庆A）若数A使关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＜－2，则符合条件的所有整数A的和为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
二、填空题（共5小题，每题4分，计20分）
11 (2017·黑龙江)若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是 ．
12．（2017·农垦）不等式组的解集是x＞－1，则a的取值范围是 ．
13. (2017·烟台)运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否＜18”为一次程序操作，
若输入x后程序操作仅进行了一次就停止，则x的取值范围是 ．
14. （2017·宜宾）若关于x、y的二元一次方程组的解满足x＋y＞0，则m的取值范围是 ．21世纪教育网版权所有
15（2017·株洲）已知“x的3倍大于5，且x的一半与1的差不大于2”，则x的取值范围是 ．www.21-cn-jy.com
三、解答题（共6小题，每题10分，计60分）
16（1）（2017·宁夏）解不等式组：．
（2）（2017·枣庄） x取哪些整数值时，不等式5x＋2＞3（x－1）与x≤2－x都成立？
17（1）（2017·黄石）已知关于x的不等式组恰好有两个整数解，求实数a的取值范围．
（2）已知关于、的方程组的解适合不等式，求的取值范围.
18（1）（2017·呼和浩特）已知关于x的不等式＞x﹣1．
①当m=1时，求该不等式的解集；
②m取何值时，该不等式有解，并求出解集．
（2）解关于x的不等式。
19 (2017·南京改编)解不等式组
请结合题意，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 ，依据是： ．
（2）解不等式③，得 ．
（3）把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来．
（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，并不等式组的解集 ．
（5）利用数轴并结合绝对值意义求不等式的所有整数解的和
20（1）(2017·湖州)对于任意实数a，b，定义关于“ ”的一种运算如下：a b＝2a－b．例如：5 2＝2×5－2＝8，(－3) 4＝2×(－3)－4＝－10．21教育网
①)若3 x＝－2011，求x的值；
②若x 3＜5，求x的取值范围．
（2）化简求值，其中实数a是不等式组的整数解．
21. (2017·达州)设A=÷(a﹣)．
(1)化简A；
(2)当a=3时，记此时A的值为f(3)；当a=4时，记此时A的值为f(4)；…
解关于x的不等式：﹣≤f(3)+f(4)+…+f(11)，并将解集在数轴上表示出来．
a
b
0
a
b
0
b
a
0
a
b
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第九章《一元一次不等式（组）》
第10讲 探微不等式（组）解的情况
一、知识储备：
1不等式的性质：若，则 （c为数或整式）；若，，则ac bc, ;若，，则ac bc, 2-1-c-n-j-y
2不等式的解与不等式的解集:x=3是不等式的解，但的解集是
3一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是1，系数不为0，这样的不等式叫做一元一次不等式。21·cn·jy·com
4．一元一次方程的标准形式：（）或（）。
5 一元一次不等式的一般求解步骤： 去分母 、去特号、移项、合并同类项、系数化1； 解不等式组时，先解组成不等式组的每个不等式，再求它们的解集得原不等式的解集．
6 不等式组的解集：
不等式组（） 图 示 解集
空集
7 同解不等式：如果几个不等式的解集相同，那么这几个不等式称为同解不等式
8本次习题可能需要关联与拓展以下知识点
①,
②,
③(有此特点的算式可裂项相消进行计算)
二、基本思路：
1通过画数轴确定解集，领悟数形结合，类比等数学思想，解决含字母参数的一元一次不等式组的解的情况，
2形如不等式组的关于x的不等式组有n个整数解的问题，解决办法有两种，一是画数轴，借助点的平移，由整数解的情况进行比较，直观锁定；二是转化为a到3表示的点的距离为（见跟进练习3和6）
3借助数轴和绝对值意义拓展到解决绝对值不等式问题，学会转化,分类,特殊值等方法解决
三 、习题精练
范例1：（2017·天门）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来，并求其所有整数解．
【解答】解：解不等式5x+1＞3(x﹣1)，得：x＞﹣2，
解不等式x﹣1≤7﹣x，得：x≤4，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤4，
将解集表示在数轴上如下：
其整数解有：－1，0，1，2，3，4
范例2：解关于x的不等式
【解答】解：∵，∴，
∴有以下三种情形：
情形1：当时，得，即，显然不成立，∴时，原不等式无解
情形2：当时，得，∴时，原不等式解集为
情形3：当时，得，∴时，原不等式解集为
范例3：若不等式和是同解不等式，求m的值。
【解答】解：解法1：∵，∴；∵，∴；
∵和是同解不等式，∴，解得，∴
解法2：∵方程的解为，∴方程的解是，将代入可得
范例4：解下列含绝对值的不等式。
（1） （2）
【解答】解：（1）由绝对值的几何意义可把不等式转化为：，解这个不等式组得，∴的解集为
（2）由绝对值的几何意义可把不等式转化为或，解这两个不等式得或，∴的解集为或
四、跟进练习（时限60分钟满分120分）
一、单选题（共10小题，每题4分，计40分）
1已知且，为任意有理数，下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：C
2下列判断不正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
【解答】解：D
3（2017·百色）关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则正数a的最小值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【解答】解：，解①得x≤a，解②得x＞﹣a．则不等式组的解集是﹣a＜x≤a．∵不等式至少有5个整数解，∴，则a的范围是a≥2．a的最小值是2．
故答案：B．
4（2017·内江）不等式组的非负整数解的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：B．
5（2017·大庆）若实数3是不等式2x﹣a﹣2＜0的一个解，则a可取的最小正整数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：D．
6． 关于x的不等式组 有四个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：不等式组可化为，所以，解得：
7（2017·恩施）关于x的不等式组无解，那么m的取值范围为（ ）
A．m≤﹣1 B．m＜﹣1 C．﹣1＜m≤0 D．﹣1≤m＜0
【解答】解：A.
8．(2017·金华)若关于x的一元一次不等式组的解是x＜5，则m的取值范围是( )
A．m≥5 B．m＞5 C．m≤5 D．m＜5
【解答】解：A．
9（2017·毕节）关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4，则m的值为（ ）
A．14 B．7 C．﹣2 D．2
【解答】解：∵≤﹣2，∴m﹣2x≤﹣6，∴﹣2x≤﹣m﹣6，∴x≥m+3，
∵关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4，∴m+3=4，解得m=2．
故答案：D．
10（2017·重庆A）若数A使关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＜－2，则符合条件的所有整数A的和为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【解答】解：分式方程的解为，∵关于x的分式方程的解为正数，∴＞0且≠1，∴A＜6且A≠2．，
解不等式①得：y＜－2；解不等式②得：y≤A．∵关于y的不等式组的解集
为y＜－2，∴A≥－2．∴﹣2≤A＜6且A≠2．∵A为整数，∴A＝－2、－1、0、1、3、4、5， （－2）＋（－1）＋0＋1＋3＋4＋5＝10．21世纪教育网版权所有
故答案：A．
二、填空题（共5小题，每题4分，计20分）
11 (2017·黑龙江)若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是 ．
【解答】解：由x－a＞0得，x＞a；由1－x＞x－1得，x＜2， ∵此不等式组的解集是空集，
∴a≥2．故答案：a≥2．
12．（2017·农垦）不等式组的解集是x＞－1，则a的取值范围是 ．
【解答】解：解不等式x+1＞0，得：x＞－1，解不等式a－x＜0，得：x＞3a， ∵不等式组的解集为x＞－1，则3a≤－1，∴a≤－，故答案：a≤－．21cnjy.com
13. (2017·烟台)运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否＜18”为一次程序操作，
若输入x后程序操作仅进行了一次就停止，则x的取值范围是 ．
【解答】解：x＜8．
14. （2017·宜宾）若关于x、y的二元一次方程组的解满足x＋y＞0，则m的取值范围是 ．2·1·c·n·j·y
【解答】解：，两个方程相加得2x＋2y＝2m＋4，则x＋y＝m＋2，根据题意得m＋2＞0，解得m＞－2．故答案：m＞－2．21·世纪*教育网
15（2017·株洲）已知“x的3倍大于5，且x的一半与1的差不大于2”，则x的取值范围是 ．www-2-1-cnjy-com
【解答】解：．
三、解答题（共6小题，每题10分，计60分）
16（1）（2017·宁夏）解不等式组：．
（2）（2017·枣庄） x取哪些整数值时，不等式5x＋2＞3（x－1）与x≤2－x都成立？
【解答】解：（1） ，由①得：x≤8，由②得：x＞－3，则不等式组的解集为－3＜x≤8．
（2）根据题意解不等式组，解不等式①，得：x＞－，解不等式②，得：x≤1，∴－＜x≤1，故满足条件的整数有－2、－1、0、1．
17（1）（2017·黄石）已知关于x的不等式组恰好有两个整数解，求实数a的取值范围．
（2）已知关于、的方程组的解适合不等式，求的取值范围.
【解答】解：（1）解5x＋1＞3（x－ 1）得：x＞－2，解x≤8－x＋2a得：x≤4＋a．则不等式组的解集是：－2＜x≤4＋a．不等式组只有两个整数解，是－1和0．根据题意得：0≤4＋a＜1．解得：－4≤a＜－3．21*cnjy*com
（2）由方程组可得，∵，∴，∴
∴ 的取值范围是
18（1）（2017·呼和浩特）已知关于x的不等式＞x﹣1．
①当m=1时，求该不等式的解集；
②m取何值时，该不等式有解，并求出解集．
（2）解关于x的不等式。
【解答】解：（1）①当m=1时，不等式为＞﹣1，去分母得：2﹣x＞x﹣2，
解得：x＜2；
②不等式去分母得：2m﹣mx＞x﹣2，移项合并得：（m+1）x＜2（m+1），
当m＝﹣1时，不等式无解；
当m＞﹣1时，不等式解集为x＜2；
当x＜﹣1时，不等式的解集为x＞2．
（2）解：2-a>0，即a<2时，
2-a<0，即a>2时，
2-a=0，即a=2时，不等式即 0x<3 ，不等式有任意解
19 (2017·南京改编)解不等式组
请结合题意，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 ，依据是： ．
（2）解不等式③，得 ．
（3）把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来．
（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，并不等式组的解集 ．
（5）利用数轴并结合绝对值意义求不等式的所有整数解的和
【解答】解：（1）解不等式①，得x≥－3，依据是：不等式的性质3．
（2）解不等式③，得x＜2．
（3）把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来．
（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集为：－2＜x＜2，
（5）由绝对值意义可把转化为，解这个不等式组可得，所以不等式的整数解有12个，分别是±4，±3，±2，±1，0，5，6，这些整数解的和为18www.21-cn-jy.com
20（1）(2017·湖州)对于任意实数a，b，定义关于“ ”的一种运算如下：a b＝2a－b．例如：5 2＝2×5－2＝8，(－3) 4＝2×(－3)－4＝－10．【来源：21·世纪·教育·网】
①)若3 x＝－2011，求x的值；
②若x 3＜5，求x的取值范围．
（2）化简求值，其中实数a是不等式组的整数解．
【解答】解：(1) ①根据题意，得：2×3－x＝－2011，解得：x＝2017；
②根据题意，得：2x－3＜5，解得：x＜4．
（2）∵
解不等式①得x≤，解不等式②得x≥－ ，∴不等式组的解集为：－ ≤x≤∴不等式组的整数解是0，1，2．由题意得且且，∴21教育网
∴时，
21. (2017·达州)设A=÷(a﹣)．
(1)化简A；
(2)当a=3时，记此时A的值为f(3)；当a=4时，记此时A的值为f(4)；…
解关于x的不等式：﹣≤f(3)+f(4)+…+f(11)，并将解集在数轴上表示出来．
【解答】解：(1)A=÷(a﹣)==
=
(2)∵a=3时，f(3)=，a=4时，f(4)=，a=5时，f(5)=，
…∴﹣≤f(3)+f(4)+…+f(11)，即﹣≤++…+
∴﹣≤+…+， ∴﹣≤，∴﹣≤，解得，x≤4，
∴原不等式的解集是x≤4，在数轴上表示如下所示，
．
a
b
0
a
b
0
b
a
0
a
b
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