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第九章《一元一次不等式（组）》
第12讲 感悟分类、转化等数学思想
一、知识储备：
确定不等式组的解集：
不等式组（） 图 示 解集
空集
二、基本思路：
运用数形结合、分类讨论、转化、方程与函数等基本数学思想方法，运用一元一次不等式（组）的相关知识，解决涉及含有字母系数的不等式（组）解集情况，或者确定不等式（组）中的字母系数取值范围， 21·cn·jy·com
三 、习题精练
范例1：比较和的大小
【解答】解：∵
∴有以下三种情形
情形1：当即时，有＝
情形2：当即时，有
情形3：当即时，有
范例2：m取什么样的负整数时，关于x的方程的解不小于－3.
【解答】解：解方程得：x=2m+2，由题意：2m+2≥-3，所以m≥-2.5，∴ 符合条件的m值为-1，-221教育网
范例3：若2(a-3)＜，求不等式＜x-a的解集
【解答】解：解不等式2(a-3)＜ 得：a<，由＜x-a 得（a-5）x<-a
∵a< ， ∴a-5<0，∴不等式＜x-a的解集为x>
范例4：已知整数x满足不等式和不等式，且满足与互为相反数，求a的值
【解答】解：由得，由得，∴，∵x是整数，∴x＝0；∵与互为相反数，∴+＝0，即+＝0，∴a=12·1·c·n·j·y
范例5：某家电生产企业根据市场调查分析决定调整生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器，彩电，冰箱共360台，且冰箱至少生产40台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：21·世纪*教育网
问：每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高，最高产值是多少万元？
家电名称 空调器 彩电 冰箱
工时（个）
产值（万元/台） 0.4 0.3 0.2
【解答】解：设每周应生产空调器、彩电、冰箱分别是台、台、台，设此时的产值为P万元。
根据题意得：由（1）和（2）知 （5）把（5）代入（3）得：解得：
＝＝，要使P最大，只需最小，当时P最大＝108－0.05×40＝106(万元)，此时（台）， （台）2-1-c-n-j-y
答：每周应生产空调器20台、彩电300台、冰箱40台，才能使产值最高，最高产值是106万元？
四、跟进练习（时限60分钟，满分120分）
一、选择题（共10小题，每小题4分，计40分）
1 若不等式组有解，则实数a的取值范围是（ ）
A B C D
【解答】解：C
2若关于x的不等式组无解，则实数m的取值范围是（ ）
A B C D
【解答】解：A
3如果关于x的不等式组恰有三个整数解，则m的取值范围是（ ）
A B C D
【解答】解：由得，∵恰有三个整数解，则有，解得，
故答案：D
4.如果＞b，那么下列结论一定正确的是( ).
A.c2＞bc2 B.2＞b2 C .3―＜3—b D. ―8＜b+3
【解答】解：C
5把M (3a, －a)沿x轴先向左平移9个单位再沿y轴向上平移1个单位后恰好在第二象限，则a的范围是( ). 21*cnjy*com
A a>1 B a>3 C a<1 D a<3
【解答】解：C
6若方程的解是负整数，则整数的取大值是( ).
A. B. C. D.
【解答】解：B
7已知方程组的解符合，则取值为（ ）,
A. B. C. D.
【解答】解：由中两个方程整体相减得，
得
故答案：A
8某次数学测验，共16个选择题，评分标准为：对一题给6分，错一题扣2分，不答不给分．某个学生有1题未答，他想自己的分数不低于70分，他至少要对（ ）题
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
【解答】解：C
9小玲家每月水费都不少于15元，自来水公司的收费标准如下；若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1.8元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费2元，小明家每月用水量至少是（ ）立方米21世纪教育网版权所有
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10www-2-1-cnjy-com
【解答】解：B
10某市出租车的收费标准是；起步价5元（即行驶距离不超过3千米都需付5元）,超过3千米后,每增加0.5千米加收.9元（不足0.5千米,按05千米计算）,李老师乘坐这种出租车从甲地到乙地共支付车费19.4元,甲地到乙地的最远路程是( )千米【来源：21cnj*y.co*m】
A.3.8 B.4 C.4.6 D.5
【解答】解：A
二、填空题(共5小题，每小题4分，计20分)
11 AC米兰足球队在已赛过的20场比赛中，输了30%，平局占20%，该队还要赛若干场球，球迷发现，即使该队以后每场都没有踢赢，它也能保持不低于30%胜场数，则该球队参赛场数最多有 ___ 场．【出处：21教育名师】
【解答】解：33
12阳阳从家到学校的路程为2400米，他早晨8时离开家，要在8时30分到8时40分之间（不含8时30分和8时40分）到学校，如果用x表示他的速度（单位：米/分），则x的取值范围为 . .21教育名师原创作品
【解答】解：60≤x≤80
13. 小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，那么小明最多能买 本.笔记本
【解答】解：17
14如图所示，折线AC-CB是一条公路的示意图，AC=8km．小张骑摩托车从A地沿这条公路到B地，速度为40km/h，小明骑自行车从C地到B地，速度为10km/h，两人同时出发，结果甲比乙早到6分钟．这条公路的长为 km．小张与小明驶的时间为t小时，则小张没有超过小明的时间t的取值范围是 .
【解答】解：12；
15 对于任意实数a,b,c,d，如果规定 ，此时如果有 ，则x的取值范围是 .
【解答】解：
三 解答题（共6小题，每题10分，计60分）
16已知、满足且，求的取值范围.
【解答】解：解方程组 ∴， 代入不等式，解得
17 如图所示，假设十字路口是对称的，宽窄一致．设十字路口长为m米，宽为n米．当绿灯亮时最后一秒出来的骑车人A，不与另一方向绿灯亮时出来的机动车辆B相撞，即可保证交通安全．
根据调查自行车一般速度低于4m/s，机动车速度不超过8m/s．若红绿灯时间差为t秒．通过上述数据， t满足什么条件时，才能使车人不相撞．当十字路口长约64米，宽约16米，路口实际时间差t=8s时，骑车人A与机动车B是否会发生交通事故
假设十安路口是对称的，宽窄一致，
【解答】解：从C 1 C 2 线到FG线的距离= ，骑车人A从C 1 C 2 线到K处时，另一方向绿灯亮，此时骑车人A前进距离=4t，K处到FG线距离= ，
骑车人A从K处到达FG线所需的时间为
D 1 D 2 线到EF线距离为，机动车B从D 1 D 2 线到EF线所需时间为
A通过FG线比B通过EF线要早一些方可避免碰撞事故．∴ ，即，即设置的时间差要满足 时，才能使车人不相撞．如果十字路口长约64米，宽约16米，理论上最少设置时间差为 ，而实际设置时间差为8秒（8＞7），∴骑车人A与机动车B是不会发生交通事故．21cnjy.com
18．取怎样的整数时，方程组的解满足.
【解答】解：有以下两种情形：
情形1：当K=0时，解得，此时不能同时满足，故此种情形不成立
情形2：当K≠0时，解得可得，∵，∴，
∵，∴上述不等式组可转化为，解得，∴符合条件的整数k的值为k=-2或－1或1或2
19．目前使用手机，有两种付款方式，第一种先付入网费，根据手机使用年限，平均每月分摊8元，然后每月必须缴50元的占号费，除此之外，打市话1分钟付费0.4元；第二种方式将储值卡插入手机，不必付入网费和占号费，打市话1分钟0.6元．若每月通话时间为分钟，使用第一种和第二种付款方式的电话费分别为和，请算一算，哪种对用户合算．
【解答】解：
（1） 若 则 解得：
所以当通话时间小于290分钟时，第二种方式合算。
（2） 若 则 解得：
所以当通话时间等于290分钟时，两种方式相同。
（3） 若 则 解得：
所以当通话时间大于290分钟时，第一种方式合算。
20小亮妈妈开了一家糕点店.现有10.2千克面粉，10.2千克鸡蛋，计划加工一般糕点和精制糕点两种产品共50盒.已知加工一盒一般糕点需0.3千克面粉和0.1千克鸡蛋；加工一盒精制糕点需0.1千克面粉和0.3千克鸡蛋.
（1）有哪几种符合题意的加工方案？请你帮助设计出来；
（2）若销售一盒一般糕点和一盒精制糕点的利润分别为1.5元和2元.那么按哪一个方案加工.小亮妈妈可获得最大利润？最大利润是多少？【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】解：（1）设加工一般糕点x盒，则加工精制糕点（50－x）盒.
根据题意，x满足不等式组： 解这个不等式组，得24≤x≤26.
因为x为整数，所以x＝24，25，26.，因此，加工方案有三种：www.21-cn-jy.com
加工一般糕点24盒、精制糕点26盒；
加工一般糕点25盒、精制糕点25盒；
加工一般糕点26盒、精制糕点24盒.
（2）由题意知，显然精制糕点数越多利润越大，故当加工一般糕点24盒、精制糕点26盒时可获得最大利润.最大利润为：24×1.5+26×2＝88（元）.【版权所有：21教育】
21 某工厂用甲乙两种原料，生产M，N两种产品.甲、乙两种原料是分别用A，B，C三种
物质是按配方混合制成的（混合时没有损耗），甲原料的配方A：B=1：4， 乙原料的配方A：B：C=2：3：5. 21*cnjy*com
（1）现有A，B，C三种物质共505 kg，其中B物质258 kg，能同时制成甲、乙两种原料各
多少kg？
（2）生产一件M产品需用甲原料3 kg，乙原料5 kg；生产一件N产品需用甲原料6 kg，
乙原料4 kg.现用（1）中甲、乙两种原料生产M，N两种产品共60件 ，其中M产品m件，N产品（60－m）件，求m的取值范围？
【解答】解：（1）设制成甲x kg,乙y kg，可列方程组 解得 ∴可同时制成甲、乙两种原料各213 kg，292 kg.
（2）设生产M产品m件，则生产N产品（60－m）件由题意可列不等式组，解得 49≤m≤52，
∴M产品最少可以生产49件，最多可以生产M产品52件.
a
b
0
a
b
0
b
a
0
a
b
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第九章《一元一次不等式（组）》
第12讲 感悟分类、转化等数学思想
一、知识储备：
确定不等式组的解集：
不等式组（） 图 示 解集
空集
二、基本思路：
运用数形结合、分类讨论、转化、方程与函数等基本数学思想方法，运用一元一次不等式（组）的相关知识，解决涉及含有字母系数的不等式（组）解集情况，或者确定不等式（组）中的字母系数取值范围， 21·世纪*教育网
三 、习题精练
范例1：比较和的大小
【解答】解：∵
∴有以下三种情形
情形1：当即时，有＝
情形2：当即时，有
情形3：当即时，有
范例2：m取什么样的负整数时，关于x的方程的解不小于－3.
【解答】解：解方程得：x=2m+2，由题意：2m+2≥-3，所以m≥-2.5，∴ 符合条件的m值为-1，-221cnjy.com
范例3：若2(a-3)＜，求不等式＜x-a的解集
【解答】解：解不等式2(a-3)＜ 得：a<，由＜x-a 得（a-5）x<-a
∵a< ， ∴a-5<0，∴不等式＜x-a的解集为x>
范例4：已知整数x满足不等式和不等式，且满足与互为相反数，求a的值
【解答】解：由得，由得，∴，∵x是整数，∴x＝0；∵与互为相反数，∴+＝0，即+＝0，∴a=1www-2-1-cnjy-com
范例5：某家电生产企业根据市场调查分析决定调整生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器，彩电，冰箱共360台，且冰箱至少生产40台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：21*cnjy*com
问：每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高，最高产值是多少万元？
家电名称 空调器 彩电 冰箱
工时（个）
产值（万元/台） 0.4 0.3 0.2
【解答】解：设每周应生产空调器、彩电、冰箱分别是台、台、台，设此时的产值为P万元。
根据题意得：由（1）和（2）知 （5）把（5）代入（3）得：解得：
＝＝，要使P最大，只需最小，当时P最大＝108－0.05×40＝106(万元)，此时（台）， （台）【出处：21教育名师】
答：每周应生产空调器20台、彩电300台、冰箱40台，才能使产值最高，最高产值是106万元？
四、跟进练习（时限60分钟，满分120分）
一、选择题（共10小题，每小题4分，计40分）
1 若不等式组有解，则实数a的取值范围是（ ）
A B C D
2若关于x的不等式组无解，则实数m的取值范围是（ ）
A B C D
3如果关于x的不等式组恰有三个整数解，则m的取值范围是（ ）
A B C D
4.如果＞b，那么下列结论一定正确的是( ).
A.c2＞bc2 B.2＞b2 C .3―＜3—b D. ―8＜b+3
5把M (3a, －a)沿x轴先向左平移9个单位再沿y轴向上平移1个单位后恰好在第二象限，则a的范围是( ). 21教育网
A a>1 B a>3 C a<1 D a<3
6若方程的解是负整数，则整数的取大值是( ).
A. B. C. D.
7已知方程组的解符合，则取值为（ ）,
A. B. C. D.
8某次数学测验，共16个选择题，评分标准为：对一题给6分，错一题扣2分，不答不给分．某个学生有1题未答，他想自己的分数不低于70分，他至少要对（ ）题
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
9小玲家每月水费都不少于15元，自来水公司的收费标准如下；若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1.8元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费2元，小明家每月用水量至少是（ ）立方米www.21-cn-jy.com
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10【版权所有：21教育】
10某市出租车的收费标准是；起步价5元（即行驶距离不超过3千米都需付5元）,超过3千米后,每增加0.5千米加收.9元（不足0.5千米,按05千米计算）,李老师乘坐这种出租车从甲地到乙地共支付车费19.4元,甲地到乙地的最远路程是( )千米21教育名师原创作品
A.3.8 B.4 C.4.6 D.5
二、填空题(共5小题，每小题4分，计20分)
11 AC米兰足球队在已赛过的20场比赛中，输了30%，平局占20%，该队还要赛若干场球，球迷发现，即使该队以后每场都没有踢赢，它也能保持不低于30%胜场数，则该球队参赛场数最多有 ___ 场．21*cnjy*com
12阳阳从家到学校的路程为2400米，他早晨8时离开家，要在8时30分到8时40分之间（不含8时30分和8时40分）到学校，如果用x表示他的速度（单位：米/分），则x的取值范围为 . .
13. 小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，那么小明最多能买 本.笔记本
14如图所示，折线AC-CB是一条公路的示意图，AC=8km．小张骑摩托车从A地沿这条公路到B地，速度为40km/h，小明骑自行车从C地到B地，速度为10km/h，两人同时出发，结果甲比乙早到6分钟．这条公路的长为 km．小张与小明驶的时间为t小时，则小张没有超过小明的时间t的取值范围是 .2-1-c-n-j-y
15 对于任意实数a,b,c,d，如果规定 ，此时如果有 ，则x的取值范围是 .
三 解答题（共6小题，每题10分，计60分）
16已知、满足且，求的取值范围.
17 如图所示，假设十字路口是对称的，宽窄一致．设十字路口长为m米，宽为n米．当绿灯亮时最后一秒出来的骑车人A，不与另一方向绿灯亮时出来的机动车辆B相撞，即可保证交通安全．21世纪教育网版权所有
根据调查自行车一般速度低于4m/s，机动车速度不超过8m/s．若红绿灯时间差为t秒．通过上述数据， t满足什么条件时，才能使车人不相撞．当十字路口长约64米，宽约16米，路口实际时间差t=8s时，骑车人A与机动车B是否会发生交通事故21·cn·jy·com
假设十安路口是对称的，宽窄一致，
18．取怎样的整数时，方程组的解满足.
19．目前使用手机，有两种付款方式，第一种先付入网费，根据手机使用年限，平均每月分摊8元，然后每月必须缴50元的占号费，除此之外，打市话1分钟付费0.4元；第二种方式将储值卡插入手机，不必付入网费和占号费，打市话1分钟0.6元．若每月通话时间为分钟，使用第一种和第二种付款方式的电话费分别为和，请算一算，哪种对用户合算．
20小亮妈妈开了一家糕点店.现有10.2千克面粉，10.2千克鸡蛋，计划加工一般糕点和精制糕点两种产品共50盒.已知加工一盒一般糕点需0.3千克面粉和0.1千克鸡蛋；加工一盒精制糕点需0.1千克面粉和0.3千克鸡蛋.
（1）有哪几种符合题意的加工方案？请你帮助设计出来；
（2）若销售一盒一般糕点和一盒精制糕点的利润分别为1.5元和2元.那么按哪一个方案加工.小亮妈妈可获得最大利润？最大利润是多少？2·1·c·n·j·y
21 某工厂用甲乙两种原料，生产M，N两种产品.甲、乙两种原料是分别用A，B，C三种
物质是按配方混合制成的（混合时没有损耗），甲原料的配方A：B=1：4， 乙原料的配方A：B：C=2：3：5. 【来源：21·世纪·教育·网】
（1）现有A，B，C三种物质共505 kg，其中B物质258 kg，能同时制成甲、乙两种原料各
多少kg？
（2）生产一件M产品需用甲原料3 kg，乙原料5 kg；生产一件N产品需用甲原料6 kg，
乙原料4 kg.现用（1）中甲、乙两种原料生产M，N两种产品共60件 ，其中M产品m件，N产品（60－m）件，求m的取值范围？ 【来源：21cnj*y.co*m】
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