6.3 实数同步练习
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6.3实数同步练习
姓名：__________班级：__________学号：__________
本节应掌握和应用的知识点
１.无限不循环小数叫做无理数,有理数和无理数统称实数．
２.实数可按定义和正负性两个标准分类
３.实数 和数轴上的点是一一对应的,反过来,数轴上的每一个点一定表示一个实数．
4.注意：（１）无理数包含三种表现形式: ①含根号且开方开不尽的数;②具有特定意义的数,如π;③具有特殊结构的无限不循环小数,如:０.１２５２２５２２２５(每两个５之间依次多一个２)等．
（２）注意无限小数与无限不循环小数和无限循环小数的区别．
基础知识和能力拓展训练
一、选择题
1．计算的结果是（ ）
A. 3 B. -7 C. 7 D. －3
2．下列各数是无理数的是（ ）
A. －5 B. C. 4.121121112 D.
3．下列各组数中互为相反数的是（ ）
A. ﹣3与 B. ﹣（﹣2）与﹣|﹣2| C. 5与 D. ﹣2与
4．若将三个数－， ， 表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（ ）
A. － B. C. D. 和
5．若a=（）0，b=（﹣1）2001，c=2﹣2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. a＞b＞c B. b＞c＞a C. a＞c＞b D. c＞a＞b
6．估计7﹣2的值在（ ）
A. 1到2之间 B. 2到3之间 C. 3到4之间 D. 4到5之间
7．对于非零实数、，规定．若，则的值为( )
A. B. C. D.
8．如图，数轴上的、、、四点中，与数表示的点最接近的是（ ）．
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
9．设a=，b=，c=，则a，b，c之间的大小关系是（ ）
A. a二、填空题
10．的相反数是_______.
11．在实数,－,，0.333333333……, ，0，1.732，2.010010001……中，无理数有__________个.
12．比较大小： ______ （填“＞”或“＜”或“=”）．
13．计算：(－3)0＋()－2－的结果是_______．
14．已知的小数部分为， 的小数部分为，则=__________.
15．已知实数a在数轴上的位置如图1所示，化简=_________.
三、解答题
16．把下列各数分别填入相应的集合内：
﹣2.5，0，8，﹣2， ， ， ﹣0.5252252225…（每两个5之间依次增加1个2）．
（1）正数集合：{ …}；
（2）负数集合：{ …}；
（3）整数集合：{ …}；
（4）无理数集合：{ …}．
17．已知x，y，z是实数，且满足(x－2)2＋|z－3|＝0，求(x+3y)z的值．
18．在数轴上表示a、b、c三数点的位置如下图所示，
化简：|c|--|a-b|．
19．在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大顺序进行排列，用“＜”连接：
, , , , ,
20．已知=3，3a+b﹣1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+2b+c的算术平方根．
21．对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：
（a，b）★（c，d）=bc－ad．
例如：（1，2）★（3，4）=2×3－1×4=2．
根据上述规定解决下列问题：
（1）有理数对（2，－3）★（3，－2）=_______；
（2）若有理数对（－3，2x－1）★（1，x+1）=7，则x=_______；
（3）当满足等式（－3，2x－1）★（k，x＋k）=5＋2k的x是整数时，求整数k的值．
22．我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果ax＋b＝0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a＝0且b＝0．运用上述知识，解决下列问题：
（1）如果（a－2）＋b＋3＝0，其中a、b为有理数，那么a＝______________；
（2）如果（2＋）a－（1－）b＝5，其中a、b为有理数，求a＋2b的值．
参考答案
1．C
【解析】=5-（-2）=7.
故选C.
2．D
【解析】试题解析：根据无理数的定义可以判断：-5是有理数； 是有理数；
4.121121112是有理数； 是无理数．
故选D．
点睛：初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数.
3．B
【解析】试题解析：B
和互为相反数.
故选B.
点睛：只有符号不同的两个数互为相反数.
4．B
【解析】∵墨迹覆盖的数在1～3，
即～，
∴符合条件的数是．
故选B．
5．C
【解析】试题解析：a=（-）0=1；b=（-1）2001=-1；c=2-2=，
∵1＞＞-1，
∴a＞c＞b，
故选C．
点睛：零指数幂：a0=1（a≠0），负整数指数幂：a-p=（a≠0，p为正整数）．
6．B
【解析】∵，
∴，
∴，
∴，即.
故选B.
点睛：要估计出（都是正整数，且开不尽方）在哪两个整数之间，通常可先找出最接近的值的两个正整数，再利用不等式的性质变形就可判断出的值在哪两个整数之间了.
7．A
【解析】根据题中的新定义可得： =，
解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的解，
故选A.
【点睛】本题考查了新定义、解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
8．B
【解析】解：∵，且，∴离更近．故选B．
点睛：本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．
9．A
【解析】试题解析：∵a2=2000+2，
b2=2000+2，
c2=4000=2000+2×1000，
1003×997=1 000 000-9=999 991，
1001×999=1 000 000-1=999 999，
10002=1 000 000．
∴c＞b＞a．
故选A．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小及实数大小比较的知识，这里注意比较数的大小可以用平方法，两个正数，平方大的就大．此题也要求学生熟练运用完全平方公式和平方差公式．
10．-1.1
【解析】∵，
∴的相反数是-1.1.
11．3；
【解析】在实数，－ ，0.333333333……，，0，1.732，2.010010001……中，无理数有，－ ， 2.010010001……，共3个，
故答案为：3.
12．＜
【解析】解： ， ，∵18＜20，∴．故答案为：＜．
13．3
【解析】试题解析：（-3）0+（）-2-
=1+4-2
=3．
故答案为：3．
14．1
【解析】试题解析：∵9＜10＜16，
∴3＜＜4，即9＜6+＜10，2＜6-＜3，
∴a=-3，b=4-，
∴=12017=1.
故答案为：1
15．-
【解析】根据数轴可知1＜a＜2，可知a＜，即a-＜0，因此根据绝对值的性质和二次根式的性质，可得=-a+a-2=-.
故答案为：-.
点睛：此题主要考查了二次根式的性质，解题关键是利用绝对值的非负性，和二次根式的性质，注意在解题时二次根式的估算.
16．答案见解析
【解析】试题分析：正数包括正有理数和正无理数，负数包括负有理数和负无理数，整数包括正整数、负整数和0，无理数是无限不循环小数.由此即可解决问题.
试题解析：
（1）正数集合：{8，，…}；
（2）负数集合：{﹣2.5，﹣2，﹣0.5252252225…（每两个5之间依次增加1个2）…}；
（3）整数集合：{0，8，﹣2，…}；
（4）无理数集合：{，﹣0.5252252225…（每两个5之间依次增加1个2），…}．
17．-1
【解析】试题分析：根据非负数的性质求得x、y、z的值，再代入求值即可.
试题解析：
∵(x－2)2＋|z－3|＝0
∴(x－2)2＝0，且，且|z－3|＝0．
∴x＝2，且y＝-1，且z＝3．
∴(x+3y)z＝(2－3)3＝-1．
18．2a
【解析】试题分析：首先根据数轴可以确定的符号，以及各个绝对值数内面的数的大小，然后即可去掉绝对值符号，从而对式子进行化简．
试题解析：根据数轴可以得到： 且
则：
19．见解析
【解析】试题分析：
先将各数化简，然后再把各数规范的表达到数轴上，最后再按数轴上左边的点表示的数总小于右边的点的表示的数把各数用“<”连接即可.
试题解析：
将各数化简如下：
， ， ， ， ， ；
将各数表示在数轴上为：
将各数用“<”连接为：
.
20．4
【解析】试题分析：根据二次根式、平方根、估算无理数的大小得出 求出，求出的值，最后求出算术平方根即可．
试题解析： 的平方根是±4,c是的整数部分，
∴2a 1=9，3a+b 1=16，c=7，
∴a=5，b=2，c=7，
∴a+2b+c=16，
∴a+2b+c的算术平方根是4.
21．（1）－5；（2）1；（3）k=1，﹣1，﹣2，﹣4．
【解析】试题分析：利用定义的新运算，分别列式或者列方程计算.
试题解析：
解：（1）﹣5……………………．.
（2）1 ……………………．.4分
（3）∵等式（－3，2x－1）★（k，x＋k）=5＋2k的x是整数,
∴（2x﹣1）k﹣（﹣3）（x﹢k）=5﹢2k,
∴（2k﹢3）x=5,
∴,
∵k是整数,
∴2k+3=±1或±5,
∴k=1，﹣1，﹣2，﹣4．.
点睛：定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，是可以深刻理解数学本源的题型，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙，等，解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算.
22．(1)a＝2，b＝－3
(2) －
【解析】试题分析：（1）a，b是有理数，则a-2，b+3都是有理数，根据如果ax+b=0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a=0且b=0．即可确定；
（2）首先把已知的式子化成ax+b=0，（其中a、b为有理数，x为无理数）的形式，根据a=0，b=0即可求解．
试题解析：：（1）2，-3；
（2）整理，得（a+b）+（2a-b-5）=0．
∵a、b为有理数，
∴
解得
∴a+2b=-．
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6.3实数同步练习
姓名：__________班级：__________学号：__________
本节应掌握和应用的知识点
１.无限不循环小数叫做无理数,有理数和无理数统称实数．
２.实数可按定义和正负性两个标准分类
３.实数 和数轴上的点是一一对应的,反过来,数轴上的每一个点一定表示一个实数．
4.注意：（１）无理数包含三种表现形式: ①含根号且开方开不尽的数;②具有特定意义的数,如π;③具有特殊结构的无限不循环小数,如:０.１２５２２５２２２５(每两个５之间依次多一个２)等．
（２）注意无限小数与无限不循环小数和无限循环小数的区别．
基础知识和能力拓展训练
一、选择题
1．计算的结果是（ ）
A. 3 B. -7 C. 7 D. －3
2．下列各数是无理数的是（ ）
A. －5 B. C. 4.121121112 D.
3．下列各组数中互为相反数的是（ ）
A. ﹣3与 B. ﹣（﹣2）与﹣|﹣2| C. 5与 D. ﹣2与
4．若将三个数－， ， 表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（ ）
A. － B. C. D. 和
5．若a=（）0，b=（﹣1）2001，c=2﹣2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. a＞b＞c B. b＞c＞a C. a＞c＞b D. c＞a＞b
6．估计7﹣2的值在（ ）
A. 1到2之间 B. 2到3之间 C. 3到4之间 D. 4到5之间
7．对于非零实数、，规定．若，则的值为( )
A. B. C. D.
8．如图，数轴上的、、、四点中，与数表示的点最接近的是（ ）．
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
9．设a=，b=，c=，则a，b，c之间的大小关系是（ ）
A. a
10．的相反数是_______.
11．在实数,－,，0.333333333……, ，0，1.732，2.010010001……中，无理数有__________个.
12．比较大小： ______ （填“＞”或“＜”或“=”）．
13．计算：(－3)0＋()－2－的结果是_______．
14．已知的小数部分为， 的小数部分为，则=__________.
15．已知实数a在数轴上的位置如图1所示，化简=_________.
三、解答题
16．把下列各数分别填入相应的集合内：
﹣2.5，0，8，﹣2， ， ， ﹣0.5252252225…（每两个5之间依次增加1个2）．
（1）正数集合：{ …}；
（2）负数集合：{ …}；
（3）整数集合：{ …}；
（4）无理数集合：{ …}．
17．已知x，y，z是实数，且满足(x－2)2＋|z－3|＝0，求(x+3y)z的值．
18．在数轴上表示a、b、c三数点的位置如下图所示，
化简：|c|--|a-b|．
19．在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大顺序进行排列，用“＜”连接：
, , , , ,
20．已知=3，3a+b﹣1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+2b+c的算术平方根．
21．对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：
（a，b）★（c，d）=bc－ad．
例如：（1，2）★（3，4）=2×3－1×4=2．
根据上述规定解决下列问题：
（1）有理数对（2，－3）★（3，－2）=_______；
（2）若有理数对（－3，2x－1）★（1，x+1）=7，则x=_______；
（3）当满足等式（－3，2x－1）★（k，x＋k）=5＋2k的x是整数时，求整数k的值．
22．我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果ax＋b＝0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a＝0且b＝0．运用上述知识，解决下列问题：
（1）如果（a－2）＋b＋3＝0，其中a、b为有理数，那么a＝______________；
（2）如果（2＋）a－（1－）b＝5，其中a、b为有理数，求a＋2b的值．
参考答案
1．C
【解析】=5-（-2）=7.
故选C.
2．D
【解析】试题解析：根据无理数的定义可以判断：-5是有理数； 是有理数；
4.121121112是有理数； 是无理数．
故选D．
点睛：初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数.
3．B
【解析】试题解析：B
和互为相反数.
故选B.
点睛：只有符号不同的两个数互为相反数.
4．B
【解析】∵墨迹覆盖的数在1～3，
即～，
∴符合条件的数是．
故选B．
5．C
【解析】试题解析：a=（-）0=1；b=（-1）2001=-1；c=2-2=，
∵1＞＞-1，
∴a＞c＞b，
故选C．
点睛：零指数幂：a0=1（a≠0），负整数指数幂：a-p=（a≠0，p为正整数）．
6．B
【解析】∵，
∴，
∴，
∴，即.
故选B.
点睛：要估计出（都是正整数，且开不尽方）在哪两个整数之间，通常可先找出最接近的值的两个正整数，再利用不等式的性质变形就可判断出的值在哪两个整数之间了.
7．A
【解析】根据题中的新定义可得： =，
解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的解，
故选A.
【点睛】本题考查了新定义、解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
8．B
【解析】解：∵，且，∴离更近．故选B．
点睛：本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．
9．A
【解析】试题解析：∵a2=2000+2，
b2=2000+2，
c2=4000=2000+2×1000，
1003×997=1 000 000-9=999 991，
1001×999=1 000 000-1=999 999，
10002=1 000 000．
∴c＞b＞a．
故选A．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小及实数大小比较的知识，这里注意比较数的大小可以用平方法，两个正数，平方大的就大．此题也要求学生熟练运用完全平方公式和平方差公式．
10．-1.1
【解析】∵，
∴的相反数是-1.1.
11．3；
【解析】在实数，－ ，0.333333333……，，0，1.732，2.010010001……中，无理数有，－ ， 2.010010001……，共3个，
故答案为：3.
12．＜
【解析】解： ， ，∵18＜20，∴．故答案为：＜．
13．3
【解析】试题解析：（-3）0+（）-2-
=1+4-2
=3．
故答案为：3．
14．1
【解析】试题解析：∵9＜10＜16，
∴3＜＜4，即9＜6+＜10，2＜6-＜3，
∴a=-3，b=4-，
∴=12017=1.
故答案为：1
15．-
【解析】根据数轴可知1＜a＜2，可知a＜，即a-＜0，因此根据绝对值的性质和二次根式的性质，可得=-a+a-2=-.
故答案为：-.
点睛：此题主要考查了二次根式的性质，解题关键是利用绝对值的非负性，和二次根式的性质，注意在解题时二次根式的估算.
16．答案见解析
【解析】试题分析：正数包括正有理数和正无理数，负数包括负有理数和负无理数，整数包括正整数、负整数和0，无理数是无限不循环小数.由此即可解决问题.
试题解析：
（1）正数集合：{8，，…}；
（2）负数集合：{﹣2.5，﹣2，﹣0.5252252225…（每两个5之间依次增加1个2）…}；
（3）整数集合：{0，8，﹣2，…}；
（4）无理数集合：{，﹣0.5252252225…（每两个5之间依次增加1个2），…}．
17．-1
【解析】试题分析：根据非负数的性质求得x、y、z的值，再代入求值即可.
试题解析：
∵(x－2)2＋|z－3|＝0
∴(x－2)2＝0，且，且|z－3|＝0．
∴x＝2，且y＝-1，且z＝3．
∴(x+3y)z＝(2－3)3＝-1．
18．2a
【解析】试题分析：首先根据数轴可以确定的符号，以及各个绝对值数内面的数的大小，然后即可去掉绝对值符号，从而对式子进行化简．
试题解析：根据数轴可以得到： 且
则：
19．见解析
【解析】试题分析：
先将各数化简，然后再把各数规范的表达到数轴上，最后再按数轴上左边的点表示的数总小于右边的点的表示的数把各数用“<”连接即可.
试题解析：
将各数化简如下：
， ， ， ， ， ；
将各数表示在数轴上为：
将各数用“<”连接为：
.
20．4
【解析】试题分析：根据二次根式、平方根、估算无理数的大小得出 求出，求出的值，最后求出算术平方根即可．
试题解析： 的平方根是±4,c是的整数部分，
∴2a 1=9，3a+b 1=16，c=7，
∴a=5，b=2，c=7，
∴a+2b+c=16，
∴a+2b+c的算术平方根是4.
21．（1）－5；（2）1；（3）k=1，﹣1，﹣2，﹣4．
【解析】试题分析：利用定义的新运算，分别列式或者列方程计算.
试题解析：
解：（1）﹣5……………………．.
（2）1 ……………………．.4分
（3）∵等式（－3，2x－1）★（k，x＋k）=5＋2k的x是整数,
∴（2x﹣1）k﹣（﹣3）（x﹢k）=5﹢2k,
∴（2k﹢3）x=5,
∴,
∵k是整数,
∴2k+3=±1或±5,
∴k=1，﹣1，﹣2，﹣4．.
点睛：定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，是可以深刻理解数学本源的题型，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙，等，解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算.
22．(1)a＝2，b＝－3
(2) －
【解析】试题分析：（1）a，b是有理数，则a-2，b+3都是有理数，根据如果ax+b=0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a=0且b=0．即可确定；
（2）首先把已知的式子化成ax+b=0，（其中a、b为有理数，x为无理数）的形式，根据a=0，b=0即可求解．
试题解析：：（1）2，-3；
（2）整理，得（a+b）+（2a-b-5）=0．
∵a、b为有理数，
∴
解得
∴a+2b=-．
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