6.1平方根（1）课件
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(共35张PPT)
平方根与算术平方根⑴
人教版 七年级下
嫦娥二号和入轨示意图
同学们，你们知道宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度在什么范围内吗？
这时它的速度要大于第一宇宙速度v1(单位：m/s)而小于第二宇宙速度v2(单位： m/s)， v1，v2的大小满足v12＝gR，v22＝2gR，其中g是物理中的一个常数(重力加速度)，g≈9.8m/s2，R是地球半径，R≈6.4×106m ，怎样求v1， v2呢？这就要用到平方根的概念。
随着人类对数的认识的不断深入，人们发现，边长为1的正方形的对角线的长不是有理数，这就需要引入一种新的数无理数，实际上，计算第一、第二宇宙速度等要用到无理数，本章将首先学习平方根与立方根；在此基础上引入无理数，把数的范围扩充到实数；然后类比有理数，引入实数在数轴上的表示和实数的运算，并用这些知识解决一些问题。
一、计算引入
1、填空
⑴ 22＝ .
⑵ (－5)2＝ .
⑶ 0.32＝ .
⑷ (－3.5)2＝ .
4
25
0.09
12.25
求一个数的平方是多少叫平方运算.
2、填空
⑴ ( )2＝36
⑵ ( )2＝0.25
⑶ ( )2＝81
⑷
±6
±0.5
±9
已知一个数的平方，求这个数的运算叫开平方。
平方运算和开平方运算互为逆运算。
一般地，如果一个数 x 的平方等于a，
即x2＝ a，那么我们说：
⑴ a叫做x的平方；
⑵ x叫做a的平方根 (二次方根)。
一个正数的平方根有两个，它们是互为相反数。
记作：a 的算术平方根记作：
定义：一个正数 x 的平方等于a，
即x2＝a，这个正数 x 叫做 a 的算术平方根。
读作：“根号 a ”→ 简读作：“ 根 a ”
规定：0 的算术平方根是 0.
a
写法和读法
正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根：
求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方，
其中 a 叫做被开方数。
这两个平方根合起来可以记作：
另一个是：
它们互为相反数。
读作“正、负根号a ”
⑴ 一正数有几个平方根？
⑵ 0有几个平方根？
⑶ 负数呢？
答：一正数有两个平方根；
答：0只有一个平方根是0；
答：负数没有平方根。
课堂小练习
二、归纳与整理
1、平方运算和开平方运算互为逆运算。
2、一个正数x的平方等于a，即x2＝a，
这个正数x叫做 a 的算术平方根。
正数a的算术平方根表示为：
3、一个正数的平方根有两个，它们是互为相反数。
正数 a 的平方根可表示为：
二、归纳与整理
老师悄悄提醒大家：
① 平方根没有专门规定它的符号；
② 平方根的符号是借用算术平方根的
符号和“±”复合而成的！
1、求下列各数的算术平方根：
⑴900； ⑵1； ⑶ ； ⑷14
解：⑴ ∵ 302＝900
三、操练操练你，看你掌握的怎么样
∴ 900的算术平方根是30，即
⑵ 1的算术平方根是1，即
1、求下列各数的算术平方根：
⑴900； ⑵1； ⑶ ； ⑷14
(3) 的算术平方根是：
(4) 14的算术平方根是：
2、分别写出下列各数的算术平方根
解：⑴ 81的算术平方根是：
⑶ 0.09的算术平方根是：
⑵ 的算术平方根是：
⑸ －5没有算术平方根。
⑷ 23的算术平方根是：
⑹ 0 的算术平方根是0。
2、分别写出下列各数的算术平方根
3、求下列各数的算术平方根：
⑴36； ⑵ ； ⑶17； ⑷ 0.81;
解：⑴ 36的算术平方根是：
⑷ 0.81的算术平方根是：
⑶ 17的算术平方根是：
⑵ 的算术平方根是：
4、 自由下落物体的高度h(米)与下落时间t(秒)的关系为h＝4.9t2 有一铁球从19.6 米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间 ？
19.6＝4.9t2
得 t2 ＝ 4
答：铁球到达地面需2秒。
解：将h＝19.6代入公式，得
∴ t＝
5、小明房间的面积为10.8平方米，房间地面恰由120块相同的正方形地砖铺成，问每块地砖的边长是多少？
解：设每块地砖的边长为x米，依题意得：
答：每块的地砖的边长是0.3米。
120x2＝10.8
x2＝0.09
x＝
＝0.3
答：变大后的正方形边长是原来边长的2倍。
解：假设这个正方形原来的边长为1，
再设变大后的正方形的边长为 x ，则
6、一个正方形的面积变为原来的 4 倍，其边长
变为原来的多少倍？
x2＝4
＝2
7、求下列各数的平方根.
⑴64； ⑵ ⑶0.0004； ⑷(－25)2； ⑸11
∴
解：⑴ ∵ (±8)2＝64
⑵ ∵
∴
7、求下列各数的平方根.
⑴64； ⑵ ⑶0.0004； ⑷(－25)2； ⑸11
∴
解：⑶ ∵ (±0.02)2＝0.0004
⑷ ∵ (±25)2＝(－25)2
∴
7、求下列各数的平方根.
⑴64； ⑵ ⑶0.0004； ⑷(－25)2； ⑸11
⑸ 11的平方根等于
8、求下列各数的平方根
⑴ 81 ⑵ 0.49 ⑶
⑷ (－4)2 ⑸ －9 ⑹
解：⑴
⑵
解：⑶
⑷
8、求下列各数的平方根
⑴ 81 ⑵ 0.49 ⑶
⑷ (－4)2 ⑸ －9 ⑹
解：⑸ －9没有平方根.
⑹
8、求下列各数的平方根
⑴ 81 ⑵ 0.49 ⑶
⑷ (－4)2 ⑸ －9 ⑹
9、求下列各式中的x
⑴ x2＝49
⑵ (x－1)2＝25
解：⑴ x2＝49
x＝±7
∴ x1＝7， x2＝－7
*
解：⑵ (x－1)2＝25
x－1＝±5
x－1＝5 或 x－1＝－5
∴ x1＝6 x2＝－4
9、求下列各式中的 x.
⑵ (x－1)2＝25
知识拓展
1、已知2a－1的平方根是± ，1－2b的平方根
是±3，求4a＋b的平方根。
解：由题意，得
2a－1＝3
1－2b＝9
＝±2
a＝2，b＝－4
解，得
2、已知 x、y是正数a的两个平方根，且2x－y＝21，
求a的值。
解：∵ x、y是正数a的两个平方根.
∴ y＝－x
又∵ 2x－y＝21
∴ x＝7，
a＝72＝49
∴ 2x－(－x)＝21
y＝－7
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平方根与算术平方根⑴
人教版 七年级下
嫦娥二号和入轨示意图
同学们，你们知道宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度在什么范围内吗？
这时它的速度要大于第一宇宙速度v1(单位：m/s)而小于第二宇宙速度v2(单位： m/s)， v1，v2的大小满足v12＝gR，v22＝2gR，其中g是物理中的一个常数(重力加速度)，g≈9.8m/s2，R是地球半径，R≈6.4×106m ，怎样求v1， v2呢？这就要用到平方根的概念。
随着人类对数的认识的不断深入，人们发现，边长为1的正方形的对角线的长不是有理数，这就需要引入一种新的数无理数，实际上，计算第一、第二宇宙速度等要用到无理数，本章将首先学习平方根与立方根；在此基础上引入无理数，把数的范围扩充到实数；然后类比有理数，引入实数在数轴上的表示和实数的运算，并用这些知识解决一些问题。
一、计算引入
1、填空
⑴ 22＝ .
⑵ (－5)2＝ .
⑶ 0.32＝ .
⑷ (－3.5)2＝ .
4
25
0.09
12.25
求一个数的平方是多少叫平方运算.
2、填空
⑴ ( )2＝36
⑵ ( )2＝0.25
⑶ ( )2＝81
⑷
±6
±0.5
±9
已知一个数的平方，求这个数的运算叫开平方。
平方运算和开平方运算互为逆运算。
一般地，如果一个数 x 的平方等于a，
即x2＝ a，那么我们说：
⑴ a叫做x的平方；
⑵ x叫做a的平方根 (二次方根)。
一个正数的平方根有两个，它们是互为相反数。
记作：a 的算术平方根记作：
定义：一个正数 x 的平方等于a，
即x2＝a，这个正数 x 叫做 a 的算术平方根。
读作：“根号 a ”→ 简读作：“ 根 a ”
规定：0 的算术平方根是 0.
a
写法和读法
正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根：
求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方，
其中 a 叫做被开方数。
这两个平方根合起来可以记作：
另一个是：
它们互为相反数。
读作“正、负根号a ”
⑴ 一正数有几个平方根？
⑵ 0有几个平方根？
⑶ 负数呢？
答：一正数有两个平方根；
答：0只有一个平方根是0；
答：负数没有平方根。
课堂小练习
二、归纳与整理
1、平方运算和开平方运算互为逆运算。
2、一个正数x的平方等于a，即x2＝a，
这个正数x叫做 a 的算术平方根。
正数a的算术平方根表示为：
3、一个正数的平方根有两个，它们是互为相反数。
正数 a 的平方根可表示为：
二、归纳与整理
老师悄悄提醒大家：
① 平方根没有专门规定它的符号；
② 平方根的符号是借用算术平方根的
符号和“±”复合而成的！
1、求下列各数的算术平方根：
⑴900； ⑵1； ⑶ ； ⑷14
解：⑴ ∵ 302＝900
三、操练操练你，看你掌握的怎么样
∴ 900的算术平方根是30，即
⑵ 1的算术平方根是1，即
1、求下列各数的算术平方根：
⑴900； ⑵1； ⑶ ； ⑷14
(3) 的算术平方根是：
(4) 14的算术平方根是：
2、分别写出下列各数的算术平方根
解：⑴ 81的算术平方根是：
⑶ 0.09的算术平方根是：
⑵ 的算术平方根是：
⑸ －5没有算术平方根。
⑷ 23的算术平方根是：
⑹ 0 的算术平方根是0。
2、分别写出下列各数的算术平方根
3、求下列各数的算术平方根：
⑴36； ⑵ ； ⑶17； ⑷ 0.81;
解：⑴ 36的算术平方根是：
⑷ 0.81的算术平方根是：
⑶ 17的算术平方根是：
⑵ 的算术平方根是：
4、 自由下落物体的高度h(米)与下落时间t(秒)的关系为h＝4.9t2 有一铁球从19.6 米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间 ？
19.6＝4.9t2
得 t2 ＝ 4
答：铁球到达地面需2秒。
解：将h＝19.6代入公式，得
∴ t＝
5、小明房间的面积为10.8平方米，房间地面恰由120块相同的正方形地砖铺成，问每块地砖的边长是多少？
解：设每块地砖的边长为x米，依题意得：
答：每块的地砖的边长是0.3米。
120x2＝10.8
x2＝0.09
x＝
＝0.3
答：变大后的正方形边长是原来边长的2倍。
解：假设这个正方形原来的边长为1，
再设变大后的正方形的边长为 x ，则
6、一个正方形的面积变为原来的 4 倍，其边长
变为原来的多少倍？
x2＝4
＝2
7、求下列各数的平方根.
⑴64； ⑵ ⑶0.0004； ⑷(－25)2； ⑸11
∴
解：⑴ ∵ (±8)2＝64
⑵ ∵
∴
7、求下列各数的平方根.
⑴64； ⑵ ⑶0.0004； ⑷(－25)2； ⑸11
∴
解：⑶ ∵ (±0.02)2＝0.0004
⑷ ∵ (±25)2＝(－25)2
∴
7、求下列各数的平方根.
⑴64； ⑵ ⑶0.0004； ⑷(－25)2； ⑸11
⑸ 11的平方根等于
8、求下列各数的平方根
⑴ 81 ⑵ 0.49 ⑶
⑷ (－4)2 ⑸ －9 ⑹
解：⑴
⑵
解：⑶
⑷
8、求下列各数的平方根
⑴ 81 ⑵ 0.49 ⑶
⑷ (－4)2 ⑸ －9 ⑹
解：⑸ －9没有平方根.
⑹
8、求下列各数的平方根
⑴ 81 ⑵ 0.49 ⑶
⑷ (－4)2 ⑸ －9 ⑹
9、求下列各式中的x
⑴ x2＝49
⑵ (x－1)2＝25
解：⑴ x2＝49
x＝±7
∴ x1＝7， x2＝－7
*
解：⑵ (x－1)2＝25
x－1＝±5
x－1＝5 或 x－1＝－5
∴ x1＝6 x2＝－4
9、求下列各式中的 x.
⑵ (x－1)2＝25
知识拓展
1、已知2a－1的平方根是± ，1－2b的平方根
是±3，求4a＋b的平方根。
解：由题意，得
2a－1＝3
1－2b＝9
＝±2
a＝2，b＝－4
解，得
2、已知 x、y是正数a的两个平方根，且2x－y＝21，
求a的值。
解：∵ x、y是正数a的两个平方根.
∴ y＝－x
又∵ 2x－y＝21
∴ x＝7，
a＝72＝49
∴ 2x－(－x)＝21
y＝－7
谢谢
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