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湘教版数学九年级2.5.4 三角形的内切圆
教学设计
课题 2.5.4 三角形的内切圆 单元 二单元 学科 数学 年级 九年级
学习目标 能够说出内切圆的概念；理解三角形内心的三个性质以及一些相关的性质通过组织学生活动探究三角形内切圆的知识点，掌握其中的规律方法体会活动探究新知的乐趣。
重点 内切圆的概念和性质；三角形的面积与周长和内切圆半径的关系；直角三角形三边长与内切圆半径的关系。
难点 灵活运用内切圆的概念和性质解决问题
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 【复习旧知】师：该如何确定一个圆的位置和大小呢？（出示课件2）回答：1. 已知圆心和半径。2. 已知不在同一直线上的三个点。师：△ABC与圆O的关系是什么呢？回答：△ABC是圆O的内接三角形；圆O是△ABC的外接圆；圆心O点叫△ABC的外心。3. 外心的性质是什么呢？三角形三边中垂线的交点；外心到三角形三个顶点的距离相等；外心不一定在三角形内部。师：在三角形内部画圆，当圆最大时，圆与三角形各边有什么位置关系呢？（出示课件4）回答：和三角形的三边都相切。师：和三角形三边都相切的圆叫什么呢？我们一起来学习一下吧。 回忆圆的知识，思考并回答问题思考并回答问题 通过复习圆的知识，为本节课的内容打下基础通过动画演示，让学生理解三边相切时，圆最大
讲授新课 一、三角形的内切圆【议一议】想在一块三角形硬纸板上剪下一个面积最大的圆形纸板， 应当怎样剪？（出示课件5）回答：这个圆应当与三角形的三条边都相切。【动脑筋】与三角形的三条边都相切的圆存在吗？ 若存在， 如何画出这样的圆？（出示课件6）分析：1. 如果圆与△ABC 的三条边都相切， 那么圆心 O 与三角形三边的距离应等于圆的半径， 从而这些距离相等。2. 到一个角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上， 因此圆心 O 应是∠A 与∠B 的平分线的交点。作法： （1） 作∠A， ∠B 的平分线 AD，BE，它们相交于点 O；（2） 过点O作AB的垂线， 垂足为M；（3） 以点O为圆心，OM为半径作圆． ⊙O就是所求作的圆。师：请同学们总结一下画三角形的内切圆的步骤是什么呢？回答：画角平分线→定内心→定半径→画圆→结论师：这样的圆可以作出几个 为什么 （出示课件8）∵ 直线BE和CF只有一个交点I，并且点I到△ABC三边的距离相等∴ 和△ABC三边都相切的圆可以作出一个，并且只能作一个。【内切圆的概念】（出示课件9）师：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心叫作三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形。【三角形内心的性质】师：三角形内心的性质是什么呢？请同学们和同桌商量一下再回答。回答：①三角形的内心是三角形角平分线的交点；②三角形的内心到三边的距离相等；③三角形的内心一定在三角形的内部。【三角形内心与外心的区别与联系】师：请同学们完成下面的表格，可以和同桌商量。师：关于三角形的内心和外心的理解，我们一起来看看几个题。（出示课件12）1. 如图1，△ABC是⊙O的内接三角形。⊙ O是△ABC的外接圆，点O叫△ABC的外心，它是三角形三边垂直平分线的交点。 点O到△ABC的三个顶点距离相等。2.如图2，△DEF是⊙I的外切三角形，⊙I是△DEF的内切圆，点I是 △DEF的内心，它是三角形 三条角平分线 的交点。点I到 △DEF的三条边的距离相等。二、三角形内切圆的应用【三角形的面积与周长和内切圆半径的关系】设 ABC的内切圆的半径为r， ABC的各边长之和为l， ABC的面积为S，我们会有什么结论？（出示课件13）结论：三角形的面积等于其周长的一半与内切圆半径的积。师：关于这个结论，我们一起来看一个题巩固一下。边长为8、15、17的三角形的内切圆半径为多少呢？（出示课件14）分析：根据“三角形的面积等于其周长的一半与内切圆半径的积。”可以求得半径。“8、15、17”勾股数，三角形为直角三角形。面积：S= ×8 ×15=60周长：l=8+15+17=40根据： ，可得半径r=3【直角三角形三边长与内切圆半径的关系】师：我们一起来看看该如何求直角三角形三边长与内切圆半径的关系。如图，O是 Rt ABC的内切圆的圆心，OD ⊥AC，OE ⊥BC，OF ⊥AB，两直角边分别是a，b，c，则其内切圆的半径r与三边的关系是什么呢？（出示课件14）解：设AD=x，BE=y，∵ OD ⊥AC，OE ⊥BC，OF ⊥AB， ∠C=90 °可得四边形ODCE是正方形。则：，解得：结论：直角三角形内切圆半径等于两条直角边之和减去斜边之差的一半。师：我们一起来看一个题，巩固一下。已知直角三角形的斜边长为20，其内切圆半径为5，则该直角三角形的周长为50.解：根据，可得：5∴a+b=30∴周长为30+20=50.【例题讲解】如图 ， ⊙O 是△ABC 的内切圆， ∠A=70°， 求∠BOC 的度数。（出示课件18）解：∵ ∠A = 70°， ∴ ∠ABC+ ∠ACB = 180°- ∠A= 110°. ∵ ⊙O 是△ABC 的内切圆， ∴ BO， CO 分别是∠ABC与∠ACB 的平分线，即 ∠1 = ∠ABC， ∠2= ∠ACB.∴ ∠BOC= 180°-（∠1+ ∠2）= 180°- （∠ABC+∠ACB）= 180°- × 110°=125° .结论：若O为圆心， ∠BOC =90°+ × ∠A 思考并回答问题动手作图，画三角形的内切圆思考并回答问题观看课件同桌讨论，思考并回答问题完成表格完成练习题思考并回答问题完成练习题思考并回答问题完成练习题完成例题 通过提问，让学生知道内切圆的概念通过动手操作，让学生知道怎样画三角形的内切圆通过提问，让学生进一步巩固画三角形内切圆的步骤通过提问，让学生知道内切圆的概念和性质让学生知道三角形内心和外心的区别与联系通过练习，让学生进一步掌握知识点：三角形内心与外心的区别与联系通过探究，让学生知道三角形的面积与周长和内切圆的关系巩固知识点通过探究，让学生知道直角三角形三边长与内切圆半径的关系进一步巩固知识点
巩固练习 1. 三角形的内切圆能作1个, 三角形的内心在圆的 内部。2. 如图，O是△ABC的内心，则OA平分∠BAC, OB平分∠ABC，OC平分∠ACB.(2) 若∠BAC=100 ，则∠BOC= 140 .（2） 解：根据例题可知，∠BOC= 90°+∠BAC= 90°+ ×100 ° =140° .3. 如图， ⊙O是△ABC的外切圆，点I是△ABC的内心，延长AI交⊙O于点D，连接BD。求证：BD=ID证明：连接BI， ∵点I是△ABC的内心 ∴ ∠1=∠2， 同理 ∠3=∠4， 而 ∠BOD=∠1+∠3， ∠ OBD=∠4+∠5， 又 ∵∠2=∠5， ∴∠BID=∠IBD. ∴ BD=ID. 完成练习题 通过做练习题，让学生巩固本节课所学知识
课堂小结 一、内切圆的概念与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心叫作三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形。二、三角形内心的性质①三角形的内心是三角形角平分线的交点；②三角形的内心到三边的距离相等；③三角形的内心一定在三角形的内部。三、三角形的面积与周长和内切圆半径的关系三角形的面积等于其周长的一半与内切圆半径的积。四、直角三角形三边长与内切圆半径的关系 若O是 Rt ABC的内切圆的圆心，三角形两直角边分别是a，b，c，则其内切圆的半径r与三边的关系为 。 自己总结知识点 让学生回忆本节课所学知识。进一步巩固知识。
板书 三角形的内切圆1. 内切圆的概念； 观看板书 提示学生本节课我们应该要掌握哪些知识点。
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三角形的内切圆
数学湘教版 九年级下
复习旧知
该如何确定一个圆的位置和大小呢？
1. 已知圆心和半径。
2. 已知不在同一直线上的三个点。
O
r
A
B
C
O
r
复习旧知
△ABC与圆O的关系:
△ABC是圆O的内接三角形；
圆O是△ABC的外接圆；
圆心O点叫△ABC的外心。
A
B
C
O
r
外心的性质：
三角形三边中垂线的交点；
外心到三角形三个顶点的距离相等；
外心不一定在三角形内部。
导入新知
在三角形内部画圆，当圆最大时，圆与三角形各边有什么位置关系呢？
和三角形三边都相切
新知讲解
1
三角形的内切圆
想在一块三角形硬纸板上剪下一个面积最大的圆形纸板， 应当怎样剪？
议一议
A
B
C
A
B
C
这个圆应当与三角形的三条边都相切。
新知讲解
与三角形的三条边都相切的圆存在吗？ 若存在， 如何画出这样的圆？
动脑筋
A
B
C
分析：
1. 如果圆与△ABC 的三条边都相切， 那么圆心 O 与三角形三边的距离应等于圆的半径， 从而这些距离相等。
2. 到一个角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上， 因此圆心 O 应是∠A 与∠B 的平分线的交点。
新知讲解
A
B
C
作法：
（1） 作∠A， ∠B 的平分线 AD，BE，它们相交于点 O；
（2） 过点O作AB的垂线， 垂足为M；
（3） 以点O为圆心，OM为半径作圆． ⊙O就是所求作的圆。
D
E
O
M
画三角形的内切圆:
画角平分线→定内心→定半径→画圆→结论
新知讲解
这样的圆可以作出几个 为什么
A
B
C
D
E
O
M
∵ 直线BE和CF只有一个交点I，并且点I到△ABC三边的距离相等
∴ 和△ABC三边都相切的圆可以作出一个，并且只能作一个。
新知讲解
A
B
C
D
E
O
M
一、内切圆的概念
与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心叫作三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形。
内切圆
内心
外切三角形
新知讲解
A
B
C
D
E
O
M
二、三角形内心的性质
内切圆
内心
外切三角形
①三角形的内心是三角形角平分线的交点；
②三角形的内心到三边的距离相等；
③三角形的内心一定在三角形的内部。
新知讲解
三、三角形内心与外心的区别与联系
名称 确定方法 图形 性质
三角形三边中垂线的交点
1.OA=OB=OC；
2.外心不一定在三角形的内部。
三角形三条
角平分线的
交点
1.到三边的距离相等；2.OA、OB、OC分别平分三角。
3.内心在三角形内部。
外心:
三角形外接圆的圆心
·
O
C
B
A
内心：
三角形内切圆的圆心
·
I
A
B
C
2. 如图2，△DEF是⊙I的 三角形，⊙I是△DEF的 圆，点I是 △DEF
的 心，它是三角形 的交点。点I到 △DEF的三条边的距离相等。
I
D
E
F
．
图2
如图1，△ABC是⊙O的 三角形。⊙ O是△ABC的 圆，点O叫△ABC的 心，它是三角形 的交点。 点O到△ABC的三个 距离相等。
A
B
C
O
．
图1
外接
内接
外
三边垂直平分线
顶点
外切
内切
内
三条角平分线
新知讲解
新知讲解
2
三角形内切圆的应用
设 ABC的内切圆的半径为r， ABC的各边长之和为l， ABC的面积为S，我们会有什么结论？
一、三角形的面积与周长和内切圆半径的关系
三角形的面积等于其周长的一半与内切圆半径的积。
新知讲解
边长为8、15、17的三角形的内切圆半径为多少呢？
A
B
C
分析：根据“三角形的面积等于其周长的一半与内切圆半径的积。”可以求得半径。“8、15、17”勾股数，三角形为直角三角形。
面积：S= ×8 ×15=60
周长：l=8+15+17=40
根据： ，可得半径r=3
新知讲解
如图，O是 Rt ABC的内切圆的圆心，OD ⊥AC，OE ⊥BC，OF ⊥AB，两直角边分别是a，b，c，则其内切圆的半径r与三边的关系为 。
二、直角三角形三边长与内切圆半径的关系
新知讲解
解：设AD=x，BE=y，
∵ OD ⊥AC，OE ⊥BC，OF ⊥AB， ∠C=90 °
可得四边形ODCE是正方形。
则：，解得：
直角三角形内切圆半径等于两条直角边之和减去斜边之差的一半。
新知讲解
已知直角三角形的斜边长为20，其内切圆半径为5，则该直角三角形的周长为 。
解：根据，
可得：5
∴a+b=30
∴周长为30+20=50.
50
新知讲解
如图 ， ⊙O 是△ABC 的内切圆， ∠A=70°， 求∠BOC 的度数。
例题讲解
解：∵ ∠A = 70°，
∴ ∠ABC+ ∠ACB = 180°- ∠A= 110°.
∵ ⊙O 是△ABC 的内切圆，
∴ BO， CO 分别是∠ABC与∠ACB 的平分线，
即 ∠1 = ∠ABC， ∠2= ∠ACB.
∴ ∠BOC= 180°-（∠1+ ∠2）
= 180°- （∠ABC+∠ACB）= 180°- × 110°=125° .
若O为圆心， ∠BOC =90°+ × ∠A
巩固提升
1. 三角形的内切圆能作____个, 三角形的内心在圆的_______.
2. 如图，O是△ABC的内心，则OA平分∠______, OB平分∠______，OC平分∠______.
(2) 若∠BAC=100 ，则∠BOC=______.
1
内部
BAC
140
ABC
ACB
C
O
B
A
解：根据例题可知，∠BOC= 90°+∠BAC
= 90°+ ×100 ° =140° .
I
o
A
B
C
D
3. 如图， ⊙O是△ABC的外切圆，点I是△ABC的内心，延长AI交⊙O于点D，连接BD。
求证：BD=ID
巩固提升
1
2
3
4
5
I
o
A
B
C
D
证明：连接BI，
∵点I是△ABC的内心
∴ ∠1=∠2，
同理 ∠3=∠4，
而 ∠BOD=∠1+∠3，
∠ OBD=∠4+∠5，
又 ∵∠2=∠5，
∴∠BID=∠IBD.
∴ BD=ID.
巩固提升
课堂小结
一、内切圆的概念
与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心叫作三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形。
二、三角形内心的性质
①三角形的内心是三角形角平分线的交点；
②三角形的内心到三边的距离相等；
③三角形的内心一定在三角形的内部。
课堂小结
三、三角形的面积与周长和内切圆半径的关系
三角形的面积等于其周长的一半与内切圆半径的积。
四、直角三角形三边长与内切圆半径的关系
若O是 Rt ABC的内切圆的圆心，三角形两直角边分别是a，b，c，则其内切圆的半径r与三边的关系为 。
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