浙江省嘉兴市第一中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学试题Word版含答案

嘉兴市第一中学2017学年第一学期期末考试
高二数学 试题卷

满分[ 100]分 ， 时间[120]分钟 2018年2月
第一部分 选择题 (共30分)
选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．命题“若，则”的逆否命题是(　 )
A.若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．设是两条不同的直线，是一个平面，则下列说法正确的是（ ）
A.若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
3.如图，在三棱锥中 ，点D是棱AC的中点 ，若 ， ， ，则等于( )
A. B. C. D.
4. 已知都是实数，那么“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.中心在坐标原点的椭圆，焦点在轴上，焦距为，离心率为，则该椭圆的方程为(　)
A． B． C． D
6. 圆与直线的位置关系为(　 　)
A．相离　　 B．相切 C．相交 D．以上都有可能
7．如图，四边形是边长为1的正方形，，，且，为的中点．则下列结论中不正确的是(　 　)
A． B．
C． D．
8. 已知点，抛物线的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若，则的值等于（ ）
A． B． 2 C．4 D．8
9. 过双曲线：的右顶点作斜率为1的直线，分别与两渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
10.如图，在矩形中， ,点为的中点，为线段（端点除外）上一动点.现将沿折起，使得平面平面.设直线与平面所成角为，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
第二部分 非选择题 (共70分)
填空题：本大题共7小题，多空题每题4分，单空题每题4分，共28分.
11.若直线与直线互相平行，则实数
▲ ,若这两条直线互相垂直，则 ▲ ..
12.双曲线的焦距是 ▲ ，双曲线的渐近线方程是
▲ .
13. 某空间几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积
= ▲ cm3，表面积= ▲ cm2．
14.如图所示，已知正方体，分别是正方形和的中心，则和所成的角是 ▲ .
15.过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若，则的面积为 ▲ .
16.若为椭圆上任意一点, 为圆的任意一条直径,则的取值范围是 ▲ .
17.三棱柱的底是边长为1的正三角形，高,在上取一点,设与面所成的二面角为，与面所成的二面角为，则的最小值是 ▲ .
三、解答题：本大题共5小题，共42 分. 其中第18、19、20、21小题8分，第22小题每题10分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
18. 已知命题p：对数有意义；命题q：实数t满足不等式.
(Ⅰ)若命题p为真，求实数的取值范围；
(Ⅱ)若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数的取值范围．
19.如图所示，四棱锥中，底面为菱形，且直线又棱为的中点，
(Ⅰ) 求证：直线；
(Ⅱ) 求直线与平面的正切值.
20.在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于不同的A，B两点．
(Ⅰ)如果直线过抛物线的焦点，求的值；
(Ⅱ)如果，证明直线必过一定点，并求出该定点．
21．如图，已知三棱柱，侧面.
(Ⅰ)若分别是的中点，求证：；
(Ⅱ)若三棱柱的各棱长均为2，侧棱与底面所成的角为，问在线段上是否存在一点，使得平面?若存在，求与的比值，若不存在，说明理由．
22. 已知椭圆：，右顶点为，离心率为，直线
：与椭圆相交于不同的两点，，过的中点作垂直于的直线，设与椭圆相交于不同的两点，，且的中点为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设原点到直线的距离为，求的取值范围．
嘉兴市第一中学2017学年第一学期期末考试
高二数学 参考答案及评分标准
选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
C
B
A
D
C
C
B
B
A
10.答案A。解：如图：在矩形
中，过点作的垂线交于点，
交于点。设，。
由，得,即有，
由，得。
在翻折后的几何体中，,平面。
从而平面平面，又平面平面，则平面。
连接,则是直线与平面所成角，即。
而，，则。
由于，则当时，取到最大值，其最大值为。
填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共34分.
11．_______， _____； 12．______，_____；
13．____ ____，________； 14．________；
15．____；　　　　　16．____[5,21]___； 17．_______．
16.解析:因为·=(-)·(-)
=·-·(+)+
=||||·cos π-0+||2
=-4+||2. 所以·∈[5,21].
答案:[5,21]
17.. 则是三棱柱的高.过则,设AP=，BP=，，同理
（当时取等号）
18．解：(1)由对数式有意义得－2t2＋7t－5>0，
解得1(2)∵命题p是命题q的充分不必要条件，
∴1法一：因为方程t2－(a＋3)t＋(a＋2)＝0两根为1，a＋2，故只需a＋2>，
解得a>.
即a的取值范围是.
法二：令f(t)＝t2－(a＋3)t＋(a＋2)，因
f(1)＝0，故只需f<0，解得a>.
即a的取值范围是.
19.解：（1）证明：∵∠ADE=∠ABC=60°，ED=1，AD=2
∴△AED是以∠AED为直角的Rt△
又∵AB∥CD, ∴EA⊥AB
又PA⊥平面ABCD，∴EA⊥PA,
∴EA⊥平面PAB,
（2）如图所示，连结PE，过A点作AH⊥PE于H点
∵CD⊥EA, CD⊥PA
∴CD⊥平面PAE,∴AH⊥CD，又AH⊥PE
∴AH⊥平面PCD
∴∠AEP为直线AE与平面PCD所成角
在Rt△PAE中，∵PA=2，AE=
∴
20.解：(1)由题意知抛物线焦点为(1,0)，
设l：x＝ty＋1，代入抛物线y2＝4x，
消去x得y2－4ty－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，
∴·＝x1x2＋y1y2
＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2
＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2
＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.
(2)证明：设l：x＝ty＋b代入抛物线y2＝4x，消去x得y2－4ty－4b＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，
∴·＝x1x2＋y1y2
＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2
＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2
＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.
令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2.
∴直线l过定点(2,0)．
∴若·＝－4，则直线l必过一定点(2,0)．
21．解：(1)证明：连接AC1，BC1，
则AC1∩A1C＝N，AN＝NC1，
因为AM＝MB，所以MN∥BC1.
又BC1?平面BCC1B1，
所以MN∥平面BCC1B1.
(2)作B1O⊥BC于O点，连接AO，
因为平面BCC1B1⊥底面ABC，
所以B1O⊥平面ABC，
以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，，0)，B(－1，0,0)，C(1,0,0)，B1(0,0，)．由＝＝，可求出A1(1，，)，C1(2,0，)，
设点P(x，y，z)，＝λ.
则P，
＝，
＝(－1,0，)．
设平面B1CP的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
由
得
令z1＝1，解得n1＝.
同理可求出平面ACC1A1的法向量n2＝(，1，－1)．
由平面B1CP⊥平面ACC1A1，
得n1·n2＝0，即3＋－1＝0，
解得λ＝3，所以A1C1＝3A1P，
从而C1P∶PA1＝2.
22．（本题满分15分）
解：（Ⅰ）得. ...... 4分
（Ⅱ）（Ⅱ）由 得，
设，，则
故.
:，即 .
由得，
设，,
则，
故.
故= .
又.
所以=. 令，
则= .