24.4 解直角三角形
一、选择题
A组
1.（2011年北京四中中考全真模拟15）从小明家到学校有两条路。一条沿北偏东45度方向可直达学校前门，另一条从小明家一直往东，到商店处向正北走200米，到学校后门。若两条路的路程相等，学校南北走向。学校的后门在小明家北偏东67.5度处。学校从前门到后门的距离是（ ）米.
A.200米;B.200米;C.200米;D.200米
答案：B
2.（2011.河北廊坊安次区一模）如图4，市政府准备修建一座高AB＝6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的余弦值为，则坡面AC的长度为（ ）
A. m B.10 m C. m D. m
答案:B
3. （2011浙江省杭州市10模）如图，小亮同学在晚上由路灯A走向路灯B，当他走到点P时，发现他的身影顶部正好接触路灯B的底部，这时他离路灯A 25米，离路灯B 5米，如果小亮的身高为1.6米，那么路灯高度为 （ ▲ ）
A.6.4米 B. 8米 C.9.6米 D. 11.2米
答案:C
4. （浙江省杭州市瓜沥镇初级中学2011年中考数学模拟试卷）
如图所示，平地上一棵树高为6米，两次观察地面上的影子，第一次是当阳光与地面成60°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次长（ ）
A. B. C. D.
答案：B
5.（河北省中考模拟试卷）石家庄市在“三年大变样”城中村改造建设中，计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（ ）
A.450a元 B.225a元 C.150a元 D.300a元
答案：C
B组
1.（2011杭州上城区一模）Rt△ABC中，∠C=90°，、、分别是∠A、∠B、∠C的对边，那么等于（ ）
A. B. acosB+bcosA
C. D.
答案：B
2.（2011浙江杭州义蓬一中一模）如图，小明发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30o角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为（ ）
A.14米 B.28米 C.米 D.米
答案：D
3.（安徽芜湖2011模拟）小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000m，则他升高了（ ）
A.500m B.m C.m D.1000m
答案: B
4.（浙江杭州进化2011一模）如图折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在斜边AB上的点E处. 已知AB=, ∠B=30°, 则DE的长是（ ）
A. 6 B. 4 C. D. 2
答案: B
5.（2011年北京四中34模）如图，矩形ABCD中，AB>AD，AB=a，过点A作射线AM，使得∠DAM=60°，DE⊥AM与E，DF⊥AM与F，则DE+CF的值是（用含a的代数式表示，）（ ）
A.a B. C. D.
答案：D
6.（2011年浙江省杭州市模2）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE的值是（ ）
A. B.2
C. D.
答案：B
二、填空题
A组
1.（2011年北京四中模拟28）
如图，一人乘雪橇沿坡比1∶的斜坡笔直滑下72米，那么他下降的高度为 __米.
答案：36
2. （2011浙江杭州模拟7）如图为护城河改造前后河床的横断面示意图，将河床原竖直迎水面BC改建为坡度1：0.5的迎水坡AB，已知AB=4米，则河床面的宽减少了_______ 米.（即求AC的长）
答案:4
3. （2011浙江省杭州市8模）如图，小明在A时测得某树的影长为3米，B时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____米.
答案:6
4.（2011年宁夏银川）为了测量水塔的高度，取一根竹杆放在阳光下，已知2米长的竹杆投影长为1.5米，在同一时刻测得水塔的投影长为30米，则水塔高为_________米.
答案：40
B组
1.（2011灌南县新集中学一模）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝20，cosB＝，则BC等于 .
答案：5
2.（2011灌南县新集中学一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，CB＝6，在斜边AB上取一点M，使MB＝CB，过M作MN⊥AB交AC于N，则MN＝ .
答案： 3
3. （河南新乡2011模拟）如图，甲、乙两楼相距20米，甲楼高20米，小明站在距甲楼10米的处目测得点 与甲、乙楼顶刚好在同一直线上，若小明的身高忽略不计，则乙楼的高度是 米.
答案：60米
4、（北京四中2011中考模拟13）如图，沿倾斜角为30o的山坡植树，要求相邻两棵树间的水平距离AC为，那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为_________;
（结果精确到0.1m，可能用到的数据：）.
答案：约为
5.（北京四中2011中考模拟14）如图:为了测量河对岸旗杆AB的高度,在点C处测得顶端A的仰角为30°,沿CB方向前进20m达到D处,在D点测得旗杆顶端A的仰角为45°,则旗杆AB的高度为__________m.（精确到0.1m）
答案：27.3
6. （2011深圳市模四） 如图所示，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为________米.（保留根号）
答案：
7.（2011年北京四中33模）如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC//AD，迎水坡AB长10m，且，则河堤的高BE为 m.
答案：8
24.4 解直角三角形
解答题
A组
1.（2011年黄冈中考调研六）池塘中竖着一块碑，在高于水面1米的地方观测，测得碑顶的仰角为，测得碑顶在水中倒影的俯角为（研究问题时可把碑顶及其在水中的倒影所在的直线与水平线垂直），求水面到碑顶的高度（精确到0.01米，）.
解：如图，DE表示水面，A表示观测点，
B为碑顶，在水中的倒影，由题意：
设,则
在Rt△ABC中，
在Rt△AC中，
由、得
米
答：水面到碑顶的高度4.41米.
2. （2011年江苏盐都中考模拟）（本题10分）青海玉树地震发生后，一支专业搜救队驱车前往灾区救援.如图，汽车在一条南北走向的公路上向北行驶，当在A处时，车载GPS（全球卫星定位系统）显示村庄C在北偏西26°方向，汽车以35km/h的速度前行2h到达B处，GPS显示村庄C在北偏西52°方向.
（1）求B处到村庄C的距离；
（2）求村庄C到该公路的距离.（结果精确到0.1km）
（参考数据：，，
，）
解：过作，交于.
（1），，，，即处到村庄的距离为70km.（4分）
（2）在中，
（5分）.
即村庄到该公路的距离约为55.2km.（1分）
3.（2011年北京四中中考模拟18）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力.如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米／时的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变.若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响.
（1）该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由.
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级?
解：（1）如图，由点A作AD⊥BC，垂足为D.∵AB＝220，∠B＝30°∴AD＝110（千米）.由题意，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响.故该城市会受到这次台风的影响.
（2）由题意，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响.则AE＝AF＝160.当台风中心从E处移到F处时，该城市都会受到这次台风的影响.由勾股定理得：.∴EF＝60（千米）.∵该台风中心以15千米／时的速度移动.∴这次台风影响该城市的持续时间为（小时）.
（3）当台风中心位于D处时，A市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12－＝6.5（级）.
4.（2011年浙江省杭州市模拟23）
为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务.某天我护航舰正在某小岛北偏西并距该岛海里的处待命.位于该岛正西方向处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东的方向有我军护航舰（如图9所示），便发出紧急求救信号.我护航舰接警后，立即沿航线以每小时60海里的速度前去救援.问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置处？（结果精确到个位.参考数据：）
答案：解：由图可知， 2分
作于（如图），
在中，
∴ 4分
在中，
∴ 6分
∴8分
∴（分钟）9分
答：我护航舰约需28分钟就可到达该商船所在的位置10分
5.（2011年北京四中模拟26）
如图，已知灯塔A的周围7海里的范围内有暗礁，一艘渔轮在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，向正东航行8海里到C处后，又测得该灯塔在北偏东30°方向，渔轮不改变航向，继续向东航行，有没有触礁危险？请通过计算说明理由（参考数据1.732）.
答案：作AD⊥BC交BC延长线于D，设AD=，在Rt△ACD中，
∠CAD=30° ∴CD=.在Rt△ABD中，∠ABD=30°
∴BD= ∵BC=8
∴有触礁危险.
6.（北京四中模拟）
李攀家居住在某居民小区，在距他房前24米的地方有一幢26层的电梯公寓，刘卉家就住在这幢公寓里，刘卉的奶奶每天上午都能在她家的阳台上晒到太阳.已知太阳光与水平线的夹角为32°，李攀家所住的楼高40米，电梯公寓每层高2.5米，问刘卉家住的楼层至少是几楼？
（计算结果保留整数，参考数据）
解：过E作EF⊥AB于F ∵AB⊥BC，DC⊥BC ∴四边形BCEF是矩形，EF=BC=24，∠AEF=32°∵tan∠AEF= ∴AF=EF tan∠AEF=24×=15
∴EC=BF=40-15=25，25÷25=10，故刘卉家住的楼层至少是10层.
7.(2011湖北省天门市一模)安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示.已知集热管AE与支架BF所在直线相交与水箱横截面⊙O的圆心O,⊙O的半径为0.2m,AO与屋面AB的夹角为32°，与铅垂线OD的夹角为40°，BF⊥AB于B，OD⊥AD于D，AB＝2m,求屋面AB的坡度和支架BF的长.
(参考数据：)
∵OD⊥AD
∴∠AOD+∠OAC+∠CAD=90°
∵∠OAC=32°，∠AOD=40°
∴∠CAD=18°
∴i==tan18°=1：3
在Rt△OAB中，=tan32°
∴OB=AB·tan32°=2×=1.24
∴BF=OB-OF=1.24-0.2=1.04(m)
8.（2011年江苏连云港）（本小题满分8分）
如图，大楼的高为16米，远处有一塔，小李在楼底处测得塔顶处的仰角为，在楼顶处测得塔顶处的仰角为.其中两点分别位于两点正下方，且两点在同一水平线上，求塔的高度.
解：作于，
可得和矩形，
则有，… …… …… ……… ……… … （2分）
在中，… …… …… ……（4分）
在中，，… …… ……（5分）
，解得：… …… ……（7分）
所以塔的高度为米.… …… …… 8分
9.（2011年浙江仙居）（10分）如图，李明同学在东西方向的滨海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，他向东走400米至B处，测得灯塔P在北偏东30°方向上，求灯塔P到滨海路的距离.（结果保留根号）
解：过点P作PC⊥AB，垂足为C.……………1分
由题意, 得∠PAB＝30°，∠PBC＝60°.
∵ ∠PBC是△APB的一个外角，∴ ∠APB＝∠PBC-∠PAB=30°. …………………3分
∴ ∠PAB＝∠APB. …………………4分
故 AB=PB=400米. …………………………6分
在Rt△PBC中，∠PCB＝90°，∠PBC＝60°，PB=400，
∴ PC=PB …………………………8分
=400×=（米）.…………………10分
B组
1.（2011浙江慈吉 模拟）在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树的高度，设计的方案及测量数据如下：
(1)在大树前的平地上选择一点，测得由点A看大树顶端的仰角为35°；
(2)在点和大树之间选择一点（、、在同一直线上），测得由点
看大树顶端的仰角恰好为45°；
(3)量出、两点间的距离为4.5米.
请你根据以上数据求出大树的高度.(结果保留3个有效数字)
答案：∠CDB=90°, ∠CBD=45°
CD=BD
AB=4.5
AD=BD+4.5
设高CD=
则BD=，AD=+4.5
∠CAD=35°
tan∠CAD=tan35°=
整理后得≈10.5
故大树CD的高约为10.5米
2.（2011年三门峡实验中学3月模拟）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看这栋大楼底部C的俯角为60°，热气球A的高度为240米，求这栋大楼的高度.
答案：
解：过点A作直线BC的垂线，垂足为D.
则∠CDA=90°，∠CAD=60°，∠BAD=30°，CD=240米
在Rt△ACD中，tan∠CAD=，
∴AD=
在Rt△ABD中，tan∠BAD=，
∴BD=AD·tan30°=80
∴BC=CD－BD=240－80=160
答：这栋大楼的高为160米.
3.（2011年杭州市西湖区模拟）（本题6分）如图，在梯形中，∥，
，,，，求梯形的面积.
答案：（本题6分）
在梯形ABCD中，AB∥CD，
∴∠1＝∠2.
∵∠ACB＝∠D＝90°.
∴∠3＝∠B.
∴…………………………………………… 1分
在Rt△ACD中，CD＝4，
∴……………………………………………………………… 3分
∴.在Rt△ACB中，，
∴，∴…………………………………………… 5分
∴……………………………………… 6分
4.（2011年安徽省巢湖市七中模拟）.下图是一座人行天桥的示意图，天桥的高是10米，坡面的倾斜角为.为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角为，若新坡角下需留3米的人行道，问离原坡角10米的建筑物是否需要拆除？
(参考数据：≈1.414，≈1.732 )
解：在Rt中，∵，，∴AB==10(米) …2分
在Rt中，∵∴=米 ……4分
则DA=DB-AB=≈10×1.732= 7.32米. ……5分
∵3 + DA，所以离原坡角10米的建筑物应拆除. ……6分
答：离原坡角10米的建筑物应拆除. ……7分
5.（2011安徽中考模拟）某风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由45°减至30°，已知原台阶坡面AB的长为m（BC所在地面为水平面）.
（1）改善后的台阶坡面会加长多少？
（2）改善后的台阶多占多长一段水平地面？（结果精确到，参考数据：，）
解：（1）如图，在中，
(m).……2分
在中，
(m)，……………4分
m. ………………………………5分
即改善后的台阶坡面会加长 m.
（2）如图，在中， (m).………6分
在中，
(m)，……………………………8分
(m).………………………9分
即改善后的台阶多占.长的一段水平地面. ……………………10分
6.（浙江杭州金山学校2011模拟）（8分）（根据九年级数学一诊试题改编）
如图，一艘渔船位于海洋观测站P的北偏东60°方向，渔船在A处与海洋观测站P的距离为60海里，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海洋观测站P的南偏东45°方向上的B处.求此时渔船所在的B处与海洋观测站P的距离（结果保留根号）.
解：过点P作PC⊥AB，垂足为C.∠APC=30°，∠BPC=45°，AP=60……2分
在Rt△APC中，cos∠APC=，
PC=PA·cos∠APC=30…………………………………2分
在Rt△PCB中，………………………1分 ……………………………2分
答：当渔船位于P南偏东45°方向时，渔船与P的距离是30海里.
7.路边有一根电线杆AB和一块正方形广告牌.
有一天，小明突然发现，在太阳光照射下，电线杆顶
端A的影子刚好落在正方形广告牌的上边中点G处，
而正方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图），
已知BC=5米，正方形边长为3米，DE=4米.
（1）求电线杆落在广告牌上的影长；
（2）求电线杆的高度（精确到0.1米）.
解：（1）电线杆落在广告牌上的影长为3+1.5=4.5（米）…………（2分）
（2）作GH⊥AB于H，依题意得：HG=BC+0.5CD=5+1.5=6.5…………（3分）
因为：,DF=3,DE=4. …………（4分）
所以：AH==4.875…………（5分）
所以：电线杆的高度为:
AB=AH+BH=AH+DF=3+4.875=7.875≈7.9.…………（6分）
答：（1）广告牌上的影长为4.5米；（2）电线杆的高度为7.9米.…………（7分）
24.4解直角三角形（坡度、坡角）
◆随堂检测
1、某斜坡的坡度为i=1：，则该斜坡的坡角为______度．
2、以下对坡度的描述正确的是（ ）．
A．坡度是指斜坡与水平线夹角的度数;
B．坡度是指斜坡的铅直高度与水平宽度的比;
C．坡度是指斜坡的水平宽度与铅直高度的比;
D．坡度是指倾斜角的度数
3、某人沿坡度为i=1：的山路行了20m，则该人升高了（ ）．
A．20m B．m
4、斜坡长为100m，它的垂直高度为60m，则坡度i等于（ ）．
A． B． C．1： D．1：0.75
5、在坡度为1：1.5的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为6m，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为（ ）．
A．4m B．2m C．3m D．4m
◆典例分析
水库拦水坝的横断面为梯形ABCD，背水坡CD的坡比i=1：，已知背水坡的坡长CD=24m，求背水坡的坡角α及拦水坝的高度．
解：过D作DE⊥BC于E．
∵该斜边的坡度为1：，
则tanα=，∴α=30°，
在Rt△DCE中，DE⊥BC，DC=24m．
∴∠DCE=30°，∴DE=12（m）．
故背水坡的坡角为30°，拦水坝的高度为12m．
点评：本题的关键是弄清坡度、坡角的概念，坡度和坡角的关系：坡度就是坡角的正切值，通过做高构造直角三角形，再利用三角函数值求出坡角即可.
◆课下作业
●拓展提高
1、如图，沿倾斜角为30°的山坡植树，要求相邻两棵树间的水平距离AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为_______m（精确到0．1m）．（可能用到的数据≈1.41，≈1.73）
1题图 2题图
2、如图，防洪大堤的横断面是梯形，坝高AC=6米，背水坡AB的坡度i=1：2，则斜坡AB的长为_______米．
3、如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地砖，地毯的长度至少需________米（精确到0.1米）．
3题图 4题图
4、如图，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i=1：3，坡高BC为2米，则斜坡AB的长是（ ）
A．2米 B．2米 C．4米 D．6米
5、为了灌溉农田，某乡利用一土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为1.2m，下底宽为2m，坡度为1：0.6的渠道（其横断面为等腰梯形），并把挖出的土堆在两旁，使土堤的高度比原来增加了0.6m，如图所示，求：（1）渠面宽EF；（2）修400m长的渠道需挖的土方数．
6、一勘测人员从A点出发，沿坡角为30°的坡面以5km/h的速度行到点D，用了10min，然后沿坡角为45°的坡面以2.5km/h的速度到达山顶C，用了12min，求山高及A，B两点间的距离（精确到0.1km）．
7、某村计划开挖一条长为1600m的水渠，渠道的横断面为等腰梯形，渠道深0.8m，下底宽1.2m，坡度为1：1．实际开挖渠道时，每天比原计划多挖土方20m3，结果比原计划提前4天完工，求原计划每天挖土多少立方米．（精确到0.1m3）
●体验中考
1、（2009年衢州）为测量如图所示上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据(单位：米)，则该坡道倾斜角α的正切值是（ ）
A． B．4
C． D．
2、（2009年台州市）如图，有一段斜坡长为10米，坡角，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°．
（1）求坡高;
（2）求斜坡新起点与原起点的距离（精确到0.1米）．
3、（2009年山西省）有一水库大坝的横截面是梯形，为水库的水面，点在上，某课题小组在老师的带领下想测量水的深度，他们测得背水坡的长为12米，迎水坡上的长为2米，求水深．（精确到0.1米，）
参考答案
1．30° 点拨：坡度是斜边铅直高度与水平宽度的比，坡角的正切值等于坡度．
2．B 点拨：理解概念很关键．
3．C 点拨：tanα==．
∴∠α=60°，∴h=20×sin60°=10m．
4．C 点拨：由题意可知，该坡的水平宽度为80，
∴tanα==．
5．B 点拨：坡度是指铅直高度与水平宽度的比
拓展提高：
1、2.3
2、6
3、5.5
4、B
5、（1）过B作BM⊥AD．
∵i=1：0.6，BM=1.2m，
∴AM=0.72m．
再过A作AN⊥EF，同理得EN=0.36m．
∴EF=2+2×0.72+2×0.36=4.16m．
（2）根据题意V土=（AD+BC）×BM×400=（2+3.44）×1.2×400=1 305.6m3．
故渠面宽EF为4.16m，修400m长的渠道需挖1 305.6m3的土．
6、过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，
由题意可知，AD≈0.83km，
在Rt△ADE中，
AD=0.83km，∠DAE=30°，
∴AE=0.415km，DE=0.415km．
在Rt△DCF中，DC=0.5km，
∠CDF=45°，∴DF=CF=0.25≈0.35km，
∴AB=AE+EB=AE+DF=0.415+0.35≈1.1km，
BC=CF+BF=CF+DE=0.35+0.415≈0.8km，
故山高为0.8km，A，B两点之间的距离为1.1km．
7、如图．
过A作AM⊥CD，垂足为M．
∵坡度为1：1，渠道深为0.8m．
∴DM=0.8m，即CD=1.2+2×0.8=2.8m．
挖渠道共挖出的土方数为（AB+CD）·AM×1600=2 560m3．
设原计划每天挖xm3的土，则实际每天挖（x+20）m3，
根据题意得+4．
解得x≈103.5m3，x≈-123.5m3（不符合题意，舍去）．
经检验x=103.5m3是原方程的根．
故原计划每天挖土约103.5m3．
体验中考：
1、A
2、解：（1）在中，
（米）．
（2）在中，
（米）；
在中， （米），
（米）．
答：坡高2.1米，斜坡新起点与原起点的距离为13.5米
3、解：分别过作于于过作于则四边形为矩形．
∴
在中，
∴
在中，
∴
答：水深约为6.7米．
24.4 解直角三角形
◆随堂检测
1、如图，在△ABC中，∠B=60°，∠BAC=75°，BC边上的高AD=3，则BC=______．
1题图 2题图 3题图
2、如图，点P是∠AOB的角平分线上一点，过点P作PC∥OP交OA于点C．若∠AOB=60°，OC=4，则点P到OA的距离PD等于________．
3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，sinB=，那么AB的长是（ ）
A．4 B．9 C．3 D．2
4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=6，AB=9，则AD的长是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
4题图 5题图
5、如图，水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽6m，坝高24m，斜坡AB的坡角为45°，斜坡CD的坡度i=1：2，则坝底AD的长为（ ）
A．42m B．（30+24）m C．78m D．（30+8）m
◆典例分析
如图，甲、乙两幢高楼的水平距离BD为90米，从甲楼顶部C点测得乙楼顶部A点的仰角α为30°，测得乙楼底部B点的仰角β为60°，求甲，乙两幢高楼各有多高？（计算过程和结果不取近似值）
解：作CE⊥AB于点E．
∵CE∥DB，CD∥AB，且∠CDB=90°，
∴四边形BECD是矩形，∴CD=BE，CE=BD．
在Rt△BCE中，β=60°，CE=BD=90米．
∵tan=，
∴BE=CE·tanβ=90×tan60°=90（米）．
∴CD=DE=90（米）．
在Rt△ACE中，α=30°，CE=90米，
∵tanα=，
∴AE=CE·tanα=90×tna30°=90×=30（米）．
∴AB=AE+BE=30+90=120（米）．
答：甲楼高为90米，乙楼高为120米.
点评：解直角三角形得应用是中考命题的热点之一，问题解决的关键是构造直角三角形模型，利用解直角三角形的知识建立未知的边、角与已知的边、角之间的关系.
◆课下作业
●拓展提高
1、已知等腰梯形两底的差为，腰长为1，则这个梯形的一个锐角为______°．
2、在菱形ABCD中，AE⊥BC于E点，CE=2，sinB=，求菱形ABCD的面积．
3、在梯形ABCD中，AB∥CD，CD=5，DA=3，∠DAB=45°，∠ABC=60°，求梯形的面积．
4、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB=4，AD=5，∠B=45°，∠C=30°，求梯形ABCD的面积．
5、某学校体育场看台的侧面如图25-3-36阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶．已知看台高为1.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长为1米的不锈钢架杆AD和BC（杆子的底端分别为D，C），且∠DAB=66.5°）．
（1）求点D与点C的高度差DH．
（2）求所用不锈钢材料的总长度L（即AD+AB+BC，结果精确到0.1米）．
（参考数据：sin66．5°≈0.92，cos66．5°≈0.40，tan66．5°≈2.30）
6、如图，某校九年级3班的一个学习小组进行测量小山高度的实践活动．部分同学在山脚点A测得山腰上一点D的仰角为30°，并测得AD的长度为180米；另一部分同学在山顶点B测得山脚点A的俯角为45°，山腰点D的俯角为60°，请你帮助他们计算出小山的高度BC（计算过程和结果都不取近似值）．
7、如图，点P表示广场上的一盏照明灯．
（1）请你在图中画出小敏在照明灯P照射下的影子（用线段表示）．
（2）若小丽到灯柱MO的距离为4.5米，照明灯P到灯柱的距离为1.5米，小丽目测照明灯P的仰角为55°，她的目高QB为1.6米，试求照明灯P到地面的距离（结果精确到0.1米） （参考数据：tan55°≈1.428，sin55°≈0.819，cos55°≈0.574）
●体验中考
1、（2009年衡阳市） 如图，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，，则下列结论中正确的个数为（ ）
①DE=3cm； ②EB=1cm； ③．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
2、(2009年鄂州)如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥AB，AD＝CD，cos∠DCA= ，BC＝10，则AB的值是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
3、（2009年深圳市）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC∶∠EDA=1∶3，且AC=10，则DE的长度是（ ）
A．3 B．5 C． D．
4、（2009重庆綦江）如图，在矩形ABCD中，是边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．
（1）求证：；
（2）如果，求的值．
参考答案
随堂检测：
1．3+
2．2
3．B
4．C
5．C
拓展提高：
1、30° 点拨：因为等腰梯形的两底差为，
∴由顶点的高构成的三角形的底为，斜边为1，∴锐角为30°．
2、在Rt△ABE中，sinB=，
∴AE=5x，AB=13x，BE=12x．
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，即13x=12x+2，∴x=2．
∴AB=26，AE=10，S菱形ABCD=26×10=260．
3、解：过D作DE⊥AB，过C作CF⊥AB，则DE=CF，
∵∠DAB=45°，∴DE=AE=3．
∵tan60°==
∴S梯形ABCD=（5+5+3+）×3
=（13+）×3=．
4、28+8
5、（1）DH=1.6×=1.2（米）．
（2）如图过B作BM⊥AH于M，则四边形BCHM是矩形．
MH=BC=1，∴AM=AH-MH=1+1.2-1=1.2．
在Rt△AMB中，∵∠A=66.5°，
∴AB==3.0（米）．
∴D=AD+AB+BC≈1+3.0+1=5.0（米）．
答：点D与点C的高度差DH为1.2米，所用不锈钢材料的总长度约为5.0米
6、解：过D点作DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．
∵∠DAB=∠BAC-∠DAC=15°，
∠DBA=∠HBD-∠HBA=15°，
∴∠DAB=∠DBA，∴DA=DB．
∵AD=18米，∴BD=180米．
在Rt△ADF中，DF=AD·sin30°=90（米）．
在Rt△BDE中，BE=DB·cos30°=90（米）．
∴BC=EC+BE=（90+90）（米）．
7、（1）如图答，线段AC是小敏的影子，
（画图正确）
（2）过点Q作QE⊥MO于E，过点P作PF⊥AB于F，交EQ于点D，则PF⊥EQ．
在Rt△PDQ中，∠PQD=55°，
DQ=EQ-ED=4.5-1.5=3（米）．
∵tna55°=，∴PD=3tan55°≈4.3（米），
∵DF=QB=1.6米，
∴PF=PD+DF=4.．3+1.6=5.9（米）．
答：照明灯到地面的距离为5.9米．
体验中考：
1、A
2、B
3、D
4、（1）证明：在矩形中，
．
（2）解：由（1）知
在直角中，
在直角中，
．
24.4 解直角三角形（视角、方位角）
◆随堂检测
1、若从A点看B点时，B点在A点的北偏东35°的方向上，那么从B点看A点时，A点在B点的________．
2、如图1，在离铁塔140m的A处，用测角仪测量塔顶的仰角为30°，已知测角仪高AD=1.5m，则塔高BE=_________（根号保留）．
(图1) (图2) (图3)
3、如图2，从树顶A望地面上的C，D两点，测得它们的俯角分别是45°和30°，已知CD=200m，点C在BD上，则树高AB等于（ ）．
A．200m B．100m C．100m D．100（+1）m
4、如图3，已知楼房AB高为50m，铁塔塔基距楼房基间的水平距离BD为100m，塔高CD为m，则下面结论中正确的是（ ）．
A．由楼顶望塔顶仰角为60° B．由楼顶望塔基俯角为60°
C．由楼顶望塔顶仰角为30° D．由楼顶望塔基俯角为30°
5、轮船航行到C处时，观测到小岛B的方向是北偏西65°，那么同时从B处观测到轮船的方向是（ ）．
A．南偏西65° B．东偏西65° C．南偏东65° D．西偏东65°
◆典例分析
《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70km/h”，一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶，在距路边25m处有“车速检测仪O”，测得该车从北偏西60°的A点行驶到北偏西30°的B点，所用时间为1.5s．
（1）试求该车从A点到B点的平均速度;（2）试说明该车是否超过限速．
解：（1）在Rt△AOC中，AC=OC·tan∠AOC=25×tan60°=25m，
在Rt△BOC中，BC=OC．tan∠BOC=25×tan30°=m，
∴AB=AC-BC=（m）．
∴小汽车从A到B的速度为÷=（m/s）．
（2）∵70km/h=m/s，
又∵≈，
∴小汽车没有超过限速．
点拨：把实际问题转化为数学模型，利用三角函数知识解决.
◆课下作业
●拓展提高
1、一船上午8点位于灯塔A的北偏东60°方向，在与灯塔A相距64海里的B港出发，向正西方向航行，到9时30分恰好在灯塔正北的C处，则此船的速度为______．
2、如图，某飞机于空中A处探测到地平面上的目标B，此时从飞机上看目标B的俯角α=30°，飞行高度AC=1200m，则飞机到目标B的距离AB为（ ）．
A．1200m B．2400m C．400m D．1200m
(第2题) (第3题)
3、如图，飞机A在目标B的正上方，在地面C处测得飞机的仰角为α，在飞机上测得地面C处的俯角为β，飞行高度为h，AC间距离为s，从这4个已知量中任取2个为一组，共有6组，那么可以求出BC间距离的有（ ）．
A．3组 B．4组 C．5组 D．6组
4、倾斜的木板如图所示搭在货车上，货车的高度为2m，如果木板与地面所成的角为30°，求木板的一端B与车的水平距离．
5、海中有一小岛，它的周围8海里内有暗礁，轮船由西向东航行，在B点测得小岛在北偏东60°方向上，航行10海里后到达C点，此时测得小岛在北偏东45°方向上，如果不改变航向，继续向东航行，有无触礁的危险？
6、两建筑物AB和CD的水平距离为45m，从A点测得C点的俯角为30°，测得D点的俯角为60°，求建筑物CD的高度．
7、某市一新开发的居民小区，每两幢楼之间距离为24m，每楼高均为18m．已知该城市正午时分太阳高度最低时，太阳光线与水平线的夹角为30°，试求：
（1）此时前楼的影子落在后楼上有多高？
（2）要使前楼的影子刚好落在后楼的楼脚时，两楼之间的距离应当是多少米？
●体验中考
1、（益阳市）如图，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ）
A. B. C. D.
2、（广东省）如图所示，．两城市相距100km．现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段），经测量，森林保护中心在城市的北偏东和城市的北偏西的方向上．已知森林保护区的范围在以点为圆心，50km为半径的圆形区域内．请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区．为什么？（参考数据：）
参考答案
随堂检测：
1、南偏西35°（或西偏南55°）
2、m
3、D 点拨：设树高AB=x，则CB=x，BD=200+x，
在Rt△ADB中，tan∠ADB=ADB==，
∴x=100（+1）m．
4、C
5、C 点拨：从哪个点观察在哪个点建立方向坐标．
拓展提高：
1、海里/时
2、B 点拨：在直角三角形中找出一直角边和一角，其他均可解．
3、C 点拨：掌握直角三角形需要的条件．
4、在Rt△ABC中，AC=2m，∠ABC=30°，
∴tan∠ABC=，BC=2m．
5、如图．
过M作MN⊥BC于N，
设MN=x，则CN=x，
在Rt△BMN中，
tan30°=，x=5（+1）．
∵5（+1）>8，
∴船继续向东航行无触礁危险．
6、过C作CE⊥AB于E．
在Rt△ADB中，BD=45m，∠ADB=60°，
∴AB=45（m）．
在Rt△ACE中，CE=45m，∠ACE=30°，
∴tan∠ACE=，∴AE=15（m）．
∴CD=AB-AE=45-15=30（m）．
7、如图．
由∠ADB=30°，AB=18m，
∴BD=18m，∴CD=18-24（m）．
又∵△CDE∽△BDA，∴，∴CE=18-8（m）．
故此楼落在后楼的影子高为（18-8）m．
（2）若影子恰好落在楼脚时，距离为x．
则=，x=18（m）．
故两楼之间的距离应当为18m．
体验中考：
1、B
2、解：过点作是垂足，
则，
tantan,
，
tantan=100，
，
答：森林保护区的中心与直线的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．
24.4 解直角三角形
◆随堂检测
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，b=8，则c=______．
2、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosA=________．
3、在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=1，BC=2，则下列结论中正确的是（ ）
A．sinB= B．cosB= C．tanB=2 D．cosB=
4、如果等腰三角形的底角为30°，腰长为6cm，那么这个三角形的面积为（ ）
A．4.5cm2 B．9cm2 C．18cm2 D．36cm2
5、已知直角三角形中有两边长分别为3和4，求第三边的长．
◆典例分析
如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB=cos∠DAC．
（1）求证：AC=BD;（2）若sinC=，BC=12，求AD的长．
解:（1）∵sinB=，cos∠DAC=，tanB=cos∠DAC，∴BD=AC．
（2）sinC==，
设AD=12x，则AC=13x，BD=13x．
∵DC==5x，∴13x+5x=12．
∴x=，∴AD=12×=8．
故AD的长为8．
点评：此类题目主要考察锐角三角函数的定义，解题时一定要注意正弦、余弦、正切、余切是哪两条边的比值，不能弄混.
◆课下作业
●拓展提高
1、在△ABC中，BC=10，AB=4，∠ABC=30°，点P在直线AC上，点P到直线AB的距离为1，则CP的长为________．
2、在Rt△ABC中，∠C=90°，已知sinA=，则cosB=________．
3、如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，则sinA=______．
(第3题) (第4题)
4、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连结BD，若cos∠BDC=，则BC的长是（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
5、等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1：2，则等腰三角形的顶角的度数为（ ）
A．30° B．150°
C．60°或120° D．30°或150°
6、在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则sinA的值是（ ）
A． B． C． D．
7、在△ABC中，∠C=90°，由下列条件解直角三角形．
（1）已知：a=1，c=，求b; （2）已知：a=35，c=35，求∠B．
●体验中考
1、(2009年温州) 如图，△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=，则AC的长是
2、（2009年恩施市）如图，在中，是上一点，于，且，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
3、（2009年白银市）某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ）
A．8米 B．米 C．米 D．米
参考答案
随堂检测：
1、10
2、
3、A
4、B
5、5或
拓展提高：
1、
2、
2、
4、A
5、D
6、B
7、（1）b=，∴∠B=45°．
体验中考：
1、6
2、B
3、C
24.4 解直角三角形
◆随堂检测
1、在△ABC中，∠C=90°，sinB=，b=，则a等于（ ）．
A． B．1 C．2 D．3
2、在Rt△ABC中，∠C=90°，则下列关系中错误的是（ ）．
A．c=bsinB B．a=btanA C．b=csinB D．b=acotA
3、在Rt△ABC中，∠C=90°，两直角边之和等于12，tanB=2，则AB=______．
4、如图，是引位线固定电线杆的示意图．已知：CD⊥AB，CD=3m，∠CAD=∠CBD=60°，则拉线AC的长度是_______m．
5、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，a+b=4，求c．
◆典例分析
根据下列条件解直角三角形，其中∠C=90°．
（1）Rt△ABC中，∠A=30°，c=6； （2）Rt△ABC中，a=24，c=24．
解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，c=6，
∴sin30°==，∴a=3，∴b=．
又∵∠A+∠B=90°，∴∠B=60°．
（2）∵a=24，c=24，
根据勾股定理有b2=c2-a2，∴b=24，
∴∠A=∠B=45°．
点评：解直角三角形时，如果给出的是一个锐角角和斜边，那么利用正弦和余弦求另外两条边，利用直角三角形两个锐角互余求出另一个锐角；给出的条件是两边是利用勾股定理求出第三边，再根据正切或余切求出锐角.
◆课下作业
●拓展提高
1、已知Rt△ABC中，∠A=30°，a+b=1，则斜边c为（ ）．
A．+1 B．-1 C．+1 D．-1
2、一直角三角形的周长是4+2，斜边上的中线长是2，则这个三角形的面积是（ ）．
A． B．2 C．1 D．（1+）
3、如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB=，AC=2，则AB的长是（ ）．
A．3+ B．2+2 C．5 D．
4、在△ABC中，∠A=60，AC=1，BC=，那么∠B为（ ）．
A．60° B．60°或120° C．30°或150° D．30°
5、菱形周长是24cm，两相邻内角的比为1：2，试求菱形的面积．
6、如图，在一长方体盒内，长、宽、高分别是30cm，40cm，50cm，盒内可放入的棍子最长有多长？
7、如图，已知从A地经过B地到达C地，总行程为17km，其中∠ABC=90°，且∠BAC的正切值为，那么由A地直接到C地的最短距离是多少千米？
参考答案
随堂检测：
1、B. 点拨：因为是特殊角，可直接代入求值．
2、A. 点拨：要借助于图形来理解关系式．
3、4. 点拨：由已知得tanB==2，AC=2BC，
所以3BC=12，BC=4，又AB2=AC2+BC2=5BC2，则AB=BC=4．
4、6. 点拨：∵∠CAD=60°，CD⊥AB，
∴sin∠CAD==6．
5、解：∵∠A=60°，
∴tanA==，即a=b．
又∵a+b=4，∴b+b=4，
∴b=2（-1），a=6-2．
c==4（-1）．
拓展提高：
1、B. 点拨：利用三角函数把边和角联系起来相互转化．
2、B. 点拨：巧用公式a2+b2=（a+b）2-2ab直接求ab的值
3、C. 点拨：利用边表示三角函数值必须是在直角三角形中，所以构造直角三角形是关键，提示：过C作CD⊥AB于D．
4、D. 点拨：根据三角形的边的关系确定角的大小是理解问题的关键．
5、菱形周长是24cm，所以边长为6cm，
又∵相邻内角的比为1：2，
∴内角度数为60°，120°，所以菱形的高为3cm．
∴菱形的面积为6×3=18cm．
6、当棍子的端点分别在A，B时，此时棍子最长．
则AC==50cm，
∴AB2=AC2+BC2=502+502，
AB=50cm．
7、如图，连接AC，
∵∠ABC=90°，AB+BC=17km，
tan∠BAC==，
∴BC=5km，AB=12km，
∴由勾股定理，AC=13km．
24.4 解直角三角形
一、选择题
1．在中，分别是的对边，下列关系式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，CD为斜边AB上的高，已知AD＝8，BD＝4，那么
A． B． C． D．
3．如图，在四边形ABCD中，则AB＝（ ）
A．4 B．5 C． D．
4．下列结论中，不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．在
A． B． C． D．
6．在的对边，则有（ ）
A． B． C． D．
7．在中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A的正弦值和余弦值（ ）
A．都没有变化 B．都扩大2倍 C．都缩小2倍 D．不能确定
二、填空题
1． 在直角三角形ABC中（）.
（1）若已知a、A，则
（2）若已知b、A，则
（3）若已知a、B，则
（4）若已知b、B，则
（5）若已知c、A，则
（6）若已知c、B，则
（7）若已知a、b，则
（8）若已知a、c，则
（9）若已知b、c，则
2．在中，，试根据下表中给出的两个数值，填出其他元素的值：
a
b
c
A
B
（1）
4
60°
（2）
3
45°
（3）
5
（4）
6
3．在中，.
4．如图，矩形ABCD中，O是两对角线交点，于点E，若
5．在中，那么BC这上的高AE＝_________.
6．如图，已知ABCD是正方形，以CD为一边向CD两旁作等边三角形PCD和等边三角形QCD，那么的值为_________.
参考答案
一、选择题
1．A 2．A 3．D 4．D 5．D 6．C 7．A
二、填空题
1．
2．
3．6
4．3
5．
6．.
