24.3.2 用计算器求锐角三角函数
◆随堂检测
1、利用计算器求∠A=18°36′的四个三角函数值．
2、在△ABC中，∠C=90°，a=3，b=2，求sinA+cosA+tanB·cotA的值．
3、计算：sin90°+sin30°+tan0°+cos60°+cos90°－tan45°－cos0°．
4、等腰三角形底角是55°，底边上的高是11.3，求腰与顶角．
◆典例分析
某片绿地的形状如图，其中∠A=36°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB=20m，CD=10m，求BC的长．（精确到0.1m）．21教育网
解：延长AD交BC的延长线于E．
∵∠A=36°，AB⊥BC，
∴∠E=54°．
在Rt△CDE中，CD=10，
sinE=≈12.36．
在Rt△ABE中，AB=20，∠E=54°．
∴tanE=，
∴BC=2.2m．
点评：BC的长就是BE和CE的差，因此在两个直角三角形中利用利用三角函数求出BE和CE得长就可求出BC.21·cn·jy·com
◆课下作业
●拓展提高
1、已知Rt△ABC中，∠C=90°，a=12，cosA=，求b，c及∠B的值．
2、已知都是锐角，且cosβ+sinα=1.117 6，cosβ－sinα=0.058 0，试求∠α和∠β的度数（精确到1°）．www.21-cn-jy.com
3、已知α为锐角，且sinα=，你能求出cosα和cos（90°－α）的值吗？
4、在△ABC中，∠C=90°，∠B=55°，AB=10，则BC的长为（ ）．
A．10tan50° B．10cos50°
C．10sin50° D．
5、锐角A满足2sin（A－15°）=，则∠A=_______．
6、在tan46°，sin46°，cos46°中，最小的是_______．
●体验中考
1、（2009年宁波市）如图，在坡屋顶的设计图中，，屋顶的宽度为10米，坡角为35°，则坡屋顶高度为 米．（结果精确到0.1米）
2、（2009年台州市）如图，有一段斜坡长为10米，坡角，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°． 21cnjy.com
（1）求坡高;
（2）求斜坡新起点与原起点的距离（精确到0.1米）．
3、（2009贺州）如图，，矩形ABCD的对角线，边BC在OM上，当AC=3时，AD长是多少？（结果精确到0.01）21世纪教育网版权所有
参考答案
随堂检测：
1、∠A=18°36′，
∴sinA=sin18°36′≈0.319 0，
cos18°36′≈0.947 8，
tan18°36′≈0.336 5，
cot18°36′≈2.971 4．
2、∵∠C=90°，a=3，b=2，
∴tanA==，
∴∠A=56°18′35″，
∴sinA≈0.832 0，
cosA≈0.554 7，cotA=≈0.666 7．
∴sinA+cosA+tanB·cotA=0.832 0+0.554 7+0.666 72≈1.831 2．
3、原式=1++0++0－1－1=0．
4、顶角∠BAC=180°－55°－55°=70°．
∵在Rt△ADC中，
∠C=55°．AD=11.3，
∴sinC=≈13.79，
∴顶角为70°，腰长为13.79．
拓展提高：
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，a=12，cosA=，
∴sinA=，∴c=20，b=16，
sinA=，可知∠A=36°52′，
∴∠B=53°8′．
2、列方程得2cosβ=1.175 6，
∴cosβ=0.587 8，∴∠β=54°，
2sinα=1.059 6，∴sinα=0.529 8，
∴α≈32°．
3、如图，设BC=5x，AB=13x，则AC=12x．
∴cosα==，
cos（90°－α）=sinα=．
4、B 点拨：准确进行等式变形．
5、75° 点拨：由2sin（A－15°）=，
∴sin（A－15°）=，∴A－15°=60°，∴A=75°．
6、cos46° 点拨：tan46°≈1.035 5，sin46°≈0.719，cos46°≈0.694．
体验中考：
1、3.5
2、解：（1）在中，
（米）．
（2）在中，
（米）；
在中， （米），
（米）．
答：坡高2.1米，斜坡新起点与原起点的距离为13.5米
3、解：延长AC交 ON于点E，
∵AC⊥ON，
∠OEC=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD=BC，
又∵∠OCE=∠ACB，
∴∠BAC=∠O=25°，
在Rt△ABC中，AC=3，
∴BC=AC·sin25°≈1.27
∴AD≈1.27
30°，45°，60°角的三角函数值
一、判断题
1．cosx==60°． （ ）
2．（sin45°－）°=1． （ ）
3．α是锐角，且sinα=，则α=30°． （ ）
4．cos45°－cos15°=cos30°=． （ ）
5．若sinA=，则A无解． （ ）
6．若α为锐角，则=cosα－1． （ ）
7．若A为锐角则0＜sinA＜1，0＜cosA＜1． （ ）
若a为锐角，则sina+cosa＞1． （ ）
二、选择题
1．cosA=（A为锐角），则∠A的度数为_______________．[ ]
A．60° B．30° C．45° D．30°或60°
2．若A+B=90°，则的值等于_______________．[ ]
A．1 B． C． D．8
3．已知△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，则cosA等于_______________．[ ]
A． B． C． D．
4． 若三角形三个内角的比是1：2：3，则它们正弦值的比为________．[ ]
A．1：： B． 1：：2 C．1：：2 D．：：2
5． 在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，那么cosB=________．[ ]
A． B． C． D．
6． 等腰三角形底边长是10，周长是40，则其底角的正弦值是________．[ ]
A． B． C． D．
7．cos30°=________．[ ]
A． B． C． D．
8． 在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D．则sinB=________．[ ]
A． B． C． D．
9． cos260°－sin260°的值为________．[ ]
A．1 B．－ C． D．
10． 在△ABC中，∠C=90°，a=8，b=15，sinA+sinB+sinC等于________．[ ]
A． B． C． D．
11．若α是锐角，那么sinα+cosα的值________．[ ]
A．大于1 B．等于1 C．小于1 D．不能确定
三、填空题
1． 设直角三角形的两条直角边的比为5:12，则较大锐角的正弦值等于____．
2．已知∠B是锐角，cosB－1=0，则∠B=__________．
3．若cosB=，则∠B=__________度．（为锐角）
4．已知cosA=，则锐角A=__________．
5． sin60°·cos45°=_______．
6．在△ABC中，∠C=90°，若cosA=，则sinA=__________．
7．在△ABC中，∠C=90°，3a=b，则sinA__________．
8． =__________．
9．在△ABC中，∠C=90°，a=8，b=4，则sinA+sinB+sinC=__________．
10．在△ABC中，AB=1，AC=，BC=1，则sinA=______∠A=______
参考答案
一、判断题
1． × 2． × 3． × 4． × 5． √ 6． × 7． √ 8． √
二、选择题
1． B 2． A 3． D 4． C 5． D 6． B 7． D 8． D 9．B 10． D 11． A21世纪教育网版权所有
三、填空题
1． 2． 45° 3． 45 4． 60° 5． 6． 7．
8． 9． 10．，45°
30°，45°，60°角的三角函数值
【基础练习】
一、填空题：
1.sin30°+ cos45°= ，
cos45°sin230°+ sin260°= ；
2. = ；
3.若|2sinA -|+ (tanB -1)2 = 0，
则∠A = °，∠B = °.
二、选择题：
1.下列不等式成立的是（ ）；
A. sin30°< cos45°< tan30° B. cos60°< sin45°< tan45°2·1·c·n·j·y
C. tan30°< sin30°< cos45° D. tan60°< cos45°< sin60°【来源：21·世纪·教育·网】
2.如果cosA = ，那么锐角A的取值范围是（ ）；
A. 0°< A < 30° B. 30°< A < 45°
C. 45°< A < 60° D. 60°< A < 90°
三、解答题：
1.求下列各式的值：
（1）2sin30°+ cos60°+ tan45°； （2）；
2.求满足下列各式的锐角α：
（1）tanα-1 = 0； （2）2cos (α-20°) = .21世纪教育网版权所有
【综合练习】
已知：如图，△ABC中，∠C = 90°，D是AC边上一点，∠BDC = 45°，CD = 6cm，sinA = . 求斜边AB的长.21cnjy.com
【探究练习】
如图，△ABC中，∠C = 90°，∠A = 30°，你能利用这个图形分别求出15°和75°角的三个三角函数值吗？21·cn·jy·com
参考答案
【基础练习】一、1. ，； 2. 1 - ； 3. ∠A = 60°，∠B = 45°. 二、1. B； 2. B. 三、1.（1）；（2）. . 2.（1）30°；（2）50°.www.21-cn-jy.com
【综合练习】AB = 15cm.
【探究练习】sin15°= ，cos15°= ，tan15°= 2 -；sin75°= ，cos75°= ，tan75°= 2 +.21教育网
24.3 锐角三角函数
◆随堂检测
1、已知为锐角，且，则等于( )
A． B． C． D．
2．在Rt△ABC中，∠C=90，BC=6，sinA=，则AB=_______，sinB=________．
3．在△ABC中，a=12，b=5，c=13，则tanA的值为（ ）
A．
4、tan35°·cotα=1，则α等于（ ）
A．65° B．35° C．75° D．55°
5、如图，在中，是斜边上的中线，已知，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
◆典例分析
已知在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，求sinA的值．（用两种方法解）
解：方法一：当0°<∠A<90°时，sin2A+cos2A=1，
即sinA=．
方法二：如图:在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，
所以设AC=3x，AB=4x，
∴BC=x．
根据定义可知sinA=．
◆课下作业
●拓展提高
1、如果sin2α+sin230°=1，那么锐角α是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
2、如果α是锐角，且sinα=，那么cosα等于（ ）
A． B． C． D．
3、在△ABC中，若sinA=且∠B=90°-∠A，则sinB等于（ ）
A． B． C． D．1
4、如图，AC是电杆AB的一根拉线，测得BC=6米，∠ACB=52°，则拉线AC的长为（ ）
A. 米 B. 米 C. 6·cos52°米 D. 米
5、α为锐角，且sinα=，则tanα=_______．
6、已知等腰三角形ABC的两边长分别为2cm，6cm，求这个等腰三角形的底角的正弦值和正切值．
7、已知∠A为锐角，且sinA=，求tanA的值？
●体验中考
1、(2009年湖州) 如图，在中，，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2、（2009年漳州）三角形在方格纸中的位置如图所示，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3、（2009年内蒙古包头）已知在中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4、(2009宁夏)在中，，则的值是 ．
参考答案
随堂检测：
1、C
2、 点拨：根据题意画出图形，有助于增加直观性．
3、C 点拨：勾股定理及其逆定理的灵活掌握是关键．
4、B 点拨：利用同一个角的正切与余切为倒数，考查公式的掌握情况．
5、C
拓展提高：
1、D 点拨：主要是公式sin2A+cos2A=1和公式sinA=cos（90°-A）．
2、C
3、C 点拨：根据特殊角的三角函数值，可直接求∠A和∠B的度数．
4、D
5、 点拨：要准确灵活掌握特殊角的三角函数值．
6、由题意可知，三角形的腰为6，底为2，则如图，
过A作AD⊥BC于D，由BC=2，BD=DC=1．
由勾股定理得AD=，
∴在Rt△ABD中，
sinB=．
7、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
由sinA=可知，
设BC=15x，AB=17x．
∴AC=8x，
∴tanA=（方法不唯一）．
体验中考：
1、D
2、B
3、A
4、
24.3 锐角三角函数
◆随堂检测
1、若cotβ= ， 则锐角β等于（ ）．
A．0° B．30° C．45° D．60°
2、已知Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，则sinA的值等于（ ）．
A． B． C． D．1
3、已知：如图，BC：AB=1：2，延长AB到B1，使AB1=2AB，延长AC到AC1，使AC1=2AC，则sinA的值是（ ）．21教育网
A．1 B． C． D．无法判断
4、计算：
（1）sin30°·cos60°－sin245°； （2）2cos60°－sin60°－│－cot30°│+．
◆典例分析
已知在△ABC中，sinA=，cosB=，且AC=10cm，求△ABC的面积．
解：∵sinA=， cosB=，∴∠A=45°，∠B=30°．
如图:过C作CD⊥AB于D，由∠A=45°，AC=10，
知CD=AD=5．
在Rt△BCD中，∠B=30°，CD=5．
∴BD=cot30°·CD=5， ∴AB=5+5，
∴S△ABC=·AB·CD=（5+5）×5=25+25．
点评：解答此类问题关键是通过做辅助线构造出直角三角形.
◆课下作业
●拓展提高
1、等于（ ）．
A．1－ B．－1 C．－1 D．1－
2、若cot（A+10°）－3=0，则∠A的值为（ ）．
A．40° B．50° C．20° D．70°
3、tan30°的值等于（ ）．
A． B． C． D．
4、如图，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在A1处，已知OA=，AB=1，则点A1的坐标是（ ）．21世纪教育网版权所有
A．（，） B．（，3） C．（，） D．（，）
5、计算：sin45°－+（－tan60°+tan45°）+6tan30°．
6、在△ABC中，若│cosA－│+（－cosB）2=0，求∠C的度数．
●体验中考
1、（2009年天津市）2sin的值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
2、（2009湖北省荆门市）=______．
3、（2009眉山）计算：
4、（2009年崇左）计算：．
参考答案
随堂检测：
1、D 点拨：特殊角三角函数值，不能死记硬背，可以通过特殊关系推导．
2、A
3、B 点拨：当角度固定时三角函数值即为固定值，与这个角的两边长无关．
4、（1）原式=×－（）2=－．
（2）原式=2×－－+－1=－．
拓展提高：
1、B 点拨：此题的关键是二次根式的化简，判断绝对值里的值的正负．
2、C 点拨：把cos（A+10°）看做未知数，利用方程思想解题．
3、C 点拨：熟记三角函数值．
4、A 点拨：勾股定理和三角函数的灵活应用是解题的关键．
5、原式=－3++2=1－．
6、由题意可知，cosA－=0且－cosB=0，
∴∠A=45°，∠B=30°，
∴∠C=180°－∠A－∠B=180°－45°－30°=105°．
体验中考
1、A
2、 =，
故填．
3、解：原式
4、原式==0．
24.3 锐角三角函数
一、选择题
1．中，，分别的对边，下列关系中错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．如果是锐角，且，那么（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图1，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分（图中阴影部分）的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．下列说法中正确的是（ ）
A．在中，若，则
B．在中，若，则
C．在中，，则
D．
6．比较，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．在中，，且，求的三个三角函数值．_______；_______；_______．21教育网
8．在中，，，，则_______．
9．中，已知，，则_______．
10．中，，，则_______．
11．在中，，，边上的高，则_______．
12． _______．
三、解答题
13．在锐角中，，，，
（1）求的值；
（2）求的值．
14．如图2，矩形中，作交于，且，试用和表示和的长．
15．已知：如图3，三个村庄在一条东西走向的公路沿线上，千米．在村的正北方向有一个村，测得，，今将区域进行规划，除其中面积为0.5平方千米的水塘外，准备把剩余的一半作为绿化用地，试求绿化用地的面积．21世纪教育网版权所有
（结果精确到0.1平方千米，，，）
参考答案
一、1．A 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B
二、7．，，，
8．
9．
10．
11．
12．
三、13．（1）；（2）
14．提示：，
15．提示：平方千米
24.3.1锐角三角函数(1)
一、填空题:
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则sinA=______, tanA= _______, cosA=_______.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=,则sinB=_______,tanB=______.21cnjy.com
3.在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______,sinB=_______.2·1·c·n·j·y
4.在△ABC中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______,cosB=________.21·世纪*教育网
5.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=41,sinA=,则AC=______,BC=_______.
6.在△ABC中,AB=AC=10,sinC=,则BC=_____.
二、选择题:
7.在△ABC中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的是( )
A.sinA=B.cosA=C.tanA=D.cosB=
8.如图,在△ABC中,∠C=90°,sinA=,则等于( )
A. B. C. D.
9.Rt△ABC中,∠C=90°,已知cosA=,那么tanA等于( )
A. B. C. D.
10.已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β, 若甲坡比乙坡更徒些, 则下列结论正确的是( )
A.tanαcosβ21世纪教育网版权所有
11.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,则下列线段的比中不等于sinA的是( )
A. B. C. D.
12.某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m,则他上升的最大高度是( )m
A.B.100sinβ C. D.100cosβ
三、解答题:
13.在Rt△ABC中,∠C是直角,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,且a=24,c= 25,求sinA、cosA、tanA、sinB、cosB、tanB的值.21教育网
14.若三角形三边的比是25:24:7,求最小角的正切值、正弦值和余弦值.
15.如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于E,EC=1,sinB=, 求菱形的边长和四边形AECD的周长.www.21-cn-jy.com
16.如图,已知四边形ABCD中,BC=CD=DB,∠ADB=90°,cos∠ABD=.
求: ∶.
17.已知:如图,斜坡AB的倾斜角a,且tanα=,现有一小球从坡底A处以20cm/s 的速度向坡顶B处移动,则小球以多大的速度向上升高?【来源：21·世纪·教育·网】
18.探究:
(1)a克糖水中有b克糖(a>b>0),则糖的质量与糖水质量的比为_______; 若再添加c克糖(c>0),则糖的质量与糖水的质量的比为________.生活常识告诉我们: 添加的糖完全溶解后,糖水会更甜,请根据所列式子及这个生活常识提炼出一个不等式: ____________.
(2)我们知道山坡的坡角越大,则坡越陡,联想到课本中的结论:tanA的值越大, 则坡越陡,我们会得到一个锐角逐渐变大时,它的正切值随着这个角的变化而变化的规律,请你写出这个规律:_____________.www-2-1-cnjy-com
(3)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=a,BC=b(a>b),延长BA、BC,使AE=CD=c, 直线CA、DE交于点F,请运用(2) 中得到的规律并根据以上提供的几何模型证明你提炼出的不等式.2-1-c-n-j-y
参考答案
1. 2. 3. 4.5.40,9 6.12
7.B 8.A 9.A 10.C 11.D 12.B
13.∵
∴,.
14.设三边长分别为25x,24x,7x,7x所对的角最小,设为a,则
.
15.在菱形ABCD中,AB=BC=CD=DA.
∵AE⊥BC,∴∠AEB=90°.在Rt△ABE中,
∵sinB=,
∴设AE=5x,AB=13x,则BE=,
∴BC=12x+1=AB=13x,x=1.
∴AB=13, 即菱形ABCD的边长为13.
又AE+EC+CD+AD=5x+1+13x+13x=1+31x=1+31=32,
即四边形AECD的周长为32.
16.∵cos∠ABD= ,设BD=4k,AB=5k,
则AD==3k.
过C作CE⊥BD于E,
则∠BCE=∠BCD=30°,从而BE=BC=2k.
∴CE=,
∴S△ABD=AD·BD=·3k·4k=6k2,S△BCD=BD·CE=k2.
∴：：：2.
17.设BC=3x,则由tana=,故AC=4x,从而AB=5x,由于小球从AB上升了3xcm, 且用时为,故小球上升的速度为=12(cm/s).21·cn·jy·com
18.探究:
(1)
(2)一个锐角的正切值随着这个角的增大而增大.
(3)∵∠DEA>∠EAF=∠BAC,即∠DEA>∠BAC,
∴tan∠DEA>tan∠BAC.
又tan∠DEA=,tan∠BAC=,
∴, 即.
24.3.1 锐角三角函数(1)
【基础练习】
一、填空题：
1.在Rt△ABC中，∠C = 90°，若BC = a，AC = b，则tanA = ；
2.在Rt△ABC中，∠C = 90°，则tanA·tanB = ；
3.在Rt△ABC中，∠C = 90°，若AB = ，BC = 2，则tanA = ，tanB
= .
二、选择题：
1.在Rt△ABC中，∠C = 90°，若tanA = ，则tanB的值等于（ ）；
A. B. C. D.
2.△ABC中，AB = AC，AD⊥BC于D，E是AC的中点，若DE = 5，BC = 16，则tanB的值是（ ）.21世纪教育网版权所有
A. B. C. D. 21教育网
三、解答题：
1.在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 4cm，tanB = ，求BC、AB的长.
2.在Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = 10cm，tanA = ，求AC、BC的长.
【综合练习】
如图1-1，在△ABC中，∠C = 90°，D是BC边上的一点，DE⊥AB，垂足为E，若∠ADC = 45°，tan∠BAD = ，BE = 3，求△ABD的面积.21cnjy.com
参考答案
【基础练习】一、1. ； 2. 1； 3. 2，.
二、1. A； 2. B.
三、1. BC = 6cm，AB = 2cm.
2. AC = 8cm，BC = 6cm.
【综合练习】S△ABD = 13.
