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直角三角形的性质知识点1：直角三角形的两个锐角互余
1.在△ABC中，∠C＝90°，若∠B＝20°，则∠A＝( )
A.20° B．60° C．70° D．90°
2.在等腰三角形ABC中，∠C＝90°，则∠B＝( )
A.30° B．45° C．60° D．90°
3.在△ABC中，若∠C＋∠B＝90°，则∠A＝________．
4.在△ABC中，∠C＝90°，若∠A∶∠B＝1∶2，求∠A，∠B的度数．
解：∠A＝30°，∠B＝60°CB90°知识点2：勾股定理
5.若直角三角形的两条直角边长a，b满足|6－a|＋(b－8)2＝0，则斜边长c为( )
A.14 B.12 C.10 D.9
6.若矩形两邻边长的差为2，对角线长为4，则矩形的面积为____．
7.如图，隔湖有两点A，B，从与BA方向成直角的BC方向上取一点C，测得CA＝100m，CB＝60m，你能求出A，B两点之间的距离吗？C6解：AB＝80 m知识点3：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 8.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB的中点，AB＝10 cm，则CD的长为____cm.
9.直角三角形斜边上的高与中线分别是5 cm和6 cm，则它的面积是________．530cm210.如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于( )
A.3.5 B.4 C.7 D.14A知识点4：含30°角的直角三角形的性质
11.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB的中点，DE⊥AC于点E，∠A＝30°，AB＝8，则DE的长度是____．
12.在△ABC中，∠C＝90°，若∠B＝30°，AC＝10，则AB＝( )
A.2.5 B.5 C.10 D.202D13.如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝7m，∠A＝30°，立柱BC，DE各需要多长？解：BC＝3.5 m，DE＝1.75 m C 15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，DE是斜边AC的垂直平分线，分别交AB，AC于点D，E两点．若BD＝2，则AC的长是( )
A．4 B．4 C．8 D．8B16．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，CD⊥AB于D，求AC和CD的长．解：AC＝4，CD＝2.4 17．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的中线，CE⊥AB，已知AB＝10 cm，DE＝2.5 cm，求CD和∠DCE.解：CD＝5 cm，∠DCE＝30° 18．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数；
(2)若CD＝2，求DF的长．解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°.∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°.∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°－∠EDC＝30° (2)∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，∴△EDC是等边三角形，∴ED＝DC＝2，∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝419．如图，锐角△ABC中，BE，CF是高，点M，N分别为BC，EF的中点，求证：MN⊥EF.直角三角形的性质
△ABC中，∠BAC=2∠B，AB=2AC，AE平分∠CAB。
求证：AE=2CE。
2.已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，CE为AB边上的中线，且∠BCD=3∠DCA。
求证：DE=DC。
3.如图：AB=AC，AD⊥BC于D，AF=FD，AE∥BC且交BF的延长线于E，若AD=9，BC=12，求BE的长。
4.在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边的中点，点F在AC边上，DE与CF平行且相等。
求证：AE=DF。
5.已知，如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD⊥BC于D，E为AC的中点，AB=6，求DE的长。
参考答案
1.取AB中点M，连接EM
∵AE平分∠CAB ∴（角平分线意义）
∵∠BAC=2∠B ∴∠2=∠B ∴AE=EB
∴EM⊥AB
∴∠EMA=90°
∵AB=2AC AB=2AM
∴AC=AM
在△ACE与△AME中
∴△ACE≌△AME（SAS）
∴∠EMA=∠C=90°
在Rt△ACB中，∠1+∠2+∠B=90°
∵∠1=∠2=∠B ∴∠1=30°
∴
即AE=2CE。
2.∵∠BCD=3∠DCA且∠BCA=90°
∴∠DCA=22. 5°∠BCD=67.5°∠B=22.5°
∴∠CEA=45°∠ECD=67.5°-22.5°=45°
∴DE=DC
3.∵AD=9 ∴
∵BC=12 ∴BD=CD=6
∵∠BFD=∠EFA AF=FD ∠FDB=∠FAE=90°
∴△AFE≌△DFB（ASA）
∴FE=FB
在Rt△BFD中，
∴BE=2BF=15
4.∵在Rt△ACB中，D为AB中点，
∴且，∠2=∠3
∵DE∥CF ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠3
∴在△DEA与△DFC中
∴△EDA≌△DFC（SAS）
∴AE=DF
5.∵AD⊥BC且AB=AC
∴D为BC中点
∵E为AC中点
∴。
《直角三角形的性质》测试题
1．在 直角三角形ABC中，∠ACB=90度，CD是AB边上中线，若CD=5cm,则AB=_____
三角形ABC的面积=____________
2. 在 直角三角形ABC中，∠ACB=90度，CD是AB边上中线，图中有__________等腰三角形.
3．如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E分别是BC、AC的中点，AB=6，求DE的长。
已知：四边形ABCD中，∠ABC= ∠ADC=90度，E、F分别是AC、BD的中点。
求证：EF⊥BD
5.如图，在△ABC中，∠B= 2∠C，点D在 BC 边上，且AD ⊥AC.
求证：CD=2AB
再练习：
在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=10，则AB=________.
顶角为30度的等腰三角形，若腰长为2，则腰上的高__________，三角形面积是________
等腰三角形顶角为120°，底边上的高为3，则腰长为_________
三角形ABC中，AB=AC=6，∠B=30°，则BC边上的高AD=_______________
Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，AB的垂直平分线交AC于D,AB于E,
求证AD=2BC.
24.2 直角三角形的性质
1．直角三角形的两个锐角__互余__．
2．直角三角形两直角边的平方和等于__斜边的平方__．(勾股定理)
3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的__一半__．
4．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的__一半__．
知识点1：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
1．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB的中点，AB＝10 cm，则CD的长为__5__cm.
,第1题图) ,第3题图)
2．直角三角形斜边上的高与中线分别是5 cm和6 cm，则它的面积是__30_cm2__．
3．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，点M是AD的中点，若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长是__20__．
4．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于( A )
A．3.5 B．4 C．7 D．14
5．如图，△ABC中，点D为AB的中点，点E在AC上，且BE⊥AC.若DE＝10，AE＝16，则BE的长度为( C )
A．10 B．11
C．12 D．13
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B>∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F，求证：DE＝EF.
解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，∴DC＝DA.∵DE∥BC，∴AE＝CE，∠A＝∠FCE.又∵∠AED＝∠CEF，∴△AED≌△CEF(ASA)．∴DE＝EF
知识点2：含30°角的直角三角形的性质
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB的中点，DE⊥AC于点E，∠A＝30°，AB＝8，则DE的长度是__2__．
,第7题图) ,第8题图)
8．如图，△ABC是等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD，若AD＝2 cm，则△ABC的周长为__12_cm__．
9．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B＝30°，AD＝2 cm，则AB的长度是( C )
A．2 cm B．4 cm C．8 cm D．16 cm
10．如图，△ABC中，∠C＝90° ，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是( D )
A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7
11．如图，是一个直角三角形房梁，BC⊥AC，∠BAC＝30°，AB＝10 m，CB1⊥AB，B1C1⊥AC1，垂足分别是B1，C1，那么B1C1的长是多少？
解：∵BC⊥AC，∠A＝30°，AB＝10 m，∴BC＝5 m，∵CB1⊥AB，∠B＝90°－∠A＝60°，∴∠BCB1＝90°－∠B＝30°，∴BB1＝2.5 m，∴AB1＝AB－BB1＝7.5 m，∵B1C1⊥AC，∠B1AC1＝30°，∴B1C1＝3.75 m
12．如图，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，连接DC并延长到点E，使CE＝CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F.若AB＝6，则BF的长为( C )
A．6 B．7 C．8 D．10
,第12题图) ,第13题图)
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB，AC于点D，E.若BD＝2，则AC的长是( B )
A．4 B．4 C．8 D．8
14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD＝2∠ACB.若DG＝3，EC＝1，则DE的长为( C )
A．2 B. C．2 D.
点拨：证∠DGC＝∠DCG，得DG＝DC
,第14题图) ,第15题图)
15．如图，“人字形屋梁”中，AB＝AC，点E，F，D分别是AB，AC，BC的中点，若AB＝6 m，∠B＝30°，则支撑人字形屋梁的木料DE，AD，DF共有__9__米．
16．如图，Rt△ABC中，CD，CE分别是斜边AB上的高和中线，如果∠A＝30°，BD＝1 cm，那么∠BCD＝__30°__，BC＝__2__cm，AD＝__3__cm.
17．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数；
(2)若CD＝2，求DF的长．
解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°－∠EDC＝30° (2)∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，∴△EDC是等边三角形，∴ED＝DC＝2，∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝4
18．如图，锐角△ABC中，BE，CF是高，点M，N分别为BC，EF的中点，求证：MN⊥EF.
解：连接MF，ME，∵MF，ME分别为Rt△FBC和Rt△EBC斜边上的中线，∴MF＝ME＝BC.∵在△MEF中，MF＝ME，点N是EF的中点，∴MN⊥EF
19．如图，∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，点P为OC上的一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E，若OD＝4 cm，求PE的长．
解：过点P作PF⊥OB，∵∠AOB＝30°，PD∥OA，∴∠FDP＝∠AOB＝30°，∠DPO＝∠AOC，∵OP平分∠AOB，∴∠DOC＝∠AOC，PE＝PF，∴∠DPO＝∠DOC，∴DP＝OD＝4 cm，∵∠FDP＝∠DPO＋∠DOC＝2∠DOC＝30°，∴PF＝DP＝2 cm.∴PE＝2 cm
20．如图，等边△ABC中，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q.
(1)求证：BP＝2PQ；
(2)若PE＝1，PQ＝3，试求AD的长．
解：(1)∵△ABC为等边三角形，∴∠C＝∠BAC＝60°，AB＝AC，又AE＝CD，∴△ABE≌△CAD(SAS)，∴∠ABE＝∠CAD，∵∠BAD＋∠CAD＝60°，则∠ABE＋∠BAD＝60°，∵∠BPQ是△ABP的外角，∴∠ABP＋∠BAP＝60°＝∠BPQ，又∵BQ⊥AD，∴∠PBQ＝30°，∴BP＝2PQ (2)∵BP＝2PQ，PQ＝3，∴BP＝6，∵PE＝1，∴BE＝7，∵△ABE≌△CAD，∴AD＝BE＝7
24.2直角三角形的性质
一、选择题
1.（2016济南）如图，直线l1∥l2，等腰直角△ABC的两个顶点A、B分别落在直线l1、l2上，∠ACB=90°，若∠1=15°，则∠2的度数是（ ）
A．35° B．30° C．25° D．20°
2.（2016新疆）轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（ ）海里．
A．25 B．25 C．50 D．25
3.（2016杭州）已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（m＜n），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（ ）
A．m2+2mn+n2=0 B．m2﹣2mn+n2=0
C．m2+2mn﹣n2=0 D．m2﹣2mn﹣n2=0
4. 将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（ ）
A.3cm B.6cm C.cm D.cm
5.如图3(1),一只蚂蚁沿棱长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点B,则它走过的最短路程为( )
A．a B．a C．3a D．a
6.（2016杭州一模）如图．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是斜边上的中点，点P在AB上，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，若AB=6，BC=3，则PE+PF=（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
1.直角三角形斜边上的中线长是2.5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为 ．
2.（2016绥化）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，∠DAB=∠CDB=90°，∠ABD=45°，∠DCA=30°，AB=，则AE= （提示：可过点A作BD的垂线）
3.已知一直角三角形的斜边长是2，周长是2+，这个三角形的面积是 ；
4.（2016徐州二模）一副三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，若AB=DE=8，则BE= （结果保留根号）
5.（2016黄冈模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D在AB上，AD=AC，AF⊥CD交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是 ．
三、解答题
6.已知：如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D为AB边上一点．求证：BD=AE．
2.在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=90°，∠D=90°，AB=2，CD=1。求BC和AD的长。
3.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30o方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.
（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
4.已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．
（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；
（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；
（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．
24.2直角三角形的性质练习题答案
一、选择题
ＢＤＣＤＤ Ａ
二、填空题
1、6 2、2 3、0.5 4、8﹣2 5、1.5
三、解答题
１、略
２、解：延长AD、BC交于F，得Rt△ABF和Rt△CDF，且∠F=30°。
在Rt△ABF中，由AB=2，∠F=30°
得AF=2AB=4
同理可得CF=2，DF=
∴BC=BF－CF=，AD=AF－DF=4－
３、（1）由点A作AD⊥BC于D，
则AD就为城市A距台风中心的最短距离
在Rt△ABD中，∠B=30o，AB＝220，
∴AD=AB=110.
由题意知，当A点距台风（12－4）20＝160（千米）时，将会受到台风影响．
故该城市会受到这次台风的影响．
（2）由题意知，当A点距台风中心不超过60千米时，
将会受到台风的影响，则AE＝AF＝160．当台风中心从E到F处时，
该城市都会受到这次台风的影响.
由勾股定理得
∴EF＝2DE＝6.
因为这次台风中心以15千米/时的速度移动，
所以这次台风影响该城市的持续时间为小时.
（3）当台风中心位于D处时，A城市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12－＝6.5级．
４、（1）证法一：
如答图1a，延长AB交CF于点D，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD，
∴点B为线段AD的中点，
又∵点M为线段AF的中点，
∴BM为△ADF的中位线，
∴BM∥CF．
证法二：
如答图1b，延长BM交EF于D，
∵∠ABC=∠CEF=90°，X Kb1. Co m
∴AB⊥CE，EF⊥CE，
∴AB∥EF，
∴∠BAM=∠DFM，
∵M是AF的中点，
∴AM=MF，
∵在△ABM和△FDM中，
，
∴△ABM≌△FDM（ASA），
∴AB=DF，
∵BE=CE﹣BC，DE=EF﹣DF，
∴BE=DE，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴∠EBM=45°，
∵在等腰直角△CEF中，∠ECF=45°，
∴∠EBM=∠ECF，
∴MB∥CF；
（2）解法一：
如答图2a所示，延长AB交CF于点D，则易知△BCD与△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD=a，AC=AD=a，
∴点B为AD中点，又点M为AF中点，
∴BM=DF．
分别延长FE与CA交于点G，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，
∴CE=EF=GE=2a，CG=CF=a，
∴点E为FG中点，又点M为AF中点，
∴ME=AG．
∵CG=CF=a，CA=CD=a，
∴AG=DF=a，
∴BM=ME=×a=a．
解法二：
∵CB=a，CE=2a，
∴BE=CE﹣CB=2a﹣a=a，
∵△ABM≌△FDM，
∴BM=DM，
又∵△BED是等腰直角三角形，
∴△BEM是等腰直角三角形，
∴BM=ME=BE=a；
（3）证法一：
如答图3a，延长AB交CE于点D，连接DF，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD，AC=CD，
∴点B为AD中点，又点M为AF中点，∴BM=DF．
延长FE与CB交于点G，连接AG，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，
∴CE=EF=EG，CF=CG，
∴点E为FG中点，又点M为AF中点，∴ME=AG．
在△ACG与△DCF中，
，
∴△ACG≌△DCF（SAS），
∴DF=AG，
∴BM=ME．
证法二：
如答图3b，延长BM交CF于D，连接BE、DE，
∵∠BCE=45°，
∴∠ACD=45°×2+45°=135°
∴∠BAC+∠ACF=45°+135°=180°，
∴AB∥CF，
∴∠BAM=∠DFM，
∴M是AF的中点，
∴AM=FM，
在△ABM和△FDM中，，
∴△ABM≌△FDM（ASA），
∴AB=DF，BM=DM，
∴AB=BC=DF，
∵在△BCE和△DFE中，
，
∴△BCE≌△DFE（SAS）
直角三角形的性质
一、练习
（1）已知直角三角形的斜边为20cm,那么斜边上的中线为 cm；
（2）已知直角三角形的两条直角边为3和5，则斜边上的中线为 ；
（3）在直角三角形ABC中，如果CD是斜边AB的中线，且CD=6cm，那么AB= ；
（4）如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E分别是BC、AC的中点，若AB=8cm，求DE的长。
（5）顶角为30°的等腰三角形，若腰长为2，则腰上的高为 ，三角形的面积是 ；
（6）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，求证AD=2BC。
二、检测：
在直角三角形中，有一个锐角为52°，则另一个锐角为 °
在△ABC中， ∠ACB=90 °，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有______，与∠A相等的角有_______，若∠A=35°，那么∠ECB= ____.?
３.在直角三角形中，斜边及其中线之和是36cm，那么该三角形的斜边长为 ；
4.如果等腰三角形的顶角为120°，底边上的高是3cm，那么该三角形的周长是 cm。
5.已知：如图，在四边形ACBD中，∠ABC=∠ADC=90°，E、F分别是AC、BD的中点。求
三、布置作业：课本第104页，习题24.2 （1、2、3）
