中位线
基础、训练、掌握
一、填空题：
1．(1)三角形的中位线的定义：连结三角形两边____________叫做三角形的中位线．
(2)三角形的中位线定理是三角形的中位线____________第三边，并且等于_________________．
2．如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，A′、B′、C′分别为EF、EG、GF的中点，△A′B′C′的周长为_________．如果△ABC、△EFG、△A′B′C′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是__________________．
3．△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，若DE＝4，AD＝3，AE＝2，则△ABC的周长为______．
二、解答题
4．已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
5．已知：△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．
求证：四边形DEFG是平行四边形．
综合、运用、诊断
6．已知：如图，E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连结AE分别交BC、BD于点F、G，连结AC交BD于O，连结OF．求证：AB＝2OF．
7．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE交于G．求证：GF＝GC．
8．已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是DC、AB边的中点，FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于H、G点．
求证：∠AHF＝∠BGF．
拓展、探究、思考
9．已知：如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E点，若AB＝5，AC＝7，求ED．
10．如图在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且BD＝CE，M、N分别是BE、CD的中点．过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗?为什么?
参考答案
1．(1)中点的线段；(2)平行于三角形的，第三边的一半．
2．16，64×()n－1 ． 3．18．
4．提示：可连结BD(或AC)．
5．略．
6．连结BE，CE AB平行四边形ABECBF＝FC．
平行四边形ABCDAO＝OC，∴AB＝2OF．
7．提示：取BE的中点P，证明四边形EFPC是平行四边形．
8．提示：连结AC，取AC的中点M，再分别连结ME、MF，可得EM＝FM．
9．ED＝1，提示：延长BE，交AC于F点．
10．提示：AP＝AQ，取BC的中点H，连接MH，NH．证明△MHN是等腰三角形，进而证明∠APQ＝∠AQP．
《三角形的中位线》导学练
一、核心要点展示：
1、三角形中位线的定义；
2、三角形中位线的性质；
3、三角形重心概念及性质。
二、预习感知
（一）三角形的中位线的定义
1、阅读课本第54页，回答 叫做三角形的中位线。
2、在右边图中，画出△ABC的所有中位线和中线，并说明中线和中位线有何不同。
总结：一个三角形共有_____条中位线、_____ 条中线。
三角形的中位线是连接__________________的线段
三角形的中线是连接_________和___________的线段
（二）探究三角形中位线的性质
探究思路：动手—交流—猜想—证明
方法指导：
1、画△ABC,取AB、AC中点D、E；
2、连接△ABC 的中位线DE；
3、量出DE和BC的长度，DE= BC=
量出∠ADE和∠B的度数；∠ADE= ∠B=
4、猜想DE和BC之间有什么关系。
5、如何验证你的猜想？小组内交流你的验证方法。
6、用规范的语言叙述你所证明的结论并用几何语言表示。
__________________________________________________________________
∵
∴ .
三、新知探究
1、合作探究三角形中位线性质的证明
已知：如图，在△ABC中，点D,E分别是AB与AC边的中点。求证：DE∥BC,DE=1/2BC
2、你还有其它的证明方法吗？
方法指导：
法一、利用______________的性质进行证明；
法二、运用______________数学方法进行证明。
如上证明我们得到三角形的中位线定理：
四、巩固运用：
1、实际问题：
钓鱼岛A、B两处的海芙蓉被山隔开，如何才能知道它们之间的距离呢？
小明是这样做的：在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，测出MN的长那么他就知道A、B两点的距离是多少。你知道其中的道理吗？
2、口算:
练习1：己知：如图1所示
(1)∵ E、F分别为AB、AC的中点。
∴ EF∥BC（根据 ）
(2)若BC =10cm，
则EF = ㎝。
(3)若EF =6cm，
则BC = cm。
练习2：如图2，在△ABC中，DE是中位线
（1）若∠ADE=60°，
则∠B= 度，为什么？
（2）若BC=8cm，
则DE= cm，为什么？
练习3：如图3，在△ABC中，D、E、F分别是各边中点
AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，
则△DEF的周长= cm
3、例题解析：
例1：求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．
分析：如何将文字叙述转化为几何语言证明？
已知：如图24．4．3所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC．求证：AE、DF互相平分．
例2、如图24．4．4，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于G。求证：
4、知识延伸
（1）在图25.4.5中，取AC的中点F，假设BF与AD交于点G’，那么能得到什么结论呢？
（2）如果能得到类似的结论，说明两图中的点G和点G’是否重合？
由此我们得出三角形重心定理
变式：在△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心。如果AG=6，那么线段DG的长为 。
5、课外练习：
已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。
补充延伸：(1)请增加一个条件使得四边形ADFE为菱形。
(2)请增加一个条件使得四边形ADFE为矩形。
(3)能不能只增加一个条件使得四边形ADFE为正方形。
如图,在中,中线、相交于点,、分别为、 的中点.求证:四边形是平行四边形。
已知如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。
中位线
●拓展提高
1、如图，D、E、F分别为△ABC三边上的中点，G为AE的中点，BE与DF、DG分别交于P、Q两点，则PQ∶BE＝ .
2、如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，又AB＝DC，下列结论：①EFGH为矩形；②FH平分EG于T；③EG⊥FH；④HF平分∠EHG.其中正确的是（ ）
A、①和② B、②和③ C、①②④ D、②③④
3、如图，已知△ABC的周长为1，连结△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，第2008个三角形的周长为（ ）
A、 B、
C、 D、
4、如图，在△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，AH是BC边上的高．
（1）试判断四边形DHEF是什么样的四边形，并证明之；
（2）①当AB、AC之间满足什么关系时，四边形DHCF是平行四边形?并请证明之；②四边形DHCF能否为矩形或菱形?(直接写出结论．不要证明)
5、 如图，四边形各边中点及对角线中点共六个点中，任取四个点连成四边形中，最多可以有几个平行四边形，证明你的结论.
6、 如图，在四边形ABCD中，AB＞CD，E、F分别是对角线BD、AC的中点.
求证：EF＞.
●体验中考
1、如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4.其中正确的有：（ ）
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
1题图 2题图
2、如图1，、分别是、的中点，则（ ）
A、1∶2 B、1∶3 C、1∶4 D、2∶3
3、如图所示，已知点分别是中边的中点，相交于点，，则的长为（ ）
A、4 B、4.5 C、5 D、6
4、如图，两处被池塘隔开，为了测量两处的距离，在外选一适当的点，连接，并分别取线段的中点，测得=20m，则=__________m．
参考答案
拓展提高：
1、 1∶4
2、D
3、C
4、（1）点拨：等腰梯形，易证得DF∥BC，四边形DHEF是梯形．再证得DH=AB=EF，四边形DHEF是等腰梯形．
（2）①AB=AC，证明略 ②四边形DHCF不可能是矩形，但可能是菱形
5、最多有三个
6、作AD的中点G,连接EG,FG,因为E,F分别为四边形ABCD的对角线BD、AC的中点
所以EG=CD???FG=AB
所以：FG-EG= (AB-CD)
由三角形本身性质，任意二边之差小于第三边
所以：在三角形EFG中，FG-EG＜EF
即：EF﹥
体验中考：
1、D
2、C
3、D
4、40
23.4 中位线
1．连结三角形__两边中心__的线段叫做三角形的中位线．
2．三角形的中位线__平行于__第三边，并且等于第三边的__一半__．
3．一个三角形有三条中线，它们相交于__一点__，这个点就是__三角形的重心__，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的____．
知识点1：三角形的中位线
1．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，若BC＝6，则DE＝__3__．
,第1题图) ,第2题图) ,第3题图)
2．如图，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E是AD的中点，△BCD的周长为18，则△DEO的周长是__9__．
3．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A，B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12 m，由此他就知道了A，B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是( D )
A．AB＝24 m B．MN∥AB
C．△CMN∽△CAB D．CM∶MA＝1∶2
4．如图，△ABC中，AD，BE是两条中线，则S△EDC∶S△ABC＝( D )
A．1∶2 B．2∶3 C．1∶3 D．1∶4
,第4题图) ,第6题图)
5．一个三角形的周长是36 cm，则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是( C )
A．6 cm B．12 cm C．18 cm D．36 cm
6．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD.若BD平分∠ABC，则下列结论错误的是( C )
A．BC＝2BE B．∠A＝∠EDA
C．BC＝2AD D．BD⊥AC
7．我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．
如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH.
(1)这个中点四边形EFGH的形状是__平行四边形__；
(2)请证明你的结论．
解：连接AC，∵点E，F分别是边AB，BC的中点，∴EF∥AC，EF＝AC.同理，HG∥AC，HG＝AC，∴EF∥HG，EF＝HG，∴四边形EFGH是平行四边形
知识点2：三角形的重心
8．在△ABC中，AD是BC边上的中线，点G是重心，如果AG＝8，那么线段DG的长为( B )
A．2 B．4 C．6 D．8
9．已知点G是△ABC的重心，GP∥BC交AB边于点P，BC＝3，则GP等于( B )
A. B. C. D.
10．如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点G，则＝____；＝____；＝____．
11．已知，在△ABC中，点G为重心，过点G的直线MN∥AB，交AC于点M，交BC于点N，AB＝7，求MN的长．(提示：连接CG并延长CG交AB于点H)
解：连接CG，并延长CG交AB于点H，∵点G是重心，MN∥AB，∴＝＝＝.∴MN＝
12．如图，AB∥CD，点E，F分别为AC，BD的中点，若AB＝5，CD＝3，则EF的长是( D )
A．4 B．3 C．2 D．1
,第12题图) ,第13题图)
13．如图，DE是△ABC的中位线，点M，N分别是BD，CE的中点，MN＝6，则BC＝__8__．
14．在△ABC中，点G为重心，若BC边上的高为6，则点G到BC边的距离为__2__．
15．如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于点F，AB＝5，AC＝2，则DF的长为____．
,第15题图) ,第16题图)
16．如图，点D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，点E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长是__11__．
17．如图，点E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF.
求证：AB＝2OF.
解：易证F点为BC边的中点，由中位线定理可证AB＝2OF
18．如图，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F.点E是AB的中点，连接EF.
(1)求证：EF∥BC；
(2)若△ABD的面积是6，求四边形BDFE的面积．
解：(1)易证点F为AD的中点，由EF为△ABD的中位线得EF∥BC (2)S四边形BDFE＝
19．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，点M，N，P分别是AD，BC，BD的中点，∠ABD＝20°，∠BDC＝70°，试求∠PNM的度数．
解：∵点M，P分别是AD，BD的中点，∴PM＝AB，同理PN＝CD，∵AB＝CD，∴PM＝PN，∴∠PNM＝∠PMN，∵M，P分别是AD，BD的中点，∴PM∥AB，∴∠MPD＝∠ABD＝20°，同理∠DPN＝180°－∠BDC＝180°－70°＝110°，∴∠MPN＝20°＋110°＝130°，∴∠PNM＝＝25°
20．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，DF过EC的中点G并与BC的延长线交于点F，BE与DF交于点O.若△ADE的面积为S，试求四边形BOGC的面积．
解：根据点D，E分别是边AB，AC的中点，可得DE∥BC，则△ADE∽△ABC，相似比为，面积比为，所以△ABC的面积为4S，四边形DBCE的面积为3S.根据DE∥BC，还可得△DEG∽△FCG，△DEO∽△FBO，相似比分别为1，，设S△DEO＝x，则S△FBO＝9x，易得S△DBO＝3x，S△EGO＝x，S△DEG＝S△FCG＝2x，S四边形BOGC＝7x，S四边形BDEC＝12x，则3S＝12x，可得x＝S，所以S四边形BOGC＝S
中位线
1.如图，D、E、F分别为△ABC三边上的中点.
（1）线段AD叫做△ABC的 ，线段DE叫做△ABC的 ，DE与AB的位置和数量关系是 _________ ;
（2）图中全等三角形有 _________________ ;
（3）图中平行四边形有 ___________ .
2. 三角形各边长为5、9、12，则连结各边中点所构成的三角形的周长是 .
3. 如图，在矩形ABCD中，BC＝8cm，AC与BD交于O，M、N分别为OA、OD的中点.
求证：四边形BCNM是等腰梯形.
4. 已知：如图，矩形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点.?
求证：四边形EFGH是菱形.?
5、如图，要测出池塘的宽度AB，小强在池塘边上取一个能直接到达A、B的点C，量的AC=20cm，BC=25cm，又取AC的中点D，BC的中点E，量得DE=12cm，求池塘宽AB，为多少？
6、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是DC的中点，EF∥AB交BC于F，若EF=3，求AB的长.
参考答案
1、（1）中线，中位线，∥AB，DE=AB.
（2）△AEF≌△DEF≌△FBD≌△EDC.
（3）AFDE，FBDE，FDCE.
2、 13
3、证MN∥BC且MN≠BC.
4、证明：连结AC、BD.
∵AE=BE，BF=CF，∴EF∥AC，EF=AC.
同理CH∥AC，CH=AC，∴EFAC，∴四边形EFGH是平行四边形.
∵AE=BE，AH=DH，∴EH=BD.
又∵AC=BD，∴EF=EH，∴四边形EFGH是菱形.
5、解：∵点D是AC的中点，点E是BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线
∴DE =AB
又∵DE=12cm
∴AB=24cm
6、解：过D作DG∥AB交BC于G，∵AD∥BC，AB∥DG，
∴四边形ABGD是平行四边形，∴AB=DG.
∵EF∥AB，∴EF∥DG，∵DE=CE，∴GF=CF.
∴EF是△CDG的中位线，∴EF=DG.
∴DG=2EF=6，即AB=6.
点拨：此题目在考察三角形中位线的同时考察了平行四边形的判定问题，解题时注意条件的转化.
23.4中位线
一、选择题
1、如图，在?ABCD中，AD=8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于（?? ）
A、2 B、3 C、4 D、5
2、如图所示，△ABC中，AH⊥BC于H，E，D，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形EDHF是（?? ）
A、一般梯形 B、等腰梯形 C、直角梯形 D、直角等腰梯形
3、如图，△ABC中，AB=AC ， AD平分∠BAC ， DE∥AC交AB于E ， 则S△EBD：S△ABC=（ ）
A、1：2 B、1：4 C、1：3 D、2：3
4、如果△ABC的两边长分别为3和5，那么连结△ABC三边中点D、E、F所得的△DEF的周长可能是（ ）
A、3 B、4 C、5 D、6
5、顺次连接四边形各边中点所得的四边形是（ ）
A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、以上都不对
6、如图，在平行四边形ABCD中，BD为对角线，点E、O、F分别是 AB、BD、BC的中点，且OE＝3，OF＝2，则平行四边形ABCD的周长为(?? ?)
A、10 B、12 C、15 D、20
7、小院子的四棵小树E、F、G、H刚好在其梯形院子ABCD各边的中点上，若在四边形EFGH地上种小草，则这块草地的形状是( ???)
A、平行四边形 B、矩形 C、正方形 D、菱形
8、如图四边形ABCD ， AD∥BC ， AB⊥BC ， AD=1，AB=2，BC=3，P为AB边上的一动点，以PD ， PC为边作平行四边形PCQD ， 则对角线PQ的长的最小值是（ ）
A、3 B、4 C、5 D、6
9、如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD=50cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为（?? ）
A、25cm B、50cm C、75cm D、100cm
10、如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于（?? ） [
A、3.5 B、4 C、7 D、14
11、如图，梯形ABCD中，AD∥BC ， E、F分别是AB、CD的中点，EF分别交BD、AC于G、H ， 若AD=6，BC=10，则GH的长为（ ）
A、5 B、4 C、3 D、2
12、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC ， E、F分别是AB、CD的中点，则下列结论：
①EF∥AD；②S△ABO=S△DCO；③△OGH是等腰三角形；④BG=DG；⑤EG=HF ．
其中正确的个数是（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
二、填空题
13、已知梯形的上底长为a ， 中位线长为m ， 那么这个梯形的下底长为________.
14、如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若BC=10，则DE=________ ．
15、如图平行四边形ABCD中，∠ABD=30°，AB=4，AE⊥BD，CF⊥BD，且，E，F恰好是BD的三等分点，又M、N分别是AB，CD的中点，那么四边形MENF的面积是________．
16、如图，梯形ABCD中，AD∥BC ， ∠B=30°，∠C=60°，E、F、M、N分别为AB、CD、BC、DA的中点，若BC=7，MN=3，则EF为______4_____.
17、已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC ， AB=CD=4，MN是梯形ABCD的中位线，且MN=6，则梯形ABCD的周长是___20______.
18、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是________．
19、如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F ， AB=5，AC=2，则DF的长为________.
三、综合题
20、如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分别是△ABC角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F ， 交AB于G ， 连接EF ， 求线段EF的长 ．
21、如图，在△ABC中，若∠B=2∠C ， AD⊥BC ， E为BC边中点，求证：AB=2DE ．
22、如图，DE是△ABC的中位线，延长DE到F，使EF=DE，连接BF
(1)求证：BF=DC；
(2)求证：四边形ABFD是平行四边形．
23、如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，点O是△ABC内部任意一点，连接OB、OC ， 点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E ．
求证：四边形DGFE是平行四边形 ． ?
答案解析部分
一、选择题
1、【答案】C 2、【答案】B 3、【答案】B 4、【答案】D 5、【答案】A
6、【答案】D 7、【答案】C 8、【答案】B 9、【答案】D 10、【答案】C
11、【答案】B 12、【答案】D
二、填空题
13、【答案】2m-a 14、【答案】5 15、【答案】? 16、【答案】4 17、【答案】?20
18、 或 ． 19、
三、综合题
20、【答案】解答：在△AGF和△ACF中，
∠GAF＝∠CAF
AF＝AF
∠AFG＝∠AFC
∴△AGF≌△ACF ，
∴AG=AC=3，GF=CF ，
则BG=AB-AG=4-3=1 ．
又∵BE=CE ，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF= BG= ． ?
21、【答案】证明：取AC中点F ， 连接EF ， DF ，
则EF为中位线，且EF‖AB、∠FEC=∠B=2∠C ，
在直角三角形ACD中，F是斜边AC的中点，
∴DF=CF ，
∴∠DEF=∠C ，
即有2∠FDC=∠FEC ，
∴∠EFC=∠FDC+∠DFE ，
∴2∠DFE=∠FEC=2∠FDC ，
∴DE=EF ，
∴AB=2DE ． ?
22、【答案】（1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 ．
已知：△ABC中，点E、F分别是AB、AC的中点，
求证：EF∥BC且EF= BC ，
证明：如图，延长EF到D ， 使FD=EF ，
∵点F是AC的中点，
∴AF=CF ，
在△AEF和△CDF中，
AF＝FC
∠AFE＝∠CFD
EF＝FD
∴△AEF≌△CDF（SAS），
∴AE=CD ， ∠D=∠AEF ，
∴AB∥CD ，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE ，
∴BE=CD ，
∴BE CD ，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴DE∥BC ， DE=BC ，
∴DE∥BC且EF= BC.
（2）证明：连接AF并延长，交BC延长线于点M ，
∵AD∥BC ，
∴∠D=∠FCM ，
∵F是CD中点，
∴DF=CF ，
在△ADF和△MCF中，
∠D＝∠FCM
DF＝CF
∠AFD＝∠MFC
∴△ADF≌△MCF（ASA），
∴AF=FM ， AD=CM ，
∴EF是△ABM的中位线，
∴EF∥BC∥AD ， EF=BM= （AD+BC） ． ?
?
23、【答案】证明：∵D、E分别是AB、AC边的中点，
∴DE∥BC ， 且DE= BC ，
同理，GF∥BC ， 且GF= BC ，
∴DE∥GF且DE=GF ，
四边形DGFE是平行四边形 ． ?
