课件19张PPT。第一章 三角函数§1 周期现象1.了解周期现象.
2.能根据周期现象求解一些具体问题.周期现象
我们把以相同间隔重复出现的现象叫作周期现象.
【做一做】 有以下现象:①候鸟的迁徙;②每年6月7号、8号高考;③某交通路口每次绿灯通过的车辆数.其中是周期现象的有 .?(填序号)
解析:显然①②是周期现象.虽然每次绿灯经过相同的时间间隔重复变化,但是每次绿灯通过的车辆数不一定相同,故③不是周期现象.
答案:①②题型一题型二题型三【例1】 我们的心跳都是有节奏、有规律的,当心脏跳动时,血压在增加或减小.下表是某人在一分钟内血压P与时间t的对应关系表,通过表中数据来研究血压变化的规律.(1)根据上表提供的数据,在平面直角坐标系中作出血压P与时间t的关系的图像;
(2)试说明血压变化的规律.题型一题型二题型三分析:根据表格中的数据准确画出图像,并观察每经过相同的时间间隔,血压会不会出现相同的数值.
解:(1)血压P与时间t的关系的图像如图.
(2)从图像可以看出,每经过相同的时间间隔T(15 s),血压就会重复出现相同的数值,因此此人血压是周期性变化的.题型一题型二题型三反思利用图像判断周期现象的基本步骤:(1)由题目中提供的数据画出图像;(2)观察图像是不是随一个变量的等值变化,另一个变量的值重复出现.若满足,则是周期现象.题型一题型二题型三【变式训练1】 太空中某变星的亮度随着时间的变化而变化,下表是某研究人员在某月(28天)中观察该变星所得到的部分数据:
试判断该变星的亮度变化是不是周期现象,并推断下个月14日该变星的亮度等级是多少.题型一题型二题型三解:画出散点图,如图,从图中可以看出该变星的亮度等级每8天重复出现,是周期现象.事实上,无论从哪日算起,每隔8天,该变星都会出现相同的亮度等级,所以下个月14日该变星的亮度等级是4.2.题型一题型二题型三【例2】 如果今天是星期一,那么从今天算起,第7k+1(k∈N*)天后的那一天是星期几?第100天后的那一天是星期几?
分析:每星期有7天,从星期一到星期日,呈周期性变化,其周期为7.
解:因为今天是星期一,明天是星期二,……,所以从今天算起,第7k(k∈N*)天后的那一天是星期一,第7k+1(k∈N*)天后的那一天是星期二.
因为100=14×7+2,所以第100天后的那一天是星期三.题型一题型二题型三反思在周期现象的计算中,确定周期现象的周期是解题的关键,应引起重视.题型一题型二题型三【变式训练2】 游乐场中的摩天轮有10个座舱,每个座舱最多乘4人,每30分钟转一圈,请估算在16小时内最多有多少人乘坐.
解:因为摩天轮每30分钟转一圈,
所以摩天轮转动的周期T=30(分).又每一个周期最多乘坐4×10=40(人),在16小时内共有32个周期,所以在16小时内最多有40×32=1 280(人)乘坐.题型一题型二题型三易错点 判断周期现象失误
【例3】 给出的下列现象,是周期现象的有 个.?
①物理学中的单摆运动;
②连续地抛掷一枚硬币,面值朝上记为0,面值朝下记为1,0和1的出现.
错解:由周期现象的概念知①②均为周期现象,故填2.
错因分析:②虽然可能重复出现,但没有规律.
正解:①物理学中的单摆运动,完成一个来回之后,以后的运动都是有规律地重复这一动作,因此是周期现象;
②在抛掷硬币的过程中,0和1的出现虽然可能重复,但没有规律(数学中称之为随机现象),故它不是周期现象.故填1.123451.下列现象是周期现象的是( )
①日出日落;②潮汐;③海啸;④地震.
A.①② B.①②③ C.①②④ D.③④
答案:A123452.下列函数图像不具有周期性的是( )
答案:C123453如图是从左向右按照一定规律摆放的黑球和白球.已知第1,2个球是黑球,第3个球是白球,……,以此类推,第2 019个球是 .(填“白球”或“黑球”)?
解析:球的摆放呈周期性,第3,6,9,…个球都是白球,其余的都是黑球.因为2 019=673×3,所以第2 019个球是白球.
答案:白球123454.把扑克牌按照红桃2张、梅花3张、方块1张、黑桃2张的顺序连续排列着,则第76张牌的花色是 .?
解析:2张红桃、3张梅花、1张方块、2张黑桃按顺序排列,每隔8张重复出现,∵76=8×9+4,∴第76张牌是梅花.
答案:梅花123455.
如图为某简谐运动的图像,试根据图像回答下列问题:
(1)这个简谐运动需要多长时间往复一次?
(2)从点O算起,到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动?若从点A算起呢?12345解:(1)由题图易知,这个简谐运动需要0.8 s往复一次.
(2)若从点O算起,则到曲线上的点D表示完成了一次往复运动;若从点A算起,则到曲线上的点E表示完成了一次往复运动.课件30张PPT。§2 角的概念的推广1.初步理解用“旋转”定义角的概念;理解“正角”“负角”“零角”“象限角”“终边相同的角”的含义.
2.掌握所有与角α终边相同的角(包括角α)的表示方法.1231.任意角
(1)定义:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形称为角,所旋转射线的端点叫作角的顶点,开始位置的射线叫作角的始边,终止位置的射线叫作角的终边,如图.名师点拨给定一个角,就有唯一的一条终边与之对应.但是,对于直角坐标系内任意一条以原点为端点的射线,以它为终边的角有无数个.123(2)规定:按逆时针方向旋转形成的角叫作正角;按顺时针方向旋转形成的角叫作负角;如果一条射线从起始位置没有作任何旋转,终止位置与起始位置重合,我们称这样的角为零度角,又称零角,记作α=0°.这样就形成了任意大小的角即任意角.名师点拨1.规定了正角、负角和零角后,角的大小不再局限于0°到360°的范围,而是出现了任意大小的角.
2.角的概念是通过角的终边的变化来推广的,根据角的终边的旋转“方向”,得到正角、负角和零角,由此我们应当意识到角的终边位置的重要性.作图表示角时,应注意箭头的方向不可丢掉,箭头的方向代表角的正负.123(3)角的记法:用1个希腊字母表示,如α,β,γ,…;也可用3个大写的英文字母表示(字母前面要写符号“∠”),其中中间字母表示角的顶点,如∠AOB,∠DEF,….
(4)角的分类:按旋转方向分为正角、零角和负角.【做一做1】 下列说法中错误的是( )
A.按逆时针方向旋转所成的角是正角
B.按顺时针方向旋转所成的角是负角
C.没有作任何旋转所成的角是零角
D.终边和始边相同的角是零角
答案:D1232.象限角
将角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么就把角放在了平面直角坐标系中.角的终边(除端点外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.角的终边在平面直角坐标系内,且不与坐标轴重合的角称为象限角名师点拨象限角的集合: (1)第一象限角的集合:{α|k×360°<α
①-75°角是第四象限角;②225°角是第三象限角;③475°角是第二象限角;④-315°角是第一象限角.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案:D123【做一做2-2】 请你用负角表示第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角的集合.
解:第一象限角的集合:{α|k×360°-360°<α第二象限角的集合:{α|k×360°-270°<α第三象限角的集合:{α|k×360°-180°<α第四象限角的集合:{α|k×360°-90°<α(1)研究终边相同的角的前提是角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.
(2)一般地,所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k×360°,k∈Z},即任何一个与角α终边相同的角,都可以表示成角α与周角的整数倍的和.123名师点拨理解集合S={β|β=α+k×360°,k∈Z}要注意以下几点:
(1)式中的角α为任意角;
(2)终边相同的角有无数个,它们的度数相差360°的整数倍,在求终边相同的角的问题时,关键是找到一个与其终边相同的某一角(一般找0°~360°的角),再用集合语言和符号语言表示出来;
(3)k∈Z这一条件必不可少;
(4)k×360°与α之间是“+”,如,k×360°-30°应看成k×360°+(-30°),即与-30°角终边相同的角;
(5)终边相同的角不一定相等,但是相等的角,终边一定相同;123(6)①终边落在x轴的非负半轴上的角的集合:{α|α=k×360°,k∈Z};
②终边落在x轴的非正半轴上的角的集合:{α|α=k×360°+180°,k∈Z};
③终边落在x轴上的角的集合:{α|α=k×180°,k∈Z};
④终边落在y轴的非负半轴上的角的集合:{α|α=k×360°+90°,k∈Z};
⑤终边落在y轴的非正半轴上的角的集合:{α|α=k×360°+270°,k∈Z};
⑥终边落在y轴上的角的集合:{α|α=k×180°+90°,k∈Z};
⑦终边落在坐标轴上的角的集合:{α|α=k×90°,k∈Z}.123【做一做3-1】 在0°~360°内,与-35°角终边相同的角是( )
A.325° B.-125°
C.35° D.235°
答案:A
【做一做3-2】 若角α的终边落在第二象限的角平分线上,则α可用集合表示为 .?
答案:{α|α=135°+k×360°,k∈Z}题型一题型二题型三题型四【例1】 在0°~360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并指出它们是第几象限角.
(1)-150°; (2)650°; (3)-950°15'.
分析:解答本题可先利用终边相同的角的关系,即β=α+k×360°(k∈Z),把所给的角转化到0°~360°内,然后利用0°~360°内的角分析该角所在的象限.题型一题型二题型三题型四解:(1)因为-150°=-360°+210°,所以在0°~360°范围内,与-150°角终边相同的角是210°角.而210°角的终边在第三象限,所以-150°角是第三象限角.
(2)因为650°=360°+290°,所以在0°~360°范围内,与650°角终边相同的角是290°角.而290°角的终边在第四象限,所以650°角是第四象限角.
(3)因为-950°15'=-3×360°+129°45',所以在0°~360°范围内,与-950°15'角终边相同的角是129°45'角.而129°45'角的终边在第二象限,所以-950°15'角是第二象限角.反思终边相同的角相差360°的整数倍.判断一个角是第几象限角,只要找与它终边相同的0°~360°范围内的角,这个0°~360°范围内的角所在的象限即为所求角所在的象限.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】 与-457°角终边相同的角的集合是( )
A.{α|α=k×360°+457°,k∈Z}
B.{α|α=k×360°+97°,k∈Z}
C.{α|α=k×360°+263°,k∈Z}
D.{α|α=k×360°-263°,k∈Z}
解析:方法一:∵-457°=-2×360°+263°,∴应选C.
方法二:∵-457°角与-97°角的终边相同,-97°角与263°角的终边相同,又263°角与k×360°+263°角的终边相同,
∴应选C.
答案:C题型一题型二题型三题型四分析:解答本题可先把角α表示成90°+k×360°<α<180°+k×360°(k∈Z),再借助初中学习的有关不等式的性质对不等式按题目要求变形,最后利用坐标轴加以分析.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四 【例3】
已知集合A={α|30°+k×180°<α<90°+k×180°,k∈Z},B={β|-45°+k×360°<β<45°+k×360°,k∈Z},求A∩B.
分析:由角的集合找出角的变化区域,从而求出两个集合的交集.题型一题型二题型三题型四解:由30°+k×180°<α<90°+k×180°,k∈Z,可得当k为偶数,即k=2n(n∈Z)时,30°+n×360°<α<90°+n×360°,n∈Z;当k为奇数时,即k=2n+1(n∈Z)时,210°+n×360°<α<270°+n×360°,n∈Z,∴集合A中角的终边在如图的阴影(Ⅰ)区域内.
∵集合B中角的终边在如图的阴影(Ⅱ)区域内,
∴集合A∩B中角的终边在阴影(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共区域内,
∴A∩B={α|30°+k×360°<α<45°+k×360°,k∈Z}.题型一题型二题型三题型四反思解决与角有关的集合问题的关键是弄清集合中含有哪些元素,其方法有:一是将集合中表示角的式子化为同一种形式(这种方法要用到整数分类的有关知识,即分类讨论);二是用列举法把集合具体化;三是数形结合,即在平面直角坐标系上分别作出这些角.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】 已知集合A={α|α=k×90°-36°,k∈Z},B={β|-180°<β<180°},则A∩B等于( )
A.{-36°,54°}
B.{-126°,144°}
C.{-126°,-36°,54°,144°}
D.{-126°,54°}
所以A∩B={-126°,-36°,54°,144°}.
答案:C题型一题型二题型三题型四 易错点 因不理解终边相同的角而致误
【例4】 如图,终边落在阴影部分内的角的集合是 .?
错解:{α|120°<α≤225°}
错因分析:终边落在阴影部分内的角不只有120°<α≤225°范围内的角,还有其他角,它们与120°<α≤225°范围内的角相差360°的整数倍.
正解:{α|k×360°+120°<α≤k×360°+225°,k∈Z}123451.下列说法正确的是( )
A.角α与角k×360°+α(k∈Z)的终边相同
B.第二象限角是钝角
C.第二象限角一定大于第一象限角
D.小于90°的角是锐角
答案:A12345A.第一或第三象限角 B.第二或第三象限角
C.第一或第四象限角 D.第二或第四象限角
解析:答案:D 123453.把-3 290°化为k×360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式为 .?
答案:-10×360°+310°123454
已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界),则角α组成的集合为? .?
解析:由图知,将x轴绕原点分别旋转30°与150°得边界,故终边在阴影内的角的集合为{α|k·180°+30°<α答案:{α|k·180°+30°<α(1)-120°; (2)640°.
解:(1)与-120°角终边相同的角的集合为M={β|β=-120°+k×360°,k∈Z}.
当k=1时,β=-120°+1×360°=240°,
所以在0°~360°范围内,与-120°角终边相同的角是240°角,它是第三象限角.
(2)与640°角终边相同的角的集合为M={β|β=640°+k×360°,k∈Z}.当k=-1时,β=640°-360°=280°,所以在0°~360°范围内,与640°角终边相同的角是280°角,它是第四象限角.课件31张PPT。§3 弧度制1.理解弧度制的定义,体会弧度也是度量角的单位.
2.掌握角度与弧度的换算公式,并能熟练地进行角度与弧度的换算.
3.掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式,并会用弧长公式、扇形面积公式解决有关问题.1231.弧度制
(1)定义:以弧度作为单位来度量角的单位制,叫作弧度制.
(2)度量方法:在单位圆中,长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角.如图中的单位圆 ∠AOB就是1弧度角.
(3)记法:弧度的单位符号是rad,读作弧度.123【做一做1】 下列说法中正确的是( )
A.1弧度就是1度的圆心角所对的弧
B.1弧度是长度为半径的弧
C.1弧度是1度的弧与1度的角之和
D.1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小,它是角的一种度量单位
解析:弧度是度量角的大小的一种单位,1弧度是长度等于半径的圆弧所对的圆心角的大小.
答案:D123123名师点拨角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立起一一对应关系:
每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应,如图.123A.30° B.45° C.60° D.6°
答案:A【做一做2-2】 1 080°=( )
答案:D1233.弧度数与弧长公式
(1)一般地,正角的弧度数是一个正数;负角的弧度数是一个负数;零角的弧度数是0.
(2)如图,l,r,α分别是弧长、半径和弧所对的圆心角的弧度数.
弧长公式:l=|α|r,
这就是说,弧长等于弧所对的圆心角弧度数的绝对值与半径的积.123123答案:A 123【做一做3-2】 已知扇形的周长为20 cm,则这个扇形面积的最大值为 .?
解析:设扇形的半径为r cm,弧长为l cm,则2r+l=20,即l=20-2r,故扇形的面积：
故当r=5时,S有最大值25.故填25 cm2.
答案:25 cm2题型一题型二题型三题型四(1)将α1,α2用弧度表示出来,并指出它们终边所在的象限;
(2)将β1,β2用角度表示出来,并在-720°~0°范围内找出与它们具有相同终边的所有角.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思1.将角度制化为弧度制,当角度制中含有“分”“秒”单位时,应先将它们统一转化为“度”,再利用 转化为弧度.
2.以弧度为单位表示角时,常把弧度写成多少π的形式.题型一题型二题型三题型四答案:A 题型一题型二题型三题型四【例2】 (1)将-1 485°表示成2kπ+α(k∈Z)的形式,且0≤α<2π;
(2)用弧度表示顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边落在图中的阴影部分内的角的集合(不包括边界).分析:(1)-1 485°→k×360°+α'(k∈Z),0°≤α'<360°的形式→2kπ+α(k∈Z),0≤α<2π的形式
(2)先把角度化成弧度,再分析边界角的大小,写出阴影区域的不等关系,最后写成集合的形式.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思1.解答此类问题可以先化成角度表示终边相同的角,再转化为弧度;也可以直接化为弧度,再写成弧度制表示终边相同的角的形式.另外,要注意条件0≤α<2π.
2.解答此类题目的关键在于正确识图,以动态的观点分析阴影区域是由哪些角所围成的(其中不等关系的表示是分析此类题目的重要方式,应正确给出角的不等关系),是否包含边界.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】 用弧度制形式表示顶点在原点,始边在x轴的非负半轴上,终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).题型一题型二题型三题型四解:(1)图①中,终边落在射线OA上的所有角可表示为α1=150°+k×360°(k∈Z);
终边落在射线OB上的所有角可表示为α2=-45°+k×360°(k∈Z).
故适合题意的角的集合为{α|-45°+k×360°<α<150°+k×360°,k∈Z}.题型一题型二题型三题型四(2)图②中,终边落在阴影部分内的角的集合可看成终边在x轴上方与x轴下方两部分的角的集合的并集.
故适合题意的角的集合为题型一题型二题型三题型四【例3】 (1)已知半径为120 mm的圆上,有一条弧的长为144 mm,求该弧所对的圆心角的弧度数的绝对值;
(2)在直径为20 cm的圆中,求165°的圆心角所对的弧长及扇形的面积.分析:(1)弧长公式→逆用→弧度数的绝对值
(2)角度化为弧度→弧长公式→弧长→面积题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四【变式训练3】 (1)已知扇形的面积为1 cm2,它的周长为4 cm,求它的圆心角;
(2)已知扇形的圆心角是72°,半径等于20 cm,求扇形的面积.
解:(1)设扇形的弧长为l cm,半径为r cm,则l=4-2r.题型一题型二题型三题型四易错点 因混用角度制与弧度制而致误
【例4】 把角-690°化为2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式为 .?
错解-690°=-720°+30°=-4π+30°,故应填-4π+30°.
错因分析上述解法中,表示一个角,既用了角度又用了弧度,这种混合用的写法是错误的.即表示一个角时,要么只用角度,要么只用弧度.123451.关于弧度制有下列说法:
①扇形圆心角的弧度数随扇形的弧长的增大而增大;
②大圆中1弧度的角大于小圆中1弧度的角;
③大圆中1弧度的角等于小圆中1弧度的角.
其中正确的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:只有说法③是正确的.
答案:B12345答案:C 12345答案:D 123454.已知扇形AOB的面积为4,圆心角的弧度数为2,则该扇形的弧长为 .?
故扇形弧长l=|α|r=2×2=4.
答案:4123455.
如图,已知扇形AOB的圆心角为120°,半径长为6,求弓形ACB的面积.课件33张PPT。§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 4.2 单位圆与周期性1.掌握任意角的正弦函数、余弦函数的定义.
2.了解周期函数的定义.
3.能判断任意角的正弦函数、余弦函数在各个象限的符号.
4.掌握终边相同的角的正弦函数、余弦函数的公式的应用.123451.单位圆
在直角坐标系中,以原点为圆心,以单位长为半径的圆,称为单位圆.123452.任意角的正弦函数、余弦函数的定义
(1)定义1:如图①,在直角坐标系中,作以坐标原点为圆心的单位圆,对于任意角α,使角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于唯一的点P(u,v),那么点P的纵坐标v定义为角α的正弦函数,记作v=sin α;点P的横坐标u定义为角α的余弦函数,记作u=cos α.图① 1234512345名师点拨任意角的三角函数是在坐标系中定义的,角的范围是使函数有意义的实数集;任意角α的三角函数值只与α有关,而与点P的位置无关;三角函数的记号是一个整体,离开α的sin,cos 是没有意义的,它表示的是一个比值,而不是sin或cos与α的积.12345【做一做1-1】 已知角α的终边上一点P(1,-2),则sin α+cos α=( )
答案:C123453.正弦函数值、余弦函数值的符号
(1)图示:任意角的正弦函数值的符号,如图①;任意角的余弦函数值的符号,如图②.12345(2)表格: 12345 【做一做2-1】 若角α是第二象限角,则点P(sin α,cos α)在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:∵α是第二象限角,
∴cos α<0,sin α>0.
∴点P在第四象限.
答案:D12345【做一做2-2】 若角α满足sin α>0,且cos α<0,则角α是第 象限角.?
解析:由sin α>0知,角α是第一、二象限角或角α的终边在y轴非负半轴上.
由cos α<0知,角α是第二、三象限角或角α的终边在x轴非正半轴上.
综上可知,角α是第二象限角.
答案:二123454.终边相同的角的正弦函数、余弦函数
(1)公式:sin(x+2kπ)=sin x,k∈Z;?
cos(x+2kπ)=cos x,k∈Z.?
(2)意义:终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值分别相等.12345答案:A 答案:C 123455.周期函数
(1)定义:一般地,对于函数f(x),如果存在非零实数T,对定义域内的任意一个x值,都有f(x+T)=f(x),我们就把f(x)称为周期函数,T称为这个函数的周期.
(2)规定:对于周期函数来说,如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就称它为最小正周期.今后提到的函数的周期,如未特别指明,一般都是指它的最小正周期.名师点拨若函数y=f(x)是周期函数,T是一个周期,则(1)定义域中含有无限个实数;(2)对定义域内的任意x,均有f(x+kT)=f(x),其中k∈Z;(3)f(x)的图像每隔一个周期重复出现一次.(3)正弦函数和余弦函数的周期性
正弦函数和余弦函数都是周期函数,它们的最小正周期都是2π.12345【做一做4-1】 函数y=sin x的最小正周期是 ?,函数y=cos x的最小正周期是 ?.?
答案:2π 2π
【做一做4-2】 已知f(x)为奇函数,周期为4,则f(-2)的值为 .?
解析:由周期函数的定义,得f(-2)=f(-2+4)=f(2).∵f(x)为奇函数,∴f(-2)=-f(2),∴-f(2)=f(2),∴f(2)=0,∴f(-2)=0.
答案:0题型一题型二题型三题型四分析此类问题一般根据三角函数的定义求解.对于本题可根据定义先求出m的值,再求cos θ与sin θ的值.题型一题型二题型三题型四反思1.已知角α的终边在直线上求角α的三角函数值时,常用的解题方法有以下两种:
(1)先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,再利用三角函数的定义求出相应的三角函数值.
(2)注意到角的终边为射线,所以应分两种情况来处理,取射线上
2.当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.题型一题型二题型三题型四答案:D 题型一题型二题型三题型四【例2】 (1)判断sin 340°·cos 265°的符号;
(2)若sin 2α>0,且cos α<0,试确定角α是第几象限角.
分析:依据正弦函数、余弦函数在各个象限的符号作出判断.
解:(1)∵340°角是第四象限角,265°角是第三象限角,
∴sin 340°<0,cos 265°<0.∴sin 340°·cos 265°>0.
(2)∵sin 2α>0,∴2kπ<2α<2kπ+π(k∈Z).题型一题型二题型三题型四反思对于确定角α是第几象限角的问题,应先确定题目中所有三角函数值的符号,再依据三角函数值的符号来确定角α是第几象限角,则它们的公共象限即为所求.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】 设A是三角形的一个内角,则sin A,cos A中可能是负值的是 .?
解析:若A为锐角,则sin A>0,cos A>0;若A为直角,则sin A>0,cos A=0;若A为钝角,则sin A>0,cos A<0.
答案:cos A题型一题型二题型三题型四 【例3】 (1)已知函数f(x)在其定义域上满足f(x+2)=-f(x),求证:函数f(x)是以4为周期的周期函数;
(3)若函数f(x)在其定义域上满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(常数a为正数),求证:f(x)为周期函数,且6a是它的一个周期.
分析:证明一个函数是周期函数,只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)即可,同时应注意多次使用所给式子的结构.题型一题型二题型三题型四证明:(1)∵f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),
∴由周期函数的定义知,函数f(x)是以4为周期的周期函数.
∴由周期函数的定义知,函数f(x)是以4为周期的周期函数.
(3)∵f(x)=f(x-a)+f(x+a),①
用x+a替换x,得f(x+a)=f(x)+f(x+2a).②
①+②,得f(x-a)+f(x+2a)=0,即f(x-a)=-f(x+2a).
用x+a替换x,得f(x)=-f(x+3a),
∴f(x+6a)=f[(x+3a)+3a]=-f(x+3a)=f(x),
∴由周期函数的定义可知,函数f(x)是周期函数,且6a是它的一个周期.题型一题型二题型三题型四反思1.证明函数是周期函数,只需要根据定义:存在非零常数T,对任意定义域内x,都有f(x+T)=f(x).
2.要得到周期T,需善于根据所给条件的结构特征进行分析、变形.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】已知定义在R上的函数f(x),对任意实数x,有f(x+2)f(x)=1恒成立,试证明函数f(x)是周期函数.
∴函数f(x)是周期函数.题型一题型二题型三题型四 易错点 因忽略对参数的讨论而致误
【例4】 已知角α的终边经过点P(3a,4a)(a≠0),试求sin α,cos α的值.12345答案:B 12345答案:D 12345答案:三 123454.已知函数f(x)是周期函数,周期T=6,f(2)=1,则f(14)= .?
解析:f(14)=f(2×6+2)=f(2)=1.
答案:1123455.在直角坐标系的单位圆中,
(1)画出角α;
(2)求出角α的终边与单位圆的交点P的坐标;
(3)求出角α的正弦函数值、余弦函数值.12345课件17张PPT。4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质1.会利用单位圆研究正弦函数、余弦函数的定义域、值域、最值和单调性等简单性质.
2.能利用正弦函数、余弦函数的性质求解一些简单问题.根据单位圆理解正弦函数y=sin x和余弦函数y=cos x的性质
根据正弦函数y=sin x和余弦函数y=cos x的定义,我们不难从单位圆中看出函数y=sin x,y=cos x有以下性质:【做一做1】 已知函数y=sin x在某个区间上是减少的,则该区间可以是( )
答案:D
【做一做2】 函数y=cos2x-4cos x+5的最大值为 .?
答案:10题型一题型二题型三分析:(1)结合单位圆判断函数的单调区间;(2)通过观察区间内终边与单位圆交点的纵坐标变化确定函数的值域.题型一题型二题型三题型一题型二题型三 反思研究正弦函数、余弦函数基本性质的方法:
先找到角x的终边,再画出终边与单位圆的交点,由交点的横、纵坐标的取值范围可分别得到余弦函数、正弦函数的值域.由角的终边逆时针旋转,横、纵坐标的增大或减少来判断正弦函数、余弦函数的单调性.题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型一题型二题型三 反思应用单位圆解sin x≥a或sin x≤a(|a|≤1)时,需作直线y=a;解cos x≥a或cos x≤a(|a|≤1)时,需作直线x=a,这种方法简单、直观,体现了数形结合的思想.题型一题型二题型三题型一题型二题型三123451.函数y=2sin x的周期是( )
答案:B12345答案:A 123453.函数y=3cos x+b的最大值是 ,最小值是 .?
答案:3+b b-3123454.函数y=sin2x-2sin x+3的最小值是 .?
解析:y=sin2x-2sin x+3=(sin x-1)2+2,
当sin x=1时,ymin=2.
答案:2123455.设函数f(x)=-cos x+1.
(1)求f(x)的最大值及取得最大值时的x的集合;
(2)指出f(x)的递增区间.
解:(1)当cos x=-1时,f(x)取得最大值2,此时x的取值集合是{x|x=2kπ+π,k∈Z}.
(2)f(x)的递增区间为[2kπ,2kπ+π](k∈Z).课件25张PPT。4.4 单位圆的对称性与诱导公式1.了解单位圆的对称性及特殊角的终边的对称关系.
2.能借助单位圆得出诱导公式.
3.会应用诱导公式对三角函数式进行化简、求值或证明.
4.能够解决简单的三角函数性质问题.12 1.特殊角的终边的对称关系
(1)π+α的终边与角α的终边关于原点对称;
(2)-α的终边与角α的终边关于x轴对称;
(3)π-α的终边与角α的终边关于y轴对称.12【做一做1】 若角α,β的终边关于原点对称,则( )
A.α=β
B.α=180°+β
C.α=k×360°+β(k∈Z)
D.α=k×360°+180°+β(k∈Z)
答案:D122.诱导公式
(1)sin(α+2kπ)=sin α,cos(α+2kπ)=cos α,其中k∈Z.?
(2)sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α.?
(3)sin(2π-α)=-sin α,cos(2π-α)=cos α.?
(4)sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α.?
(5)sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α.?12 名师点拨角α+2kπ(k∈Z),2π-α,-α,π±α的三角函数值,等于角α的同名三角函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
口诀:函数名不变,符号看象限.
函数值,分别等于角α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
口诀:函数名改变,符号看象限.12答案:B 答案:A 题型一题型二题型三分析:解决本题有两种方法,方法一是对整数k分奇数、偶数讨论;方法二是根据(kπ+α)+(kπ-α)=2kπ,[(k-1)π-α]+[(k+1)π+α]=2kπ,并结合诱导公式将题目中的角均转化为kπ+α,其中k∈Z.题型一题型二题型三题型一题型二题型三(方法二)由(kπ+α)+(kπ-α)=2kπ,[(k-1)π-α]+[(k+1)π+α]=2kπ,得sin(kπ-α)=-sin(kπ+α),cos[(k-1)π-α]=cos[(k+1)π+α]=-cos(kπ+α).
又sin[(k+1)π+α]=-sin(kπ+α), 反思三角函数式的化简是对式子进行某种变形以清楚地显示式子中所有项之间的关系,其变形过程就是统一角、统一函数名称的过程,所以对式子变形时,一方面要注意角与角之间的关系,另一方面要根据不同的变形目的,对公式进行合理选择.化简的基本要求是:(1)能求出值的求出值;(2)使三角函数名称尽量少;(3)使项数尽量少;(4)使次数尽量低;(5)尽量使分母不含三角函数;(6)尽量使被开方数(式)不含三角函数.题型一题型二题型三题型一题型二题型三 分析:本题主要考查诱导公式的应用及分类讨论的思想,由于给出的三角函数式中含有参数n,故需对n分奇数、偶数进行讨论.题型一题型二题型三反思求已知角的函数值问题,主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解.如果是负角,一般先将负角的三角函数化为正角的三角函数,同时,要准确记忆特殊角的三角函数值.题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型一题型二题型三 反思观察已知角与未知角之间的关系,运用诱导公式将不同名的三角函数化为同名的三角函数,将不同的角化为相同的角,这是解决问题的关键点.题型一题型二题型三题型一题型二题型三分析利用诱导公式将条件等式化简后代入待证的等式即可. 题型一题型二题型三 反思三角恒等式的证明,有三种方式:
(1)从左边着手,化简、变形得出右边式子;
(2)从右边着手,化简、变形得出左边式子;
(3)从左、右两边同时着手,都进行化简,同时等于第三个式子.
从思路上来讲,恒等式的哪一边较复杂,就应该从哪一边着手,减少角的种类,减少函数名称.若两边的复杂程度相当,则对两边都化简.
证明与化简的区别在于,证明有很强的目的性,每一步变形都要朝着目标靠近.题型一题型二题型三【变式训练4】 已知A,B,C为△ABC的三个内角,求证:cos(2A+B+C)=-cos A.
证明:因为A,B,C为△ABC的三个内角,所以A+B+C=π.
所以cos(2A+B+C)=cos(A+A+B+C)=cos(π+A)=-cos A.123451.当α∈R时,下列各式中恒成立的是( )
C.cos(π+α)=cos α D.cos(-α)=cos α
答案:D12345答案:B 1234512345分析先利用诱导公式化为关于θ的三角函数,再约分即可. 12345分析结合三角形的内角和定理和诱导公式,先将已知等式化简,再对三角形的形状作出判断. 课件23张PPT。§5 正弦函数的图像与性质5.1 正弦函数的图像1.能够利用正弦线根据描点法作出y=sin x,x∈R的图像.
2.掌握“五点法”作图,并能利用此法作出正弦函数在[0,2π]上的简图.
3.掌握正弦曲线的简单应用. 正弦函数的图像
(1)图像:正弦函数y=sin x,x∈R的图像,又称为正弦曲线,如图.(2)画法:在平面直角坐标系中描出五个关键点:
然后根据正弦函数的基本形状,用光滑曲线将这五个点连接起来,得到正弦函数的简图,这种画正弦曲线的方法称为“五点法”.名师点拨用五点法只能画出y=sin x在一个周期[0,2π]上的图像.若x∈R,可先画出y=sin x,x∈[0,2π]的图像,再通过左右平移可得y=sin x,x∈R的图像.【做一做2】 用五点法画y=sin x,x∈[0,2π]的图像时,下列各点不是关键点的是( )
答案:A【做一做1】 用五点法画y=sin x,x∈[0,2π]的图像时,最高点的横坐标与最低点的横坐标的差为( )
答案:A题型一题型二题型三 【例1】 画出函数y=2sin x-1,x∈[0,2π]的简图.
分析:用五点法画图.
解:步骤:①列表:题型一题型二题型三③连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来,得函数y=2sin x-1,x∈[0,2π]的简图,如图.题型一题型二题型三题型一题型二题型三答案:D 题型一题型二题型三【例2】 表示出符合下列条件的角α的范围,并由此写出角α的集合.题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型一题型二题型三【例3】 判断方程x+sin x=0的根的个数.
分析:转化为判断函数y=-x和y=sin x的图像的交点个数.
解:在同一平面直角坐标系中画出y=-x和y=sin x的图像,如图所示.
由图知y=-x和y=sin x的图像仅有一个交点,则方程x+sin x=0仅有一个根.题型一题型二题型三反思关于方程根的个数问题,往往是运用数形结合法构造函数,转化为函数图像交点的个数问题.题型一题型二题型三【变式训练3】 将例3中的方程改为“x2-sin x=0”,试判断该方程根的个数.
解:在同一平面直角坐标系中画出y=x2和y=sin x的图像,如图所示.
由图知y=x2和y=sin x的图像有两个交点,则方程x2-sin x=0有两个根.123451.用五点法画y=2sin x的图像时,首先描出的五个点的横坐标是( )
答案:A123452.函数y=1-sin x,x∈[0,2π]的大致图像是( )
答案:B12345123454.函数y=sin x的图像上最高点与相邻最低点之间的距离为 .?123455.用五点法画出函数y=2-sin x,x∈[0,2π]的图像.
解:列表如下:
在平面直角坐标系中描出这五个点,作出相应的函数图像,如图.课件21张PPT。5.2 正弦函数的性质1.能够根据正弦函数的图像总结正弦函数所具有的性质.
2.理解正弦函数图像的对称性,会求正弦函数的最小正周期和单调区间.
3.能根据正弦函数的性质解决与之相关的一些简单的问题.正弦函数的性质 名师点拨正弦函数y=sin x的图像的对称轴为直线
并且对称轴与正弦曲线的交点的纵坐标是正弦函数的最值;对称中心为(kπ,0)(k∈Z),正弦曲线与x轴的交点均是正弦曲线的对称中心.
正弦函数y=sin x,x∈R图像的对称轴是垂直于x轴,且经过图像的最高点或最低点的直线,相邻两对称轴之间的距离为半个周期.【做一做1】 已知函数y=sin x,x∈R,则下列说法不正确的是( )
A.定义域是R
B.最大值与最小值的和等于0
D.最小正周期是2π
答案:C【做一做2】 函数y=9-sin x的递增区间是( )
解析:y=9-sin x的递增区间与y=sin x的递减区间相同.
答案:B
【做一做3】 下列函数是偶函数的是( )
A.y=sin x B.y=-2sin x
C.y=1+sin x D.y=|sin x|
答案:D题型一题型二题型三题型四 【例1】 求下列函数的定义域:
分析:使函数解析式在实数范围内有意义的自变量的取值集合就是定义域.题型一题型二题型三题型四解:(1)由sin x≥0,
得该函数的定义域为{x|2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z}. 反思1.要注意sin x的符号.
2.要使sin x>0和9-x2≥0同时成立,取公共部分时,可借助数轴求解.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四分析借助换元法转化为二次函数的值域问题. 题型一题型二题型三题型四反思求形如y=Asin x+b和y=Asin2x+Bsin x+C的函数的最值,可利用换元法,结合正弦函数的值域,转化为求常见的函数(如一次函数、二次函数)的最值.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思求复合函数的单调区间时,要先求定义域,同时还要注意内层、外层函数的单调性.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】 求函数y=sin(-2x)的递增区间. 解∵y=sin(-2x)=-sin 2x,
∴求函数y=sin(-2x)的递增区间,只需求函数y=sin 2x的递减区间即可.题型一题型二题型三题型四123451已知A={x|y=sin x},B={y|y=sin x},则A∩B等于 ( )
A.{y=sin x} B.{x|-1≤x≤1}
C.{x|x=2π} D.R
解析:A=R,B={y|-1≤y≤1},
则A∩B={y|-1≤y≤1}.
答案:B123452.函数f(x)=1+sin x的最小正周期是( )
答案:D123453.设f(x)=1-asin x(a为非零常数),则函数f(x)的最大值为 ,此时自变量x的取值集合为 .?1234512345分析利用正弦函数的单调性,转化到同一单调区间内进行比较. 课件24张PPT。§6 余弦函数的图像与性质1.能由正弦函数的图像变换得到余弦函数的图像.
2.掌握余弦函数的图像与性质.
3.能够利用余弦函数的图像与性质解决一些简单的问题.121.余弦函数的图像 12【做一做1-1】 从函数y=cos x,x∈[0,2π]的图像来看,满足
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
答案:C【做一做1-2】 在区间[0,2π]内,函数y=cos x图像的五个关键点是 .?122.余弦函数的性质 12名师点拨余弦函数y=cos x的图像的对称轴为直线x=kπ(k∈Z),并且对称轴与余弦曲线的交点的纵坐标是余弦函数的最值;对称中心
余弦曲线与x轴的交点均是余弦曲线的对称中心.相邻两对称轴(或对称中心)间的距离为半个周期.12【做一做2-1】 函数f(x)=-cos x,x∈R是( )
A.最小正周期为π的偶函数
B.最小正周期为π的奇函数
C.最小正周期为2π的偶函数
D.最小正周期为2π的奇函数
解析:最小正周期为2π,因为f(-x)=-cos(-x)=-cos x=f(x),所以f(x)是偶函数.
答案:C【做一做2-2】 函数y=2cos x-3的递增区间是 .?
解析:函数y=2cos x-3的递增区间就是y=cos x的递增区间.
答案:[2kπ-π,2kπ](k∈Z)题型一题型二题型三题型四分析:(1)函数y=cos x在区
求其值域可利用函数y=cos x的图像.
(2)转化为求二次函数的最大值、最小值问题.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思形如y=acos2x+bcos x+c(a≠0)的函数的最值问题,常利用二次函数的思想转化成在给定区间[m,n]上二次函数最值的问题.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四分析直接利用奇函数、偶函数的定义判断函数的奇偶性. 题型一题型二题型三题型四反思判断函数的奇偶性时,应先确定函数的定义域的对称性,再化简,最后根据定义判断.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四 【例3】 求下列函数的单调区间:
分析:灵活运用y=cos x的单调性求解.
解:(1)令u=cos x,则y=-2cos x+3是由y=-2u+3和u=cos x复合而成的,而y=-2u+3在R上是减少的,故y=-2cos x+3的递增区间为[2kπ,2kπ+π](k∈Z),递减区间为[2kπ+π,2kπ+2π](k∈Z).题型一题型二题型三题型四反思记准y=cos x的单调区间及复合函数的单调性规律是求解此类问题的关键.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四123451.函数y=-cos x在区间[-π,π]上( )
A.是增加的
B.是减少的
C.先是增加的后是减少的
D.先是减少的后是增加的
答案:D6123452.函数y=2cos x+1的最大值、最小值分别是( )
A.2,-2 B.3,-1 C.1,-1 D.2,-1
解析:当x=2kπ(k∈Z)时,cos x=1,ymax=3;
当x=2kπ+π(k∈Z)时,cos x=-1,ymin=-1.
答案:B6123456答案:B 123456答案:1 1234561234566用五点法画函数y=1-cos x(0≤x≤2π)的简图. 课件27张PPT。§7 正切函数7.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的图像与性质1.理解正切函数的定义,掌握正切函数的符号规律.
2.了解正切线的作法.
3.掌握正切函数的图像与性质,并能运用图像与性质求解一些简单问题.123 1.正切函数
名师点拨tan α只与角α的大小有关,与点P的位置无关;tan α是一个整体,离开α的tan是没有意义的,它表示一个比值,而不是tan与α的积.123如图: 123答案:A
【做一做1-2】 若角α满足sin αtan α<0,则角α是第 象限角.?
答案:二或三1232.正切线
如图,单位圆与x轴的非负半轴交于点A,过点A作x轴的垂线,与角α的终边或终边的延长线相交于点T,则线段AT叫作角α的正切线.当角α的终边在y轴上时,角α的正切线不存在.123【做一做2-1】 已知角α的正切线是单位长度的有向线段,则角α的终边( )
A.在x轴上
B.在y轴上
C.在直线y=x上
D.在直线y=x或y=-x上
解析:由题意,可知tan α=±1,故角α的终边在直线y=x或y=-x上.
答案:D【做一做2-2】 利用正切线比较大小:tan 2 tan 3.?
答案:<1233.正切函数的图像和性质 123123123123【做一做3-1】 已知直线y=a与函数y=tan x的两条渐近线的交点分别为A,B,则|AB|的最小值是 .?
答案:π题型一题型二题型三题型四【例1】 设P(-3t,-4t)是角α终边上不同于原点的一点,求角α的各三角函数值.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四【变式训练1】 已知角α的终边落在直线2x+3y=0上,求tan α的值. 题型一题型二题型三题型四 【例2】 解不等式tan x≥-1.
分析:作出y=tan x的图像(一个周期内)→由图像得出x的范围(一个周期内)→推广到整个定义域,从而得解集解: 题型一题型二题型三题型四反思正确地画出正切函数在一个周期内的图像是解题的关键,通过图像解题,更加直观.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】 观察正切曲线,解不等式tan x>1. 题型一题型二题型三题型四 【例3】 求函数y=loga(tan x)的单调区间.
分析结合y=tan x的单调性求解.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四123451.已知点P(tan α,cos α)在第三象限,则角α是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析:由点P(tan α,cos α)在第三象限,得tan α<0,cos α<0,所以角α是第二象限角.
答案:B12345答案:C 123453.关于正切函数y=tan x,下列判断中不正确的是( )
A.是奇函数
B.在定义域内无最大值和最小值
C.在整个定义域上是增加的
D.平行于x轴的直线被正切曲线各支所截线段相等
答案:C12345123455.已知tan α=2,利用三角函数的定义求sin α和cos α的值.
分析:在角α的终边上取一点P(a,2a),其中a≠0.利用三角函数的定义可求sin α和cos α.注意要对α所在的象限分类讨论.课件21张PPT。7.3 正切函数的诱导公式1.掌握正切函数的诱导公式.
2.能够利用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明.正切函数的诱导公式
(1)tan(α+2π)=tan α;
(2)tan(-α)=-tan α;?
(3)tan(2π-α)=-tan α;?
(4)tan(π-α)=-tan α;
(5)tan(π+α)=tan α;?名师点拨1.-α,π±α,2π-α,2π+α的三角函数值等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.为了便于记忆,可以说成“函数名不变,符号看象限”.
的三角函数值等于α的异名三角函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号,也可以说成“函数名改变,符号看象限”.
3.α可以为使等式两边都有意义的任意角.答案:A 题型一题型二题型三题型四分析利用诱导公式化简. 反思利用诱导公式主要是进行角的转化,可以达到统一角的目的.利用诱导公式化简,就是将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数,即“负化正,大化小,化到锐角再计算”.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四分析利用诱导公式将式子中的各三角函数值均化为锐角的正切值后,再求值.反思此类题目的求解过程是先化为锐角(特殊角)的正切值,再求值.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】 求值:tan 10°+tan 50°+tan 130°+tan 170°.
解:tan 10°+tan 50°+tan 130°+tan 170°=tan 10°+tan 50°+tan(180°-50°)+tan(180°-10°)=tan 10°+tan 50°-tan 50°-tan 10°=0.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四分析先利用诱导公式转化为同一个单调区间上两个角的正切值,再比较大小.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四A.m>n B.m=n
C.mA.tan(π+α)=-tan α
B.tan(π-α)=tan α
C.tan(-α)=-tan α
D.tan(2π-α)=tan α
答案:C123452.若tan(π+α)=3,则tan(π-α)的值为( )
答案:B123453.若α和β的终边关于原点对称,则下列各式中正确的是 ( )
A.sin α=sin β B.cos α=cos β
C.tan α=tan β D.sin α=cos β
解析:∵α=β+(2k+1)π(k∈Z),∴sin α=-sin β,cos α=-cos β,tan α=tan β.
答案:C12345答案:cos2α 12345课件25张PPT。§8 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质第1课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换1.掌握由y=sin x到y=Asin(ωx+φ)的图像变换.
2.对比y=sin x和y=Asin(ωx+φ)的图像,理解A,ω,φ对图像的影响.1212 名师点拨ω决定了函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的周期
φ决定了函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的初相(初相φ);
A和b决定了函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的值域和振幅(振幅A,值域[-A+b,A+b]).12122.四种变换画图方法 1212题型一题型二题型三题型四反思函数名不同,要先利用诱导公式将函数名化为相同的,再利用相应变换由函数y=f(x)的图像变换得到函数g(x)=cos ωx的图像.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四答案:B 题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四答案:C
反思根据图像上的点所作的变换得到相应的ω,φ的值,即可确定变换后图像对应的函数解析式.题型一题型二题型三题型四答案:C 题型一题型二题型三题型四分析:由y=sin x的图像变换到y=Asin(ωx+φ)+b的图像有两种变换方法,即先进行相位变换再进行周期变换,或先进行周期变换再进行相位变换.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思在三角函数的图像变换中,先平移变换后伸缩变换与先伸缩变换后平移变换是不一样的,应特别注意.这一变换过程体现了由简单到复杂、由特殊到一般的思想.题型一题型二题型三题型四答案:D 题型一题型二题型三题型四123451.为了得到函数y=sin(x+1)的图像,只需把函数y=sin x的图像上所有的点( )
A.向左平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度
C.向左平移π个单位长度
D.向右平移π个单位长度
答案:A12345123451234512345课件30张PPT。第2课时 函数y=Asin(ωx+φ)的性质1.掌握函数y=Asin(ωx+φ)的性质,并能应用性质求解一些简单问题.
2.掌握函数y=Acos(ωx+φ)的图像及性质.121.函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0)的性质
(1)定义域:x∈R.
(2)值域:y∈[-|A|,|A|].1212答案:1 122.函数y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质
函数y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质可由余弦函数y=cos x的性质类似地得到.
(1)定义域:x∈R.
(2)值域:y∈[-A,A].
(3)单调区间:求形如y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间可以通过解不等式的方法来解答,即把“ωx+φ”视为一个整体,由余弦函数y=cos x的递增(减)区间解出x,即为所求的递增(减)区间.1212答案:C 答案:|a|+1 题型一题型二题型三题型四(1)求f(x)的最大值、最小值及此时相应x的值;
(2)求f(x)的最小正周期、图像的对称轴和对称中心;
(3)函数f(x)的图像至少向左平移多少个单位长度后,所得图像的函数才为偶函数?
分析:运用整体代换思想,借助函数y=sin x的性质进行求解.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思研究三角函数的性质,应先将三角函数化简,化为y=Asin(ωx+φ)+b的形式,然后根据三角函数的图像及其性质求解.在求最值、单调区间、图像的对称轴、对称中心时,要注意运用整体代换的思想,也可用换元法.题型一题型二题型三题型四分析:根据偶函数的性质、图像的对称性和单调性求ω和φ的值.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四 反思求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,可利用整体思想,把(ωx+φ)看成一个整体,利用正弦函数的单调区间来解决.当A<0或ω<0时,要注意原函数的单调性与y=sin x的单调性的关系.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四【例3】
函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的一段图像如图,试确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式.
分析:观察函数图像,振幅A很容易求出,B,C两点应分别相当于“五点法”中的π和2π的位置,可以由待定系数法直接把点的坐标代入求解.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思根据图像求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式的难点在于确定初相φ,其基本方法是利用特殊点,通过待定系数法、逐个确定法或图像变换法求解.题型一题型二题型三题型四分析此类问题可由最值确定A,由周期确定ω,由图像上的点确定φ.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四12345
A.4π,-2 B.4π,2
C.π,2 D.π,-2
答案:B12345答案:A 12345123451234512345课件28张PPT。第3课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质习题课1.掌握函数y=Asin(ωx+φ)图像的作法.
2.掌握函数y=Asin(ωx+φ)的性质.
3.会利用y=Asin(ωx+φ)的图像、性质求解一些简单问题.一二 一、函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的图像的画法
1.五点法
(1)列表如下: (2)描点:在同一平面直角坐标系中(以上表中x,y的值作为点的坐标)描出这五个点;
(3)连线:用光滑的曲线连接这些点,得到一个周期内的图像;
(4)根据函数的周期性,沿x轴延伸得到该函数的图像.2.利用图像变换画函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的图像
根据图像变换画函数图像一般有两种方法:
(1)先平移后伸缩
①画函数y=sin x,x∈[0,2π]的图像;
②将y=sin x的图像沿x轴平移|φ|个单位长度得到函数y=sin(x+φ)的图像;
④将其纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变),得到函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图像;
⑤依据函数的周期性沿x轴延伸得到函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的图像.一二一二一二【做一做1-1】 利用五点法画函数y=5sin(πx+2)的图像时,πx+2取的五个关键值是 .?一二二、函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质 一二一二题型一题型二题型三分析根据图像变换规律求解. 题型一题型二题型三反思求解三角函数图像的变换问题时,应牢记由φ确定图像的左(φ>0)右(φ<0)平移,由ω确定图像的横向伸(0<ω<1)缩(ω>1),由A确定图像的纵向伸(A>1)缩(0(2)求函数f(x)的递增区间;
(3)求函数f(x)图像的对称中心. 12345答案:C 12345答案:A 1234512345答案:C 12345答案:3 12345课件30张PPT。§9 三角函数的简单应用1.了解三角函数是研究周期现象最重要的数学模型.
2.能够建立适当的数学模型,会利用三角函数研究简单的实际问题.建立三角函数模型解决实际问题的思路 名师点拨1.实际问题的背景往往比较复杂,而且需要综合运用多门学科的知识才能完成,因此,在运用数学知识解决实际问题时,应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系,还要调动相关学科的知识来帮助解决问题.
2.实际问题通常涉及复杂的数据,因此,往往需要用到计算器或计算机.【做一做】 将自行车支起来,使后轮能平稳地匀速运动,观察后轮气针的运动规律.若将后轮放入如图的坐标系中,轮胎以角速度ω rad/s做圆周运动,P0是气针的初始位置,气针到原点O的距离为r cm,求气针所在位置对应的点P的纵坐标关于时间t(s)的函数解析式,并求出P的运动周期,当题型一题型二题型三题型四分析:由题意直接运用周期公式求最小正周期T.因为函数图像过点(0,1),这样可得关于φ的关系式,再根据φ的取值范围即可求得φ的值.题型一题型二题型三题型四 反思题目中已给出了简谐运动的模拟函数,可以直接运用三角函数的图像与性质解决简谐运动中的有关问题.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四【例2】 受日月的引力,海水会发生涨落,这种现象叫作潮汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞,卸货后,在落潮时返回海洋.
某港口水的深度y(m)是时间t(0≤t≤24,单位:h)的函数,记作y=f(t),下面是某日水深的数据:
经长期观察,y=f(t)的曲线可以近似地看成函数y=Asin ωt+b的图像.题型一题型二题型三题型四(1)试根据以上数据,求出函数y=f(t)的近似表达式;
(2)一般情况下,船航行时,船底离海底的距离为5 m或5 m以上时认为是安全的(船停靠时,船底只需不碰海底即可).某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5 m,如果该船希望在同一天内安全进出港,请问:它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?
分析:先根据表中数据求出表达式,再列不等式求解,注意t的取值不应超出[0,24]这个区间.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思本题通过观察数据,建立三角函数关系式,求函数自变量的取值范围而获得解决.潮汐规律近似于某种三角函数的图像,应用三角函数的知识解决这样的问题,题目十分新颖.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】 在一个港口,相邻两次涨潮发生的时间相距12 h,落潮时水的深度为8.4 m,涨潮时水的深度为16 m,一次涨潮发生在10月10日4:00.每天涨潮落潮时,水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式
(1)若从10月10日0:00开始计算时间,求近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数解析式;
(2)10月10日17:00该港口的水深约为多少?(保留一位小数)
(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m?题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四 【例3】 单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为
(1)作出它的图像;
(2)单摆开始摆动(t=0)时,离开平衡位置多少厘米?
(3)单摆摆动到最右边时,离开平衡位置多少厘米?
(4)单摆来回摆动一次需要多少时间?题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四 反思跨学科的题目要注意知识间的内在联系,找出问题的本质,转化为数学问题.同时也要注意物理公式的正确使用以及对问题的准确分析.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】 一个悬挂在弹簧上的小球,被从它的静止位置向下拉0.2 m的距离,如图所示,此小球在t=0时被放开并允许振动.如果此小球在1 s后又回到这一位置.
(1)求出描述此小球运动的一个函数解析式;
(2)求当t=6.5 s时小球所在的位置.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四易错点 对y=Asin(ωx+φ)表示的实际意义理解不清而致误
【例4】 弹簧振子以O为平衡位置,在B,C间做简谐运动,B,C相距20 cm,某时刻振子处在B点,经0.5 s振子首次到达C点.求:
(1)振动的振幅、周期和频率;
(2)振子在5 s内通过的路程及这时位移的大小.题型一题型二题型三题型四123451.下图为一简谐振动的图像,则下列判断中正确的是( )
?
A.该质点的振动周期为0.7 s
B.该质点的振幅为5 cm
C.该质点在0.1 s和0.5 s时振动速度最大
D.该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度最大
答案:B123452.某人的血压满足函数解析式f(t)=24sin 160πt+110,其中f(t)(mmHg)为血压,t(min)为时间,则此人每分心跳的次数为( )
A.60 B.70
C.80 D.90
答案:C123453.如图为某简谐运动的图像,这个简谐运动需要 s往复一次.
?
解析:由图像知周期T=0.8-0=0.8,则这个简谐运动需要0.8 s往复一次.
答案:0.812345123455.如图是某地一天从6 h至14 h的温度变化曲线,近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π).
(1)求这段时间的最大温差;
(2)写出这段曲线的函数解析式.12345课件30张PPT。第二章 平面向量§1 从位移、速度、力到向量1.了解向量的物理背景.
2.理解向量的概念、几何意义及向量的表示.
3.初步理解零向量、相等向量、共线向量的概念,并能求解一些简单的向量问题.1231.位移、速度和力
(1)位移、速度和力这些物理量都是既有大小,又有方向的量,物理学中常称为“矢量”.
(2)只有大小没有方向的量是数量.如,长度、面积、质量等.1232.向量的概念
(1)定义:既有大小又有方向的量叫作向量. (2)有向线段:具有方向和长度的线段叫作有向线段.其方向是由
起点指向终点,以A为起点、B为终点的有向线段,名师点拨有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向、长度,它的终点就唯一确定了.123 名师点拨1.向量a的模|a|≥0.
2.向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.
3.向量不能比较大小,这是因为向量是由大小和方向两方面确定的.向量的大小是代数特征,方向是几何特征,向量的模能比较大小,但方向不能比较大小,因此,“大于”“小于”对向量是没有实际意义的.
例如,|a|>|b|,不能记作a>b.123(4)向量的表示法:
①几何表示:用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向;
②字母表示:用一个黑体小写的英文字母表示,或用表示向量的有向线段的起点和终点的字母表示.123【做一做1-1】 有下列各量:①密度;②浮力;③温度;④拉力.其中是向量的为( )
A.①② B.②③
C.②④ D.③④
解析:由向量的概念可知,浮力和拉力是向量,密度和温度是数量.
答案:C
【做一做1-2】 下列说法中正确的是( )
A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的向量可以比较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小
解析:向量的模是数量,可以比较大小.故选D.
答案:D1233.相等向量与共线向量
(1)若表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合,则称这两个向量平行或共线.a与b平行或共线,记作a∥b.我们规定零向量与任一向量平行.
(2)相等向量:长度相等且方向相同的向量,叫作相等向量.向量a与b相等,记作a=b.123 名师点拨1.平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一条直线上,“向量共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义,两个向量共线,它们各自的“基线”重合或平行.
2.向量共线包括四种情况:
方向相同,模相等;方向相同,模不等;
方向相反,模相等;方向相反,模不等.
3.在平面内,相等的向量有无数多个,它们的方向相同且长度相等.相等向量是共线向量,而共线向量不一定是相等向量.123答案:D 123【做一做2-3】 下列命题中错误的是 (只填序号).?
②单位向量都相等;
③若向量a与向量b同向,且|a|>|b|,则a>b;
④若a∥b,b∥c,则a∥c.解析:①不正确.共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即
②不正确.单位向量的模均为1,但方向并不确定;
③不正确.向量既有大小,又有方向,不能比较大小;
④不正确.当向量b=0时,则向量a与向量c不一定平行.
答案:①②③④题型一题型二题型三题型一题型二题型三解析:利用向量、零向量与共线向量的定义进行判断.
答案:①题型一题型二题型三 反思1.向量的模为表示向量的有向线段的长度,与方向无关.
2.若两个向量平行,则它们的方向相同或相反.
3.0是一个向量,且模为0,方向任意,而0是一个数量.
4.数量能比较大小,而向量不能比较大小.题型一题型二题型三【变式训练1】 判断下列命题是否正确,并简述理由.
(1)若a=b,b=c,则a=c;
(2)在四边形ABCD中
(3)模为0的向量方向不确定;
(4)若|a|=|b|,且a∥b,则a=b.题型一题型二题型三题型一题型二题型三【例2】
如图,△ABC的三边均不相等,AC,AB,BC的中点分别是点E,F,D.在以A,B,C,D,E,F为起点或终点的向量中,
分析解答本题可先找出图中长度相等的线段以及互相平行的线段,再根据相等向量、共线向量的定义求解.题型一题型二题型三反思在平面图形中找相等向量、共线向量时,首先要注意利用平行四边形的性质、三角形的中位线定理等平面几何知识分析平面图形中线段相等、平行的关系,然后判断向量相等、平行.题型一题型二题型三题型一题型二题型三【例3】 一辆汽车从点A出发向西行驶了100 km到达点B,然后又改变方向向西偏北50°行驶了200 km到达点C,最后又改变方向,向东行驶了100 km到达点D.题型一题型二题型三反思在实际问题中准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,最后根据向量的大小确定向量的终点.题型一题型二题型三题型一题型二题型三123451.下列说法中正确的是( )
A.平行向量就是向量所在的直线平行的向量
B.方向相同的向量叫相等向量
C.零向量的长度为零
D.若a≠b,则a一定不与b共线
答案:C12345答案:D 1234512345答案:菱形 123455.在图中的方格纸上(每个小方格的边长均为1),已知向量a.
(1)试以B为起点画一个向量b,使b=a;
(2)画一个以C为起点的向量c,使|c|=2,并说出c的终点的轨迹是什么.12345解:(1)根据相等向量的定义,所作向量应与a平行,且长度相等,如图.
(2)由平面几何知识可作出满足条件的向量c.所有这样的向量c的终点的轨迹是以C为圆心,2为半径的圆,如图.课件27张PPT。§2 从位移的合成到向量的加法2.1 向量的加法1.掌握向量加法运算的含义,并理解其几何意义.
2.理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则,并能运用加法法则求两个向量的和.
3.掌握向量加法的交换律和结合律.1231.向量的加法的定义
求两个向量和的运算,叫作向量的加法,两个向量的和仍然是一个向量.123123名师点拨三角形法则与平行四边形法则的区别与联系:
区别:(1)三角形法则中强调的是“首尾相连”,平行四边形法则中强调的是“共起点”.
(2)三角形法则适用于所有的非零向量求和,而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和.
联系:平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的.这两种求向量和的方法,通过向量平移能相互转化,解决具体问题时视情况而定.123拓展:(1)向量加法的多边形法则:n个向量经过平移,顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合,组成一向量折线,这n个向量的和等于折线的起点到终点的向量.这个法则叫作向量加法的多边形法则.多边形法则的实质就是三角形法则的连续应用.
(2)向量加法的几何意义:三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义.123答案:C 【做一做1-2】 已知向量a∥b,且|a|>|b|>0,则向量a+b的方向( )
A.与向量a的方向相同
B.与向量a的方向相反
C.与向量b的方向相同
D.与向量b的方向相反
答案:A123答案:B 1233.向量加法的运算律
(1)交换律:a+b=b+a;
(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c).
名师点拨向量的加法满足交换律和结合律,其和仍然是一个向量,它的几何表示形式可以由向量加法的三角形法则或平行四边形法则得到,因此,其意义与实数不同.答案:C 123题型一题型二题型三【例1】 如图,已知a和b,求作a+b.
分析:用三角形法则和平行四边形法则均可作出.
解:(方法一)(三角形法则)如图①,题型一题型二题型三反思用三角形法则作两向量的和时,要注意保证两向量“首尾相接”;用平行四边形法则作两向量的和时,要注意保证两向量有公共起点.题型一题型二题型三【变式训练1】 设向量a表示“向西走2 km”,向量b表示“向北走2 km”,则向量a+b表示向哪个方向行走了多远?题型一题型二题型三题型一题型二题型三 分析可根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连,再利用向量加法的结合律求和.题型一题型二题型三 反思1.三角形法则强调“首尾相接”,平行四边形法则强调“起点相同”.
2.当两个向量不共线时,向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的.当两个向量共线时,平行四边形法则不再适用.
3.向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义.题型一题型二题型三答案:C 题型一题型二题型三【例3】
如图,在重力为300 N的物体上拴两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分别为30°,60°,求当整个系统处于平衡状态时,两根绳子拉力的大小.题型一题型二题型三题型一题型二题型三反思解决与向量有关的实际应用题,应按照如下步骤解题:
弄清实际问题→数学问题→正确画出图形→用向量表示实际量→向量运算→回代实际问题→作出解答题型一题型二题型三【变式训练3】 一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,船实际航行方向与水流方向成30°角,求水流速度和船的实际速度.12345答案:D 12345答案:D 12345①a∥b;
②a+b=a;
③a+b=b;
④|a+b|<|a|+|b|.
A.①② B.③④ C.②④ D.①③
解析:由向量加法的交换律、结合律及三角形法则,得a=0.由向量的性质可知②④错误,①③正确.
答案:D123454.
如图,根据图形填空.
(1)a+b= ;?
(2)c+d= ;?
(3)a+b+d= ;?
(4)a+b+d+e+g= .?
答案:(1)c (2)f (3)f (4)012345课件27张PPT。2.2 向量的减法1.了解相反向量的含义,掌握向量的减法运算,会利用向量减法的三角形法则表示两个向量的差.
2.理解向量的减法要结合图形,通过相反向量揭示向量加、减法之间的内在联系,并通过对向量加法的三角形法则的理解来学习向量减法的三角形法则.
3.能进行向量加、减法的混合运算.121.相反向量
(1)定义:如果两个向量的长度相等,而方向相反,那么称这两个向量互为相反向量.a的相反向量记为-a,规定:零向量的相反向量仍是零向量.
(2)性质:①对于相反向量,有a+(-a)=(-a)+a=0.
②若a,b互为相反向量,则a=-b,b=-a,a+b=0.
【做一做1-1】 下列各式中不正确的是( )
A.a-b=b-a B.0-a=-a
C.-(-a)=a D.a+(-a)=0
答案:A12【做一做1-2】 已知a,b分别表示“方向向南,大小为5 m/s的风速”“竖直向上,大小为10 N的力”,请说明向量-a,-b的意义.
解:-a表示方向向北,大小为5 m/s的风速;-b表示竖直向下,大小为10 N的力.122.向量的减法 1212答案:A 答案:13 题型一题型二题型三题型四分析任选起点→平移向量→共起点,连终点→方向指向被减向量题型一题型二题型三题型四反思应用三角形法则进行向量减法运算时,必须平移向量使之共起点,则终点与终点所确定的向量就是两个向量的差向量,此时差向量的方向指向被减向量的终点.对于多个向量的减法运算,一般通过两两相减依次运算.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】 若本例中的向量a,b,c不变,求作(a-b)-(b-c).
解:(a-b)-(b-c)=a-b-b+c.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四 反思向量的加、减法运算有如下方法:
(1)利用相反向量统一成加法(相当于代数和);
(3)辅助点法:利用向量的定义将所有向量转化为以某一确定点为起点的向量,使问题转化为有共同起点的向量问题.
另外,应用向量减法的三角形法则,需注意“共起点”的条件.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四答案:a+c-b 题型一题型二题型三题型四反思用已知向量表示其他向量的基本方法和步骤:第一步,观察各向量的位置;第二步,寻找或构造相应的平行四边形或三角形;第三步,运用法则找关系;第四步,化简结果.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四 【例4】 已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,|a-b|=2,求|a+b|.
分析:明确a-b与a+b的几何意义,通过解直角三角形求得结果.题型一题型二题型三题型四反思恰当地构造相关图形,灵活地运用向量的几何性质,才能正确求解未知量.题型一题型二题型三题型四分析此题可用三角不等式直接求解,也可分类讨论求解. 解(方法一)由||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,得|a+b|max=|a|+|b|=4+6=10,此时a与b同向;
|a+b|min=||a|-|b||=|4-6|=2,此时a与b反向.
(方法二)(1)当a,b不共线时,连接O,A,B三点所得线段可构成三角形.由三角形中两边之和大于第三边及两边之差小于第三边可得2<|a+b|<10.
(2)当a,b共线时,要分同向和反向两种情况来看:若向量a,b同向,则|a+b|=10;若向量a,b反向,则|a+b|=2.
综上(1)(2)可得,|a+b|的最大值为10,最小值为2.123451.设b是a的相反向量,则下列说法错误的是( )
A.a与b的长度相等 B.a∥b
C.a与b一定不相等 D.a是b的相反向量
答案:C12345答案:D 12345答案:D 12345123455.
如图,已知正方形ABCD的边长等于1,
(1)作a-b+c,并求|a-b+c|;
(2)作a-b-c,并求|a-b-c|.
分析:由于a-b±c=(a-b)±c,故可先作a-b,再作(a-b)±c,最后利用向量模的定义求解.1234512345课件30张PPT。§3 从速度的倍数到数乘向量3.1 数乘向量1.通过实例,掌握数乘向量的定义,并理解其几何意义.
2.了解向量的线性运算及其几何意义.
3.了解向量共线的判定定理和性质定理,并能灵活运用.123 1.向量的数乘
(1)定义:一般地,实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫作向量的数乘,记作λa.
(2)规定:|λa|=|λ||a|,当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0,方向任意. 名师点拨1.实数与向量可以进行数乘运算,但不能进行加减运算,如λ+a,λ-a无法运算.
3.λa=0?λ=0或a=0.123(3)几何意义:将表示向量a的有向线段伸长或缩短.当|λ|>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的|λ|倍;当|λ|<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的|λ|.123A.0 B.1 C.2 D.-2
答案:C答案:2 1232.向量数乘的运算律
设a,b为向量,λ,μ为实数,向量的数乘运算满足下列运算律:
(1)λ(μa)=(λμ)a;
(2)(λ+μ)a=λa+μa;
(3)λ(a+b)=λa+λb.123【做一做2-1】 下列叙述中不正确的是( )
A.λ(μa)=(λμ)a(λ,μ∈R)
B.(λ+μ)a=λa+μa(λ,μ∈R)
C.λ(a+b)=λa+λb(λ∈R)
D.λa和a的方向与λ无关(λ∈R)
解析:当λ>0时,λa与a的方向相同;当λ<0时,λa与a的方向相反;当λ=0时,λa=0,方向任意.
答案:D123【做一做2-2】 有下列四个命题:①对于实数m和向量a,b,恒有m(a-b)=ma-mb;②对于实数m,n和向量a,恒有(m-n)a=ma-na;③若ma=mb(m∈R),则有a=b;④若ma=na(m,n∈R),则m=n.其中正确命题的序号为 .?
解析:由向量数乘的运算规律知,命题①②正确;命题③当m=0时也成立,故③错误;命题④当a=0时也成立,故④错误.
答案:①②1233.向量共线的定理
(1)判定定理:a是一个非零向量,若存在一个实数λ,使得b=λa,则向量b与非零向量a共线.
(2)性质定理:若向量b与非零向量a共线,则存在一个实数λ,使得b=λa.123 名师点拨1.向量共线的条件:当向量a=0时,a与任一向量b共线;当向量a≠0时,对于向量b,如果有一个实数λ,使得b=λa,那么由实数与向量的积的定义知b与a共线.
反之,已知向量b与a(a≠0)共线,且向量b的长度是向量a的长度的λ倍,即|b|=λ|a|,那么当b与a同方向时,b=λa,当b与a反方向时,b=-λa.
3.如果向量a与b不共线,且λa=μb,那么λ=μ=0.123【做一做3-1】 已知向量a=e1+2e2,b=2e1-e2,则a+2b与2a-b( )
A.一定共线 B.一定不共线
C.仅当e1与e2共线时共线 D.仅当e1=e2时共线
解析:由a+2b=5e1,2a-b=5e2可知,当且仅当e1与e2共线时,a+2b与2a-b共线.
答案:C【做一做3-2】 已知向量a=2e1+3e2,b=-e1+2e2,其中e1和e2是不共线向量,且ma+b与a-2b平行,则实数m= .?
解析:ma+b=(2m-1)e1+(3m+2)e2,a-2b=4e1-e2,题型一题型二题型三题型四 【例1】 已知a,b为两个非零向量,试判断下列说法的正误,并说明理由.
(1)2a与a的方向相同,且2a的模是a的模的2倍;
(3)-2a与2a是一对相反向量;
(4)a-b与-(b-a)是一对相反向量.
分析:对于数乘向量的运算,要把握好方向,任意实数λ与任意向量a的乘积λa仍是向量.另外,弄清楚数乘向量的模之间的关系是判断本题的关键.题型一题型二题型三题型四解:(1)正确.
∵2>0,∴2a与a的方向相同,且|2a|=2|a|.
(2)正确.
∵5>0,∴5a与a的方向相同,且|5a|=5|a|.
而-2<0,∴-2a与a的方向相反,且|-2a|=2|a|.
(3)正确.根据相反向量的定义可以判断.
(4)错误.
∵-(b-a)与b-a是一对相反向量,
而a-b与b-a是一对相反向量,
∴a-b与-(b-a)为相等向量.题型一题型二题型三题型四反思解决此类问题时,首先要意识到数乘向量的结果仍是向量,然后要明确判断两个向量的关系,应从两个方面入手:一是方向;二是长度.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】 已知λ,μ∈R,且a≠0,则在以下各命题中,正确命题的个数为( )
①当λ<0时,λa与a的方向一定相反;
②当λ>0时,λa与a的方向一定相同;
③当λ≠0时,λa与a是共线向量;
④当λμ>0时,λa与μa的方向一定相同;
⑤当λμ<0时,λa与μa的方向一定相反.
A.2 B.3 C.4 D.5
解析:根据实数λ与向量a的积λa的方向的规律易知①②③都是正确的;对于④,由λμ>0可得λ,μ同为正或同为负,所以λa和μa或者都与a同向,或者都与a反向,所以λa和μa是同向的,所以④正确;对于⑤,由λμ<0可得λ,μ异号,所以λa和μa是反向的,所以⑤是正确的.故选D.
答案:D题型一题型二题型三题型四分析:利用向量的加法、减法及向量的数乘运算法则、运算律计算.题型一题型二题型三题型四反思数乘向量的运算律在形式上与实数的加、减法与乘法满足的运算律类似(当然向量的运算与实数的运算在具体含义上是不同的).因此,在实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形技巧在向量的线性运算中都可以使用.在去括号时,要注意符号的变化.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】 计算:(1)(-7)×6a;(2)4(a+b)-3(a-b)-8a.
解:(1)(-7)×6a=(-7×6)a=-42a.
(2)4(a+b)-3(a-b)-8a=4a+4b-3a+3b-8a=4a-3a-8a+4b+3b=-7a+7b题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四(2)解∵ka+b与a+kb共线,且a+kb≠0,
∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),即ka+b=λa+λkb.
∴(k-λ)a=(λk-1)b.
∵a,b是不共线的两个非零向量,
∴k-λ=λk-1=0.∴k2-1=0.∴k=±1.题型一题型二题型三题型四反思1.证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系.当两个向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.
2.要注意当两个向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,要注意待定系数法的运用和方程思想的运用.题型一题型二题型三题型四(2)解∵a与b是共线向量,且b≠0,∴a=λb,
∴2e1-e2=λ(ke1+e2),∴(2-λk)e1+(-1-λ)e2=0.
又e1,e2不共线,∴2-λk=0,-1-λ=0,∴k=-2.
故实数k的值为-2.题型一题型二题型三题型四 易错点 未正确理解向量共线定理而致误
【例4】 判断向量a=-2e,b=4e是否共线.
错解:∵a=-2e,b=4e,∴b=-2a.
∴存在实数-2,使b=-2a,∴a与b共线.
错因分析:上述解法不全面,出现这种情况的原因是对向量共线的判定定理理解不透彻,忽略了对e的讨论.
正解:当e=0时,a=0,b=0,∴a与b共线.
当e≠0时,∵b=-2a,∴存在唯一的实数-2,使b=-2a.
∴a与b共线.
综上所述,a与b共线.123456答案:B 123452.已知λ,μ∈R,则下面的结论中正确的是( )
A.λa与a同向 B.0a=0
C.λa+μa=(λ+μ)a D.若b=λa,则|b|=λ|a|
答案:C6123456答案:C 123456123456答案:-8 123456课件19张PPT。3.2 平面向量基本定理1.了解平面向量基本定理及其意义,能运用它解决有关问题.
2.理解基底的意义,会用基底表示向量. 平面向量基本定理
如果e1,e2(如图①)是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,存在唯一一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2(如图②),其中不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.名师点拨1.作为基底的两个向量不共线.可以在平面内任取两个不共线向量作为基底,因此,基底有无数多组.对于同一组基底来说,它表示平面内某个向量的方式是唯一的.
2.作为基底的两个向量一定都是非零向量.
3.平面向量基本定理实质上就是向量线性运算知识的推广和延伸,即平面内任一向量a都可以分解成该平面内两个不共线向量e1,e2的唯一线性组合形式λ1e1+λ2e2(λ1,λ2为实数).【做一做1】 已知?ABCD,则下列各组向量可以作为该平面内所有向量基底的是( )
答案:D题型一题型二题型三【例1】 设a,b不共线,c=2a-b,d=3a-2b,试判断c,d能否作为基底.
解:假设存在λ∈R,使得c=λd,
则2a-b=λ(3a-2b),即(2-3λ)a+(2λ-1)b=0.
∵a,b不共线,
这样的λ是不存在的,从而c,d不共线,
故c,d能作为基底. 反思平面向量基本定理中强调:e1,e2是两个不共线的向量,所以e1,e2能作为基底就必须满足e1,e2不共线.题型一题型二题型三【变式训练1】 已知向量a,b是两个非零向量,给出以下四个条件:①2a-3b=4e,且a+2b=-3e;②存在不相等的实数λ,μ,使λa+μb=0;③xa+yb=0(其中x+y=0);④已知梯形ABCD,
(AB,CD为腰).其中能判定a,b一定可以作为基底的条件有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个题型一题型二题型三答案:A 题型一题型二题型三题型一题型二题型三反思若不能直接通过向量的加法、减法及数与向量的积确定向量分解式中的实数对,也可引进参数,利用“表示方法的唯一性”确定参数,从而进一步确定向量分解式中的实数对.题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型一题型二题型三易错点 对基底的概念理解不到位而致误
【例3】 已知e1,e2为平面内向量的一组基底,λ∈R,a=e1+λe2,b=2e1,则a与b共线的条件为( )
A.λ=0 B.e2=0
C.e1∥e2 D.e1∥e2或λ=0
错解:当e1∥e2或λ=0时,a∥b,故选D.
错因分析:对基底的概念理解不到位,忽视了作为基底的两个向量不共线这个条件.
正解:因为a∥b,e1,e2为基底,所以λ=0,故选A.
答案:A123451.已知下面三种说法:
①一个平面内只有一对不共线的向量可以作为表示该平面所有向量的基底;
②一个平面内有无数多对不共线的向量可以作为该平面所有向量的基底;
③零向量不可以作为基底中的向量.
其中说法正确的是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
解析:平面内向量的基底不唯一,在同一平面内,任一组不共线的向量都可以作为基底;而零向量与任何向量共线,故不可以作为基底中的向量,故选②③.
答案:B12345答案:B 12345答案:2 123454.设e1,e2是不共线的两个向量,给出下列四组向量:
①e1与e1+e2;②e1-2e2与e2-2e1;③e1-2e2与4e2-2e1;④e1+e2与e1-e2.
其中,不能作为平面内所有向量的一组基底的是 (写出满足条件的序号).?
所以e1+e2与e1不共线,故e1与e1+e2可以作为平面内向量的一组基底;
同理,可得②④中的两个向量不共线,可以作为平面内向量的一组基底;
③中的两个向量共线,不可以作为平面内向量的一组基底.
答案:③12345课件30张PPT。§4 平面向量的坐标1.掌握平面向量的正交分解及坐标表示方法,会用有序实数对表示向量的坐标.
2.会用坐标表示平面向量的加法、减法及数乘向量的运算.
3.掌握向量平行的坐标表示,并能灵活求解有关问题.123 1.平面向量的坐标表示
(1)平面向量的坐标
在平面直角坐标系中,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.对于平面内的任意向量a,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj,我们把实数对(x,y)叫作向量a的坐标,记作a=(x,y).
(2)向量与坐标的关系
①在全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间可以建立
一一对应关系.因此在直角坐标系中,点或向量都可以看作
有序实数对的直观形象.
②在解决很多问题时,常常需要把自由向量移到原点,我们把向123 名师点拨1.有序实数对(x,y)在平面直角坐标系中有了双重意义,它既可以表示一个点,也可以表示一个向量.注意把点的坐标与向量的坐标区分开来.
2.相等向量的坐标是相同的,但其起点、终点的坐标可以不同.
3.在平面直角坐标系内,如果向量的起点不在原点,可以将其平移到以原点为起点的位置上,再根据平移后的终点坐标写出这个向量的坐标.也可以用终点相应坐标减去起点相应坐标,就得到了向量的坐标.123 A.(-2,3) B.(-2,-2) C.(3,3) D.(3,-2)
答案:AA.点A的坐标是(-2,4)
B.点B的坐标是(-2,4)
C.当点B是原点时,点A的坐标是(-2,4)
D.当点A是原点时,点B的坐标是(-2,4)
解析:由任一向量的坐标的定义可知,当点A是原点时,点B的坐标是(-2,4).
答案:D1232.平面向量线性运算的坐标表示 123【做一做2-1】 若向量a=(3,2),b=(0,-1),则向量2b+a的坐标是( )
A.(3,-4) B.(-3,4) C.(3,0) D.(-3,-4)
解析:2b+a=(0,-2)+(3,2)=(3,0).
答案:C答案:B 1233.向量平行的坐标表示
若两个向量(与坐标轴不平行)平行,则它们相应的坐标成比例.
定理:若两个向量相对应的坐标成比例,则它们平行.
向量平行(共线)的两种表达形式:
(1)几何形式:a∥b(b≠0)?a=λb(λ∈R,b≠0);
(2)坐标形式:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),a∥b?x1y2-x2y1=0.向量平行的坐标特点可以简记为:两向量的横纵坐标交叉之积的差为0.【做一做3-1】 下列向量与a=(1,3)共线的是( )
A.b=(1,2) B.c=(-1,3)
C.d=(1,-3) D.e=(2,6)
答案:D123【做一做3-2】 已知向量a=(1,1),b=(2,x).若a+b与4b-2a平行,则实数x的值是( )
A.-2 B.0 C.1 D.2
解析:a+b=(3,1+x),4b-2a=(6,4x-2).
∵(a+b)∥(4b-2a),∴3(4x-2)-(1+x)·6=0.
∴x=2.
答案:D题型一题型二题型三题型四 【例1】 已知边长为2的正三角形ABC,顶点A在坐标原点,AB边在x轴上,点C在第一象限,点D为AC的中点。
分析:表示出各点的坐标→用终点的相应坐标减去始点的相应坐标→相应向量的坐标
解:如图,正三角形ABC的边长为2,则顶点A(0,0),B(2,0),C(2cos 60°,2sin 60°),即题型一题型二题型三题型四反思1.向量的坐标等于其终点的相应坐标减去始点的相应坐标,只有当向量的始点在坐标原点时,向量的坐标才等于终点的坐标.
2.求向量的坐标一般转化为求点的坐标,解题时常常结合几何图形,利用三角函数的定义和性质进行计算.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四 反思向量的加减法及实数与向量的乘积都可以用坐标来进行运算,使得向量运算完全代数化,数与形紧密地结合起来.具体方法主要有:
(1)直接法:即直接利用向量的坐标运算公式进行坐标运算.
(2)方程法:先设出我们所要求的向量的坐标,再通过列方程(组)求出坐标.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】
如图,已知A(-2,1),B(1,3),求线段AB的中点M和三等分点P,Q的坐标.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思一般是利用向量的坐标运算求出需要判断的向量,并根据两个向量平行的坐标表示来判断或证明向量是否平行.即先求出a=(x1,y1),b=(x2,y2),若题型一题型二题型三题型四【变式训练3】 设点A,B,C,D的坐标依次是(-1,0),(0,2),(4,3),(3,1),则四边形ABCD为( )
A.正方形 B.矩形
C.菱形 D.平行四边形答案:D 题型一题型二题型三题型四【例4】 已知a=(1,0),b=(2,1),当实数k为何值时,向量ka-b与a+3b平行?它们是同向还是反向?
分析先用坐标表示向量ka-b与a+3b,再由向量平行的坐标表示求出k的值. 反思解决向量共线的问题时,常常根据向量平行的坐标表示,将向量间的平行关系转化为坐标间的数量关系来求解.题型一题型二题型三题型四解析:(方法一)∵a=(1,2),b=(λ,1),
∴a+2b=(1,2)+2(λ,1)=(1+2λ,4),2a-2b=2(1,2)-2(λ,1)=(2-2λ,2).
∵(a+2b)∥(2a-2b),题型一题型二题型三题型四答案:A 题型一题型二题型三题型四 错因分析无论两向量所在的直线平行还是重合,两向量都是平行的,但若两线段平行,则它们所在的直线必不重合.12345答案:D 123452已知a=(2,-3),b=(4,x2-5x),且a∥b,则x=( )
A.2 B.3
C.6 D.2或3
∴x2-5x+6=0,解得x=2或3.
答案:D123453.设向量a=(1,2),b=(2,3),若向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线,则λ= .?
解析:∵λa+b=λ(1,2)+(2,3)=(2+λ,3+2λ),且λa+b与c共线,∴-7(2+λ)=-4(3+2λ),解得λ=2.
答案:2123454.已知e1=(1,2),e2=(-2,3),a=(-1,2),试以e1,e2为基底将a分解成a1e1+a2e2(a1,a2∈R)的形式为 .
解析:设a=a1e1+a2e2(a1,a2∈R),则(-1,2)=a1(1,2)+a2(-2,3)=(a1-2a2,2a1+3a2),12345课件32张PPT。§5 从力做的功到向量的数量积1.通过物理中“功”的实例,理解平面向量数量积的含义及其几何意义、物理意义.
2.掌握平面向量数量积的主要性质及其运算律.
3.体会平面向量的数量积与向量投影的关系,会用平面向量的数量积判断两个平面向量的垂直关系.1234(2)垂直:如果向量a和b的夹角是90°,我们就说向量a与b垂直,记作a⊥b.规定:零向量可与任一向量垂直.
若a与b是非零向量,则a⊥b?a,b所在的直线垂直.(3)投影:|b|cos θ叫作向量b在a方向上的投影数量(简称为投影).?
向量b在a上的投影不是向量而是数量,它的符号取决于角θ的范围.1234名师点拨向量a,b的夹角θ与a,b位置关系的对应如下表: 1234答案:120° 【做一做1-2】 已知向量a,b满足|b|=2,a与b的夹角为60°,则b在a方向上的投影数量是 .?
解析:|b|cos 60°=2×cos 60°=1.
答案:112342.向量的数量积
(1)数量积:已知两个向量a与b,它们的夹角为θ,我们把|a||b|cos θ叫作a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ.?
(2)几何意义:a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cos θ的乘积,或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos θ的乘积.?1234 名师点拨1.两个向量的数量积是一个数量,这个数量的大小与这两个向量的长度及夹角有关.
2.数量积是向量之间的乘法, 它既不同于实数的乘法,也不同于实数与向量的积,它的结果是一个数量,书写时只能写成a·b,不能写成ab或a×b.
3.由向量的数量积的定义式,我们可以得出
它的几何意义是:向量b在向量a方向上的射影|b|cos θ等于向量b和与向量a同向的单位向量的数量积(或内积).1234答案:3 【做一做2-2】 如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC=1,则AB·BC的值是 ( )
A.1 B.-1
C.2 D.-2
答案:B1234【做一做2-3】 已知|a|=4,|b|=6,a与b的夹角为60°,则向量a在向量b方向上的射影是 .?
解析:向量a在向量b方向上的射影是
答案:212343.向量数量积的性质
(1)若e是单位向量,则e·a=a·e=|a|cos θ.?
(2)若a⊥b,则a·b=0;反之,若a·b=0,则a⊥b.通常记作a⊥b?a·b=0.
(5)对任意两个向量a,b,有|a·b|≤|a||b|,当且仅当a∥b时,等号成立.12341234【做一做3-1】 已知向量a,b满足a·b=2,|a|=1,|b|=4,则向量a,b的夹角为( )
答案:C【做一做3-2】 已知向量a与b的夹角为60°,|a|=2,|b|=3,则|a-b|= .?12344.运算律
(1)a·b=b·a;
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb);
(3)a·(b+c)=a·b+a·c.
【做一做4-1】 下列运算中不正确的是( )
A.(a+b)+c=a+(b+c)
B.(a+b)·c=a·c+b·c
C.m(a+b)=ma+mb
D.(a·b)c=a(b·c)
答案:D1234答案:C 题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四 【例2】 已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=4,|b|=2,求:
(1)|a+b|;
(2)|3a-4b|.
分析:利用公式|a|2=a2进行计算.
解:a·b=|a||b|cos θ=4×2×cos 120°=-4.
(1)∵|a+b|2=a2+2a·b+b2=|a|2+2|a||b|cos 120°+|b|2=42+2×(-4)+22=12,题型一题型二题型三题型四(2)∵|3a-4b|2=(3a-4b)2=9a2-24a·b+16b2
=9|a|2-24|a||b|cos 120°+16|b|2
=9×42-24×(-4)+16×22=304,题型一题型二题型三题型四∴a2+2a·b+b2=27,
∴|a|2+2|a||b|cos 120°+|b|2=27,
∴|a|2-3|a|-18=0,
解得|a|=6或|a|=-3(不符合题意,舍去).题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思1.求向量a与b的夹角θ的步骤是:(1)求出a·b,|a|,|b|;(2)代入夹角公式求cos θ;(3)结合θ的范围确定θ.
2.两非零向量a与b的夹角θ与a·b的符号有如下关系:(1)当θ是锐角时,满足a·b>0且向量a与b不共线;(2)当θ是钝角时,满足a·b<0且向量a与b不共线;(3)当θ是直角时,满足a·b=0.此结论可用来判断平面图形的内角是锐角、直角、还是钝角,也可用来求参数.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】 已知a,b是非零向量,且满足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则a与b的夹角θ是( )答案:B 题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四12345答案:B 123452若|a|=1,|b|=2,c=a+b,且c⊥a,则向量a和b的夹角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
解析:∵c⊥a,∴c·a=(a+b)·a=|a|2+a·b=0,
∴a·b=-1.
∵0°≤θ≤180°,∴θ=120°.
答案:C123453.已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=|b|=4,则a·b的值为 .?
解析:a·b=|a||b|cos 120°=-8.
答案:-8123454若|a|=3,|b|=5,且a+λb与a-λb垂直,则λ= .?
解析:因为a+λb与a-λb垂直,所以(a+λb)·(a-λb)=0,即|a|2-λ2|b|2=0,123455.已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ=120°.
(1)求a·b;
(2)求a在b方向上的射影.
分析:已知向量a,b的模及其夹角,求a·b及a在b方向上的射影,解答本题只需依据平面向量数量积的定义及其几何意义即可.课件25张PPT。§6 平面向量数量积的坐标表示1.掌握数量积的坐标表示,会进行平面向量数量积的运算.
2.能运用数量积的坐标表示两个向量的夹角,会用数量积的坐标判断两个平面向量的垂直关系.
3.掌握直线的方向向量及向量的夹角公式.123 1.平面向量数量积的坐标表示
两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和,即向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.45答案:B 12345【做一做2】 已知a=(3,x),|a|=5,则x= .?
答案:±4123 名师点拨1.平面向量a,b的夹角θ∈[0°,180°],注意平角与零度角在问题中的特殊作用.
2.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),若x1x2+y1y2<0,则向量a与b的夹角可能是钝角,也可能是平角.45【做一做3】 已知a=(3,-1),b=(1,-2),则向量a与b的夹角为( )
答案:B123454.两个向量垂直
设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0.
【做一做4】 若向量a=(4,2),b=(6,m),且a⊥b,则m的值是( )
A.12 B.3 C.-3 D.-12
解析:由a⊥b,知a·b=0,
即24+2m=0,解得m=-12.
答案:D123455.直线的方向向量
给定斜率为k的直线l,则向量m=(1,k)与直线l共线,我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量.
名师点拨1.同一条直线有无数个方向向量,且它们共线.
2.直线方向向量的应用:
(1)研究直线的平行;
(2)研究直线间的垂直关系;12345【做一做5】 已知直线l1的一个方向向量为a=(-1,3),直线l2的一个方向向量为b=(1,k),且l2过点(0,5),l1⊥l2,则l2的直线方程为( )
A.x-3y+15=0 B.x-3y+5=0
C.x+3y-5=0 D.x-3y-15=0
解析:∵l1⊥l2,∴a⊥b.∵a=(-1,3),b=(1,k),
即x-3y+15=0.
答案:A题型一题型二题型三题型四【例1】 已知向量a=(1,2),b=(3,4),求a·b,(a-b)·(2a+3b).
分析:(1)利用平面向量数量积的坐标表示可直接求a·b.(a-b)·(2a+3b)可以先展开再求值,也可先求(a-b)及(2a+3b)的坐标,再求值.
解:(方法一)∵a=(1,2),b=(3,4),
∴a·b=1×3+2×4=11,
(a-b)·(2a+3b)=2a2+a·b-3b2=2|a|2+a·b-3|b|2=2×(12+22)+11-3×(32+42)=-54.
(方法二)∵a=(1,2),b=(3,4),∴a·b=1×3+2×4=11.
又a-b=(1,2)-(3,4)=(-2,-2),
2a+3b=2(1,2)+3(3,4)=(11,16),
∴(a-b)·(2a+3b)=(-2)×11+(-2)×16=-54.题型一题型二题型三题型四反思1.涉及向量数量积的坐标表示,一般利用公式a·b=x1x2+y1y2求解,其关键是确定向量a,b的坐标.
2.若题目中涉及图形的数量积运算,则要充分利用两点间的距离公式求出向量的坐标,再由向量的坐标求得数量积.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】 已知向量a与b同向,且b=(1,2),a·b=20.
(1)求向量a的坐标;
(2)若c=(2,1),求(b·c)a.
分析:由a与b同向,可设出向量a的坐标,再由a·b=20列方程,求出向量a的坐标.
解:(1)∵a与b同向,又b=(1,2),
∴可设a=λb=λ(1,2)=(λ,2λ),且λ>0.
又由a·b=20,得1·λ+2·2λ=20,
解得λ=4,∴a=(4,8).
(2)∵b·c=1×2+2×1=4,
∴(b·c)a=4(4,8)=(16,32).题型一题型二题型三题型四 【例2】 (1)已知a+b=(2,-8),a-b=(-8,16),a,b的夹角为θ,则cos θ= ;?
(2)已知a=(1,1),b=(2,-3),若λa-2b与a垂直,则实数λ的值为 .?题型一题型二题型三题型四(2)(方法一)λa-2b=(λ,λ)-2(2,-3)=(λ-4,λ+6),
∵(λa-2b)⊥a?(λa-2b)·a=0,∴(λ-4)+(λ+6)=0,
∴λ=-1.
(方法二)∵(λa-2b)⊥a?(λa-2b)·a=0,
即λa2=2a·b,
∴λ(1+1)=2(1,1)·(2,-3),即2λ=-2,∴λ=-1.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四(2)∵ka+b=(k-1,2k+1),b=(-1,1),
∴(ka+b)·b=(k-1)×(-1)+2k+1=k+2=0,解得k=-2.
答案:(1)C (2)B题型一题型二题型三题型四 【例3】 已知平面向量a=(3,5),b=(-2,1).
(1)求a-2b及其模的大小;
(2)若c=a-(a·b)b,求|c|.
分析:(1)将已知向量的坐标代入运算即可;(2)主要是利用a·b=x1x2+y1y2求得c的坐标,然后求模的大小.
解:(1)∵a=(3,5),b=(-2,1),
∴a-2b=(3,5)-2(-2,1)=(3+4,5-2)=(7,3),题型一题型二题型三题型四反思本题是平面向量的数量积和模的基本运算,只要记熟公式就不难求解.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四 易错点 忽视共线条件而致误
【例4】 已知向量a=(-2,-1),b=(λ,1),且a与b的夹角为钝角,试求实数λ的取值范围.
错解:∵a与b的夹角为钝角,∴a·b<0,
∴(-2,-1)·(λ,1)=-2λ-1<0,错因分析:a与b的夹角为钝角不仅需要a·b<0,还应保证两向量不反向共线.究其原因a·b<0包含了cos θ=-1,即θ=π这种反向共线的情况.题型一题型二题型三题型四123451.已知向量a=(-5,6),b=(6,5),则a与b( )
A.垂直 B.不垂直也不平行
C.平行且同向 D.平行且反向
答案:A12345答案:B 12345答案:B 123454.已知直线l1:2x+y+1=0,直线l2:3x-y-2=0,则l1和l2的夹角θ= .?
解析:任取l1和l2的方向向量m=(1,-2)和n=(1,3).
设m和n的夹角为α,
答案:45°123455.已知向量a=(1,-2),b=(2,3).
(1)若(3a-b)∥(a+kb),求k的值;
(2)若a⊥(ma-b),求m的值.
解:(1)∵a=(1,-2),b=(2,3),
∴3a-b=3(1,-2)-(2,3)=(1,-9),
a+kb=(1,-2)+k(2,3)=(1+2k,-2+3k).
∵(3a-b)∥(a+kb),∴-9(1+2k)=-2+3k,
(2)∵ma-b=(m-2,-2m-3),且a⊥(ma-b),课件21张PPT。§7 向量应用举例7.1 点到直线的距离公式1.理解直线的法向量的意义.
2.掌握点到直线的距离公式的向量证明方法.
3.会求直线的方向向量、法向量及点到直线的距离.12【做一做1-1】 点P(1,0)到直线y=3x+2的距离d= .?12【做一做1-2】 已知定点A(0,1),点B在直线l:x+y=0上运动,当线段AB最短时,点B的坐标是 .?122.法向量
与直线的方向向量垂直的向量称为该直线的法向量. 名师点拨1.直线的法向量与直线的方向向量垂直.
2.直线的法向量有无数多个.
4.向量(1,k)与直线l:y=kx+b平行.
5.过点P(x0,y0),且与向量a=(m,n)平行的直线方程为n(x-x0)-m(y-y0)=0.
6.过点P(x0,y0)且与向量a=(m,n)垂直的直线方程为m(x-x0)+n(y-y0)=0.12【做一做2-1】 直线2x-y-1=0的一个法向量是( )
A.(2,-1) B.(2,1) C.(-1,2) D.(1,2)
答案:A
【做一做2-2】 已知直线l经过点A(1,-2),且直线l的一个法向量n=(2,3),则点B(2,3)到直线l的距离是 .?题型一题型二题型三【例1】 点M(3,-4)到直线2x-y+1=0的距离d= .? 反思求点M(x0,y0)到直线l的距离时,需将直线l的方程化为一般形式.题型一题型二题型三【变式训练1】 过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为( )
A.x+2y-5=0 B.2x+y-4=0
C.x+3y-7=0 D.3x+y-5=0题型一题型二题型三答案:A 题型一题型二题型三 【例2】 已知点A(2,-1),求:
(1)过点A(2,-1),且与向量a=(5,1)平行的直线的方程;
(2)过点A(2,-1),且与向量a=(5,1)垂直的直线的方程.∴5(y+1)-(x-2)=0,即x-5y-7=0.
故过点A且与向量a=(5,1)平行的直线方程为x-5y-7=0.
(方法二)∵所求直线与向量a=(5,1)平行,题型一题型二题型三∴5(x-2)+(y+1)=0,即5x+y-9=0.
故过点A且与向量a=(5,1)垂直的直线方程为5x+y-9=0.
(方法二)∵所求直线与向量a=(5,1)垂直,
∴所求直线的斜率为-5.
又所求直线过点A(2,-1),
∴所求直线方程为y-(-1)=-5(x-2),即5x+y-9=0.题型一题型二题型三反思在例2中,方法一采用了求轨迹方程的方法,先在所求直线上设一动点P(x,y),再利用向量平行、垂直的等价条件建立关于x,y的关系式;方法二应用了直线的方向向量、法向量与直线的斜率之间的关系求解.题型一题型二题型三【变式训练2】 在△ABC中,A(-1,2),B(3,1),C(2,-3),求边AC上的高所在直线的方程.题型一题型二题型三易错点 混淆直线夹角与向量夹角的范围而致误
【例3】 已知直线l1,l2的方向向量分别为v1=(1,2),v2=(1,-1),求l1,l2夹角的余弦值.
错解:设l1,l2的夹角为θ,题型一题型二题型三123451.直线l:x+y+1=0的一个法向量是( )
A.(1,1) B.(-1,1) C.(-1,0) D.(1,0)
答案:A123452.直线3x+4y+1=0的一个方向向量是( )
A.(3,4) B.(4,-3)
C.(-3,4) D.(-4,-3)
答案:B123453.若点M(1,2)到直线3x+4y+m=0的距离d=5,则m= .
答案:14或-36123454.过点B(0,-3)且垂直于直线2x-3y+2=0的直线方程为 .?
解析:取直线2x-3y+2=0的法向量n=(2,-3).
所以2(y+3)-(-3)·x=0,
即所求直线方程为3x+2y+6=0.
答案:3x+2y+6=0123455.已知A(-2,-3),B(2,-1),C(0,2),求△ABC的面积.
解:由两点式可求出直线AB的方程为x-2y-4=0.
∵点C到直线AB的距离等于△ABC中AB边上的高h,课件25张PPT。7.2 向量的应用举例1.掌握用向量方法解决实际问题的步骤.
2.能利用向量解决几何、物理中的有关问题.
3.学会运用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、简单的力学问题及其他一些实际问题的过程.123 1.向量在平面几何中的应用
由于向量的线性运算和数量积具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此,可用向量方法解决平面几何中的一些问题.123 名师点拨平面几何中的向量方法:
(1)几何法:
①证明线段相等常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则.
②证明线段平行、三角形相似,判断两直线(或线段)是否平行,常运用向量平行(共线)的条件:a∥b?a=λb(b≠0)(或x1y2-x2y1=0).
③证明线段的垂直问题,如证明四边形是矩形、正方形,判断两直线(线段)是否垂直等,常运用向量垂直的条件:a⊥b?a·b=0(或x1x2+y1y2=0).
(2)坐标法:对于有些平面几何问题,如长方形、正方形、直角三角形等,可建立平面直角坐标系,把向量用坐标表示,通过代数运算解决几何问题.123答案:菱形 1232.向量在解析几何中的应用
因为平面向量在坐标平面内有相应的坐标,能进行坐标运算,所以它与平面解析几何存在着密切的联系.根据向量的线性运算和数量积运算,可以方便地处理平行、垂直、距离、角度、方向等问题.123【做一做2】 已知?ABCD的三个顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),求顶点D的坐标.
分析:先将平行四边形的性质“对边平行且相等”转化为向量之间的关系,然后由向量相等求解.
解:设点D的坐标为(x,y).1233.向量在物理中的应用
(1)力是具有大小、方向和作用点的向量,它与向量有所不同.大小和方向相同的两个力,如果作用点不同,它们就不相等.但是在不计作用点的情况下,可用平行四边形法则计算两个力的合力.
(2)速度是具有大小和方向的向量,因此,可用三角形法则和平行四边形法则求两个速度的合速度.123【做一做3-1】 已知速度|v1|=10 m/s,|v2|=12 m/s,且v1与v2的夹角为90°,则v1与v2的合速度v的大小是( )
A.2 m/s B.10 m/s
答案:D【做一做3-2】 一个物体在力|F|=20 N的作用下的位移为s,力F所做的功W=40 J,且F与s的夹角为60°,则位移s的大小为
m.?
答案:4题型一题型二题型三题型一题型二题型三反思本题是证明图形中线段平行与相等的问题,可以先选择适当的一组基底,把未知向量逐步向基底方向进行分解,再利用向量相等来证明四边形DEBF是平行四边形.题型一题型二题型三【变式训练1】
如图,若D是△ABC内一点,且AB2-AC2=DB2-DC2.利用向量法证明:AD⊥BC.题型一题型二题型三题型一题型二题型三 【例2】 已知△ABC的三个顶点A(0,-4),B(4,0),C(-6,2),D,E分别为边BC,CA的中点.
(1)求直线DE的方程;
(2)求AB边上的高线CH所在直线的方程.
分析:利用向量共线、垂直等建立坐标间的关系式求解.题型一题型二题型三反思利用向量法解决解析几何问题时,首先应将线段看成向量,然后利用向量法则进行运算.其中常用的向量知识有共线、垂直、长度、夹角、向量相等等.题型一题型二题型三题型一题型二题型三 【例3】
如图,在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体,绳子与铅垂方向的夹角为θ,绳子所受到的拉力为F1.
(1)求|F1|,|F2|随角θ的变化而变化的情况;
(2)当|F1|≤2|G|时,求角θ的范围.题型一题型二题型三分析:通过向量加法的平行四边形法则,对力进行合成和分解,转化为解三角形.
解:(1)如图,由力的平衡及向量加法的平行四边形法则,知-G=F1+F2.反思平行四边形法则的合理运用是解题的关键.另外,需注意对三角形各量间的运算和分析.题型一题型二题型三【变式训练3】 一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3的作用而处于平衡状态.已知F1,F2成60°角,且F1,F2的大小分别为2 N和4 N,则F3的大小为( )
A.6 N B.2 N答案:D 12345答案:D 123452.过点A(1,2)且平行于向量n=(2,1)的直线方程为( )
A.x-2y-3=0 B.x-2y+3=0
C.2x-y+3=0 D.2x-y-3=0
解析:∵直线平行于n=(2,1),∴直线的斜率为 .设直线方程为x-2y+c=0.把A(1,2)代入,得c=3.故所求直线方程为x-2y+3=0.
答案:B123453.已知一物体在力F1=(lg 2,lg 2),F2=(lg 5,lg 2)(单位:N)的作用下产生了位移s=(2lg 5,1)(单位:m),则它们的合力对该物体做的功为( )
A.lg 2 J B.lg 5 J C.1 J D.2 J
解析:力F1与F2的合力为F1+F2=(lg 2+lg 5,2lg 2),故它们的合力对该物体做的功为(F1+F2)·s=2lg 5(lg 2+lg 5)+2lg 2=2(lg 5+lg 2)=2(J).
答案:D12345123455已知两恒力F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0),试求:
(1)F1,F2分别对质点所做的功;
(2)F1,F2的合力F对质点所做的功.
12345F2对质点所做的功
=(6,-5)·(-13,-15)
=6×(-13)+(-5)×(-15)
=-3.
(2)合力F对质点所做的功
=[(3,4)+(6,-5)]·(-13,-15)
=(9,-1)·(-13,-15)
=9×(-13)+(-1)×(-15)
=-117+15=-102.课件26张PPT。第三章 三角恒等变形§1 同角三角函数的基本关系第1课时 利用同角三角函数的基本关系求值1.利用单位圆理解关系式:sin2α+cos2α=1和tan α=
2.能利用同角三角函数的基本关系解决求值问题.【做一做1】 下列各项中可能成立的一项是( )
答案:B
答案:-2题型一题型二题型三题型四 反思如果已知三角函数值,且角的终边所在的象限已被指定,那么只有一组解.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四分析先利用cos α>0,且cos α≠1,得出α是第一或第四象限角,然后根据α所在的象限分别求出sin α的值,最后求出tan α的值.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思如果已知三角函数值,但没有指定角的终边在哪个象限,那么由已知三角函数值确定角的终边可能在的象限,然后再求解,这种情况一般有两组解.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四 【例3】 已知sin θ=a,求cos θ和tan θ.
分析:利用同角三角函数的基本关系求解,注意对a进行分类讨论.
解:当|a|>1时,此题无解;
当a=0时,由sin θ=0得cos θ=±1,tan θ=0;
当a=1时,由sin θ=1得cos θ=0,tan θ不存在;
当a=-1时,由sin θ=-1得cos θ=0,tan θ不存在;题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四当θ的终边在y轴上时,cos θ=0,tan θ不存在;
当θ的终边在x轴的非负半轴上时,cos θ=1,tan θ=0;
当θ的终边在x轴的非正半轴上时,cos θ=-1,tan θ=0.反思如果所给的三角函数值是用字母给出的,且没有指定角的终边在哪个象限,那么就需要对表示该值中字母的正、负进行讨论.另外,还要注意其角的终边有可能落在坐标轴上.题型一题型二题型三题型四答案:C 题型一题型二题型三题型四分析由已知求得tan α→对所求式子进行恒 等变形,凑出tan α→代入求值即可题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四 反思已知tan α的值,求关于sin α,cos α的分式值的问题,有以下两种情况:
(1)若分子、分母中sin α,cos α的次数相同(称为齐次式),由cos α≠0,令分子、分母同除以cosnα(n∈N*),将待求式化为关于tan α的表达式,再整体代入tan α的值求解.
(2)若待求式形如asin2α+bsin αcos α+ccos2α,注意可将分母“1”化为sin2α+cos2α,进一步转化为关于tan α的表达式,然后求值.题型一题型二题型三题型四12345答案:D 12345答案:B 12345答案:A 1234512345课件26张PPT。第2课时 利用同角三角函数的基本关系化简、证明三角函数式1.掌握公式sin2α+cos2α=1及tan α=
2.能灵活运用同角三角函数的基本关系化简、证明三角函数式.121.化简三角函数式
化简的要求:
(1)能求出值的应求出值;
(2)尽量使三角函数的种数少;
(3)尽量使项数少;
(4)尽量使分母不含三角函数;
(5)尽量使被开方数(式)不含三角函数.
常用的思想方法有:异次化同次、高次化低次、化弦为切或化切为弦、特殊角的三角函数值与特殊值的互化等.12答案:-1 122.证明三角恒等式
证明三角恒等式的过程就是通过转化和消去等式两边的差异来促成统一的过程,证明方法常有以下几种:
(1)从等式的一边证明它的另一边,一般从比较复杂的一边开始,化简到另一边,其依据是等式的传递性.
(2)综合法:由一个已知等式或公式恒等变形得到要证明的等式,其依据是等价转化的思想.
(3)证明等式的左、右两边都等于同一个式子(或值),其依据是等式的传递性,即“若a=c,b=c,则a=b”.
(4)作差法或作商法:证明“左边-右边=0”或“ =1(右边≠0)”.同一个问题可以采用不同的方法进行证明,在证明过程中要根据题目的结构特征,选择适当的方法.12题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思当三角函数式中函数次数较高时,可通过降幂来化简.若式子中只含正弦和余弦,化简时常考虑平方关系:sin2α+cos2α=1.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四分析:方法一:由左到右,以右式为“果”,通分左式,再将分子进行因式分解以产生因式(cos α-sin α);
方法二:仍由左到右,以右式为“果”,因右式分母为(1+sin α+cos α),故将左式分子、分母同乘(1+sin α+cos α);
方法三:要使左、右两边变为同分母,而1+sin α+cos α可以将左边两式的分母均化为1+sin α+cos α. 题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思证明三角恒等式的过程,实际上是化异为同的过程,即化去形式上的异,而呈现实际上的同.因此要观察并寻找恒等式两边在角、函数名称、代数结构之间的变化规律,这也是确定怎样变形以及选择三角公式的依据.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思已知sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α三个式子中一个式子的值,借助sin2α+cos2α=1,可得(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α,(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α,使之相互转化,可求其余两个式子的值及sin α,cos α的值.在开方时,要注意符号的确定,即根据角α的范围确定sin α±cos α的正负.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】 已知θ∈(0,π),且sin θ,cos θ是方程25x2-5x-12=0的两个根,求sin3θ+cos3θ的值.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四1234答案:B 1234答案:A 1234答案:1 12344.化简:sin2α+sin2β-sin2αsin2β+cos2αcos2β= .?
解析:原式=sin2α(1-sin2β)+sin2β+cos2αcos2β
=sin2αcos2β+sin2β+cos2αcos2β
=cos2β(sin2α+cos2α)+sin2β
=cos2β+sin2β=1.
答案:1课件27张PPT。§2 两角和与差的三角函数2.1 两角差的余弦函数 2.2 两角和与差的正弦、余弦函数1.理解运用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程.
2.了解两角和与差的余弦公式、正弦公式,并能运用它们进行简单的化简、求值与证明.
3.通过学习,了解两角和与差的正弦、余弦公式的内在联系,完善知识结构,培养逻辑思维能力.1.两角和与差的余弦公式
(1)cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β ;(Cα+β)?
(2)cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β .(Cα-β)?
2.两角和与差的正弦公式
(1)sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β ;(Sα+β)?
(2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β .(Sα-β)? 名师点拨1.公式中的α,β均为任意角.
2.公式对分配律不成立.
3.和差公式是诱导公式的推广,诱导公式是和差公式的特例.如,sin(2π-α)=sin 2πcos α-cos 2πsin α=0×cos α-1×sin α=-sin α.
4.使用公式时不仅要会正用,还要能够逆用.如化简sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β,不要将sin(α+β)和cos(α+β)展开,而应采用整体思想,进行如下变形:
sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=sin[(α+β)-β]=sin α,这也体现了数学中的整体思想.
5.两角和与差的余弦公式右边的两部分为同名三角函数的积,连接符号与左边角的连接符号相反;两角和与差的正弦公式右边的两部分为异名三角函数的积,连接符号与左边角的连接符号相同.答案:B 解析:sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°
=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°
答案:D题型一题型二题型三题型四分析本题主要考查两角和的正弦公式与角的代换,“切化弦”、通分后会出现特殊角及约分的项.题型一题型二题型三题型四反思50°,10°,80°都不是特殊角,但注意到某两角的和60°,90°都是特殊角,这样就可以用两角和与差的三角函数公式求出它们的函数值.另外,当所求式中含有正切函数时,化切为弦后出现分式,可通过约分去掉非特殊角的三角函数值.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四分析由已知,可得α-β=2α-(α+β),且α+β∈(π,2π),2α∈(π,2π),可先求出sin(α+β),sin 2α,然后利用α-β=2α-(α+β)和两角差的正弦公式求sin(α-β).题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四答案:C 题型一题型二题型三题型四 分析解本题应先由条件确定α-β的范围,再求出sin(α-β)或cos(α-β),从而求出α-β的值.题型一题型二题型三题型四反思1.解答此类题目的步骤:第一步,确定角所在的范围;第二步,求角的某一个三角函数值;第三步,根据角的范围写出所求的角.特别注意选取角的某一个三角函数值,是取正弦,还是取余弦,应先缩小所求角的范围,最好把角的范围缩小在某一个三角函数的单调区间内.
2.选择求角的三角函数值的方法:若角的范围是 有时选正弦函数,有时选余弦函数;若角的范围是 则选正弦函数比余弦函数好;若角的范围是(0,π),则选余弦函数比正弦函数好.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四分析证明本题有两种思路,一种思路是将等式左边分式的分子用两角和与差的正弦公式展开后并相乘,进一步化简可得;另一种思路是将等式右边切化弦,通分后利用平方差公式并结合两角和与差的正弦公式进一步化简可得.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思证明三角恒等式要注意观察等式两边的特点,主要是从三角函数的名称、表达形式上去观察左、右两边的特点,选择不同的证明方法.一般地,三角恒等式的证明可采取三种思维方式:从左向右证,或从右向左证,或左、右同时化到同一个式子.题型一题型二题型三题型四分析需先把已知条件中的正切关系式化成正弦、余弦关系式.同时,还需要角的变换:β=(α+β)-α,2α+β=(α+β)+α.∴sin(α+β)cos α=2cos(α+β)sin α.
∵sin(2α+β)=sin[(α+β)+α]=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α=3cos(α+β)sin α,
3sin β=3sin[(α+β)-α]=3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α=3cos(α+β)sin α,
∴3sin β=sin(2α+β).题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四123451.化简sin(x+y)sin(x-y)-cos(x+y)cos(x-y)的结果是( )
A.sin 2x B.cos 2x C.-cos 2x D.-sin 2x
答案:C12345答案:B 12345答案:B 12345答案:120° 12345课件25张PPT。2.3 两角和与差的正切函数1.了解两角和与差的正切公式,并能运用它们进行简单的化简、求值与证明.
2.了解两角和与差的正弦、余弦和正切公式的内在联系,完善知识结构,培养逻辑思维能力.2.公式的特点
(1)分子是单角正切值的和或差,分母是1减或加单角正切值的乘积,分子连接符号与左边角的连接符号相同,分子连接与分母连接符号相反;
(2)tan(α±β)=tan α±tan β一般不成立.
3.公式的变形
在三角式中常常会出现两角正切值的和、差、乘积,这时可以把它们用公式的另外一部分表示,使问题得到解决:
(1)tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β);【做一做1】 tan 75°=( )
答案:A【做一做2】 设tan α,tan β是方程x2-3x+2=0的两个根,则tan(α+β)的值为( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
解析:因为tan α,tan β是方程x2-3x+2=0的两个根,
所以tan α+tan β=3,tan αtan β=2,
答案:A题型一题型二题型三题型四分析利用tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)求解. 反思公式Tα+β,Tα-β是变形较多的两个公式,公式中有tan αtan β,tan α+tan β(或tan α-tan β),tan(α+β)(或tan(α-β))时,三者中知道任意两个就可表示或求出第三个.题型一题型二题型三题型四解析:∵tan 18°+tan 42°+tan 120°=tan 60°(1-tan 18°·tan 42°)+tan 120°=-tan 60°tan 18°tan 42°,∴原式=-1.
答案:-1题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思该题属于给值求值题,解答此类题目的关键在于先用Tα±β公式分析待求的问题需要什么条件,然后根据已知条件寻找未知条件.题型一题型二题型三题型四【例3】 如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆☉O相交于A,B两点,已知点A,B的横坐标分别为
(1)求tan(α-β)的值;
(2)求α+β的值.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思给值求角问题的解题步骤是根据已知条件选定所求角的一种三角函数,并求出该三角函数值,再根据条件判断出角的范围(一般将范围限定在相应的三角函数的一个单调区间内),从而确定所求角的大小.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四【例4】 已知关于x的方程x2+mx+n=0的两实根为tan α,tan β,求证:sin2(α+β)+msin(α+β)cos(α+β)+ncos2(α+β)=n.
分析:由一元二次方程的根与系数的关系可得tan α+tan β=-m,tan αtan β=n,由此求出tan(α+β),再证左边=右边即可.题型一题型二题型三题型四反思三角函数式的证明,需注意等式两边的差异.常见的差异有角的差异、三角函数名称的差异、运算的差异.题型一题型二题型三题型四
【变式训练4】 已知△ABC不是直角三角形,求证:tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四123451.若A,B是锐角△ABC的内角,则tan Atan B的值( )
A.大于1 B.不大于1
C.小于1 D.不小于1
解析:∵△ABC是锐角三角形,
∴tan Atan B>1.
答案:A12345答案:B 12345答案:A 1234512345分析将所求问题转化为求tan α的值. 课件28张PPT。§3 二倍角的三角函数第1课时 二倍角公式及其应用1.能从两角和的正弦、余弦和正切公式推导出二倍角公式.
2.通过倍角公式的推导,了解知识之间的内在联系,完善认知结构,培养推理论证能力.
3.能够运用二倍角公式求解一些简单的三角函数问题.二倍角公式
(1)sin 2α=2sin αcos α;(S2α)?
(2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;(C2α)答案:C A.2sin 15°cos 15° B.cos215°-sin215°
C.2sin215°-1 D.sin215°+cos215°
答案:B答案:D 题型一题型二题型三题型四 【例1】 (1)求sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°的值;
分析:(1)此式是正弦值的连乘形式,而且相应的角也不是倍数关系,可考虑改变函数名称,则相应的角也随之改变,然后进行求解.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思1.对于给角求值问题的解法
(1)直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化,一般可以转化为特殊角的求值问题.
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式.在求解过程中,需利用正弦、余弦函数关系配凑出使用二倍角公式的条件,从而达到连用二倍角公式的目的.
2.给值求值问题,注意寻找已知式与未知式的关系,一般有以下两种解题方向:(1)将已知式或未知式化简,使关系明朗化.(2)寻找角之间的关系,看是否符合相关公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四 【例2】 已知3sin2α+2sin2β=1,3sin 2α-2sin 2β=0,且α,β都是锐角,求α+2β的值.
分析:欲求角,应先求α+2β的某个三角函数值,再结合角的范围确定α+2β的值.
解:由3sin2α+2sin2β=1,得1-2sin2β=3sin2α,即cos 2β=3sin2α.
由3sin 2α-2sin 2β=0,得sin 2β= sin 2α.
cos(α+2β)=cos αcos 2β-sin αsin 2β=cos α·3sin2α-sin α· sin 2α
=3sin2α·cos α-3sin2α·cos α=0.
∵0°<α<90°,0°<β<90°,∴0°<α+2β<270°.
在0°与270°之间只有90°角的余弦值为0,故α+2β=90°.题型一题型二题型三题型四反思1.解决给值求角问题的一般步骤是:(1)求角的某一个三角函数值;(2)确定角的范围;(3)根据角的范围写出要求的角.
2.在求角的某个三角函数值时,应注意根据条件选择恰当的函数,尽量做到所选函数在角所在的范围内为一对一函数.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思1.化简三角函数式的常用方法:(1)切化弦.(2)异名化同名.(3)异角化同角.(4)高次降低次.
2.化简三角函数式的常用技巧:(1)注意特殊角的三角函数与特殊值的互化.(2)对于分式形式,应分别对分子、分母进行变形处理,有公因式的提取公因式后进行约分.(3)注意二倍角公式的逆用.(4)注意利用角与角之间的隐含关系.(5)注意利用“1”的恒等变形.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四分析从左向右看,左切、右弦,可以从左端到右端采取切化弦的方法证明.题型一题型二题型三题型四反思证明三角恒等式的基本思路:根据等式两端的特征,通过三角恒等变形,应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法,使等式两端的“异”化为“同”.当分式不好证明时,可变形为整式来证明.题型一题型二题型三题型四12345答案:B 12345答案:B 12345答案:π 123451234512345课件24张PPT。第2课时 半角公式及其应用1.能从二倍角公式中推导出半角公式.
2.了解知识间的内在联系,完善认知结构,培养推理能力.
3.熟练掌握半角公式的应用.名师点拨1.倍角、半角公式中“倍”与“半”是相对的,公式不仅仅适用于具有“α”与 而且更广泛地适用于具有倍、半关系的角.
2.用半角公式求值时的处理办法:
(1)若不能判断符号,则在根号前保留正、负两个符号.
若给出的角是某一象限的角,则根据下表确定符号.答案:B 题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四 反思1.注意公式的选择.
2.根据角的范围,确定三角函数值的符号.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思利用半角公式进行化简时,应正确选用升幂、降幂公式:当待化简式中含有根式时,应选用升幂公式去根号;当待化简式中含有高次式时,应选用降幂公式减少运算量,同时注意隐含条件中角的范围.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思进行恒等变形时,一定要注意分析角之间的差异,寻求统一角的途径;观察三角函数的结构特点,寻求化同名三角函数的方法,明确变形的目的.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四12345答案:C 12345答案:A 12345答案:C 1234512345课件36张PPT。本章整合??专题1专题2专题3专题4专题5专题1专题2专题3专题4专题5专题1专题2专题3专题4专题5答案:C 专题1专题2专题3专题4专题5专题2 三角函数线及其应用
画角α的三角函数线的步骤(如图①②③④):
第一步:在平面直角坐标系中作出角α的终边,与单位圆交于点P;
第二步:过点P作x轴的垂线,设垂足为M,得正弦线MP,余弦线OM;
第三步:过点A(1,0)作单位圆的切线,它与角α的终边或其反向延长线的交点设为T,得角α的正切线AT.专题1专题2专题3专题4专题5特别注意:三角函数线是有向线段,在用字母表示这些线段时,要注意它们的方向,分清起点和终点,书写顺序不能颠倒.三角函数线的应用非常广泛,常用来比较三角函数值的大小、解三角方程、解不等式、求函数的定义域等.专题1专题2专题3专题4专题5提示先根据题意写出关于sin x,cos x的不等式组,再根据单位圆中的三角函数线写出解集.专题1专题2专题3专题4专题5提示sin α+cos α>1是一个不等式,直接用代数法很难证.若在单位圆中作出角α的正弦线、余弦线,借助几何图形,建立不等式,就可以比较容易地证明不等式.证明如图,设角α的终边与单位圆交于点P,作PM⊥x轴于点M,则sin α=MP,cos α=OM.
在△OMP中,MP+OM>OP,OP=1,
所以sin α+cos α>1.专题1专题2专题3专题4专题5专题3 三角函数的最值
求三角函数的最值有三种方法:(1)利用函数y=Asin(ωx+φ)的值域求得;(2)利用换元法,把sin x,cos x看成一个变量,转化为求二次函数的最值;(3)利用数形结合法求解.专题1专题2专题3专题4专题5提示利用换元法转化为求二次函数的最值问题. 专题1专题2专题3专题4专题5应用2已知y=cos2x-mcos x的最小值是-4,求m的值.
提示根据-1≤cos x≤1,通过分类讨论求解.专题1专题2专题3专题4专题5专题4 三角函数的性质(周期性、奇偶性、单调性)
1.三角函数的周期在不加说明的情况下,就是指最小正周期.求三角函数的周期,一般要先通过三角恒等变形将三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+b,y=Acos(ωx+φ)+b,y=Atan(ωx+φ)+b的形式,然后用公式求解,另外还可以利用图像求出三角函数的周期.
2.研究函数y=Asin(ωx+φ)的奇偶性时,应先考虑其定义域,若其定义域关于原点对称,则当φ=kπ(k∈Z)时,函数为奇函数;当
时,函数为非奇非偶函数.
3.求函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中A≠0,ω>0)的单调区间时(若ω<0,可先利用诱导公式将x前的系数ω变成正值),应把(ωx+φ)视为一个整体,由A的符号来确定单调性.专题1专题2专题3专题4专题5专题1专题2专题3专题4专题5提示由三角函数的性质逐项判断即可. 专题1专题2专题3专题4专题5答案:C 专题1专题2专题3专题4专题5专题5 三角函数的图像及变换
三角函数的图像是研究三角函数性质的基础,又是三角函数性质的具体体现.在平时的考查中,主要体现在三角函数图像的变换和解析式的确定以及通过对图像的描绘、观察来讨论函数的有关性质.具体要求如下:
(1)用五点法作y=Asin(ωx+φ)的图像时,确定五个关键点的方法是分别令
(2)对于y=Asin(ωx+φ)+b,应明确A,ω,φ与单调性的关系,针对x的变换,即变换多少个单位长度,向左或向右很容易出错,应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别.专题1专题2专题3专题4专题5(3)由已知函数图像求函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式时,常用的解题方法是待定系数法,由图中的最大值或最小值确定A,由周期确定ω,由适合解析式的点的坐标来确定φ,但由图像求得的y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式一般不是唯一的,只有限定φ的取值范围,才能得出唯一的解,否则φ的值不确定,解析式也就不唯一.专题1专题2专题3专题4专题5专题1专题2专题3专题4专题5专题1专题2专题3专题4专题5专题1专题2专题3专题4专题51234567891(2015全国Ⅰ高考)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图像如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )123456789123456789答案:D 123456789答案:A 1234567893(2016浙江高考)函数y=sin x2的图像是( ) 123456789解析:∵f(-x)=sin(-x)2=sin x2=f(x),
∴y=sin x2的图像关于y轴对称,排除A,C;
答案:D123456789答案:D 123456789答案:A 123456789答案:D 123456789123456789答案:B 1234567898(2016四川高考)sin 750°= .? 1234567899(2016江苏高考)定义在区间[0,3π]上的函数y=sin 2x的图像与y=cos x的图像的交点个数是 .?
答案:7课件36张PPT。本章整合平面向量 平面向量 平面向量 专题1专题2专题3 专题1 平面向量的线性运算
1.向量的加法、减法和数乘向量的综合运算通常叫作向量的线性运算.
2.向量的线性运算的结果仍是一个向量,因此,对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意大小和方向两个方面.
3.理解向量的有关概念(如相等向量与相反向量、平面向量基本定理等),用基底表示向量,三角形法则、平行四边形法则是向量线性运算的基础.
4.题型主要有证明三点共线、两线段平行、线段相等、求点或向量的坐标等.专题1专题2专题3专题1专题2专题3专题1专题2专题3提示:正确理解向量加减法的几何意义是解答本题的关键. 专题1专题2专题3专题1专题2专题3专题2 平面向量的坐标运算
1.向量的坐标运算把向量线性运算转化为代数运算,达到数与形的统一.
2.平面向量的坐标运算主要解决求向量的坐标、判断向量共线、平行等问题.专题1专题2专题3提示:不确定直角顶点,分三种情况进行讨论. 专题1专题2专题3专题1专题2专题3专题1专题2专题3应用2平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回答下列三个问题:
(1)将a用b,c表示出来;
(2)若(a+kc)⊥(2b-a),求实数k的值;专题1专题2专题3提示:(1)先设a=mb+nc,然后将坐标代入,解二元一次方程组即可求出结果;(2)首先求出向量坐标,然后由两个向量垂直得出数量积为0即可;(3)利用两个向量共线的条件x1y2-x2y1=0及 解出向量d的坐标.
解:(1)设a=mb+nc(m,n∈R),
则(3,2)=m(-1,2)+n(4,1),(2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2).
由(a+kc)⊥(2b-a),得(-5)×(3+4k)+2(2+k)=0,专题1专题2专题3专题1专题2专题3专题3 平面向量的数量积及其应用
平面向量的数量积是向量的核心内容,向量的平行、垂直是向量中最基本、最重要的位置关系,而向量的夹角、长度是向量的数量特征,利用向量的数量积可以证明两个向量垂直、平行,求两个向量的夹角、计算向量的长度等.专题1专题2专题3应用1设0<|a|≤2,f(x)=cos2x-|a|sin x-|b|的最大值为0,最小值为-4,且a与b的夹角为45°,求|a+b|.
提示要求|a+b|,需知道|a|,|b|,故可利用函数的最值先确定|a|,|b|的值.专题1专题2专题3专题1专题2专题3专题1专题2专题3专题1专题2专题31234567891011121(2015全国Ⅱ高考)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
解析:∵2a+b=(1,0),又a=(1,-1),∴(2a+b)·a=1+0=1.
答案:C123456789101112A.(-7,-4) B.(7,4)
C.(-1,4) D.(1,4)
答案:A123456789101112答案:A 1234567891011124(2016全国甲高考)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=( )
A.-8 B.-6
C.6 D.8
解析:由题意可知,向量a+b=(4,m-2).由(a+b)⊥b,得4×3+(m-2)×(-2)=0,解得m=8,故选D.
答案:D123456789101112123456789101112答案:B 123456789101112 解析:由4|m|=3|n|,可设|m|=3k,|n|=4k(k>0),
又n⊥(tm+n),
答案:B1234567891011127(2016全国甲高考)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m= .?
解析:因为a∥b,所以-2m-4×3=0,解得m=-6.
答案:-61234567891011128(2016全国乙高考)设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x= .?12345678910111212345678910111210(2016山东高考)已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a⊥(ta+b),则实数t的值为 .?
解析:由a⊥(ta+b)可得a·(ta+b)=0,
所以ta2+a·b=0,
而a2=12+(-1)2=2,a·b=1×6+(-1)×(-4)=10,
所以有t×2+10=0,解得t=-5.
答案:-512345678910111211(2016全国乙高考)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .?
解析:∵|a+b|2=|a|2+|b|2,
∴(m+1)2+32=m2+1+5,解得m=-2.
答案:-2123456789101112123456789101112课件35张PPT。本章整合??专题1专题2专题3 专题1 三角函数与向量的综合
三角函数与平面向量相结合是近几年来高考的亮点,常常包括向量与三角函数的化简、求值与证明的结合,向量与三角函数的图像及性质的结合等几个方面.此类题目所涉及向量的知识往往比较基础,所涉及的三角函数往往是讨论三角函数的图像与性质以及三角函数的化简、求值.专题1专题2专题3(1)求a·b及|a+b|;
(2)若函数f(x)=a·b-2λ|a+b|的最小值是 求实数λ的值.提示:(1)根据向量的数量积运算列式,用二倍角公式化简求解;(2)把(1)所得结果代入函数f(x),并利用二倍角公式化简,再对λ分类讨论.专题1专题2专题3专题1专题2专题3提示将条件中的模相等和数量积转化为三角函数进行求解.专题1专题2专题3专题1专题2专题3专题1专题2专题3专题2 三角函数的最值
三角函数的最值是对三角函数的概念、图像和性质以及对诱导公式、同角三角函数间的基本关系、两角和差、倍(半)角三角函数公式的综合考查,也是函数思想的具体体现,在实际问题中有着广泛的应用,是高考命题的热点.解三角函数最值问题的基本方法有:一是先通过三角恒等变形转化为只含一个角的一种三角函数的式子,应用正弦函数、余弦函数的值域来求;二是通过变量代换转化为函数关系式,再选用配方法、不等式法、判别式法、单调性法、数形结合法等求解.专题1专题2专题3答案:D 专题1专题2专题32.y=asin2x+bsin x+c型函数
可将y=asin2x+bsin x+c中的sin x看作t,即令t=sin x,则y=at2+bt+c,这样就转化为二次函数的最值问题.但这里应注意换元前后变量的取值范围要保持不变,即要根据给定的x的取值范围,求出t的取值范围.另外,y=acos2x+bcos x+c,y=asin2x+bcos x+c等形式的函数的最值都可归为此类.专题1专题2专题3提示利用换元法,转化为二次函数求解. 专题1专题2专题33.y=asin2x+bsin xcos x+ccos2x型函数
此类函数可先降幂、整理,再化为y=asin x+bcos x的形式求最值.
应用3求y=sin2x+2sin xcos x+3cos2x的最小值,并求出函数y取最小值时的x的集合.
提示:求这种类型的三角函数的最值问题时,应先降幂,再利用公式化成和角或差角的三角函数求最值.专题1专题2专题34.sin x±cos x,sin xcos x型函数
应用4求函数y=sin xcos x+sin x+cos x的最大值.
提示:设t=sin x+cos x,换元转化为关于t的二次函数,用配方法求最值,要注意变量t的取值范围.专题1专题2专题3专题3 函数与方程思想的应用
函数的思想是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,建立函数关系或构造函数,运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题.方程的思想就是分析数学问题中变量间的等量关系,构建方程或方程组,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析问题、转化问题,使问题获得解决.函数与方程思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;二是通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的.许多有关方程的问题常用函数的方法解决.专题1专题2专题3提示将sin(α+β)和sin(α-β)展开,求出sin αcos β与cos αsin β的值,再将所求的式子化简即可.专题1专题2专题3提示关键要抓住奇函数和递减这两个关键信息解题. 专题1专题2专题3解∵f(x)在R上为递减的奇函数,
∴f(cos2θ-2t)≥-f(4sin θ-3)=f(3-4sin θ).
∴cos2θ-2t≤3-4sin θ,
即2t≥cos2θ+4sin θ-3=-(sin θ-2)2+2.1234567891011答案:D 1234567891011答案:D 1234567891011答案:A 1234567891011答案:B 12345678910111234567891011答案:D 1234567891011答案:B 123456789101112345678910118(2016浙江高考)已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A= ,b= .?12345678910119(2016北京高考)已知函数f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)求f(x)的单调递增区间.123456789101112345678910111234567891011123456789101112345678910111234567891011