课件55张PPT。第一章 常用逻辑用语
1.1 命题及其关系
1.1.1 命 题主题1 命题的定义及分类
给出下列语句:
(1)3+5=7.
(2)若x2=1,则x=1.
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.
(4)6能被2整除.1.这些语句的表述形式有什么特点?
提示:从这些语句可以看出,它们都是陈述句.
2.能判断以上语句的真假吗?若能,请指出真假.
提示:可以判断真假,其中语句(3)(4)判断为真,语句(1)(2)判断为假.3.你发现以上语句有什么特点?
提示:(1)是陈述句.(2)可判断真假.结论:
1.命题的定义:
可以判断_____的陈述句叫做命题.真假2.命题的分类:
(1)_______________叫做真命题.
(2)_______________叫做假命题.判断为真的语句判断为假的语句【微思考】
1.表述命题的语句有什么特点?
提示:必须是陈述句,祈使句、感叹句、疑问句等都不是命题.2.如何判断一个数学命题是假命题?
提示:数学中判断一个命题是真命题,要经过严格证明.而要判断一个命题是假命题,只需举一个反例即可.主题2 命题的结构形式
观察下列语句:
(1)若整数a是素数,则a是奇数.
(2)若两个三角形全等,则它们的面积相等.
(3)若a>b,则ac>bc.1.以上语句是命题吗?
提示:它们都是命题.
2.你发现以上语句的结构有什么特点?由几部分构成?
提示:它们都是“若p,则q”的形式,由条件和结论两部分构成.结论:命题的结构形式
命题的结构形式是____________,其中__是命题的条
件,__是命题的结论.“若p,则q”pq【微思考】
1.如何确定命题的条件和结论?
提示:命题中已知的事项为条件,由已知推出的事项为结论.2.一个命题写成“若p,则q”的形式后,如何判断命题的真假?
提示:当一个命题改写成“若p,则q”的形式后,判断这种命题真假的方法是:若由p经过逻辑推理推出q,则该命题为真;若判定该命题为假,只需举出一个反例即可.【预习自测】
1.下列判断,正确的个数是 ( )
①3是12的约数;②π是正数;③5>2且7>3;④2≥2.
A.4 B.3 C.2 D.1
【解析】选A.①②③④正确.2.下列各项中是命题的是 ( )
A.周期函数的和是周期函数吗?
B.sin 45°=1
C.x2+2x-1>0
D.三角形是不是平面图形呢?
【解析】选B.B项中sin 45°=1是命题.3.语句“若a>b,则a-c>b-2c” ( )
A.不是命题 B.是真命题
C.是假命题 D.不能判断真假
【解析】选C.a-c>b-2c,即a>b-c,当c<0时,可能不成立,例如:a=2,b=1,c=-2时,a>b,但a
(1)证明x2+2x+1≥0.
(2)你是团员吗?
(3)一个正数不是素数就是合数.
(4)若x∈R,则x2+4x+7>0.【解析】(1)(2)不是命题,(1)是祈使句.(2)是疑问
句.(3)(4)是命题,其中(3)是假命题,如正数 既不
是素数也不是合数.
(4)是真命题,x2+4x+4=(x+2)2≥0恒成立,x2+4x+7= (x+2)2+3>0恒成立.
答案:(3)(4)5.下列命题:
①若xy=1,则x,y互为倒数;
②二次函数的图象与x轴有公共点;
③平行四边形是梯形;
④若ac2>bc2,则a>b.
其中真命题是________(写出所有真命题的序号).【解析】对于②,二次函数图象与x轴不一定有公共点;对于③,平行四边形不是梯形.
答案:①④6.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假,且指出p和q分别指什么.
(1)乘积为1的两个实数互为倒数.
(2)奇函数的图象关于原点对称.【解析】(1)若两个实数乘积为1,则这两个实数互为倒数.它是真命题.
p:两个实数乘积为1;q:两个实数互为倒数.
(2)若一个函数为奇函数,则它的图象关于原点对称.它是真命题.
p:一个函数为奇函数;q:函数的图象关于原点对称.类型一 命题的判断
【典例1】下列语句:
①垂直于同一条直线的两条直线平行吗?
②一个数的算术平方根一定是非负数;③请完成第九题;
④若直线l不在平面α内,则直线l与平面α平行.其中是命题的是________.
【解题指南】根据命题的定义逐个判断.【解析】①不是命题,因为它不是陈述句;
②是命题,是假命题,因为负数没有平方根;
③不是命题,因为它不是陈述句;
④是命题,是假命题,直线l与平面α还可以相交.
答案:②④【方法总结】判断一个语句是不是命题的关键
(1)一般来说,陈述句才是命题,祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题.
(2)根据语句表述可以判断真假的是命题,含义模糊不清,无法判断真假的语句不是命题.【巩固训练】判断下列语句是否是命题,并说明理由.
(1) 是有理数.
(2)3x2≤5.
(3)梯形是不是平面图形呢?
(4)x2-x+7>0.【解析】(1)“ 是有理数”是陈述句,并且它是假的,所以它是命题.
(2)因为无法判断“3x2≤5”的真假,所以它不是命题.
(3)“梯形是不是平面图形呢?”是疑问句,所以它不是命题.(4)因为x2-x+7= >0,所以“x2-x+7>0”是真的,故是命题.类型二 判断命题的真假
【典例2】判断下列语句是否是命题,若是,判断其真假,并说明理由.
(1)一个等比数列的公比大于1时,该数列为递增数列.
(2)求证:x∈R时,方程x2-x+2=0无实根.
(3)垂直于同一直线的两条直线平行吗?
(4)当x=3时,3x-8>0.【解题指南】判定一个命题是假命题,只要举出一个反例即可,而要判定一个命题是真命题,一般要经过严格的推理论证.【解析】(1)是命题.当首项小于零,公比大于1时该数列为递减数列,该命题为假命题.
(2)该语句为祈使句,不是命题.
(3)不是命题.它是疑问句,不是命题.
(4)是命题.当x=3时,3x-8>0,是真命题.【延伸探究】本例中语句不变,把不是命题的语句改为真命题.
【解析】(2)(3)不是命题.
(2)改为真命题是:若x∈R,则方程x2-x+2=0无实根.
(3)改为真命题是:垂直于同一直线的两条直线可能平行,可能相交,也可能异面.【方法总结】判断命题真假的三种方法【拓展延伸】命题真假的两个关注点
(1)一个命题的真假与命题所在环境有关.对其进行判断时,要注意命题的前提条件,如“若a⊥c,b⊥c,则a∥b”在平面几何中是真命题,而在立体几何中却是假命题.(2)从集合的观点看,建立集合A,B与命题中的p,q之间的一种联系:设集合A={x|p(x)成立},B={x|q(x)成立},就是说,A是能使条件p成立的全体对象x所构成的集合,B是能使条件q成立的全体对象x所构成的集合,此时,命题“若p,则q”为真,当且仅当A?B时满足. 【巩固训练】(2017·莆田高二检测)设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列四个命题:
①若m⊥α,n∥α,则m⊥n;
②若α∥β,β⊥γ,则α∥γ;
③若m⊥α,n⊥α,则m∥n;
④若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β.其中为真命题的是 ( )
A.①② B.①③ C.③④ D.②④
【解析】选B.显然①是正确的,结论选项可以排除C,D,然后在剩余的②③中选一个来判断,即可得出结果,①③为真命题.【补偿训练】下列命题中真命题有 ( )
①mx2+2x-1=0是一元二次方程;②抛物线y=ax2+2x-1与x轴至少有一个交点;③互相包含的两个集合相等;④空集是任何集合的真子集.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】选A.①中当m=0时,是一元一次方程;②中当Δ=4+4a<0时,抛物线与x轴无交点;③是正确的;④中空集不是本身的真子集.类型三 命题的构成
【典例3】将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.
(1)6是12和18的公约数.
(2)当a>-1时,方程ax2+2x-1=0有两个不相等的实根.(3)平行四边形的对角线互相平分.
(4)已知x,y为非零自然数,当y-x=2时,y=4,x=2.
【解题指南】找准命题的条件和结论,是解这类题目的关键.【解析】(1)若一个数是6,则它是12和18的公约数.是真命题.
(2)若a>-1,则方程ax2+2x-1=0有两个不相等的实根.是假命题.(3)若一个四边形是平行四边形,则它的对角线互相平分.是真命题.
(4)已知x,y为非零自然数,若y-x=2,则y=4,x=2.是假命题.【方法总结】
1.将命题改写成“若p,则q”形式的方法
若命题不是“若p,则q”的形式,先把它们的表述作适当的改变,明确命题的条件和结论,再写成“若p,则q”的形式,但要注意语言的流畅性.2.判断“若p,则q”的形式命题真假的办法
若由“p”经过逻辑推理得出“q”,则可判断“若p,则q”是真;而判断“若p,则q”是假,则只需要举出一个反例即可.【巩固训练】把下列命题写成“若p,则q”的形式,并判断其真假.
(1)等腰三角形的两个底角相等.
(2)当x=2或x=4时,x2-6x+8=0.【解析】命题(1):若一个三角形是等腰三角形,则它的两个底角相等.显然这个命题是真命题.
命题(2):若x=2或x=4,则x2-6x+8=0.通过检验可知这个命题是真命题.【补偿训练】将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假.
(1)矩形的对角线相等.
(2)当a>b,c∈R时,ac2>bc2.【解析】命题(1):若一个四边形是矩形,则它的对角线相等.是真命题.
命题(2):若a>b,c∈R,则ac2>bc2.是假命题,因为c=0时,ac2>bc2不成立.【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
(1)判断一个语句是否为命题应紧抓两点:①是不是陈述句;②能否判断真假.
(2)判断命题真假的难点是对已有知识的掌握,尤其是真命题的判断.
(3)准确判断命题的条件与结论是把命题改写为“若p,则q”形式的关键.课件63张PPT。1.1.2
四 种 命 题主题1 互逆命题
1.观察下列两个命题,它们的条件和结论分别是什么?
(1)若一个四边形的两条对角线相等,则这个四边形是矩形.
(2)若一个四边形是矩形,则其两对角线相等.提示:命题(1)的条件是:四边形的两条对角线相等,结论是:四边形是矩形.
命题(2)的条件是:四边形是矩形,结论是:两对角线相等.2.通过问题1,你发现这两个命题的条件和结论有什么关系?
提示:它们的条件和结论互换了.结论:
1.互逆命题的定义:
对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一
个命题的_____和_____,那么我们把这样的两个命题叫
做互逆命题.其中一个命题叫做原命题,另一个叫做原
命题的_______.结论条件逆命题2.互逆命题的形式:
如果原命题为“若p,则q”,那么它的逆命题为
____________.“若q,则p”【微思考】
写一个命题的互逆命题的关键是什么?
提示:写一个命题的互逆命题的关键是找到原命题的条件与结论,交换原命题的条件与结论,即得命题的逆命题.主题2 互否命题
1.观察下列两个命题,它们的条件和结论分别是什么?
(1)若一个四边形的两条对角线相等,则这个四边形是矩形.
(2)若一个四边形两条对角线不相等,则这个四边形不是矩形.提示:命题(1)的条件是:四边形的两条对角线相等;结论是:四边形是矩形.
命题(2)的条件是:四边形的两条对角线不相等,结论是:四边形不是矩形.2.通过问题1,你发现这两个命题的条件与结论有什么关系?
提示:其中一个命题中条件与结论恰好是另一个命题中条件与结论的否定.结论:
1.互否命题的定义:
如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的
___________和___________,我们把这样的两个命题
叫做互否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题,
那么另一个叫做原命题的_______.条件的否定结论的否定否命题2.互否命题的形式:
如果原命题为“若p,则q”,那么它的否命题为
______________.“若?p,则?q”【微思考】
写一个命题的互否命题的关键是什么?
提示:写一个命题的互否命题的关键是找到原命题的条件与结论.把原命题的条件与结论都否定,即得命题的否命题.主题3 互为逆否命题
1.观察下列两个命题,它们的条件和结论分别是什么?
(1)若一个四边形的两条对角线相互垂直且平分,则这个四边形是菱形.
(2)若一个四边形不是菱形,则其两条对角线不相互垂直且平分.提示:命题(1)的条件是:四边形的两条对角线相互垂直且平分;结论是:四边形是菱形.
命题(2)的条件是:四边形不是菱形;结论是:四边形的两条对角线不相互垂直且平分.2.通过问题1,你发现这两个命题的条件和结论有什么关系?
提示:其中一个命题中的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定.结论:
1.互为逆否命题的定义:
如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的
___________和___________,我们把这样的两个命题
叫做互为逆否命题.如果把其中的一个命题叫做原
命题,那么另一个叫做原命题的_________.结论的否定条件的否定逆否命题2.互为逆否命题的形式:
如果原命题为“若p,则q”,那么它的逆否命题为
______________.“若?q,则?p”【微思考】
1.任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题吗?
提示:因为任何一个命题都包含条件和结论两部分,通过条件和结论的不同变换都可以得到这个命题的逆命题、否命题和逆否命题.因此任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题.2.四种命题中原命题是固定的吗?
提示:不是固定的,任何一个命题都可以作为原命题,从而有另外三个命题.【预习自测】
1.命题“已知a,b,c,d是实数,若a=b,c=d,则a+c=b+d”的逆命题是 ( )
A.已知a,b,c,d是实数,若a+c=b+d,则a=b,c=d
B.已知a,b,c,d是实数,若a≠b,c≠d,则a+c≠b+dC.已知a,b,c,d是实数,若a+c≠b+d,则a与b,c与d不都相等
D.已知a,b,c,d是实数,若a+c=b+d,则a与b,c与d不都相等【解析】选A.将原命题的条件改为结论,结论改为条件,即得原命题的逆命题.2.已知命题p:若a<1,则a2<1,下列说法正确的
是 ( )
A.命题p是真命题
B.命题p的逆命题是真命题
C.命题p的否命题是:若a<1,则a2≥1
D.命题p的逆否命题是:若a2≥1,则a<1【解析】选B.已知命题p:若a<1,则a2<1,如a=-2,则
(-2)2>1,命题p为假命题,所以A不正确;
命题p的逆命题是:若a2<1,则a<1,为真命题,所以B正确;
命题p的否命题是:若a≥1,则a2≥1,所以C不正确;
命题p的逆否命题是:若a2≥1,则a≥1,所以D不正确.3.“若一个数是正偶数,则这个数不是质数”的逆否命题是 ( )
A.“若一个数不是正偶数,则这个数是质数”
B.“若一个数是正偶数,则这个数是质数”
C.“若一个数是质数,则这个数不是正偶数”
D.“若一个数不是质数,则这个数不是正偶数”【解析】选C.由互为逆否命题的定义可知,把原命题的条件的否定作为结论,结论的否定作为条件即可得逆否命题.4.命题“若α= ,则sinα= ”的否命题是________,为________(填“真”或“假”)命题.【解析】否命题:若α≠ ,则sinα≠ ,是假命题.
答案:若α≠ ,则sinα≠ 假类型一 互逆命题及其真假的判断
【典例1】在等比数列{an}中,前n项和为Sn,若Sm,Sm+2, Sm+1成等差数列,则am,am+2,am+1成等差数列.
(1)写出这个命题的逆命题.
(2)判断这个命题的逆命题何时为假?何时为真?并给出证明.【解题指南】【解析】(1)这个命题的逆命题是:在等比数列{an}中,前n项和为Sn,若am,am+2,am+1成等差数列,则Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列.
(2)设等比数列{an}的公比为q,则当q=1时,这个命题的逆命题为假,理由如下:因为am=am+2=am+1=a1,若am,am+2,am+1成等差数列,则Sm+2-Sm=2a1,Sm+1-Sm+2=-a1,显然Sm+2-Sm≠Sm+1-Sm+2.
当q≠1时,这个命题的逆命题为真,
理由如下:因为am=a1qm-1,am+2=a1qm+1,am+1=a1qm,
若am,am+2,am+1成等差数列,则a1qm-1+a1qm=2a1qm+1,即1+q=2q2,也就是1-q2=q2-q,
又Sm+2-Sm=
Sm+1-Sm+2=
即Sm+2-Sm=Sm+1-Sm+2.【方法总结】
1.写出一个命题的逆命题的方法
(1)先确定命题的条件和结论.
(2)再交换条件和结论的位置得逆命题.2.判断一个命题的逆命题真假的步骤
(1)写逆命题:先写出此命题的逆命题.
(2)判断真假:判断逆命题的真假,可严格按照判断命题真假的方法判断.【巩固训练】写出下列命题的逆命题,然后判断真假.
(1)若两个三角形全等,则这两个三角形三边对应相等.
(2)正数a的平方根不等于0.
(3)当x=1时,x2-3x+2=0.【解析】(1)逆命题:若两个三角形三边对应相等,则这两个三角形全等.真命题.
(2)逆命题:若a的平方根不等于0,则a是正数.假命题.
(3)逆命题:如果x2-3x+2=0,那么x=1.假命题.【补偿训练】写出下列命题的逆命题,然后判断真假.
(1)平行于同一条直线的两条直线平行.
(2)对顶角相等.
(3)在△ABC中,若BC>AC,则∠A>∠B.【解析】(1)逆命题:若两条直线平行,则这两条直线平行于同一条直线.真命题.
(2)逆命题:相等的角是对顶角.假命题.
(3)逆命题:在△ABC中,若∠A>∠B,则BC>AC.真命题.类型二 互否命题及其真假的判断
【典例2】(1)(2017·济南高二检测)命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是 ( )
A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数
B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数
C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数
D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数(2)把下列命题写成“若p,则q”的形式,再写出它的否命题,并判断原命题及否命题的真假.
①菱形的四条边相等.
②当ac>bc时,a>b.
③如果一个四棱柱有两个侧面垂直于底面,那么该四棱柱是直四棱柱. 【解题指南】(1)根据“若p,则q”的否定是“若?p,则?q”得否命题.
(2)首先找出命题的条件和结论,即先写成“若p,则q”的形式,再对条件和结论分别进行否定,即可写出原命题的否命题,然后再进行判断.【解析】(1)选B.原命题的否命题为:若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数.
(2)①若一个四边形是菱形,则这个四边形的四条边相等;
否命题是:若一个四边形不是菱形,则这个四边形的四条边不全相等;原命题为真,否命题为真.②若ac>bc,则a>b;
否命题是:若ac≤bc,则a≤b;原命题和否命题都为假.
③若一个四棱柱有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱是直四棱柱;
否命题是:若一个四棱柱没有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱不是直四棱柱;原命题为假,否命题为真.【延伸探究】
1.若把本例(2)①中的“四条边相等”改为“两条对角线垂直且平分”,则结果如何?【解析】若一个四边形是菱形,则这个四边形的两条对角线垂直且平分,为真命题.
否命题是:若一个四边形不是菱形,则这个四边形的两条对角线不垂直平分,为真命题.2.若把本例(2)②改为“当ac2>bc2时,a>b”,则结果如何?
【解析】若ac2>bc2,则a>b,真命题.否命题是:若ac2≤bc2,则a≤b,假命题.【方法总结】写出一个命题的否命题的两个步骤和一个注意点
(1)两个步骤:
①确定原命题的条件和结论;
②把命题的条件和结论都否定,即可得到命题的否命题.
(2)一个注意点:否定条件和结论时务必注意准确运用词语的否定.【拓展延伸】常见词语的否定【补偿训练】写出下列命题的否命题,然后判断真假.
(1)相等的两个角的正弦值相等.
(2)若x≠1,则x2≠1.
(3)如果sinα+cosα= ,则α是第一象限角.【解析】(1)否命题:若两个角不相等,则这两个角的正弦值也不相等.假命题.
(2)否命题:若x=1,则x2=1,真命题.
(3)否命题:如果sinα+cosα≠ ,则α不是第一象限角,假命题.类型三 互为逆否命题及其真假的判断
【典例3】写出下列命题的逆否命题,并判断真假.
(1)若x>y,则x2>y2.
(2)若AB=AC,则△ABC是等腰三角形.【解题指南】先分别否定原命题的条件和结论,然后将否定后的结论作条件,否定后的条件作结论即可,再判断真假.【解析】(1)逆否命题:若x2≤y2,则x≤y.假命题.
(2)逆否命题:若△ABC不是等腰三角形,则AB≠AC.真命题.【方法总结】写原命题的逆否命题的两种方法
(1)先写出原命题的逆命题,再写逆命题的否命题,即得逆否命题.
(2)先写出原命题的否命题,再写否命题的逆命题,即得逆否命题.【巩固训练】写出下列命题的逆否命题,并判断真假.
(1)等高的两个三角形是全等三角形.
(2)弦的垂直平分线平分弦所对的弧.【解析】(1)逆否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形不等高.假命题.
(2)逆否命题:若一条直线不平分弦所对的弧,则这条直线不是弦的垂直平分线.真命题.【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
四种命题:首先找清原命题的条件和结论,然后
(1)交换原命题的条件和结论,得到逆命题.
(2)同时否定原命题的条件和结论,得到否命题.
(3)交换原命题的条件和结论,并且同时否定,得到逆否命题.课件50张PPT。1.1.3
四种命题间的相互关系主题1 四种命题之间的关系
1.观察下面四个命题,命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系?
(1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数.
(2)若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数.(3)若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数.
(4)若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数. 提示:命题(1)的条件是命题(2)的结论,且命题(1)的结论是命题(2)的条件,对于命题(1)和(3),其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定;对于命题(1)和(4),其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定.2.通过问题1中的探究,你发现其中任意两个命题之间的相互关系吗?你能用数学语言描述出来吗?
提示:命题(2)(3)是互为逆否命题,命题(2)(4)是互否命题,命题(3)(4)是互逆命题.结论:四种命题间的关系:若q，则p若﹁q，则﹁p若﹁p，则﹁q【微思考】
1.判断两个命题之间的关系关键看命题的条件与结论的哪方面?
提示:判断两个命题之间的关系关键看两个命题的条件和结论之间是否互换了,是否都否定了.2.能不能说“若p,则q”是逆命题或否命题?为什么?
提示:不能,逆命题或否命题都是相对于原命题而言的,只有确定了原命题,才有逆命题、否命题的说法,它们与原命题互为逆命题、互为否命题.3.如何利用原命题的逆命题写出原命题的逆否命题?
提示:原命题的逆命题与原命题的逆否命题互为否命题,所以只需写出原命题的逆命题的否命题,即得原命题的逆否命题.主题2 四种命题的真假性关系
1.主题1问题1中的四个命题,它们的真假性如何?
提示:命题(1)为真命题,(2)是假命题,(3)是假命题,(4)是真命题.2.若命题(1)为原命题,你发现哪两个命题的真假性相同?这种关系是否对任意的有这种关系的两个命题都成立?
提示:原命题与逆否命题,逆命题与否命题,真假性相同.且这种关系对任意两个互为逆否的命题都成立.结论:
1.两个命题互为逆否命题,它们有_____的真假性.
2.两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性
_________.相同没有关系【微思考】
1.一个命题的逆命题与否命题是同真同假命题吗?
提示:可以通过命题的结构形式,即它的条件和结论分析,逆命题与否命题是互为逆否命题,故逆命题与否命题是同真同假的.2.在四种命题中,真命题的个数可能有几个?
提示:因为原命题与逆否命题、逆命题与否命题均互为逆否命题,它们同真或同假,所以真命题的个数可能是0,2或4.【预习自测】
1.命题“若p不正确,则q不正确”的逆命题的同真同假命题是 ( )
A.若q正确,则p不正确 B.若q不正确,则p正确
C.若p正确,则q不正确 D.若p正确,则q正确【解析】选D.与逆命题同真同假的命题是否命题,否命题是“若p正确,则q正确”.2.已知命题p:“若|a|=|b|,则a=b”,则命题p及其逆命题、否命题、逆否命题中,正确命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选B.因为a=-b时,|a|=|b|,则命题p为假命题,命题p的逆命题为:若a=b,则|a|=|b|,为真命题;
又因为命题的逆命题与否命题互为逆否命题,原命题与其逆否命题互为逆否命题,故真命题的个数是2个.3.在原命题“若A∪B≠B,则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为________.【解析】逆命题为“若A∩B≠A,则A∪B≠B”;
否命题为“若A∪B=B,则A∩B=A”;
逆否命题为“若A∩B=A,则A∪B=B”;
全为真命题.
答案:44.已知a,b∈R,则命题“若a>b,则 ”的逆命题、否命题、逆否命题,这三个命题中真命题的个数为______.【解析】原命题“a>b,则 ”是假命题,其逆命题
“若 ,则a>b”也是假命题,又原命题与逆否命题
同真同假,逆命题与否命题同真同假,故三个命题都是
假命题.
答案:0类型一 四种命题之间的相互关系
【典例1】(1)命题“若-1是 ( )
A.若x≥1或x≤-1,则x2≥1
B.若x2<1,则-1C.若x2>1,则x>1或x<-1
D.若x2≥1,则x≥1或x≤-1(2)命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的 ( )
A.逆命题 B.否命题
C.逆否命题 D.无关命题【解题指南】
(1)根据互为逆否命题的概念结合选项进行判断.
(2)分清涉及的命题的条件和结论,比较两个命题的条件与结论之间的关系即可解决.【解析】(1)选D.若原命题是“若p,则q”,则逆否命题为“若?q,则?p”,故此命题的逆否命题是“若x2≥1,则x≥1或x≤-1”.
(2)选A.从两种命题的形式来看是条件与结论换位,因此为逆命题.【方法总结】判断四种命题关系的关键
关键是正确找出原命题的条件和结论,若原命题不是“若p,则q”的形式,应改写成“若p,则q”的形式,并写出条件和结论的否定:(1)“换位”得到“若q,则p”为逆命题.
(2)“换质”(分别否定)得到“若?p,则?q”为否命题.
(3)“换位”又“换质”得到“若?q,则?p”为逆否命题. 【巩固训练】命题“a,b都是奇数,则a+b是偶数”的逆否命题是 ( )
A.a,b都不是奇数,则a+b是偶数
B.a+b是偶数,则a,b都是奇数
C.a+b不是偶数,则a,b都不是奇数
D.a+b不是偶数,则a,b不都是奇数【解析】选D.“都是”的否定是“不都是”,而不是“都不是”,故该命题的逆否命题是:“a+b不是偶数,则a,b不都是奇数”.【补偿训练】下列命题中:
①若一个四边形的四条边不相等,则它不是正方形;
②若一个四边形对角互补,则它内接于圆;
③正方形的四条边相等;
④圆内接四边形对角互补;⑤对角不互补的四边形不内接于圆;
⑥若一个四边形的四条边相等,则它是正方形.
其中互为逆命题的有________;互为否命题的有________;互为逆否命题的有________.【解析】命题③可改写为“若一个四边形是正方形,则它的四条边相等”;命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形,则它的对角互补”;命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补,则它不内接于圆”,再依据四种命题间的关系便不难判断.
答案:②和④,③和⑥ ①和⑥,②和⑤ ①和③,④和⑤类型二 四种命题的真假性
【典例2】(1)原命题为“若 A.真、真、真 B.假、假、真
C.真、真、假 D.假、假、假(2)原命题:“a,b,c∈R,若a>b,则ac2>bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题共有 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.4个 【解题指南】(1)因为原命题和其逆否命题同真假,逆命题和否命题同真假,所以只要判断原命题和它的逆命题的真假即可.
(2)写出逆命题、否命题及逆否命题,然后判断真假.【解析】(1)选A.由已知条件可以判断原命题为真,所以它的逆否命题也为真;而它的逆命题为真,所以它的否命题亦为真.(2)选C.对原命题:当c=0时ac2=bc2,故原命题为假命题.又逆命题为“a,b,c∈R,若ac2>bc2,则a>b”,由不等式性质,可得此命题为真命题.由命题的同真同假性知,原命题与逆否命题为假命题,逆命题与否命题为真命题. 【延伸探究】若把本例(1)中“若 改为“在等比数列{an}中,若a1>a2>a3”,其他条件不
变,则结果如何?【解析】由已知条件可以判断原命题为真,所以它的逆否命题也为真,而它的逆命题为真,所以它的否命题亦为真.【方法总结】判断四种命题真假的两种方法
(1)直接判断:利用命题真假判断的方法判断.
(2)同真同假转化:由于互为逆否命题的真假具有同真同假性,因而在判断四种命题的真假时,可以转化为先判断原命题和逆(否)命题的真假,再利用互为逆否命题的真假具有同真同假性即可完成.【拓展延伸】转化与化归的数学思想
转化与化归的思想方法是应用等价转化的思想方
法去解决数学问题;它可以在数与数、形与形、数与
形之间进行转换;它可以将较为烦琐、复杂的问题,变
成比较简单的问题;通过观察、分析、类比、联想等思维过程,选择运用恰当的数学方法进行变换,将原问题转化为一个新问题(相对来说,自己较熟悉的问题),并通过对新问题的求解,达到解决原问题的目的.【巩固训练】已知x∈R,a=x2+ ,b=-x+2,c=x2-x+1.
求证:a,b,c中至少有一个不小于1.【证明】假设a,b,c均小于1,则a+b+c<3.
又a+b+c=2x2-2x+ =2 +3≥3,与假设矛盾.
所以a,b,c中至少有一个不小于1.【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
命题真假判断的重要途径
由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性,所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,从而间接地证明原命题为真命题.课件41张PPT。1.2 充分条件与必要条件
1.2.1 充分条件与必要条件主题 充分条件和必要条件
1.判断下列两个命题的真假,若为真命题,说明条件和结论有什么关系?
(1)若x>a2+b2,则x>2ab.
(2)若ab=0,则a=0.提示:(1)为真命题,(2)为假命题,(1)为真命题说明:由条件x>a2+b2,通过推理可以得出结论x>2ab.2.以上条件和结论的关系是否对任意一个“若p,则q”的命题都成立?
提示:都成立.结论:充分条件与必要条件?充分必要充分必要【微思考】
1.若p是q的充分条件,这样的条件p唯一吗?
提示:不唯一.例如“x>1”是“x>0”的充分条件,p可以是“x>2”“x>3”或“2提示:若?p,则?q为真命题,等价于若q,则p为真命题,即q?p,故p是q的必要条件.3.如何理解充分条件、必要条件中的“充分”和“必要”?
提示:“充分”即条件充分,有充足的理由;“必要”即必须要有,缺之不可.【预习自测】
1.直线y=kx+b过原点的充分条件是 ( )
A.b=0 B.b>0 C.b<0 D.b∈R
【解析】选A.b=0时,直线y=kx过原点.所以b=0是直线y=kx+b过原点的充分条件.2.a<0,b<0的一个必要条件为 ( )
A.a+b<0 B.a-b>0 C. >1 D. <-1
【解析】选A.a+b<0 a<0,b<0,而a<0,b<0?a+b<0.3.对于任意的实数a,b,c,在下列命题中,真命题
是 ( )
A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件
C.“acD.“ac=bc”是“a=b”的充分条件【解析】选B.当c为零时,由ac=bc a=b.4.指出下列各组命题中,p是q的什么条件.
(1)p:四边形的对角线相等,q:四边形是平行四边形.
(2)p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x-1)(y-2)=0.【解析】(1)因为四边形的对角线相等 四边形是平行四边形,
四边形是平行四边形 四边形的对角线相等,
所以p是q的既不充分也不必要条件.(2)因为(x-1)2+(y-2)2=0?x=1且y=2?(x-1)·
(y-2)=0,而(x-1)(y-2)=0 (x-1)2+(y-2)2=0,
所以p是q的充分不必要条件. 类型一 充分条件和必要条件的判断
【典例1】(1)(2017·杭州高二检测)在等比数列{an}中,“a1①a<0其中能使 成立的充分条件有________.(只填序号) 【解题指南】(1)看由“a1由“an(2)看①,②,③,④这几个条件能否推出命题 成立.【解析】(1)如an=(-3)n-1,a1=(-3)0=1,a3=(-3)2=9,满
足a1以,a1增数列,则有a1“an答案:必要(2)当a<0当b当b<0当0所以能使 成立的充分条件有①②④.
答案:①②④ 【延伸探究】1.本例(1)中条件不变,判断“an【解析】由(1)解析知,“an【解析】如an=(-1)n,a1=-1,a2=1,满足a1但{an}不是递增数列,反之若an则有a1p是q的充分条件的含义是:要使q成立,只要满足条件p就行;p是q的必要条件的含义是:要使p成立,必须满足条件q才行.从集合的观点看,必要条件的意义是:设集合A=
{x|x满足条件p},
B={x|x满足条件q},
若A?B,则p是q的必要条件;
若A?B,则p不是q的必要条件.【补偿训练】1.设l,m,n均为直线,其中m,n在平面α
内,“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的______条件(从“充分”“必要”中选择一个填写).【解析】l⊥α?l⊥m且l⊥n,而m,n是平面α内两条直线,并不一定相交,所以l⊥m且l⊥n不能得到l⊥α.
答案:充分2.“a<0”是“方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根”的_______条件(从“充分”“必要”中选择一个填写).【解析】当a<0时,由根与系数的关系知x1x2= <0,故
此一元二次方程有一正根和一负根,符合题意;当
ax2+2x+1=0至少有一个负数根时,a可以为0,因为当
a=0时,该方程仅有一根为- ,所以a不一定小于0.由
上述推理可知,“a<0”是“方程ax2+2x+1=0至少有一
个负数根”的充分条件.
答案:充分类型二 充分、必要条件的应用
【典例2】已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m,且p是q的充分条件,但不是必要条件,求实数m的取值范围.
【解题指南】根据充分条件、必要条件的意义列出不等式组求解即可.【解析】因为p是q的充分条件,但不是必要条件,
所以p?q但q p,
即{x|-2≤x≤10}是{x|1-m≤x≤1+m}的真子集,
所以 或 解得m≥9.
所以实数m的取值范围为{m|m≥9}.【方法总结】应用充分、必要条件求参数的取值范围
根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系,将问题转化为集合之间的关系,建立关于参数的不等式或不等式组求解,注意数形结合思想的应用.【巩固训练】已知P={x|a-4所以 解得-1≤a≤5.
故实数a的取值范围是[-1,5].【补偿训练】不等式(a+x)(1+x)<0成立的一个充分而不必要条件是-2不等式成立,所以不等式的解为-a(-2,-1) (-a,-1),所以-2>-a,即a>2.
答案:a>2【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
判断p是q的什么条件的方法
主要判断p?q,及q?p两命题的正确性,若p?q真,则p是q成立的充分条件;若q?p真,则p是q成立的必要条件.要否定p与q不能相互推出时,可以举出一个反例进行否定.课件59张PPT。1.2.2
充 要 条 件主题 充要条件的概念
1.已知p:整数a是6的倍数,q:整数a是2和3的倍数.请判断:p是q的充分条件吗?p是q的必要条件吗?提示:p?q,故p是q的充分条件,又q?p,故p是q的必要条件.2.通过判断,你发现了什么?这种关系是否对任意一个“若p,则q”的命题只要具备上述命题的条件都成立?你能用数学语言概括出来吗?
提示:可以发现p既是q的充分条件,又是q的必要条件,且这种关系对“若p,则q”的命题只要具备p?q,q?p都成立,即p?q.结论:充要条件的概念
如果既有p?q,又有q?p,就记作p?q.此时,我们说p是
q的_________条件,简称_____条件.
概括地说,如果p?q,那么p与q互为_____条件.充分必要充要充要【微思考】
1.符号“?”的含义是什么?
提示:符号“?”的含义是“等价于”.例如,“p?q”可以理解为“p是q的充要条件”“p等价于q”“q必须且只须p”;“p?q”的含义还可以理解为“p?q,且q?p”.2.p是q的充要条件与q是p的充要条件的意义相同吗?提示:不相同.两者都有p与q等价的含义,但是两种叙述方式中的条件与结论不同:“p是q的充要条件”中,“p”是条件,“q”是结论,即p?q为真,充分性成立,q?p为真,必要性成立;而“q是p的充要条件”中的条件是“q”,结论是“p”,即q?p为真,充分性成立,p?q为真,必要性成立.3.若p不是q的充分条件,则q可能是p的必要条件吗?p可能是q的必要条件吗?
提示:充分条件与必要条件是共存的,如果p不是q的充分条件,则q也不是p的必要条件.p可能是q的必要条件.【预习自测】
1.已知条件p:y=lg(x2+2x-3)的定义域,条件q:5x-6>x2,则q是p的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件【解析】选A.p:x2+2x-3>0,则x>1或x<-3;
q:5x-6>x2,即x2-5x+6<0,得2所以q?p,但p q.2.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”
的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件【解析】选A.x2+y2≥4表示以原点为圆心,以2为半径的圆以及圆外的区域,可知点(0,2)在此区域内,此时x=0<2,即x2+y2≥4不一定推出x≥2且y≥2.3.设a,b∈R,那么ab=0的充要条件是 ( )
A.a=0且b=0 B.a=0或b≠0
C.a=0或b=0 D.a≠0且b=0【解析】选C.由ab=0,知a,b至少有一个为0.
即a=0或b=0,
而由a=0或b=0可得ab=0.4.已知a,b是实数,则“a>0且b>0”是“a+b>0,且ab>0”的______条件.【解析】因为a>0,b>0,所以a+b>0,ab>0,
所以充分性成立;因为ab>0,所以a与b同号,又a+b>0,所以a>0且b>0,所以必要性成立.故“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的充要条件.
答案:充要类型一 充分条件、必要条件、充要条件的判断
【典例1】(1)(2017·北京高考)设m,n为非零向量，则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n＜0”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件(2)判断下列各题中p是q的什么条件.
①在△ABC中,p:A>B,q:BC>AC.
②p:x>1,q:x2>1.
③p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3.
④p:a零向量m，n反向，则有m·n＜0成立，当m·n＜0
时，非零向量m，n的夹角θ∈ 此时m，n不一定
反向，所以m=λn不一定成立，所以“存在负数λ，
使得m=λn”是“m·n＜0”的充分而不必要条件.(2)①由三角形中大角对大边可知,若A＞B,
则BC＞AC;反之，若BC＞AC，则A＞B.
因此,p是q的充要条件.
②由x＞1可以推出x2＞1;由x2＞1，得x＜-1或x＞1，不一定有x＞1.
因此,p是q的充分不必要条件. ③由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3,不一定有a=3;由a=3可以得出(a-2)(a-3)=0.
因此,p是q的必要不充分条件.④由于a1;当b>0时, <1,
故若a0,b>0, <1时,可以推出
ab.
因此p是q的既不充分也不必要条件.【方法总结】
判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法
(1)定义法:直接判断“若p,则q”以及“若q,则p”的真假.
(2)集合法:即利用集合的包含关系判断.(3)等价法:即利用p?q与q?p的等价关系,一般地,对于条件和结论是否定形式的命题,一般运用等价法.
(4)传递法:充分条件和必要条件具有传递性,即由p1?p2?…?pn,可得p1?pn;充要条件也有传递性. 【拓展延伸】充分条件、必要条件、充要条件与四种命题的关系
判定充分条件、必要条件时,可以与四种命题的关系结合起来.把p与q分别记作原命题的条件与结论,则原命题与逆命题的真假同p与q之间的关系如下:①如果原命题为真,逆命题为假,那么p是q的充分不必要条件;
②如果原命题为假,逆命题为真,那么p是q的必要不充分条件;
③如果原命题与逆命题都为真,那么p是q的充要条件;
④如果原命题与逆命题都为假,那么p是q的既不充分也不必要条件.【巩固训练】已知如下命题中:
①若a∈R,则“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的充分不必要条件;
②对于实数a,b,c,“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件;③直线l1:ax+y=3,l2:x+by-c=0.
则“ab=1”是“l1∥l2”的必要不充分条件;
④“m<-2或m>6”是“y=x2+mx+m+3有两个不同零点”的充要条件.
正确的命题是______.【解析】①中,当a=2时,有(a-1)(a-2)=0;但当
(a-1)·(a-2)=0时,a=1或a=2,不一定有a=2.
所以“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的充分不必要条件,①正确.
②因为a>b ac2>bc2(c=0),但ac2>bc2?a>b.
所以“a>b”是“ac2>bc2”必要不充分条件,②错.③中,ab=1且ac=3时,l1与l2重合,但l1∥l2? ,即
ab=1,
所以“ab=1”是“l1∥l2”的必要不充分条件,③正确.
④中,y=x2+mx+m+3有两个不同零点?Δ=m2-4(m+3) >0?m<-2或m>6.
所以是充要条件,④正确.
答案:①③④类型二 充分条件、必要条件、充要条件的应用
【典例2】已知条件p:A={x|x2-(a+1)x+a≤0},条件q:
B={x|x2-3x+2≤0},当a为何值时,
(1)p是q的充分不必要条件.
(2)p是q的必要不充分条件.
(3)p是q的充要条件.【解题指南】先化简p,q对应的集合,再结合p,q的关系转化为集合A,B间的关系,构建方程或不等式可解.【解析】因为A={x|x2-(a+1)x+a≤0}={x|(x-1)(x-a) ≤0}.B={x|x2-3x+2≤0}=[1,2],
(1)因为p是q的充分不必要条件,所以A B,而当a=1
时,A={1},显然成立,当a>1,A=[1,a],需1综上可知1≤a<2时,p是q的充分不必要条件.(2)因为p是q的必要不充分条件,所以B A,
故A=[1,a],且a>2,
所以有a>2时,p是q的必要不充分条件.
(3)因为p是q的充要条件,所以A=B,故a=2. 【延伸探究】
1.本例条件不变,当a为何值时,q是p的充分不必要条件?
【解析】p:A={x|(x-1)(x-a)≤0},
q:B=[1,2],若q是p的充分不必要条件,即q?p,但p q,
即p是q的必要不充分条件,故a的取值范围为a>2.2.若把本例中B集合改为:B={x|x2+x-2≤0},其他条件不变,则a为何值?
【解析】B={x|x2+x-2≤0}=[-2,1],
此时,(1)A B,得:-2(2)B A,得:a<-2.
(3)A=B,得:a=-2.【方法总结】
1.集合法求参数的取值范围
利用充分、必要条件求参数的取值范围问题,常利用集合法求解,即先化简集合A={x|p(x)}和B={x|q(x)},然后根据p与q的关系(充分、必要、充要条件),得出集合A与B的包含关系,进而得到相关不等式组(也可借助数轴),求出参数的取值范围.2.反例法判断条件
判断p是q的什么条件,若直接判断困难,还可以用等价命题来判断,有时也可通过举反例否定充分性或必要性.【补偿训练】若A={x|a3},且A是B的充分不必要条件,求实数a的取值范围.【解析】因为A是B的充分不必要条件,
所以A B,
又A={x|a3}.
因此a+2≤-1或a≥3,
所以实数a的取值范围是a≥3或a≤-3.类型三 充要条件的证明
【典例3】试证:一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.【解题指南】【证明】(1)必要性:因为方程ax2+bx+c=0有一个正根
和一个负根,所以Δ=b2-4ac>0,x1x2= <0(x1,x2为方程
的两根),所以ac<0.(2)充分性:由ac<0可推得Δ=b2-4ac>0及x1x2=
<0(x1,x2为方程的两根).所以方程ax2+bx+c=0有两个相
异实根,且两根异号,即方程ax2+bx+c=0有一个正根和
一个负根.综上所述,一元二次方程ax2+bx+c=0有一个
正根和一个负根的充要条件是ac<0.【方法总结】证明充要条件的两个关注点
(1)双向性:证明p是q的充要条件,既要证明“p?q”为真,又要证明“q?p”为真,前者证明的是充分性,后者证明的是必要性.(2)分清地位:证明充要条件,即说明原命题和逆命题都成立,要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异,分清哪个是条件,哪个是结论. 【巩固训练】求证:关于x的一元二次不等式ax2-ax+1>0对于一切实数x都成立的充要条件是00对于一切实数x都成立,
由二次函数性质有
即 所以0所以0< <1,即0<1- <1,
所以ax2-ax+1=
所以若00对于一切实数x都成立.
由①②知,命题得证.【补偿训练】已知x,y都是非零实数,且x>y,求证:
的充要条件是xy>0.【证明】(1)必要性:由 ,得 <0,即 <0,
又由x>y,得y-x<0,所以xy>0.
(2)充分性:由xy>0及x>y,
得
综上所述, 的充要条件是xy>0.【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
充分必要条件的判断方法
(1)若q?p,且p q,则p是q的必要不充分条件,q是p的充分不必要条件.
(2)若p?q,且q?p,则p是q的充要条件(此时q也是p的充要条件).(3)若p q,且q p,则p是q的既不充分又不必要条件.课件70张PPT。1.3
简单的逻辑联结词主题1 p且q(p∧q)
1.观察下列三个命题,其中命题(3)与命题(1)(2)之间有什么关系?
(1)6是2的倍数.
(2)6是3的倍数.
(3)6是2的倍数且是3的倍数.提示:命题(3)是由命题(1)(2)使用联结词“且”联结得到的新命题.2.以上三个命题的真假如何?其中命题(3)的真假与命题(1)(2)的真假有何关系?
提示:(1)(2)(3)均真,可知(1)(2)真,则(3)真.结论:
1.定义
用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来,就得到
一个新命题,记作_____,读作“_____”.p∧qp且q2.真假判断
当p,q都是真命题时,p∧q是_______;当p,q两个命题中
有一个命题是假命题时,p∧q是_______.真命题假命题【微思考】
若“p∧q”是假命题,则命题p,q都是假命题吗?为什么?
提示:不一定,因为命题p,q中只要有一个是假命题,“p∧q”就是假命题.主题2 p或q(p∨q)
1.观察下列三个命题,其中命题(3)与命题(1)(2)之间有什么关系?
(1)6是2的倍数.
(2)6是3的倍数.
(3)6是2的倍数或是3的倍数.提示:可以看出命题(3)是由命题(1)(2)使用联结词“或”联结得到的新命题.2.命题(3)的真假如何?
提示:命题(3)为真命题.结论:
1.定义
用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来,就得到
一个新命题,记作_____,读作“_____”.p∨qp或q2.真假判断
当p,q两个命题有一个命题是真命题时,p∨q是_______;
当p,q两个命题都是假命题时,p∨q是_______.真命题假命题【微思考】
1.若“p∨q”是假命题,p,q一定是假命题吗?
提示:是,只要p,q中有一个为真命题,则p∨q是真命题,只有p,q都是假命题时,p∨q才是假命题.2.逻辑联结词“或”与集合、生活中的“或”含义相同吗?提示:联结词“或”与集合运算中并集的定义A∪B={x|x∈A或x∈B}中“或”的意义相同,是逻辑联结词.“或”与日常生活用语中的“或”意义有所不同,日常用语中的“或”带有“不可兼有”的意思,如“学习或休息”,而逻辑联结词中的“或”含有“同时兼有”的意思.主题3 非p(?p)
1.观察下列两个命题(1)(2),它们之间有什么关系?
(1)6是3的倍数.
(2)6不是3的倍数.
提示:命题(2)是命题(1)的否定.2.以上两个命题的真假如何?你能归纳出它们真假的一般规律吗?
提示:(1)为真命题;(2)为假命题;若p是真命题,则?p为假命题,若p为假命题,则?p为真命题.结论:
1.定义
对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作___,
读作________或____________.?p“非p”“p的否定”2.真假判断
若p是真命题,则?p必是_______;若p是假命题,则?p必
是_______.假命题真命题【微思考】
命题的否定与否命题有什么区别?
提示:命题的否定只否定命题的结论,而否命题既否定命题的条件,又否定命题的结论.【预习自测】
1.下列命题中,是“p∨q”形式的命题的是 ( )
A.? {0}
B.-3<0
C.平行四边形的对角线相等且互相平分
D.能被5整除的整数的末位数不是0就是5【解析】选D.“? {0}”和“-3<0”是简单命题;“平行四边形的对角线相等且互相平分”是“p∧q”形式的命题.“能被5整除的整数的末位数不是0就是5”是“p∨q”形式的命题.2.已知p:??{0},q:{1}∈{1,2}.则四个命题p,q,p∧q, p∨q中,真命题有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】选B.容易判断命题p:??{0}是真命题,命题q:{1}∈{1,2}是假命题,所以p∧q是假命题.p∨q真命题.3.对命题p:A∩?=?,命题q:A∪?=A,下列说法正确的
是 ( )
A.p且q为假命题 B.p或q为假命题
C.非p为真命题 D.非p为假命题【解析】选D.因为命题p为真,命题q为真,所以p且q为真,p或q为真,非p为假,非q为假,故选D.4.给出命题p:ax+b>0的解为x>- ,命题q:(x-a)(x-b)<0的解为a答案:假类型一 含逻辑联结词命题的构成
【典例1】分别写出由下列命题构成的“p∨q” “p∧q”“?p”形式的命题.
(1)p:梯形有一组对边平行,q:梯形有一组对边相等.
(2)p:-1是方程x2+4x+3=0的解,q:-3是方程x2+4x+3=0的解.【解题指南】先分清p∧q,p∨q,?p所代表的具体含义,然后再将题目所给予的命题p和命题q相互加以融合即可.【解析】(1)p∧q:梯形有一组对边平行且有一组对边相等.
p∨q:梯形有一组对边平行或有一组对边相等.
?p:梯形没有一组对边平行.(2)p∧q:-1与-3是方程x2+4x+3=0的解.
p∨q:-1或-3是方程x2+4x+3=0的解.
?p:-1不是方程x2+4x+3=0的解.【方法总结】
1.命题结构的判断方法
不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”“非”等逻辑联结词,而应从命题的结构上看是否用逻辑联结词联结两个命题.2.用逻辑联结词构造新命题的关键点
用逻辑联结词“且”“或”联结两个命题时,关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词,选择合适的联结词,有时为了语法的要求及语句的通顺也可进行适当的省略或变形.【巩固训练】指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题:
(1)方程2x2+1=0没有实数根.
(2)12能被3或4整除.【解析】(1)是“?p”形式,其中p:方程2x2+1=0有实数根.
(2)是“p或q”形式,其中p:12能被3整除;q:12能被4整除.【补偿训练】分别写出由下列命题构成的“p∧q” “p∨q”“?p”形式的命题.
(1)p:正方体是六面体;q:空间四边形有对角线.
(2)p:过圆周上的一点只有一条圆的切线;
q:两条直线异面时不可能垂直.【解析】(1)p∧q:正方体是六面体且空间四边形有对角线;
p∨q:正方体是六面体或空间四边形有对角线;
?p:正方体不是六面体.(2)p∧q:过圆周上的一点只有一条圆的切线且两条直线异面时不可能垂直;
p∨q:过圆周上的一点只有一条圆的切线或两条直线异面时不可能垂直;
?p:过圆周上的一点不是只有一条圆的切线. 类型二 含逻辑联结词的命题真假的判断
【典例2】分别指出下列各组命题构成的“p∧q” “p∨q”“?p”形式的命题的真假.
(1)p:6<6,q:6=6.
(2)p:梯形的对角线相等,q:梯形的对角线互相平分.(3)p:函数y=x2+x+2的图象与x轴没有公共点,q:不等式x2+x+2<0无解.
(4)p:函数y=cosx是周期函数,q:函数y=cosx是奇函数. 【解题指南】先判断p,q的真假,再根据真假规定判断“p∧q”“p∨q”,“?p”的真假.【解析】(1)因为p为假命题,q为真命题,
所以p∧q为假命题,p∨q为真命题,?p为真命题.
(2)因为p为假命题,q为假命题,
所以p∧q为假命题,p∨q为假命题,?p为真命题.(3)因为p为真命题,q为真命题,
所以p∧q为真命题,p∨q为真命题,?p为假命题.
(4)因为p为真命题,q为假命题,
所以p∧q为假命题,p∨q为真命题,?p为假命题. 【延伸探究】
本例(1)条件不变,试判断命题(?p)∧q,p∧(?q), (?p)∧(?q)的真假.
【解析】由条件知,p假,q真,所以?p真,?q为假,故(?p)∧q为真,p∧(?q)为假,(?p)∧(?q)为假.【方法总结】
1.判断含有逻辑联结词的命题的真假的步骤
(1)确定含逻辑联结词的命题的构成形式.
(2)判断其中简单命题p,q的真假.
(3)由真值表判断命题的真假.2.真值表.解读真值表【巩固训练】判断下列命题的真假:
(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边.
(2)x=±1是方程x2+3x+2=0的根.
(3)集合A不是A∪B的子集.【解析】(1)这个命题是“p∧q”的形式,其中p:等腰三角形顶角的平分线平分底边,q:等腰三角形顶角的平分线垂直于底边,因为p真,q真,则“p∧q”真,所以该命题是真命题.(2)这个命题是“p∨q”的形式,其中p:1是方程x2+3x+2=0的根,q:-1是方程x2+3x+2=0的根,因为p假,q真,
则“p∨q”真,所以该命题是真命题.
(3)这个命题是“?p”的形式,其中p:A?(A∪B),因为p真,则“?p”假,所以该命题是假命题. 【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
含有逻辑联结词的命题真假的三个关注点
(1)真假规律:①p∨q:一真必真,都假才假;
②p∧q:一假必假,都真才真.(2)?p:p与?p是互为否定的,从而有?(?p)=p,p真?p假,p假?p真.
(3)含有逻辑联结词的命题的否定:p∨q的否定为(?p)∧(?q);p∧q的否定为(?p)∨(?q),其真假也可以参照含有逻辑联结词的命题的真假进行判断. 拓展类型:根据含逻辑联结词命题的真假求参数的范围
【典例】(2017·青岛高二检测)命题p:关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切x∈R恒成立;q:函数f(x)=-(5-2a)x是减函数.若p或q为真,p且q为假,求实数a的取值范围.【解题指南】先求出命题p与q为真时a的取值范围,然后根据题意讨论p,q的真假,求出参数a的取值范围.【解析】设g(x)=x2+2ax+4,因为关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切x∈R恒成立,所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点,故Δ=4a2-16<0,
所以-2所以命题p:-2函数f(x)=-(5-2a)x是减函数,则有5-2a>1,即a<2.所以命题q:a<2.
由p或q为真,p且q为假,可知p和q一真一假.
(1)若p真q假,则 此不等式组无解.
(2)若p假q真,则
所以a≤-2.
综上,实数a的取值范围是(-∞,-2].【延伸探究】若将“q:函数f(x)=-(5-2a)x是减函数”改为“q:函数f(x)=-(5-2a)x是增函数”,其他条件不变,求实数a的取值范围.【解析】设g(x)=x2+2ax+4.因为关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切x∈R恒成立,所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点,故Δ=4a2-16<0,
所以-2所以命题p:-2函数f(x)=-(5-2a)x是增函数,则有0<5-2a<1,即2由p或q为真,p且q为假,可知p和q一真一假.
(1)若p真q假,则
所以-2所以2综上,实数a的取值范围是(-2,2)∪ 【方法总结】命题“p∧q”“p∨q”“?p”真假应用的规律
(1)由命题“p∧q”“p∨q”“?p”的真假推出p和q真假,其结论如下:
①若“p∧q”为真,则p和q均为真;若“p∧q”为假,则p和q至少有一个为假;②若“p∨q”为真,则p和q至少有一个为真;若“p∨q”为假,则p和q都为假;
③命题p和命题?p真假相反.
(2)由p和q的真假转化为相应的数学问题,再结合正确的逻辑推理方法求得结论.【巩固训练】设p:函数y=loga(x+1)(a>0且a≠1)在(0,+∞)上单调递减;q:曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点.如果p∧q为假命题,p∨q为真命题,求a的取值范围.【解析】因为函数y=loga(x+1)(a>0且a≠1)在(0,+∞)上单调递减,所以0因为曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点,
所以Δ>0,即(2a-3)2-4>0,解得 ,
即q: .因为p∧q为假,p∨q为真,
所以p真,q假或p假,q真,
解得 ≤a<1或a> .
综上所述,a的取值范围为 课件57张PPT。1.4 全称量词与存在量词
1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词主题1 全称量词和全称命题
1.观察下列语句,它们是命题吗?
(1)x≤6.
(2)2x是偶数.(3)对任意的x∈R,x≤6.
(4)对所有的x∈Z,2x都是偶数.
提示:语句(1)(2)不是命题,(3)(4)是命题. 2.以上四个语句(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?
提示:(3)在语句(1)的基础上增加了短语“任意的x∈R”对变量x进行限制;语句(4)在语句(2)的基础上增加了短语“所有的x∈Z”对变量x进行限制.结论:
1.全称量词的定义:
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做
_________,并用符号“___”表示.全称量词?2.全称命题的定义:
含有_________的命题叫做全称命题,全称命题“对M中
任意一个x,有p(x)成立”,用符号表示为:____________.全称量词?x∈M,p(x)【微思考】
1.在全称命题中,量词是否可以省略?
提示:在有些全称命题中,全称量词是可以省略的,如“平行四边形的对角线互相平分”实际应解读为“所有平行四边形的对角线都互相平分”.2.一个全称命题的表述是否唯一?
提示:不唯一.对于一个全称命题,由于自然语言的不同,可以有不同的表述方法,只要形式正确即可.主题2 存在量词和特称命题
1.观察下列语句,它们是命题吗?
(1)x>6.
(2)2x是偶数.
(3)至少有一个x0∈R,使x0>6.
(4)存在x0∈Z,使2x0是偶数.
提示:(1)(2)不是命题,(3)(4)是命题.2.以上四个语句,(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?
提示:语句(3)在(1)的基础上,用短语“至少有一个”对变量的取值进行限定;语句(4)在(2)的基础上,用“存在一个”对变量的取值进行限制.结论:
1.存在量词的定义:
短语“存在一个”,“至少有一个”在逻辑中叫做
_________,用符号“___”表示.存在量词?2.特称命题的定义:
含有_________的命题,叫做特称命题,特称命题
“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”用符号表示为
_____________.存在量词?x0∈M,p(x0)【微思考】
怎样区别全称命题和特称命题?
提示:全称命题含有或隐含全称量词,体现了任意、所有的意思,特称命题含有或隐含存在量词,体现了特殊存在性.【预习自测】
1.下列命题中全称命题的个数为 ( )
①平行四边形的对角线互相平分;②梯形有两边平行;③存在一个菱形,它的四条边不相等.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【解析】选C.①②是全称命题,③是特称命题.2.下列语句不是全称命题的是 ( )
A.模相等的向量是相等向量
B.共线向量所在直线共线
C.在平面向量中,有些向量是共线向量
D.每一个向量都有大小【解析】选C.选项A,B,D都是全称命题,选项C中含有量词“有些”是特称命题.3.下列命题中,既是真命题又是特称命题的是 ( )
A.存在一个α,使tan(90°-α)=tanα
B.存在实数x0,使sinx0=
C.对一切α,sin(180°-α)=sinα
D.sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ【解析】选A.C,D是全称命题,A,B是特称命题,
由于|sinx|≤1,故sinx0= >1不成立,B为假命题,对于A,当α=45°时,tan(90°-α)=tanα成立.4.对任意x>3,x>a恒成立,则实数a的取值范围是________.
【解析】由题意知(3,+∞) (a,+∞),所以a≤3.
答案:a≤3类型一 全称命题与特称命题的判断
【典例1】(1)下列语句不是特称命题的是 ( )
A.有的无理数的平方是有理数
B.有的无理数的平方不是有理数
C.对于任意x∈Z,2x+1是奇数
D.存在x0∈R,2x0+1是奇数(2)给出下列几个命题:
①至少有一个x0,使x02+2x0+1=0成立;
②对任意的x,都有x2+2x+1=0成立;
③对任意的x,都有x2+2x+1=0不成立;
④存在x0,使x02+2x0+1=0成立.
其中是全称命题的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.0 【解题指南】先根据命题的概念判断其是否为命题,再看是含全称量词还是含存在量词,然后进行判断.【解析】(1)选C.因为“有的”“存在”为存在量词,“任意”为全称量词,所以选项A,B,D均为特称命题,选项C为全称命题.
(2)选B.因为“至少有一个”、“存在”是存在量词,“任意的”为全称量词,所以①④为特称命题,②③为全称命题,所以全称命题的个数为2.【方法总结】判断一个命题是否为全称命题或特称命题的关注点
判断一个命题是否为全称命题或特称命题,就是判断这个命题中是否含有全称量词或存在量词,有些命题的量词可能隐含在命题之中,这时要根据命题含义判断形式,如大多数公理、定理的简述都是一般性结论,它们大多数省略了全称量词,但仍应看作全称命题.【巩固训练】下列命题中是全称命题的个数为 ( )
①凸多边形的外角和为360°;
②有的向量方向不定;
③对任意角α,都有sin2α+cos2α=1;
④有一个函数既是奇函数又是偶函数.
A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选B.①③是全称命题,②④是特称命题.类型二 全称命题与特称命题真假的判断
【典例2】指出下列命题是全称命题还是特称命题,并判断它们的真假.
(1)?x∈N,2x+1是奇数.
(2)存在一个x0∈R,使
(3)对任意向量a,|a|>0.
(4)有一个角α,使sinα>1.【解题指南】先判断命题的类型,再判断命题的真假.
【解析】(1)是全称命题.因为?x∈N,2x+1都是奇数,所以该命题是真命题.(2)是特称命题.因为不存在x0∈R,使 成立,所以该命题是假命题.
(3)是全称命题.因为|0|=0,所以|a|>0不都成立,因此,该命题是假命题.
(4)是特称命题.因为?α∈R,sinα∈[-1,1],所以该命题是假命题. 【方法总结】全称命题与特称命题真假的判断方法
(1)要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立;但要判定全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x0,使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).(2)要判定一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个x0使p(x0)成立即可;否则,这个特称命题就是假命题.【巩固训练】判断下列命题的真假:
(1)p:所有的单位向量都相等.
(2)p:任一等比数列{an}的公比q≠0.
(3)p:?x0∈R,x02+2x0+3≤0.【解析】(1)p是全称命题,是假命题.
若两个单位向量e1,e2方向不相同,虽然有|e1|=|e2|=1,
但e1≠e2.
(2)p是全称命题,是真命题.
根据等比数列的定义知,任一等比数列中,其每一项
an≠0,所以其公比q= ≠0(n=1,2,3,…).(3)p是特称命题,是假命题.
因为对于?p:?x∈R,x2+2x+3>0是真命题,这是因为x2+2x+3=(x+1)2+2≥2>0恒成立. 【补偿训练】判断下列命题的真假:
(1)若a>0,且a≠1,则对任意实数x,ax>0.
(2)对任意实数x1,x2,若x1(3)?T0∈R,使|sin(x+T0)|=|sinx|.
(4)?x0∈R,2x02+7<0.【解析】命题(1)为全称命题,根据指数函数的性质可知,该命题为真命题;
命题(2)是全称命题,存在x1=0,x2=π,虽然x1命题(4)是特称命题,因为对任意的x∈R,都有2x2+7>0,故该命题为假命题.类型三 根据全称命题与特称命题真假求参数的范围
【典例3】命题p:?x∈R,sinxcosx≥m,若命题p是真命题,求实数m的取值范围.【解题指南】设函数f(x)=sinxcosx,只需令f(x)的最小值大于或等于m.【解析】设函数f(x)=sinxcosx,x∈R,
则f(x)= sin2x,所以函数f(x)的值域是
由于命题p是真命题,
即对任意x∈R,恒有sinxcosx≥m成立,
所以对任意x∈R,恒有f(x)≥m成立,又函数f(x)的最小值为- ,
所以只需m≤- ,
所以实数m的取值范围是 【延伸探究】
1.将命题p改为:?x0∈R,sinx0cosx0≥m,若命题p是真命题,如何求m的取值范围?【解析】由于命题p是真命题,即存在一个实数x0,满足sinx0cosx0≥m成立,
所以存在一个实数x0,满足f(x0)≥m成立,
由于函数f(x)的最大值为 ,
所以m的值不可能大于 ,即m≤ .
所以实数m的取值范围是 2.将命题p改为:?x∈R,9x-3x-m=0,若命题?p是假命题,求实数m的取值范围.【解析】由于?p是假命题,所以p是真命题,
即对任意实数x,9x-3x-m=0恒成立.
设3x=t,由于x∈R,则t∈(0,+∞),
则9x-3x-m=0?m=(3x)2-3x
?m=t2-t,t∈(0,+∞),设f(t)=t2-t,t∈(0,+∞),则f(t)= 当
t= 时,f(t)min=- ,
则函数f(t)的值域是
所以实数m的取值范围是 【方法总结】应用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型解决策略
(1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题,全称命题为真时,意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质,所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质;也可以根据函数等数学知识来解决.(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述.解答这类问题,一般要先对结论作出肯定存在的假设,然后从肯定的假设出发,结合已知条件进行推理证明,若推出合理的结论,则存在性随之解决;若导致矛盾,则否定了假设. 【补偿训练】已知函数f(x)=x2-2x+5.
(1)是否存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,并说明理由.
(2)若存在一个实数x0,使不等式m-f(x0)>0成立,求实数m的取值范围.【解题指南】可考虑用分离参数法,转化为m>-f(x)恒成立和存在一个x0,使m>f(x0)成立.【解析】(1)不等式m+f(x)>0可化为m>-f(x),
即m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4.
要使m>-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立,只需m>-4即可.
故存在实数m使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,此时需m>-4.(2)不等式m-f(x)>0可化为m>f(x).若存在一个实数x0使不等式m>f(x0)成立,只需m>f(x)min.
又f(x)=(x-1)2+4,所以f(x)min=4,所以m>4.
所以所求实数m的取值范围是(4,+∞). 【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结课件45张PPT。1.4.3
含有一个量词的命题的否定主题1 含有一个量词的全称命题的否定
下列各命题是全称命题还是特称命题?你能写出它们的否定吗?
(1)所有矩形都是平行四边形.
(2)每一个素数都是奇数.
(3)?x∈R,x2-2x+1≥0.提示:它们都是全称命题.命题(1)的否定是“存在一个矩形不是平行四边形”;命题(2)的否定是“存在一个素数不是奇数”;命题(3)的否定为:?x0∈R, x02-2x0+1<0.结论:全称命题的否定
1.文字语言:
全称命题的否定变成了_________,?变为?,“全” “都”“等于”等前面加上_______.特称命题“不”2.符号语言:
?x∈M,p(x)的否定为:_______________.
结论:_________________________.?x0∈M,﹁p(x0)全称命题的否定是特称命题【微思考】
1.用自然语言描述的全称命题的否定形式唯一吗?
提示:不唯一,如“所有的菱形都是平行四边形”,它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”,也可以是“有些菱形不是平行四边形”.2.含有一个量词的全称命题的否定与原命题真假性有什么关系?
提示:真假性正好相反.主题2 含有一个量词的特称命题的否定
下列各命题是全称命题还是特称命题?你能写出它们的否定吗?
(1)有些实数的绝对值是正数.
(2)某些平行四边形是菱形.
(3)?x0∈R, x02+1<0.提示:它们是特称命题.其中(1)的否定为:所有实数的绝对值都不是正数,(2)的否定是“每一个平行四边形都不是菱形”,(3)的否定是“?x∈R,x2+1≥0”.结论:特称命题的否定
1.文字语言:
特称命题的否定变成了_________,?变为?,“是” “等”“含”等前面加_______.
2.符号语言:
?x0∈M,p(x0)的否定为_______________.全称命题“不”?x∈M, ﹁p(x)【微思考】
命题的否定和否命题有何区别?
提示:命题的否定是只对结论全盘否定,而否命题既否定条件又否定结论.【预习自测】
1.命题“?x∈R,x2≠x”的否定是 ( )
A.?x?R,x2≠x B.?x∈R,x2=x
C.?x0?R, x02≠x0 D.?x0∈R, x02=x0【解析】选D.全称命题的否定为特称命题:?x0∈R, x02=x0.2.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定
是 ( )
A.所有不能被2整除的整数都是偶数
B.所有能被2整除的整数都不是偶数
C.存在一个不能被2整除的整数是偶数
D.存在一个能被2整除的整数不是偶数【解析】选D.原命题为全称命题,其否定应为特称命题,且结论否定.3.命题“?x∈R,x2+x+1>0”的否定是________.
【解析】此命题为全称命题,其否定是特称命题,把“?”改为“?”,然后把x2+x+1>0进行否定.
答案:?x0∈R, x02+x0+1≤04.命题p:?x0∈R, x02+2x0+5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”),它是________命题(填“真”或“假”),它的否定为:________.【解析】命题p:?x0∈R, x02+2x0+5<0是特称命题.因为x2+2x+5=(x+1)2+4>0恒成立,
所以命题p为假命题.
命题p的否定为:?x∈R,x2+2x+5≥0.
答案:特称命题 假 ?x∈R,x2+2x+5≥0.
类型一 全称命题的否定及其真假判断
【典例1】(1)(2016·浙江高考)命题“?x∈R,?n
∈N*,使得n≥x2”的否定形式是 ( )
A.?x∈R,?n∈N*,使得nB.?x∈R,?n∈N*,使得nC.?x∈R,?n∈N*,使得nD.?x∈R,?n∈N*,使得n①p:一切分数都是有理数;
②q:直线l垂直于平面α,则对任意l′?α,l⊥l′;
③s:?x∈R,2x+4≥0;
④p:不论m取何实数,方程x2+2x-m=0都有实数根.【解题指南】(1)根据量词的否定判断.
(2)先找到量词与结论,对所给的命题进行否定,再判断真假.【解析】(1)选D.?的否定是?,?的否定是?,n≥x2的否定是n(2)①﹁p:有些分数不是有理数.假命题;
②﹁q:直线l垂直于平面α,则?l′?α,l与l′不垂直,假命题;
③﹁s:?x0∈R,2x0+4<0.真命题;④﹁p:存在实数m0,使得方程x2+2x-m0=0没有实数根.真命题.
【方法总结】
1.全称命题否定的两个关键
(1)看格式:写出全称命题的否定的关键是找出全称命题的全称量词和结论,把全称量词改为存在量词,结论变为否定的形式就得到命题的否定.(2)看含义:有些全称命题省略了量词,在这种情况下,千万不要将否定写成“是”或“不是”.
2.全称命题与特称命题的关系
全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质,无一例外,而特称命题中的存在量词却表明给定范围内的对象有例外,两者正好构成了相反意义的表述,所以全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.【巩固训练】
已知命题p:任意x∈R,sinx≤1,则它的否定是 ( )
A.存在x0∈R,sinx0≥1
B.任意x∈R,sinx≥1
C.存在x0∈R,sinx0>1
D.任意x∈R,sinx>1【解析】选C.因为命题“任意x∈R,sinx≤1”为全称命题,所以它的否定为“存在x0∈R,sinx0>1”.【补偿训练】写出下列命题的否定,并判断其真假.
(1)任意n∈Z,则n∈Q.
(2)等圆的面积相等,周长相等.
(3)偶数,其平方是正数.【解析】(1)存在n0∈Z,使n0?Q,这是假命题.
(2)存在等圆,其面积不相等或周长不相等,这是假命题.
(3)存在偶数,其平方不是正数,这是真命题.类型二 特称命题的否定及其真假判断
【典例2】(1)(2017·青岛高二检测)命题“?x0∈R,使得f(x0)=x0”的否定是 ( )
A.?x∈R,都有f(x)=x
B.不存在x∈R,使得f(x)≠x
C.?x∈R,都有f(x)≠x
D.?x0∈R,使得f(x0)≠x0(2)写出下列命题的否定,并判断其真假.
①至少有一个实数x0,使得x02+2x0+5=0.
②存在一个平行四边形,它的对角线互相垂直.
③存在一个三角形,它的内角和大于180°.
④存在偶函数为单调函数.【解题指南】根据已知特称命题,首先把存在量词改写为全称量词,然后再把结论写成否定的形式.【解析】(1)选C.命题的否定为?x∈R,都有f(x)≠x.
(2)①命题的否定是:对任意x∈R,都有x2+2x+5≠0,是真命题.
②命题的否定是:对于任意的平行四边形,它的对角线都不互相垂直,是假命题.③命题的否定是:对于任意的三角形,它的内角和小于或等于180°,是真命题.
④命题的否定是:所有的偶函数都不是单调函数,是真命题.
【延伸探究】
1.若将本例(2)①中的“至少有一个”用“至少有两个”替换,写出它的命题的否定.
【解析】因为“至少有两个”的否定是“至多有一个”,所以它的否定是:“至多有一个实数x0,使得x02+2x0+5≠0”.2.若将本例(2)①命题中的“x02+2x0+5=0”改为“x02+
ax0+5=0”,且该命题的否定为假命题,求实数a的取值
范围.
【解析】由题意得,原命题为真命题,所以有Δ=a2-
4×5≥0,解得a≥2 或a≤-2 .【方法总结】特称命题否定的方法及关注点
(1)方法:与全称命题的否定的写法类似,要写出特称命题的否定,先确定它的存在量词,再确定结论,然后把存在量词改写为全称量词,对结论作出否定就得到特称命题的否定.(2)关注点:注意对不同的存在量词的否定的写法.例如,“存在”的否定是“任意的”,“有一个”的否定是“所有的”或“任意一个”等.
提醒:不要把命题的否定和否命题混为一谈.【拓展延伸】对省略量词的命题的否定
对于一个含有量词的命题,容易知道它是全称命题或特称命题,可以直接写出其否定.而对省略量词的命题在写命题的否定时,应首先根据命题中所叙述的对象的特征,挖掘其隐含的量词,确定是全称命题还是特称命题,先写成全称命题或特称命题的形式,再对其进行否定.【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
(2)两种命题间的互相转化体现了特殊与一般的转化思想.课件61张PPT。第二章 圆锥曲线与方程
2.1 椭 圆
2.1.1 椭圆及其标准方程主题1 椭圆的定义
1.将一条细绳的两端用图钉分别固定在平面内的两个定点F1,F2上,用笔尖将细绳拉紧并运动,在纸上能得到怎样的图形?
提示:得到一个椭圆.2.在椭圆的形成过程中,有哪些不变的量?
提示:细绳的长度不变,即动点到两定点的距离和不变.结论:椭圆的定义
把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于_____
(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这_________叫做
椭圆的焦点,_______________叫做椭圆的焦距.常数两个定点两焦点间的距离【微思考】
1.当动点P与两定点F1,F2的距离和满足|PF1|+|PF2|=
|F1F2|时,点P的轨迹是什么?提示:如图,当|PF1|+|PF2|=|F1F2|时,点P在线段F1F2上,所以点P的轨迹是线段F1F2.2.判断一个点的轨迹是否是椭圆,应该满足什么条件?
提示:需满足两个条件:一是该点到两个定点的距离的和是常数,二是该常数要大于两定点间的距离.主题2 椭圆的标准方程
1.根据椭圆的几何特征,如何建立坐标系求椭圆的方程?
提示:以两定点F1,F2所在的直线为x轴,F1F2的中点为坐标原点建立坐标系,然后按照求轨迹方程直接法的步骤求出椭圆方程.2.在推导椭圆的标准方程的过程中,如何处理等式中的两个根式?
提示:将其中一个根式移到另一端,两边平方然后再次平方即可.结论:椭圆的标准方程(0,-c),(0,c)【微思考】
椭圆的标准方程中,参数a,b(a>b>0)与c满足的关系
能否用图表示?方程 =1与 =1有何不同?提示:a表示椭圆上的点到两焦点距离和的一半,a,b,c的关系如图.当a>b>0时,方程 =1表示焦点在x轴上的椭圆,
方程 =1表示焦点在y轴上的椭圆,即焦点在
哪个轴上相应的那个项的分母就大.【预习自测】
1.在椭圆的标准方程中,a=6,b= ,则椭圆的标准
方程是 ( )【解析】选D.因为题中给出的条件不能确定椭圆的焦点所在的坐标轴,所以椭圆的方程应有两种形式.2.平面内一动点M到两定点F1,F2距离之和为常数2a,则点M的轨迹为 ( )
A.椭圆 B.圆
C.无轨迹 D.椭圆或线段或无轨迹
【解析】选D.当2a>|F1F2|时,轨迹为椭圆;当2a=|F1F2|时,轨迹为线段;当2a<|F1F2|时,轨迹不存在.3.已知椭圆 =1的一个焦点为(2,0),则椭圆的
方程是 ( )【解析】选D.由题意知,椭圆焦点在x轴上,且c=2,
所以a2=2+4=6,因此椭圆方程为 4.已知 =1表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围为__________.
【解析】由题意知0答案:(-4,0)∪(0,4)类型一 椭圆的定义
【典例1】(1)下列说法正确的是 ( )
A.已知F1(-4,0),F2(4,0),到两点F1,F2的距离之和大于8的点的轨迹是椭圆
B.已知F1(-4,0),F2(4,0),到两点F1,F2的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C.到点F1(-4,0),F2(4,0)的距离之和等于从点(5,3)到F1,F2的距离之和的点的轨迹是椭圆
D.到点F1(-4,0),F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆(2)椭圆 上一点P到一个焦点的距离为5,则P到另一个焦点的距离为________.【解题指南】(1)根据椭圆的定义进行验证.
(2)由椭圆的方程求出a,再利用椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a求解.【解析】(1)选C.选项A中虽满足到两定点的距离之和
大于8,但未指明到两定点距离之和是常数,故轨迹不是
椭圆;选项B中这样的点的轨迹不存在;选项C中点(5,3)
到F1,F2的距离之和为4 >|F1F2|,适合该条件的点的
轨迹是椭圆;选项D中点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.(2)由椭圆方程 知:a=5,设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,令|PF1|=5,由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=10.所以|PF2|=5.
答案:5【方法总结】椭圆定义的双向运用
(1)判断:符合定义中到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)这一条件的点的轨迹为椭圆.
(2)求值:椭圆上的点一定满足定义中的条件即到两定点的距离之和为2a.【巩固训练】若F1,F2是两个定点,|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则点M的轨迹是 ( )
A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段
【解析】选A.因为|MF1|+|MF2|=8,|F1F2|=6,所以点M的轨迹是椭圆.【补偿训练】椭圆 上的一点M到左焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则|ON|等于________.【解析】设椭圆的右焦点为F2,则由|MF1|+|MF2|=10,
知|MF2|=10-2=8.
又因为点O为F1F2的中点,点N为MF1的中点,
所以|ON|= |MF2|=4.
答案:4类型二 定义法求椭圆的标准方程
【典例2】已知圆A:(x+3)2+y2=100,圆A内一定点B(3,0),圆P过B且与圆A内切,求圆心P的轨迹方程.【解题指南】根据两圆内切的特点,得出|PA|+|PB|=10,根据A,B点的坐标,可以判定点P的轨迹方程是以A,B为焦点的椭圆,这就把求点P的轨迹方程的问题转化成了求a2,b2的问题.【解析】设圆P的半径为r,
又圆P过点B,所以|PB|=r,
又因为圆P与圆A内切,圆A的半径为10.
所以两圆的圆心距|PA|=10-r,
即|PA|+|PB|=10(大于|AB|).所以点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆.
所以2a=10,2c=|AB|=6,
所以a=5,c=3.
所以b2=a2-c2=25-9=16.
即点P的轨迹方程为 【延伸探究】典例中条件改为已知圆A:(x+3)2+y2=100,圆B:(x-3)2+y2=4,圆P与圆A内切,与圆B外切,求圆心P的轨迹方程.【解析】设圆P的半径为r,则
所以|PA|+|PB|=12>6=|AB|,
故点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,且
所以a=6,b2=27,
所以点P的轨迹方程是 =1.【方法总结】定义法求椭圆的标准方程
(1)先根据动点具有的条件,验证是否符合椭圆的定义,即动点到两定点距离之和是否是一常数,且该常数(定值)大于两定点间的距离.
(2)若符合,则动点的轨迹为椭圆,且两定点间的距离为焦距2c,距离之和是常数2a.从而可以确定椭圆的方程.【拓展延伸】定义法是求轨迹方程的一种常用方法.求解时,若能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程.【巩固训练】如图,圆C:(x+1)2+y2=16及点A(1,0),Q为圆上一点,AQ的垂直平分线交CQ于M,求点M的轨迹方程.【解析】由垂直平分线性质可知|MQ|=|MA|,
所以|CM|+|MA|=|CM|+|MQ|=|CQ|.所以|CM|+|MA|=4.
又因为|AC|=2,所以M点轨迹为椭圆.
由椭圆的定义知:a=2,c=1,
所以b2=a2-c2=3.
所以所求轨迹方程为: =1.类型三 待定系数法求椭圆的标准方程
【典例3】求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆
经过点(5,0).
(2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0).
(3)经过点A( ,-2)和点B(-2 ,1).【解题指南】根据条件设出椭圆的标准方程,代入已知点确定椭圆的系数.【解析】(1)由于椭圆的焦点在x轴上,
所以设它的标准方程为 (a>b>0).
因为2a= =10,所以a=5.
又c=4,所以b2=a2-c2=25-16=9.
故所求椭圆的标准方程为 (2)由于椭圆的焦点在y轴上,
所以设它的标准方程为 (a>b>0).
由于椭圆经过点(0,2)和(1,0),
所以
故所求椭圆的标准方程为 +x2=1.(3)方法一:①当焦点在x轴上时,
设椭圆的标准方程为 (a>b>0).
依题意有
故所求椭圆的标准方程为 ②当焦点在y轴上时,
设椭圆的标准方程为 (a>b>0).
依题意有
因为a>b>0,所以无解.
所以所求椭圆的标准方程为 方法二:设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),
依题意有 解得
所以所求椭圆的标准方程为 【方法总结】待定系数法的应用策略
(1)确定曲线的方程时,若能明确方程的形式,则可设出曲线方程,建立含参数的等式,求出参数的值,再代入所设方程.
(2)由于椭圆Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)包含焦点在x轴上(AB)两类情况.因此,方法二的处理避免了分类讨论,达到了简化运算的目的.【巩固训练】求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)经过两点
(2)过点( ),且与椭圆 =1有相同的焦点.【解析】(1)方法一:若焦点在x轴上,设椭圆的
标准方程为 =1(a>b>0).
由已知条件得
所以所求椭圆的标准方程为 若焦点在y轴上,设椭圆的标准方程为
=1(a>b>0).
由已知条件得
即a2=4,b2=8,则a2b>0矛盾,舍去.
综上,所求椭圆的标准方程为 方法二:设椭圆的一般方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,
A≠B).将两点 代入,
所以所求椭圆的标准方程为 (2)因为所求椭圆与椭圆 =1的焦点相同,
所以其焦点在y轴上,且c2=25-9=16.设它的标准方程为 =1(a>b>0).
因为c2=16,且c2=a2-b2,故a2-b2=16.①
又点( )在椭圆上,所以
即 =1, ②
由①②得b2=4,a2=20,所以所求椭圆的标准方程为
=1.【补偿训练】求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在x轴上,且a=4,c=2.
(2)经过点A(0,2)和B 【解析】(1)a2=16,c2=4,所以b2=16-4=12,
且焦点在x轴上,故椭圆的标准方程为 (2)设所求椭圆的标准方程为
Mx2+Ny2=1(M>0,N>0,M≠N).
因为椭圆经过A(0,2)和B 两点,
所以
所以所求椭圆方程为x2+ =1.【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
椭圆标准方程的求法
(1)待定系数法:即通过设出标准方程,然后依条件确定待定的系数a,b.
(2)相关点法(代入法):即先找到动点的相关点,然后通过相关点的轨迹方程,确定动点的轨迹方程.课件66张PPT。2.1.2 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质主题1 椭圆的范围、对称性、顶点
1.观察下列图形,回答以下几个问题:(1)已知椭圆方程讨论椭圆性质时,首先要关注椭圆的方程要满足什么形式?
提示:先看椭圆方程是否是标准形式,若不是标准形式要先化成标准形式.(2)观察椭圆 =1(a>b>0)的形状,你能从图上看出横坐标x,纵坐标y的范围吗?
提示:由 得:-a≤x≤a,-b≤y≤b.2.观察焦点分别在x轴和y轴的两椭圆,探究下列问题,明确椭圆的几何特征.(1)对比焦点分别在x轴和y轴的两椭圆的图形,长轴、短轴有何不同点与相同点.
提示:相同点:两图长轴长与短轴长分别相等;
不同点:长轴与短轴所在位置不同.(2)椭圆中心与焦点、对称轴间有哪些关系?
提示:椭圆的中心是焦点连线的中点,对称轴是焦点连线所在直线及其中垂线.(3)若要画一个椭圆的草图,需先确定哪些量才能画出椭圆草图?
提示:首先确定椭圆的范围,可利用椭圆的四个顶点及焦点位置用弧线画出椭圆的草图.结论:椭圆的简单几何性质-a≤x≤a且-b≤y≤b-b≤x≤b且-a≤y≤aA1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)2b2a2c坐标轴原点【微思考】
在椭圆的上述性质中,哪些是与位置无关的?哪些是与位置有关的?
提示:与位置无关的,如长轴长、短轴长、焦距;与位置有关的,如顶点坐标、焦点坐标等.主题2 椭圆的离心率
观察不同的椭圆,我们会发现,椭圆的扁平程度不一.
对于椭圆 =1(a>b>0),其扁平程度取决于什么?提示:椭圆的扁平程度,在长轴长不变的前提下,取决于两焦点离开中心的程度,即离开中心越远,椭圆越扁,反之,越圆.结论:椭圆的离心率
(1)定义:椭圆的焦距与长轴长的比___叫做椭圆的
_______.
(2)性质:离心率e的范围是______.当e越接近1时,
椭圆_____;当e越接近于__时,椭圆就越接近于圆.离心率(0,1)越扁0【微思考】
能否用a和b表示椭圆的离心率e?
提示:可以,由于e= ,又c=
故e= 【预习自测】
1.椭圆 =1的长轴长为 ( )
A.81 B.9 C.18 D.45
【解析】选C.由标准方程知a=9,故长轴长2a=18.2.椭圆 具有相同的( )
A.顶点 B.离心率
C.长轴 D.短轴【解析】选B.椭圆 =1的离心率e1=
椭圆 的离心率e2= 3.椭圆 =1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,
左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等
比数列,则此椭圆的离心率为 ( )【解析】选B.因为|AF1|=a-c,|F1B|=a+c,|F1F2|=2c,
又|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,所以|F1F2|2=
|AF1||F1B|,即4c2=(a-c)(a+c),从而a2=5c2,
所以e2= ,所以e= .4.已知椭圆中心在原点,一个焦点为F(-2 ,0),
且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程
是______________.【解析】已知
答案: 类型一 椭圆的简单几何性质
【典例1】(1)(2017·温州高二检测)平面内有一长度为4的线段AB,动点P满足|PA|+|PB|=6,则|PA|的取值范围是 ( )
A.[1,5] B.[1,6] C.[2,5] D.[2,6](2)若点O和点F分别为椭圆 =1的中心和左
焦点,点P为椭圆上的任意一点,则 的最大值
为________.【解题指南】(1)由已知可得动点P的轨迹为椭圆,根据椭圆的几何性质可求解.
(2)设P(x0,y0),利用数量积的坐标运算,结合椭圆的范围解出.【解析】(1)选A.由题意知点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,所以当点P与A是同侧顶点时,|PA|的最小值是3-2=1,当点P是与A异侧的顶点时,|PA|的最大值是3+2=5.(2)由题意,F(-1,0),设点P(x0,y0),则有
解得
因为 =(x0+1,y0), =(x0,y0),所以
此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-2,
因为-2≤x0≤2,
所以当x0=2时, 取得最大值 +2+3=6.
答案:6【方法总结】椭圆几何性质的四个作用
(1)椭圆的焦点决定椭圆的位置.
(2)椭圆的顶点决定椭圆的大小.
(3)椭圆的离心率决定了椭圆的扁平程度.(4)对称性是椭圆的重要特征,顶点是椭圆与对称轴的交点,是椭圆重要的特殊点;若已知椭圆的标准方程,则根据a,b的值可确定其性质.【巩固训练】已知椭圆 =1与椭圆 =1
有相同的长轴,椭圆 =1的短轴长与椭圆
=1的短轴长相等,则 ( )A.a2=25,b2=16
B.a2=9,b2=25
C.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25
D.a2=25,b2=9【解析】选D.利用待定系数法.因为椭圆 =1
的长轴长为10,焦点在x轴上,椭圆 =1的短轴长
为6,所以a2=25,b2=9.【补偿训练】已知椭圆C: +y2=1的两焦点为F1,F2,
点P(x0,y0)满足0< + <1,则|PF1|+|PF2|的取值
范围为________.【解析】由于0< + <1,所以点P(x0,y0)在椭圆
+y2=1内部,且不能与原点重合.
根据椭圆的定义和几何性质知,|PF1|+|PF2|<2a=2 ,
且|PF1|+|PF2|的最小值为点P落在线段F1F2上,
此时|PF1|+|PF2|=2.
故|PF1|+|PF2|的取值范围是[2,2 ).
答案:[2,2 )类型二 利用几何性质求椭圆的标准方程
【典例2】中心在原点,焦点在x轴上,若长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分,求此椭圆的方程.【解题指南】根据已知条件,确定椭圆的基本量a,b,c,再确定椭圆方程.
【解析】由已知得2a=18,2c=6,所以a=9,c=3.从而
b2=a2-c2=72,又焦点在x轴上,所以所求椭圆的方程
为 【延伸探究】典例中去掉条件“焦点在x轴上”,
椭圆的方程应该是什么?
【解析】因为焦点位置还可能在y轴上,所以椭圆
方程有两个,分别是 【方法总结】利用性质求椭圆方程的方法与步骤
(1)方法:利用椭圆的几何性质求标准方程,通常采用待定系数法.
(2)步骤:①确定焦点位置;
②根据已知条件构造关于参数的关系式,利用方程(组)求得参数.【巩固训练】求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)长轴长是短轴长的2倍,且过点(2,-6).
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且焦距为6.【解析】(1)设椭圆的标准方程为 =1(a>b>0)
或 =1(a>b>0).
由已知a=2b①且椭圆过点(2,-6),
从而有
由①②,得a2=148,b2=37或a2=52,b2=13.
故所求的椭圆的标准方程为 (2)由题意,得△A1FA2为等腰直角三角形,OF为斜边A1A2的中线(高),且OF=c,A1A2=2b,
所以c=b=3,所以a2=b2+c2=18.
故所求椭圆的标准方程为 【补偿训练】求适合下列条件的椭圆方程.
(1)经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F1,F2
在x轴上,离心率为 .
(2)对称轴为坐标轴,经过点P(-6,0)和Q(0,8).【解析】(1)由题意,设椭圆方程为 =1(a>b>0),
由e= 得,a=2c,b2=3c2,所以 =1(*).
又A(2,3)在(*)上,故c2=4,
所以 =1即为所求.(2)由椭圆的几何性质可知,
椭圆的长轴、短轴分别在y轴和x轴上,且a=8,b=6,
所以所求标准方程为 类型三 椭圆的离心率的求法及应用
【典例3】(1)(2016·全国卷Ⅲ)已知O为坐标原点,F是
椭圆C: =1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、
右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段
PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,
则C的离心率为 ( )(2)从椭圆 =1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP(O是坐标原点),求该椭圆的离心率.【解题指南】(1)点M是直线AE和直线BM的交点,点M的横坐标和左焦点相同,进而找到a,b,c的联系.
(2)利用AB∥OP建立关于a,b,c的齐次等式求解.【解析】(1)选A.由题意可知直线AE的斜率存在,设
为k,直线AE的方程为y=k(x+a),令x=0可得点E坐标为
(0,ka),所以OE的中点H坐标为 又右顶点B(a,0),
所以可得直线BM的斜率为- ,可设其方程为
y=- x+ a,联立 可得点M横坐标为- ,
又点M的横坐标和左焦点相同,所以- =-c,所以e= .(2)由题意设P(-c,y0),将P(-c,y0)代入
得 =1,则
所以y0= 或y0= (舍去),所以 所以kOP= 因为A(a,0),B(0,b),
所以kAB=
又因为AB∥OP,所以kAB=kOP,所以 所以b=c.
所以 【方法总结】求椭圆的离心率的两种常见思路
一是先求a,c,再计算e;
二是依据条件中的关系,结合有关知识和a,b,c的关系,构造关于e的方程,再求解.注意e的范围:01.焦半径公式:设P(x0,y0)为椭圆方程 =1
(a>b>0)上任意一点,左、右两焦点分别为F1,F2,则:|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0.2.椭圆的第二定义:
当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比
是常数e= (0圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数e是椭圆的离心
率.对于椭圆 (a>b>0),对应焦点F(c,0)的准线
方程是x= .根据对称性,对应焦点F′(-c,0)的准
线方程是x=- .对于椭圆 =1的准线方程是
可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比,这就是离心率的几何意义.【巩固训练】过椭圆 =1(a>b>0)的左焦点F1作
x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,
则椭圆的离心率为 ( )【解析】选B.方法一:将x=-c代入椭圆方程可解得点
P ,故|PF1|= ,又在Rt△F1PF2中,
∠F1PF2=60°,
所以|PF2|= ,根据椭圆定义得 =2a,
从而可得e= 方法二:设|F1F2|=2c,则在Rt△F1PF2中,
|PF1|= c,|PF2|= c.
所以|PF1|+|PF2|=2 c=2a,离心率e= 【补偿训练】如图所示,A,B,C分别为椭圆 =1
(a>b>0)的顶点与焦点,若∠ABC=90°,则该椭圆的
离心率为 ( )【解析】选A.由(a+c)2=a2+2b2+c2,
又因为b2=a2-c2,所以c2+ac-a2=0.
因为e= 所以e2+e-1=0,所以 【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
利用性质画椭圆草图的方法
(1)定位:依焦点.
(2)定形:依四个顶点或a,b的值.课件49张PPT。第2课时
椭圆方程及性质的应用类型一 直线与椭圆的位置关系
【典例1】对不同的实数值m,讨论直线y=x+m与椭圆
+y2=1的位置关系.
【解题指南】联立两个方程?消去y得到关于x的二次方程?求Δ?讨论Δ得结论【解析】联立方程组得: 将①代入②得:
+(x+m)2=1,
整理得:5x2+8mx+4m2-4=0.③
Δ=(8m)2-4×5(4m2-4)=16(5-m2).当Δ>0,即- 代入①可得两个公共点的坐标,此时直线与椭圆相交;
当Δ=0,即m=± 时,方程③有两个相等的实数根,代
入①得一个公共点的坐标,此时直线与椭圆相切;Δ<0
时,即m<- 或m> ,方程③无实根,直线与椭圆相离.【延伸探究】若把本例中直线方程改为“y=2x+m”,
椭圆方程改为 =1,试讨论直线与椭圆的位置关系.【解析】联立方程组得:
将①代入②,并整理得
9x2+8mx+2m2-4=0,③
Δ=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144.(1)由Δ>0,得- 也就是当- 方程③有两个不相等的实数根,可知原方程组有两个不同的实数解,
这时直线与椭圆有两个不同的公共点,即直线与椭圆相交.(2)由Δ=0,得m=± ,也就是当m=± 时,方程③有两个相等的实数根,可知原方程组有两个相同的实数解,这时直线与椭圆有且只有一个公共点,即直线与椭圆相切.(3)由Δ<0,得m<- 或m> ,
也就是当m<- 或m> 时,方程③没有实数根,
可知方程组没有实数解,这时直线与椭圆没有公共点,
即直线和椭圆相离.【方法总结】直线与椭圆位置关系的判定方法
(1)将直线方程与椭圆的方程联立,消去一个未知数y(或x),得到关于x(或y)的一个一元二次方程.
(2)利用一元二次方程根的判别式Δ,根据Δ>0,Δ<0还是Δ=0即可判断方程组解的个数,从而得出直线与椭圆的交点情况.【巩固训练】若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆
=1总有公共点,求m的取值范围.【解析】由
消去y,整理得(m+5k2)x2+10kx+5(1-m)=0,
所以Δ=100k2-20(m+5k2)(1-m)
=20m(5k2+m-1),
因为直线与椭圆总有公共点,所以Δ≥0对任意k∈R都成立,
因为m>0,所以5k2≥1-m恒成立,
所以1-m≤0,即m≥1.
又因为椭圆的焦点在x轴上,
所以0【典例2】(2017·泉州高二检测)已知斜率为2的
直线l经过椭圆 =1的右焦点F1,与椭圆相交于
A,B两点,求弦AB的长.【解题指南】可先求出A,B两点坐标,再转化为两点间的距离问题;也可以利用弦长公式求解.【解析】方法一:因为直线l过椭圆
=1的右焦点F1(1,0),
且直线的斜率为2,所以直线l的方程为y=2(x-1),
即2x-y-2=0.
由方程组 得交点为(0,-2),
所以|AB|= 方法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),
由方程组
消去y得3x2-5x=0,因为Δ=(-5)2=25>0,
则x1+x2= x1·x2=0.方法三:由方程组 消去x得
3y2+2y-8=0,
因为Δ=22+4×3×8=100>0,
则y1+y2=- ,y1y2=- .【方法总结】直线被椭圆截得的弦长的求法思路
(1)求两交点坐标,转化为两点间距离.
(2)用公式来求.
设直线斜率为k,直线与椭圆两交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= ·|x1-x2|
= ·|y1-y2|.提醒:在解决直线与椭圆相交问题时,一般要消元化为一元二次方程,常用根与系数的关系,此时易忽视对所化一元二次方程判断判别式大于0.【巩固训练】椭圆 =1(a>b>0)的离心率为
且椭圆与直线x+2y+8=0相交于P,Q,且|PQ|=
求椭圆的方程.【解析】因为e= ,所以b2= a2.
所以椭圆的方程为x2+4y2=a2.
与x+2y+8=0联立消去y,得2x2+16x+64-a2=0,
由Δ>0,得a2>32,由弦长公式得10= ×[64-2(64-a2)].
所以a2=36,b2=9.
所以椭圆的方程为 【补偿训练】已知斜率为1的直线l过椭圆 +y2=1的右焦点F,交椭圆于A,B两点,求弦AB的长.【解析】设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
由椭圆方程知a2=4,b2=1,所以c=
所以F( ,0),所以直线l的方程为y=x- ,
将其代入椭圆方程,并化简、整理得5x2-8 x+8=0,所以
所以类型三 与椭圆相关的中点弦问题
【典例3】过椭圆 =1内一点M(2,1)引一条弦,使弦被M点平分,求此弦所在的直线方程.【解题指南】可以设出所求直线方程,然后代入椭圆方程,消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解;也可以考虑利用点差法求解.【解析】方法一:由题意知过点M的弦所在直线的斜
率存在,设为k,则所求直线方程为y-1=k(x-2).
代入椭圆方程并整理,得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+
4(2k-1)2-16=0.
又设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程的两个根,
于是x1+x2=
又M为AB的中点,所以
解得k=- .故所求直线的方程为x+2y-4=0.方法二:设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
易知x1≠x2.
又M(2,1)为AB的中点,所以x1+x2=4,y1+y2=2.
又A,B两点在椭圆上,则x12＋4y12=16，x22＋4y22=16.
两式相减得(x12-x22)＋4(y12-y22)=0.于是(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0.
所以 即kAB=- .
又直线AB过点M(2,1),
故所求直线的方程为x+2y-4=0.【方法总结】解决椭圆中点弦问题的两种方法
(1)根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.(2)点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,将端点
坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和
斜率的关系,具体如下:已知A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆
=1(a>b>0)上的两个不同的点,M(x0,y0)是线段
AB的中点,则 【巩固训练】(2017·宝鸡高二检测)已知椭圆
x2+2y2=4,则以(1,1)为中点的弦的长度为 ( )【解析】选C.易知该弦所在直线的斜率存在.
由题意可设y-1=k(x-1),所以y=kx+1-k.
代入椭圆方程,得x2+2(kx+1-k)2=4.
所以(2k2+1)x2+4k(1-k)x+2(1-k)2-4=0.由x1+x2= =2,得k=- ,所以x1x2= .
所以(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=4-
所以|AB|= 【补偿训练】(2017·武汉高二检测)已知过点
A(-1,1)的直线l与椭圆 =1交于点B,C,当直线l
绕点A(-1,1)旋转时,求弦BC中点M的轨迹方程.【解析】设直线l与椭圆的交点B(x1,y1),C(x2,y2),
弦BC中点M(x,y),则
①-②,得
所以(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0.③当x1≠x2时,
所以③式可化为(x1+x2)+2(y1+y2)· =0.
所以2x+2·2y· =0,化简得x2+2y2+x-2y=0.
当x1=x2时,因为点M(x,y)是线段BC中点,所以x=-1,y=0,显然适合上式.
综上所述,所求弦BC中点M的轨迹方程是x2+2y2+x-2y=0.【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
解决直线与椭圆综合问题的常用方法
(1)判断直线与椭圆的位置关系可使用代数法.
(2)解决弦长问题,一般应用弦长公式.
(3)解决弦中点问题常用点差法.课件64张PPT。2.2 双 曲 线
2.2.1 双曲线及其标准方程 主题1 双曲线的定义
1.取一条拉链,拉开一部分,然后固定拉后的两边,让一边长另一边短,用笔尖放在拉链处,随着拉链拉开的过程,笔尖画出的是什么曲线?
提示:是两支曲线,若左边短右边长,画出的是左支,若右边短左边长,画出的是右支.2.在画出双支曲线(双曲线)的过程中有哪些不变的量?
提示:两边的长度差不变,即动点到两定点的距离差不变.结论:双曲线的定义:
平面内与两个定点F1,F2的_________________等于
_________(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,
_________叫做双曲线的焦点,_______________叫做
双曲线的焦距.距离的差的绝对值非零常数两个定点两焦点间的距离【微思考】
双曲线的定义中规定“距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)”,若括号中条件不满足,会是什么结果?
提示:若常数等于|F1F2|,则轨迹为以F1,F2为端点的两条射线;若常数大于|F1F2|,则轨迹不存在.主题2 双曲线的标准方程
1.根据双曲线的几何特征,如何建立坐标系求双曲线的方程?
提示:选择x轴(或y轴)经过两个定点F1,F2,并且使坐标原点为线段F1F2的中点,然后按求轨迹方程的直接法的步骤,求出双曲线的方程.2.若以两焦点F1,F2所在直线为x轴,以线段F1F2的垂直平分线所在直线为y轴建立坐标系,则此时双曲线上任一点M满足的条件是什么?
提示:根据双曲线的定义知满足条件||MF1|-|MF2||
=2a(a为定长).结论:双曲线的标准方程
焦点在x轴上:___________ (a>0,b>0)
焦点在y轴上: __________ (a>0,b>0)
a,b,c的关系:c2=_____a2+b2【微思考】
1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是什么?
提示:确定参数a,b的值.2.求双曲线的标准方程时,设双曲线方程的关键是什么?
提示:关键是先确定焦点的位置,若双曲线的焦点位置不能确定,要分别写出焦点在x轴、y轴上的双曲线的标准方程,不能遗漏.【预习自测】
1.动点P到点M(1,0),N(-1,0)的距离之差的绝对值为2,则点P的轨迹是 ( )
A.双曲线 B.双曲线的一支
C.两条射线 D.一条射线【解析】选C.因为||PM|-|PN||=2=|MN|,
所以点P的轨迹是两条射线.2.若方程 表示焦点在y轴上的双曲线,则m的取值范围是 ( )
A.12
C.m<-2 D.-2【解析】选C.由 得m<-2.3.已知双曲线 =1上一点P到双曲线的一个焦点的距离为3,则点P到另一个焦点的距离为________.【解析】设双曲线的两个焦点为F1,F2,
|PF1|=3,所以P在靠近F1的一支上.
因为|PF2|=|PF1|+2a=3+6=9.
所以P到另一个焦点的距离为9.
答案:94.双曲线焦点在x轴上,c= 且经过点(-5,2),求双曲线的标准方程.(仿照教材例1的解析过程)【解析】设双曲线方程为 =1(a>0,b>0),
由题意得,
解得a2=5,b2=1,故所求双曲线方程为 类型一 求双曲线的标准方程
【典例1】(1)(2017·嘉兴高二检测)已知双曲线两个焦点的坐标分别为F1(0,-5),F2(0,5),双曲线上一点P到F1,F2的距离之差的绝对值等于6.则双曲线的标准方程为________.(2)动圆M与☉C:(x+2)2+y2=2内切,且过点A(2,0),求圆心M的轨迹方程.【解题指南】(1)由题意知焦点在y轴上,设出标准方程利用待定系数法求解.
(2)利用两圆内切和圆过定点,可以得到点M满足的条件,进而判断符合双曲线的定义.【解析】(1)因为双曲线的焦点在y轴上,
所以设它的标准方程为 =1(a>0,b>0).
因为2a=6,2c=10,所以a=3,c=5.
所以b2=52-32=16.
所以所求双曲线的标准方程为
答案: (2)设动圆M的半径为r,因为☉C与☉M内切,点A在☉C外,
所以|MC|=r- ,|MA|=r,因此有|MA|-|MC|= ,所以
点M的轨迹是以C,A为焦点的双曲线的左支,即M的轨迹
方程是 【延伸探究】本例(2)中条件改为动圆M与☉C1:(x+3)2+y2=9外切,且与☉C2:(x-3)2+y2=1内切,求圆心M的轨迹方程.【解析】设☉M的半径为r.因为☉M与☉C1外切,且☉M
与☉C2内切,所以|MC1|=r+3,|MC2|=r-1,因此|MC1|-
|MC2|=4,所以点M的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线的
右支,所以M的轨迹方程是 =1(x≥2). 【方法总结】
1.待定系数法求方程的步骤
(1)定型:即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.(2)设方程:根据焦点位置设出相应的标准方程的形式,
①若不知道焦点的位置,则进行讨论,或设双曲线的方
程为Ax2+By2=1(AB<0);
②与双曲线 =1(a>0,b>0)共焦点的双曲线的
标准方程可设为 =1(-b2<λ(4)结论:写出双曲线的标准方程.2.定义法求双曲线方程的步骤
(1)列出动点满足的条件.
(2)整理化简条件式,若满足动点到两定点的距离的差(或差的绝对值)是常数(小于两定点间的距离),则可以判定动点的轨迹是双曲线的一支(或完整的双曲线).(3)利用两定点间的距离和常数,可以求出a,c,进而得系数b,可以写出标准方程.【巩固训练】1.(2017·济南高二检测)设F1,F2是双
曲线的两个焦点,Q是双曲线上任一点,从某一焦点
引∠F1QF2的平分线的垂线,垂足是P,则点P的轨迹
为 ( )
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线【解析】选A.如图所示,点Q在双曲线的右支上,
有|QF1|-|QF2|=2a. ①
延长F1P,QF2交于L.
因为∠F1QP=∠LQP,QP⊥F1P,
所以|F1Q|=|QL|,代入①,则|QL|-|QF2|=2a,
即|F2L|=2a.取线段F1F2的中点O,则由P是F1L中点有:
|PO|= |F2L|= ·2a=a.
所以P的轨迹是以O为圆心,以a为半径的圆.2.根据下列条件,求双曲线的标准方程.
(1)双曲线的中心在原点,焦点在y轴上,且经过点
(0,2)与( ).
(2)c= 经过点(-5,2),焦点在x轴上.【解析】(1)因为双曲线的中心在原点,焦点在y轴
上,所以可设双曲线的方程为 =1(a>0,b>0),
又双曲线经过点(0,2)与( ),
所以双曲线方程为 (2)因为焦点在x轴上,c=
所以设所求双曲线方程为 =1(其中0<λ<6).
因为双曲线经过点(-5,2),所以
所以λ=5或λ=30(舍去),
所以所求双曲线方程是 -y2=1.类型二 双曲线定义的应用
【典例2】已知双曲线 =1的左、右焦点分别是F1,F2,若双曲线上一点P使得∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.【解题指南】首先根据题目信息得到该双曲线中的
a,b,c的值且 |PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2.再由
||PF1|-|PF2||=2a结合余弦定理即可求出|PF1|-|PF2|.【解析】由已知得a=3,b=4,c= =5,
所以|F1F2|=2c=10,
||PF2|-|PF1||=2a=6.由余弦定理得
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos60°. ①
又因为|PF1|2-2|PF1|·|PF2|+|PF2|2=36,
所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|,代入①式得
100=36+2|PF1|·|PF2|-|PF1|·|PF2|,
所以|PF1|·|PF2|=64,
所以 ·|PF1|·|PF2|·sin60°=16 .【方法总结】双曲线中的焦点三角形
双曲线上的点P与其两个焦点F1,F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形.令|PF1|=r1,|PF2|=r2,∠F1PF2=θ,因|F1F2|=2c,所以有(1)定义:|r1-r2|=2a.
(2)余弦公式:4c2= -2r1r2cosθ.
(3)面积公式: r1r2sinθ.
一般地,在△PF1F2中,通过以上三个等式,所求问题就会顺利解决.【巩固训练】设P为双曲线x2- =1上的一点,F1,F2是该双曲线的两个焦点,若|PF1|∶|PF2|=3∶2,则△PF1F2的面积为________.【解析】由已知得2a=2,
又由双曲线的定义得,|PF1|-|PF2|=2,
又|PF1|∶|PF2|=3∶2,
所以|PF1|=6,|PF2|=4,
又|F1F2|=2c=由余弦定理得cos∠F1PF2=
所以△PF1F2为直角三角形,所以 ×6×4=12.
答案:12类型三 双曲线标准方程的应用
【典例3】(1)在方程mx2-my2=n中,若mn<0,则方程的曲线是 ( )
A.焦点在x轴上的椭圆
B.焦点在x轴上的双曲线
C.焦点在y轴上的椭圆
D.焦点在y轴上的双曲线(2)已知方程kx2+y2=4,其中k为实数,对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型.【解题指南】(1)把方程化为标准方程再确定曲线类型.
(2)解答本题可依据所学的各种曲线的标准形式的系数应满足的条件进行分类讨论.【解析】(1)选D.方程mx2-my2=n可化为:
因为mn<0,所以- >0,所以方程的曲线是焦点在y轴
上的双曲线.(2)①当k=0时,y=±2,表示两条与x轴平行的直线.
②当k=1时,方程为x2+y2=4,表示圆心在原点,半径为2
的圆.③当k<0时,方程为 =1,表示焦点在y轴上的
双曲线.
④当0椭圆.
⑤当k>1时,方程为 =1,表示焦点在y轴上的椭圆.【方法总结】双曲线标准方程的应用的关注点
(1)已知方程所代表的曲线,求参数的取值范围时,应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式,再根据方程中参数取值的要求,建立不等式(组)求解参数的取值范围.(2)牢记标准方程的特点.
①左端为两个平方项的差,右端为常数1.
②x2,y2的系数的正负决定焦点位置.
③a,b的大小关系不确定.【巩固训练】(2016·全国卷Ⅰ)已知方程
表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是 ( )
A.(-1,3) B.(-1, )
C.(0,3) D.(0, )【解析】选A. =1表示双曲线,
则(m2+n)(3m2-n)>0,所以-m2由双曲线性质知:c2=(m2+n)+(3m2-n)=4m2,
其中c是半焦距,所以焦距2c=2·2|m|=4,
解得|m|=1,所以-1 =1(t≠0,t≠±1).
(1)求t为何值时,曲线C分别为椭圆、双曲线.
(2)求证:不论t为何值,曲线C有相同的焦点.【解析】(1)当|t|>1时,t2>0,t2-1>0,曲线C为椭圆;
当0<|t|<1时,t2>0,t2-1<0,曲线C为双曲线.(2)当|t|>1时,曲线C是椭圆,且t2>t2-1,因而c2=
a2-b2=t2-(t2-1)=1,所以焦点为F1(-1,0),F2(1,0).
当0<|t|<1时,双曲线C的方程为
因为c2=a2+b2=t2+(1-t2)=1,所以焦点为F1(-1,0),
F2(1,0).
综上所述,不论t为何值,曲线C有相同的焦点.【补偿训练】已知方程 =1表示双曲线,则k的取值范围是________.
【解析】因为方程 =1表示双曲线,
所以(1+k)(1-k)>0.所以(k+1)(k-1)<0.所以-1答案:-11.知识总结2.方法总结
双曲线方程的求法
(1)待定系数法:即通过设出标准方程,然后依条件确定待定的系数a,b的方法.
(2)定义法:即若动点的几何特征适合双曲线的定义,求出a,b代入标准方程的方法.课件62张PPT。2.2.2 双曲线的简单几何性质
第1课时 双曲线的简单几何性质 主题 双曲线的范围、对称性、顶点、离心率及渐近线
观察图示,探究下面问题.(1)从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的,那么它是否与椭圆一样有范围限制?
提示:有限制,因为 ≥1,即x2≥a2,所以x≥a,或x≤-a.(2)观察双曲线图形,它是否是轴对称图形?对称轴是哪条直线?是否是中心对称图形?对称中心是哪个点?
提示:关于x轴、y轴和原点都是对称的,x轴、y轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心,又叫做双曲线的中心.(3)双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点,这种说法对吗?为什么?
提示:不对,双曲线的顶点是双曲线与其对称轴的交点,只有在标准形式下,坐标轴才是双曲线的对称轴,此时双曲线与坐标轴的交点是双曲线的顶点.结论:F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)|F1F2|=2cx≤-ax≥ay≤-ay≥a坐标轴原点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)A1A22aB1B22bab(1,+∞)【微思考】
1.能不能用a,b表示双曲线的离心率?
提示:能.e= .2.双曲线的离心率的大小如何决定双曲线的开口大小?
提示:由于e= ,所以 ,因此离心率
的大小决定了渐近线斜率的大小,从而决定了双曲线
的开口大小.离心率越大,双曲线开口越开阔;离心率
越小,双曲线开口越扁狭.3.从离心率e= 直观上看,随着a与c的变化双曲线的形状如何变化?
提示:当 趋于1时,双曲线的开口非常小,此时双曲线的形状接近两条以顶点为端点的射线;
当 趋于无穷大时,双曲线的开口非常大,此时双曲线的形状接近两条过顶点垂直于实轴的直线.【预习自测】
1.双曲线 的渐近线方程是 ( )
【解析】选C.a2=4,b2=9,焦点在x轴上,
所以渐近线方程为2.双曲线 的离心率为 ( )
A.2 B.2 C.3 D.4【解析】选B.因为a2=2,所以a= .
又b2=14,所以c2=a2+b2=16.所以c=4.所以e=【备选训练】中心在原点,实轴长为10,虚轴长为6的双曲线的标准方程是 ( )【解析】选B.考虑焦点在x轴和y轴两种情况.3.双曲线 的实轴长是________、虚轴长是________、顶点坐标是______、焦点坐标是________.【解析】由题意知a2=3,b2=4,
所以c2=a2+b2=3+4=7,
解得a= ,b=2,c= .
因此,双曲线的实轴长2a=2 ,虚轴长2b=4.
顶点坐标为(- ,0),( ,0),
焦点坐标为(- ,0),( ,0).答案:4.椭圆 与双曲线 有相同的焦点,则a的值是________.
【解析】因为a>0,所以焦点在x轴上,所以4-a=a+2,所以a=1.答案:15.求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程,并作出草图.【解析】将9y2-4x2=-36变形为 ,
即 ,所以a=3,b=2,c= ,
因此顶点为A1(-3,0),A2(3,0),
焦点坐标F1(- ,0),F2( ,0),
实轴长是2a=6,虚轴长是2b=4,
离心率渐近线方程y=± x=± x.作草图如图所示.类型一 根据双曲线方程研究几何性质
【典例1】求双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.【解题指南】【解析】把方程nx2-my2=mn(m>0,n>0)化为标准方程
(m>0,n>0),
由此可知,实半轴长a= ,虚半轴长b= ,c= ,
焦点坐标( ,0),(- ,0),
离心率顶点坐标为(- ,0),( ,0).
所以渐近线的方程为【延伸探究】将本例双曲线方程改为“4x2-y2=-4”,试求解之.
【解析】将方程4x2-y2=-4变形为
所以a=2,b=1,c= .所以实半轴长为2,虚半轴长为1,焦点坐标为(0,- ),(0, ).离心率 ,顶点坐标为(0,-2),(0,2).渐近线方程为y=±2x.【方法总结】根据双曲线方程研究其性质的基本思路
(1)将双曲线的方程转化为标准形式.
(2)确定双曲线的焦点位置,弄清方程中的a,b所对应的值,再利用c2=a2+b2得到c的值.
(3)根据确定的a,b,c的值求双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、焦点坐标、离心率及渐近线方程等.【巩固训练】
下列各对双曲线中,既有相同离心率又有相同渐近线的是 ( )
【解析】选D.对于A, 的离心率 ,渐近线
方程为y=± x;
的离心率 ,渐近线方程为:y=± x,
不满足题意,A不正确.对于B, 的离心率 ,渐近线方程为y=
± x ; 的离心率e=2,渐近线方程为y=± x,
不满足题意,B不正确.
对于C, 的离心率e=2,渐近线方程为y=± x;
的离心率e=2,渐近线方程为y=± x;
不满足题意,C不正确.对于D. 的离心率e=2,渐近线方程为y=± x;
的离心率e=2,渐近线方程为y=± x.
满足题意,D正确.【补偿训练】(2016·天津高考)已知双曲线
(a>0,b>0)的焦距为2 ,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为 ( )【解析】选A.由题意得c= .双曲线的渐近线为y=
± x,因为渐近线与直线2x+y=0垂直,所以(-2)· =
-1,所以 = .又因为c2=a2+b2,解得a=2,b=1,所以双曲线的方程为 -y2=1.类型二 双曲线的离心率
【典例2】(1)(2017·宜春高二检测)若双曲线 (a>0,b>0)的一条渐近线经过圆(x-1)2+(y-2 )2=16的圆心,则此双曲线的离心率是 ( )
A.2 B.3 C. D.9(2)(2016·山东高考)已知双曲线E: (a>0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是________.【解题指南】(1)利用已知条件求出双曲线的渐近线方程,从而得到a,b的关系式,再求双曲线的离心率.
(2)充分利用图象的几何性质,找出矩形一个顶点的坐标,代入曲线方程,便可求得离心率.【解析】(1)选B.由题意知圆心(1,2 )在双曲线的渐近线y= x上,则2 = ,所以b2=8a2,即c2-a2=8a2,所以e= =3.(2)假设点A在左支位于第二象限内,由双曲线和矩形的性质,可得 代入双曲线方程 ,可得
1,所以e2-1= ,又e>1,所以可求得e=2.
答案:2【方法总结】求双曲线离心率的方法
(1)若可求得a,c,则直接利用e= 得解.
(2)若已知a,b,可直接利用 得解.
(3)若得到的是关于a,c的齐次方程pc2+q·ac+r·a2=0
(p,q,r为常数,且p≠0),则转化为关于e的方程pe2+q·e+r=0求解.【巩固训练】
已知双曲线 的离心率e∈(1,2),则m的取值范围是 ( )
A.(-12,0) B.(-∞,0)
C.(-3,0) D.(-∞,-12)【解析】选A.由双曲线的标准方程知:
a2=4,b2=-m,离心率e= ∈(1,2),
解得-12所以m的取值范围是(-12,0).【补偿训练】(2016·全国卷Ⅱ)已知F1,F2是双曲线
E: 的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1= ,则E的离心率为 ( )【解析】选A.离心率e= ,由正弦定理得类型三 双曲线的渐近线
【典例3】(1)(2017·天津高考)已知双曲线
(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为 .若经过F和P(0,4)
两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方
程为 ( )(2)(2017·全国丙卷)已知双曲线C: (a>0,
b>0)的一条渐近线方程为y= x,且与椭圆 =1
有公共焦点,则C的方程为 ( )【解题指南】(1)可根据离心率与渐近线找出a,b,c的关系,进而求出双曲线方程.
(2)根据渐近线方程先确定 ,又由公共焦点推导出c的值,再根据a,b,c的关系可求出双曲线方程.【解析】(1)选B.由题意得,a=b, =1,c=4,a=b=2 ,
所以双曲线方程为 =1.
(2)选B.由题意可得: ,c=3,又a2+b2=c2,
解得a2=4,b2=5,
则C的方程为 =1.【方法总结】由渐近线设双曲线方程的方法
(1)渐近线为 的双曲线方程可设为:
(2)如果两条渐近线的方程为Ax±By=0,那么双曲线的
方程可设为A2x2-B2y2=m(m≠0).(3)与双曲线 共渐近线的双曲线方程可设为【巩固训练】(1)求与椭圆 有相同焦点,且以
y=± x为渐近线的双曲线的方程.
(2)求与双曲线 有共同渐近线,且过点(-1,2)
的双曲线方程.【解析】(1)椭圆 的焦点是F1(-5,0),F2(5,0).
因为双曲线的渐近线方程是y=± x,故可设双曲线的
方程是 (k>0),即 .
由题意得 ,解得k=16,
所以所求双曲线的方程为 .(2)由题意设所求双曲线方程为 ,又因其过
点(-1,2),将该点代入 得 ,λ=- ,
所以所求双曲线方程为 .【补偿训练】求一条渐近线方程是3x+4y=0且过点
( ,3)的双曲线的标准方程,并求此双曲线的离心率.【解析】由题意可设双曲线的方程为9x2-16y2=λ
(λ≠0),又点( ,3)在双曲线上,则9×( )2-16
×32=λ,得λ=-9,即双曲线的方程为9x2-16y2=-9,
标准方程为 由此可知a2= ,b2=1,
c2=a2+b2= ,离心率【课堂小结】
1.知识总结 2.方法总结
(1)双曲线草图的画法
①定位:依焦点.
②定形:依渐近线.
(2)双曲线渐近线方程的求法
将标准方程右侧的1换成0,整理后可得两条渐近线的方程.课件50张PPT。第2课时
双曲线方程及性质的应用 类型一 直线与双曲线的位置关系
【典例1】(2017·孝感高二检测)已知双曲线x2-y2=4,讨论直线l:y=k(x-1)与这条双曲线的交点的个数.
【解题指南】联立直线与双曲线的方程,讨论该方程组的解的情况,确定直线与双曲线的交点个数.【解析】由方程组:
消去y,可得:(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0. (*)
(1)当1-k2=0,即k=±1时,方程(*)为:2x=5.
此时直线与双曲线仅有一个交点.(2)当1-k2≠0,即k≠±1时,
Δ=(2k2)2+4(1-k2)(k2+4)=4(4-3k2).
①若
即 且k≠±1时,直线与双曲线有两个交点.②若
即 时,直线与双曲线只有一个交点.
③若
即 时,直线与双曲线没有交点.由以上讨论可知,当 且k≠±1时,直线与双曲线有两个交点;当k=±1或 时,直线与双曲线只有一个交点;当 时,直线与双曲线没有交点.【延伸探究】本例中若直线与双曲线的交点分别在两支上,求k的取值范围.【解析】联立方程组消去y所得的方程为
(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0,由题意,若方程的两根为x1,x2,则 解得【延伸探究】本例中若直线与双曲线的右支有两个交点,求k的取值范围.【解析】联立方程组消去y所得的方程为
(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0,由题意,若方程的两根为x1,x2,则
解得【方法总结】直线与双曲线的位置关系及其判定方法
(1)直线与双曲线的位置关系有三种:①直线与双曲线相交(包括有两个不同的公共点和当直线与双曲线的渐近线平行时有一个公共点两种情况);②直线与双曲线相切(直线与双曲线有两个重合的公共点);③直线与双曲线相离(没有公共点).(2)直线与双曲线的公共点就是以直线的方程与双曲线的方程联立所构成方程组的解为坐标的点,因此对直线与双曲线的位置关系的讨论,常常转化为对由它们的方程构成的方程组解的情况的讨论.(3)直线与椭圆的位置关系是由它们公共点的个数决定的,而直线与双曲线的位置关系不能由其公共点的个数决定.
提醒:特别注意直线与双曲线的位置关系中:一解不一定相切,相交不一定两解,两解不一定同支.【巩固训练】y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同交点,则k的取值范围为________.
【解析】联立方程消去y得
(1-k2)x2-4kx-10=0有两正根x1,x2,
则 解得- 答案: (- , -1 )【补偿训练】1.已知双曲线 ,过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点,则这样的直线l有___条.
【解析】(1)当直线l的斜率不存在时, l:x=1与双曲线相切,符合题意.(2)当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=k(x-1)+1,代入双曲线方程得(4-k2)x2-(2k-2k2)x-k2+2k-5=0,
①当4-k2=0,即k=±2时, l与双曲线的渐近线平行, l与双曲线只有一个公共点;②当4-k2≠0时,令Δ=0,所以k= .
综上所述,当k= 或k=±2或斜率不存在时满足题意,
所以这样的直线一共有4条.
答案:42.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4.
(1)若直线与双曲线的右支有两个相异的公共点,求k的取值范围.
(2)若直线与双曲线没有公共点,求k的取值范围.【解析】(1)联立方程组
消去y得方程(1-k2)x2+2kx-5=0,
由题意得,此方程有两个不等的正根.
所以 即 解得1由题意知此方程无解.
则 得k> 或k<- ,
则k的取值范围为k> 或k<- .类型二 与双曲线相关的弦长和中点弦问题
【典例2】(1)已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E
的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为
N(-12,-15),则E的方程为 ( )(2)经过点M(2,2)作直线l交双曲线 于A,B两点,且M为AB的中点.
①求直线l的方程;
②求线段AB的长.【解题指南】(1)设出双曲线方程后,利用点差法求a,b.
(2)①利用点差法求直线l的斜率;
②联立直线与双曲线的方程,根据弦长公式求解.【解析】(1)选B.设双曲线的标准方程为
(a>0,b>0),由题意知c=3,a2+b2=9,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则有
两式作差得又AB的斜率是
所以4b2=5a2,代入a2+b2=9得a2=4,b2=5,
所以双曲线的标准方程是(2)①设A(x1,y1),B(x2,y2),代入双曲线方程得 ,
两式相减得
(x1+x2)(x1-x2)- (y1+y2)(y1-y2)=0.
因为M为AB的中点,所以x1+x2=4,y1+y2=4,所以4(x1-x2)-
(y1-y2)=0,kl= =4,所以l的方程为y-2=4(x-2),即
y=4x-6.②将y=4x-6代入 中得3x2-12x+10=0,故
x1+x2=4,x1x2= ,所以【方法总结】直线和双曲线相交所得弦长的两种求法
(1)利用距离公式:
求出直线和双曲线的两个交点坐标,利用两点间距离公式求弦长.(2)利用弦长公式:
设斜率为k(k≠0)的直线l与双曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=【巩固训练】(2017·济南高二检测)已知双曲线C:
(a>0,b>0)的离心率为 ,且
(1)求双曲线C的方程.
(2)已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆x2+y2=5上,求m的值.【解析】(1)由题意得 解得
所以b2=c2-a2=2.
所以双曲线C的方程为 .(2)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段AB的
中点为M(x0,y0),
由
得x2-2mx-m2-2=0(判别式Δ>0).
所以x0= =m,y0=x0+m=2m.
因为点M(x0,y0)在圆x2+y2=5上,
所以m2+(2m)2=5.
故m=±1.类型三 与双曲线有关的综合问题
【典例3】已知双曲线中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为 ,且过点(4, ).
(1)求双曲线的方程.
(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证: =0.【解题指南】(1)由e= 得双曲线的方程为x2-y2=λ,把点代入求出参数λ的值,从而得到双曲线方程.
(2)先求出 的解析式,把M代入双曲线,可得
=0.【解析】(1)因为e= ,所以设双曲线方程为x2-y2=λ
(λ≠0).因为过点(4, ),所以16-10=λ,λ=6.
所以双曲线的方程为x2-y2=6.(2)不妨设F1为左焦点,则 =(-2 -3,-m),
=(2 -3,-m),
所以 =(-2 -3)×(2 -3)+m2=-3+m2.
又因为M在双曲线上,所以9-m2=6,即m2-3=0,
所以 =0.【方法总结】设而不求技巧的应用
(1)直线与圆锥曲线相交后,设两交点为A(x1,y1),B(x2,y2).
(2)利用直线方程与圆锥曲线方程联立消元得到关于x的一元二次方程.(3)结合根与系数的关系可求x1+x2,x1x2,从而弦长问题、参数取值范围问题等都可以转化为x1+x2,x1x2应满足的条件解决.【巩固训练】(2017·吉林高二检测)已知动点P与双曲
线 的两个焦点F1,F2的距离之和为定值,且
cos∠F1PF2的最小值为- .
(1)求动点P的轨迹方程.
(2)若已知点D(0,3),点M,N在动点P的轨迹上,且
,求实数λ的取值范围.【解析】(1)c2=5,设|PF1|+|PF2|=2a(a> ),由余弦定
理得cos∠F1PF2=
当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号,令 -1=- ,得
a2=9,所以b2=4,因此点P的轨迹方程为 .(2)设N(s,t),M(x,y),
由 ,得(x,y-3)=λ(s,t-3),
故x=λs,y=3+λ(t-3).
又M,N在动点P的轨迹上,
所以 且 ,
消s得t= ,又|t|≤2,可求得 ≤λ≤5.【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
双曲线中应注意的几个问题
(1)双曲线是两支曲线,而椭圆是一条封闭的曲线.
(2)双曲线的两条渐近线是区别于其他圆锥曲线所特有的.(3)双曲线只有两个顶点,离心率e>1.
(4)注意双曲线中a,b,c,e的等量关系与椭圆中a,b,c,e的不同.课件58张PPT。2.3 抛 物 线
2.3.1 抛物线及其标准方程 主题1 抛物线的定义
1.我们在黑板上画一条直线l,然后取一个三角板,将一条拉链上边一半的一端N固定在三角板的一条直角边上,并将拉链下边一半的一端固定在F点,将三角板的另一条直角边贴在直线l上,在拉锁P处放置一支粉笔,上下拖动三角板,粉笔会画出什么图形?提示:如图所示,会得到一条抛物线.2.通过作图探究你发现了抛物线的哪些结论?
用文字语言描述:_______________________________
__________.
用符号语言描述:____________.动点P到定直线l的距离等于它到定点F的距离|PF|=|PN|结论:抛物线的定义:
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)_____
_____的点的轨迹叫做抛物线.____叫做抛物线的焦点,
_____叫做抛物线的准线.距离相等点F直线l主题2 抛物线的标准方程
根据抛物线的几何特征,对于开口向右的抛物线如何借助坐标法求出抛物线的方程?提示:如图,建立直角坐标系xOy,使x轴经过点F且垂直于直线l,垂足为K,并使原点与线段KF的中点重合,依据抛物线的定义,利用直接法即可求出抛物线的标准方程.结论:y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)【微思考】
1.抛物线的开口方向与哪个量有关系?
提示:抛物线的开口方向与一次项及其系数的正负有关系.2.抛物线的标准方程中,参数p的几何意义是什么?
提示:p的值等于抛物线的焦点到准线的距离.3.要确定抛物线的解析式,需要确定的量是什么?
提示:需要确定焦点的位置及2p的值.【预习自测】
1.若动点P到定点F(-4,0)的距离与到直线x=4的距离相等,则P点的轨迹是 ( )
A.抛物线 B.线段 C.直线 D.射线
【解析】选A.动点P的条件满足抛物线的定义.2.已知曲线C:y2=2px上一点P的横坐标为4,P到焦点的距离为5,则曲线C的焦点到准线的距离为 ( )
A. B.1 C.2 D.4
【解析】选C.由抛物线的定义知,P到准线的距离为5,又P的横坐标为4,故 =1,曲线C的焦点到准线的距离为2.3.设a≠0,a∈R,则抛物线y=-4ax2的焦点坐标为
( )
A.(a,0) B.(-a,0)
C. D. 【解析】选D.x2= y,
所以焦点坐标为 .4.过(2,4)点,顶点在原点,焦点在y轴上的抛物线的标准方程为________.
【解析】由已知可设抛物线方程为x2=my,将点(2,4)代入得4=4m,所以m=1,故抛物线的标准方程为x2=y.答案:x2=y类型一 抛物线的定义及应用
【典例1】(1)(2016·四川高考)抛物线y2=4x的焦点坐标是 ( )
A.(0,2) B.(0,1)
C.(2,0) D.(1,0)(2)若点P到定点F(4,0)的距离比它到定直线x+5=0的距离小1,则点P的轨迹方程是 ( )
A.y2=-16x B.y2=-32x
C.y2=16x D.y2=16x或y=0(x<0)【解题指南】(1)根据抛物线的标准方程求解.
(2)点P到F的距离比它到定直线x+5=0的距离小1,那么点P到F的距离与它到定直线x+4=0的距离相等,故利用抛物线的定义求解.【解析】(1)选D.由题意,y2=4x的焦点坐标为(1,0).
(2)选C.因为点F(4,0)在直线x+5=0的右侧,且点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,所以点P到F(4,0)的距离与它到直线x+4=0的距离相等.故P点的轨迹为抛物线,且顶点在原点,开口向右,p=8,故点P的轨迹方程为y2=16x.【方法总结】抛物线定义的应用要点
(1)根据抛物线的定义,抛物线上的任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离,因此,抛物线定义的功能是可以把点点距转化为点线距,从而使有关的运算问题变得简单、快捷.(2)抛物线标准方程中的p的几何意义是:焦点到准线的距离.
(3)对于动点到定点的距离比此动点到定直线的距离大多少或小多少的问题,实际上也是抛物线问题.【巩固训练】(2016·浙江高考)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是________.
【解题指南】根据抛物线的定义求解.【解析】xM+1=10?xM=9.
答案:9【补偿训练】若动圆与圆(x-2)2+y2=1外切,又与直线x+1=0相切,则动圆圆心的轨迹方程是( )
A.y2=8x B.y2=-8x
C.y2=4x D.y2=-4x【解析】选A.由题意,动圆圆心到定圆圆心的距离比它到直线x+1=0的距离大1,故动圆圆心的轨迹是以(2,0)为焦点,x=-2为准线的抛物线,其方程为y2=8x.类型二 求抛物线的标准方程
【典例2】求适合下列条件的顶点在原点(0,0)处的抛物线的标准方程:
(1)过点(-3,2).
(2)焦点在直线x-2y-4=0上.【解题指南】设出抛物线方程的标准形式,依据条件求出p的值.
【解析】(1)设抛物线方程为y2=-2px或x2=2py(p>0),
则将点(-3,2)代入方程得2p= ,或2p= ,
故抛物线方程为y2=- x,或x2= y.(2)①令x=0,由方程x-2y-4=0得y=-2.
所以抛物线的焦点为F(0,-2).
设抛物线方程为x2=-2py,则由 =2,得2p=8.
所以所求的抛物线方程为x2=-8y.②令y=0,由x-2y-4=0,得x=4.
所以抛物线的焦点为F(4,0).
设抛物线方程为y2=2px,由 =4,得2p=16.
所以所求抛物线方程为y2=16x.【方法总结】
1.抛物线的“一动三定”
抛物线的定义可归为“一动三定”,即“一个动点M”“一个定点F”“一条定直线l”“一个定值”.其中“定点”为抛物线的焦点,“定直线”为抛物线的准线,“定值”指点M到点F的距离与它到定直线l(准线)的距离之比等于1.2.抛物线标准方程的特征
(1)等号的一边是某变量的完全平方,另一边是另一变量的一次项.
(2)当对称轴为x轴时,方程中的一次项就是x的一次项,且符号指明了抛物线的开口方向:x的系数为正时开口向右,为负时开口向左.(3)当对称轴为y轴时,方程中的一次项就是y的一次项,且符号指明了抛物线的开口方向:y的系数为正时开口向上,为负时开口向下.【巩固训练】根据下列条件,求顶点在原点(0,0)处的抛物线的标准方程.
(1)焦点为(-2,0).
(2)准线为y=-1.
(3)焦点到准线的距离是4.
(4)过点(1,2).【解析】(1)焦点在x轴的负半轴上, =2,即p=4,所以抛物线的方程是y2=-8x.
(2)焦点在y轴正半轴上, =1,即p=2,所以抛物线的方程是x2=4y.
(3)p=4,抛物线的方程有四种形式:y2=8x,y2=-8x,x2=8y,
x2=-8y.(4)点(1,2)在第一象限,要分两种情形:
当抛物线的焦点在x轴上时,设抛物线的方程为
y2=2px(p>0),则22=2p·1,解得p=2,抛物线方程为y2=4x;
当抛物线的焦点在y轴上时,设抛物线的方程为x2=2py
(p>0),则12=2p·2,解得p= ,抛物线方程为
x2= y.类型三 抛物线的实际应用
【典例3】河上有抛物线形拱桥,当水面距拱顶5米时,水面宽为8米,一小船宽4米,高2米,载货后船露出水面的部分高 米,问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时,小船开始不能通航?【解题指南】
【解析】如图,建立坐标系,设拱桥抛物线方程为
x2=-2py(p>0),由题意,将B(4,-5)代入方程得p= ,所以抛物线方程为x2= y.
因为当船的两侧和拱桥接触时船不能通航;
设此时船面宽为AA′,则A(2,yA),
由22= yA,得yA= .又知船露出水面的部分高 米,设水面与抛物线拱顶相距为h,则h=|yA|+ =2(米),即水面上涨到距抛物线拱顶2米时,小船开始不能通航.【方法总结】抛物线应用题的解法
(1)抛物线应用题的解题关键:把实际问题转化为数学问题,利用数学模型,通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题.
(2)建立抛物线的标准方程的方法:以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为一条坐标轴建立坐标系.【巩固训练】某抛物线形拱桥跨度是20米,拱桥高度是4米,在建桥时,每4米需用一根支柱支撑,求其中最长支柱的长.
【解析】如图,建立直角坐标系,设抛物线方程为x2=
-2py(p>0),依题意知,点P(10,-4)在抛物线上,所以100=-2p×(-4),2p=25,即抛物线方程为x2=-25y.因为每4米需用一根支柱支撑,
所以支柱横坐标分别为-6,-2,2,6.
由图知,AB是最长的支柱之一,点B的坐标为(2,yB),代入x2=-25y,得yB=- ,所以|AB|=4- =3.84,即最长支柱的长为3.84米.【补偿训练】如图所示,一隧道内设双行线公路,其截
面由长方形的三条边和抛物线的一段构成,为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.
(1)以抛物线的顶点为原点O,其对称轴所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系(如图),求该抛物线的方程.(2)若行车道总宽度AB为7米,请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米).【解析】如图所示(1)依题意,设该抛物线的方程为x2=-2py(p>0),
因为点C(5,-5)在抛物线上,所以25=10p,p=2.5,
所以该抛物线的方程为x2=-5y.(2)设车辆高h,则|DB|=h+0.5,
故D(3.5,h-6.5),
代入方程x2=-5y,解得h=4.05,
所以通过隧道的车辆限制高度为4.0米.【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
抛物线标准方程的求法
(1)定义法:建立恰当坐标系,利用抛物线的定义列出动点满足的条件,列出方程,进行化简,根据定义求出p,最后写出标准方程.(2)待定系数法:由于标准方程有四种形式,因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上,进而确定方程的形式,然后再利用已知条件确定p的值.
提醒:焦点位置不确定时,要对各种可能的情况分别进行讨论,以确定抛物线的方程.课件55张PPT。2.3.2 抛物线的简单几何性质
第1课时 抛物线的简单几何性质 主题 抛物线的几何性质
类比椭圆、双曲线的几何性质及其探究方法,你能否结合抛物线图形,探索抛物线的几何性质?提示:由如图所示的抛物线图形可见,开口向右的抛物线顶点在原点,以x轴为对称轴且向右无限伸展;图形变化趋势比较平缓,且图形上任一点到焦点的距离与它到准线的距离相等.结论:抛物线的简单几何性质x≥0,y∈Rx≤0,y∈Rx∈R,y≥0x∈R,y≤0xyO(0,0)1【微思考】
1.在同一坐标系中作出抛物线y2=4x,y2=2x,y2=x,
y2= x的图形.观察并回答抛物线的开口大小由什
么决定.
提示:作出图形如图所示,根据图形比较可知,开口
大小由p决定,p越大,开口越开阔,p越小则开口越小.2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线截得的线段的长度是多少?
提示:2p.【预习自测】
1.顶点在原点,准线方程为y=2的抛物线方程为 ( )
A.y2=8x B.y2=-8x
C.x2=8y D.x2=-8y【解析】选D.因为准线为y=2,设抛物线的方程为x2=
-2py(p>0),且 =2,p=4,所以抛物线方程为x2=-8y.2.若抛物线y= x2上一点P到焦点F的距离为5,则P点的坐标为 ( )
A.(4,±4) B.(±4,4)
C. D. 【解析】选B.因为抛物线方程为y= x2,所以焦点为F(0,1),准线为l:y=-1,设所求点的坐标为P(x,y),作PQ⊥l于Q.根据抛物线定义可知P到准线的距离等于PQ的长度,即y+1=5,即y=4,代入抛物线方程,求得x=±4,故点P坐标为(±4,4).3.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为
( )
A.y2=8x B.y2=-8x
C.y2=8x或y2=-8x D.x2=8y或x2=-8y【解析】选C.设抛物线y2=2px或y2=-2px(p>0),p=4,可得抛物线方程.4.抛物线y2=ax上有一点P(3,m),它到焦点的距离等于4,则a=________,m=________.
【解析】由题意得,a>0且 所以 答案:4 ±2 5.设抛物线y2=16x上一点P到对称轴的距离为12,则点P与焦点F的距离|PF|=________.
【解析】不妨设P(x,12),代入y2=16x得x=9,
所以|PF|=x+ =9+4=13.答案:136.已知抛物线关于y轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点M( ,-2 ),则它的方程为________.
【解析】因为抛物线关于y轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点M( , -2 ),
所以可设它的标准方程为x2=-2py(p>0).又因为点M在抛物线上,所以( )2=-2p(-2 ),即p= .因此所求方程是x2=- y.
答案:x2=- y类型一 抛物线的性质及其应用
【典例1】(1)(2016·全国卷Ⅱ)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y= (k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=
( )
A. B.1 C. D.2(2)已知点P(x,y)在抛物线y2=4x上,则z=x2+ y2+4的最小值为________.
【解题指南】(1)P是两条曲线的交点,先利用抛物线方程y2=4x求出交点坐标,再代入曲线方程y= .
(2)将z表示为关于x的二次函数求解,注意x的取值范围.【解析】(1)选D.因为抛物线方程是y2=4x,所以F(1,0).
又因为PF⊥x轴,
所以P(1,2),把P点坐标代入曲线方程y= (k>0),
即 =2,所以k=2.(2)z=x2+ y2+4=x2+2x+4=(x+1)2+3,
因为y2=4x≥0,所以x∈[0,+∞),
所以当x=0时,zmin=4.
答案:4【方法总结】抛物线各元素间的关系
抛物线的焦点始终在对称轴上,顶点就是抛物线与对称轴的交点,准线始终与对称轴垂直,准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称,顶点到焦点的距离为 .【巩固训练】(2017·孝感高二检测)在抛物线y2=16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为 ( )
A.(4 ,±2) B.(±4 ,2)
C.(±2,4 ) D.(2,±4 )【解析】选D.抛物线y2=16x的顶点为O(0,0),焦点为F(4,0),设P(x,y)符合题意,则有
所以符合题意的点为(2,±4 ).【补偿训练】(2017·长沙高二检测)已知定点
A(-3,0),B(3,0),动点P在抛物线y2=2x上移动,则
的最小值等于________.【解析】设P(x,y),因为A(-3,0),B(3,0),则
=(x+3,y)·(x-3,y)=x2+y2-9=x2+2x-9=(x+1)2-10(x≥0),
所以当x=0时,( )min=-9.
答案:-9类型二 根据抛物线的性质求方程
【典例2】若抛物线的焦点与椭圆 的一个焦点重合,则抛物线的标准方程为____________.
【解题指南】用待定系数法求方程,分类讨论焦点的位置.【解析】由题意知椭圆的焦点为(2,0),(-2,0),当抛物线的焦点为(2,0)时,方程为y2=8x,
当抛物线的焦点为(-2,0)时,方程为y2=-8x,
所以抛物线的标准方程为y2=8x或y2=-8x.答案:y2=8x或y2=-8x【方法总结】待定系数法求抛物线标准方程的步骤
(1)定位置:根据抛物线的几何性质等条件确定焦点的位置或开口方向.
(2)设方程:根据确定的焦点位置设出相应的方程,若未能确定则要分情况讨论.(3)列方程:利用准线、焦点等条件列出关于p的方程,确定p的值.
(4)写出方程:根据求出的p值,代入设出的方程,确定抛物线方程.【巩固训练】设抛物线y2=mx(m≠0)的准线与直线x=1的距离为3,求抛物线的方程.
【解析】当m>0时,由2p=m,得 = ,这时抛物线的准线方程是x=- .
因为抛物线的准线与直线x=1的距离为3,所以1- =3,解得m=8,
这时抛物线的方程是y2=8x.
同理,当m<0时,抛物线的方程是y2=-16x.【补偿训练】在平面直角坐标系xOy中,有一定点A(2,1),若线段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,则该抛物线的标准方程是________.【解析】线段OA的垂直平分线为4x+2y-5=0,与x轴的交点为 ,所以抛物线的焦点为 ,所以其标准方程是y2=5x.
答案:y2=5x类型三 焦点弦问题
【典例3】(2017·九江高二检测)过抛物线y2=4x的焦点F作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=7,求线段AB的长.
【解题指南】利用抛物线的定义,把|AB|=|AF|+|BF|转化为A,B两点到准线的距离的和来求解.【解析】由抛物线的方程得 =1,所以根据抛物线的定义可得|AB|=|AF|+|BF|=x1+ +x2+ =x1+1+x2+1=7+2=9.【延伸探究】1.本例中,若点A,B是倾斜角为60°的直
线与抛物线的交点,则|AB|等于多少?
【解析】因为抛物线的焦点是(1,0),所以直线AB的方程
为y= (x-1),与抛物线方程联立消去y得3x2-10x+3=0,
所以x1+x2= ,从而|AB|=x1+x2+p= +2= .2.本例中,证明以线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切,该结论能否推广到任意抛物线方程y2=2px?
【解析】因为线段AB中点的横坐标为 ,所以以AB为直径的圆的圆心到准线x=-1的距离为 ,而AB的长度为9,所以以AB为直径的圆的半径为 ,故该圆与准线相切.该结论可以推广,证明如下:设抛物线方程y2=2px过焦点的弦为AB,中点为M,准线为l,A1,B1分别为A,B在准线l上的射影,则|AA1|=|AF|,
|BB1|=|BF|,于是M到l的距离d= (|AA1|+|BB1|)
= (|AF|+|BF|)= |AB|=半径,故相切.【方法总结】抛物线焦点弦问题的解法
(1)由于抛物线的焦点弦过焦点,因此与焦点弦有关的问题要注意结合抛物线的定义求解.
(2)焦点弦有关的问题要把过焦点的直线方程与抛物线方程联立,再结合根与系数的关系求解.(3)求焦点弦的长度可以利用两点间的距离公式,也可以利用弦长公式,但由于弦过焦点,结合抛物线的定义得出焦点弦长.以抛物线y2=2px(p>0)为例,过抛物线焦点F,作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),则焦点弦长为x1+x2+p,同时由弦长x1+x2+p≥2 +p=2p,当且仅当x1=x2时,取“=”知,通径是所有弦中最短的弦.【拓展延伸】1.抛物线的焦点弦的常见结论
(1)若AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦(过焦点的弦),且A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2= ,y1y2=-p2.
(2)若AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,且直线AB的倾斜角为α,则|AB|= (α≠0).2.焦点弦公式
抛物线y2=2px(p>0),|AB|=p+(x1+x2);
抛物线y2=-2px(p>0),|AB|=p-(x1+x2);
抛物线x2=2py(p>0),|AB|=p+(y1+y2);
抛物线x2=-2py(p>0),|AB|=p-(y1+y2).【补偿训练】设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P
为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足,如果直线AF的斜率为
- ,那么|PF|= ( )
A.4 B.8 C.8 D.16【解析】选B.设A(-2,y),F(2,0),
所以
所以y=4 ,所以yP=4 ,
因为P在抛物线上,所以yP2=8xP,
所以
由抛物线定义可得|PF|=|PA|=xP-xA=6-(-2)=8.【课堂小结】
1.知识总结 2.方法总结
抛物线几何性质的研究方法
(1)标准方程法:由标准方程的形式明确抛物线的几何特征.
(2)数形结合法:结合抛物线的定义,在坐标系中将线段长用坐标表示,进而解决与几何特征相关问题的方法.课件46张PPT。第2课时
抛物线方程及性质的应用类型一 直线与抛物线的位置关系
【典例1】(1)(2017·吉林高二检测)已知直线l过点
且与抛物线y2=2px(p>0)只有一个公共点,则
直线l的方程为________.
(2)顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线截直线y=2x-4所
得的弦长|AB|=3 ,求此抛物线方程.【解题指南】(1)设出直线的点斜式方程,利用直线与抛物线只有一个公共点的条件求斜率.
(2)利用直线被抛物线截得的弦长公式求参数.【解析】(1)当直线与抛物线只有一个公共点(相切)时,
由题意设直线l方程为 将直线l的方
程与y2=2px联立,消去x得ky2-2py+(2+3k)p2=0.
由Δ=0得, 或k=-1.
所以直线l的方程为
2x-6y+9p=0,或2x+2y+p=0.当直线l与x轴平行时,直线l与抛物线只有一个交点,此时,y=p,故满足条件的直线共有三条,其方程为:
2x-6y+9p=0,或2x+2y+p=0,或y=p.
答案:2x-6y+9p=0,或2x+2y+p=0,或y=p(2)设所求的抛物线方程为y2=ax(a≠0),A(x1,y1),
B(x2,y2),把直线y=2x-4代入y2=ax,
得4x2-(a+16)x+16=0,
由Δ=(a+16)2-256>0,得a>0或a<-32.
又x1+x2= ,x1x2=4,所以|AB|=
所以
所以a=4或a=-36.
故所求的抛物线方程为y2=4x或y2=-36x.【延伸探究】1.本例(1)中,若过点A(t,p)只有一条直
线与抛物线只有一个公共点,求t的取值范围.
【解析】由典例知,若点A在抛物线外部或抛物线上,则
至少有两条直线与抛物线只有一个公共点,所以点A应
在抛物线内部,即p2<2pt,所以 2.本题(1)中,若斜率为2的直线被抛物线截得的弦的中点坐标为(2,1),求抛物线的方程.
【解析】设直线与抛物线的两个交点为A(x1,y1),
B(x2,y2),则 所以 代入已知条件得2×2=2p,所以p=2,抛物线方程为y2=4x.【方法总结】直线与抛物线位置关系的常见解法
(1)点差法:对于直线和抛物线有两个交点问题,“点差
法”是常用法.如若A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y2=2px
上两点,则直线AB的斜率kAB与y1+y2可得如下等式kAB= (2)联立方程法:设抛物线方程为y2=2px(p>0),直线Ax+By+C=0,将直线方程与抛物线方程联立,消去x得到关于y的方程my2+ny+q=0,
①若m≠0,当Δ>0时,直线与抛物线有两个公共点;
当Δ=0时,直线与抛物线只有一个公共点;
当Δ<0时,直线与抛物线没有公共点.②若m=0,直线与抛物线只有一个公共点,此时直线与抛物线的对称轴平行或重合.
提醒:直线与抛物线位置关系问题,常转化为二次函数问题解决,但要注意对二次项系数是否为零进行讨论,避免漏掉直线与抛物线对称轴平行或重合的特殊情况.【补偿训练】1.直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x, 当k为何值时,l与C有:(1)一个公共点?(2)两个公共点?(3)没有公共点?【解析】由 得k2x2+(2k-4)x+1=0.(*)
当k=0时,方程变为-4x+1=0, 此时y=1.
所以直线l与C只有一个公共点
此时直线l平行于x轴.当k≠0时,方程(*)是一个一元二次方程:
Δ=(2k-4)2-4k2×1=16-16k,
①当Δ>0,即k<1,且k≠0时,l与C有两个公共点,此时l与C相交;
②当Δ=0,即k=1时,l与C有一个公共点,此时直线l与C相切;③当Δ<0时,即k>1时,l与C没有公共点,此时直线l与C相离.
综上所述:(1)当k=1或k=0时,直线l与C有一个公共点;
(2)当k<1,且k≠0时,直线l与C有两个公共点;
(3)当k>1时,直线l与C没有公共点.2.如图所示,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A.
(1)求实数b的值.
(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.【解析】(1)由 得x2-4x-4b=0.(*)
因为直线l与抛物线C相切,
所以Δ=(-4)2-4×(-4b)=0,解得b=-1.(2)由(1)可知b=-1,
故方程(*)即为x2-4x+4=0,解得x=2.
将其代入x2=4y,得y=1.故点A(2,1).
因为圆A与抛物线C的准线相切,
所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离,即r=|1-(-1)|=2,
所以圆A的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.类型二 抛物线中的最值与范围问题
【典例2】已知抛物线y2=2x.
(1)设点A的坐标为 求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|.
(2)在抛物线上求一点P,使P到直线x-y+3=0的距离最短,并求出距离的最小值.【解题指南】第(1)问中可将距离|PA|的最小值问题转化为函数最小值问题,即代数方法解决几何问题.而第(2)问可用点到直线距离公式求距离,利用函数思想求最小值,也可采用求出与已知直线平行的抛物线的切线,再求出切点,两平行直线的距离即为距离的最小值.【解析】(1)设抛物线上任一点P的坐标为(x,y),
则|PA|2=
因为x≥0,且在此区间上函数单调递增,所以当x=0时,
|PA|min= ,故距点A最近的点的坐标为(0,0).(2)设点P(x0,y0)是y2=2x上任一点,
则P到直线x-y+3=0的距离为
当y0=1时,dmin= 所以点P的坐标为 【一题多解】设与直线x-y+3=0平行的抛物线的切线为
x-y+t=0,与y2=2x联立,消去x,得y2-2y+2t=0,由Δ=0,得
t= ,此时y=1,x= ,所以点P坐标为 两平行线间
的距离就是点P到直线的最小距离,即dmin= 【方法总结】两类与抛物线定义有关的最值问题的解题方法
(1)点在抛物线外:求抛物线上的点P到抛物线外的一定点A的距离与准线的距离d之和的最小值.方法是利用抛物线的定义把d转化为|PF|(F为抛物线的焦点),即将求|PA|+d的最小值转化为求|PF|+|PA|的最小值.利用P,A,F三点共线求最小值.(2)点在抛物线内:求抛物线上的点P到抛物线内的一定点A的距离与抛物线焦点F的距离之和的最小值.方法是利用抛物线的定义把|PF|转化为P到准线l的距离d,即将求|PA|+|PF|的最小值转化为求d+|PA|的最小值.利用点A到准线的垂线段最短求最小值.【拓展延伸】抛物线上一点到某定点或到某定直线的
距离问题的两类解法
(1)函数最值法:设点P(x0,y0)是抛物线y2=2px(p>0)上
的点,则 即 再由两点间的距离公式,点
到直线的距离公式表示出所求距离,利用求函数最值的
方法求解.(2)几何转化法:抛物线上一点到某定直线的距离的最值问题也可通过平移直线的方法转化为平行线间的距离问题.【巩固训练】求抛物线y2=64x上的点到直线4x+3y+46=0的距离的最小值,并求取得最小值时的抛物线上的点的坐标.【解析】设点P(x0,y0)是抛物线上的任意一点,则x0=
点P到直线4x+3y+46=0的距离
所以当y0=-24,x0=9时,
d有最小值为2,即抛物线上的点到直线的最小距离等于
2,这时抛物线上的点的坐标为(9,-24).【一题多解】(切线平移法)因为 无实根,
所以直线与抛物线没有公共点.设与直线平行的直线为
则 消去x得:y2+48y-48b=0. ①设此直线与抛物线相切,即只有一个公共点,所以判别
式Δ=482-4(-48b)=0,b=-12,代入①式得y=-24,故x=9,
即(9,-24)到直线4x+3y+46=0的距离最近,最近距离为类型三 抛物线中的对称问题
【典例3】在已知抛物线y=x2上存在两个不同的点M,N关
于直线y=kx+ 对称,求k的取值范围.
【解题指南】假设存在M,N两点,利用MN的中点在抛物
线内部确定k的范围.
或设出MN的方程,利用直线MN与抛物线有两个交点确定
k的范围.【解析】方法一:设M(x1,x12),N(x2,x22)关于直线y=kx
+ 对称,可知k≠0,所以 即x1+x2=
设MN的中点为P(x0,y0),则
因为中点P在y=x2内,有
所以k> 或 方法二:由题意可设MN的方程为
由 得kx2+x-bk=0,则Δ=1+4bk2>0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则 代入 得 代入Δ=1+4bk2>0得16k2-1>0,
所以 或 【方法总结】抛物线中的对称问题的解法
(1)抛物线上存在两点关于直线对称问题要充分利用点关于直线对称的两个条件,即对称的两点的中点在这条直线上,对称点的连线与这条直线垂直.(2)若将两对称点连线的方程与抛物线的方程联立方程组,可利用判别式Δ>0得不等式,若利用点差法,则可以利用中点在曲线内部得不等式,解不等式,即可求出参数的取值范围.【巩固训练】求实数m的取值范围,使抛物线y=x2上存在两点关于直线y=m(x-3)对称.【解析】设抛物线上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=m(x-3)对称,AB的中点为M(x0,y0),
显然m≠0,则
所以 将x0,y0代入方程y=m(x-3),
解得
由①②知x1,x2是方程 的两根,
由Δ>0可解得m<- .【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
判断直线与抛物线位置关系的操作程序课件56张PPT。第三章 导数及其应用
3.1 变化率与导数
3.1.1 变化率问题
3.1.2 导数的概念 主题1 平均变化率
1.写出气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的
关系式.然后将球半径r表示为球体积V的函数.
提示:体积V与半径r之间的关系式为V(r)= πr3.将半
径r表示为体积V的函数为r(V)= 2.当空气容量V从0增加到1L时,气球半径增加了多少?
此时气球的平均膨胀率是多少?当空气容量V从1L增加
到2L呢?
提示:当空气容量V从0增加到1L时,气球半径增加了
r(1)- r(0)≈0.62(dm).
气球的平均膨胀率为 ≈0.62(dm/L).当空气容量V从1L增加到2 L时,气球半径增加了r(2)-r(1)≈0.16(dm).
气球的平均膨胀率为 ≈0.16(dm/L).3.若运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系:h(t)=-4.9t2+6.5t+10,则运动员在0≤t≤0.5这段时间里的平均速度是多少?运动员在1≤t≤2这段时间里的平均速度是多少?提示:在0≤t≤0.5这段时间里的平均速度是
在1≤t≤2这段时间里的平均速度是结论:平均变化率概念
我们把式子__________称为函数y=f(x)从__到__的平
均变化率.x1x2主题2 导数的概念
1.物体的平均速度能否精确反映它的运动状态?
提示:不能,如高台跳水运动员相对于水面的高度h与起
跳时间t的函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10,易知
而运动员依然是运动状态.2.如何精确描述物体在某一时刻的运动状态?
提示:可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运
动状态.如求t=2时的瞬时速度,可考察在t=2附近的一
个间隔Δt,当Δt趋近于0时,看平均速度 的变化趋势,
用式子 表示,这就是物体在t=2时的瞬
时速度.3.导数和瞬时变化率是什么关系?导数有什么作用?
提示:函数在某点处的导数就是函数在这点处的瞬时变化率,导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度.结论:函数在某点处的导数
函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是
_________________________
我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作
__________________
即f′(x0)= __________________________f′(x0)或y′|【微思考】
1.观察函数y=f(x)的图象,平均变化率
的几何意义是什么?平均变化率绝对值的大小与曲线的陡峭程度是否存在关系?提示:平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢,它表示割线的斜率.
函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率是曲线y=f(x)在区间[x1,x2]上陡峭程度的“数量化”,曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.2.如何理解导数定义中的Δx,Δy, ?
提示:Δx表示自变量的增量,其值可正可负不能为零,
Δy表示函数值的增量,其值可正可负可为零, 表示平
均变化率,其极限存在,则函数y=f(x)在某一点处可导,
否则不可导.【预习自测】
1.当自变量从x0变到x1时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数 ( )
A.在[x0,x1]上的平均变化率
B.在x0处的变化率
C.在x1处的变化率
D.以上都不对【解析】选A.由平均变化率的定义知当自变量从x0变到x1时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数在[x0,x1]上的平均变化率.2.质点运动规律s=t2+3,则在时间[3,3+Δt]中,相应的平均速度等于 ( )
A.6+Δt B.6+Δt+
C.3+Δt D.9+Δt【解析】选A. 3.设函数f(x)在x0处可导,则 ( )
A.f′(x0) B.f′(-x0)
C.-f′(x0) D.-f′(-x0)【解析】选C. 4.已知函数f(x)=A(A为常数),则f′(2)=________.
【解析】因为Δy=f(2+Δx)- f(2)=A-A=0,
所以 =0,f′(2)=
答案:05.婴儿从出生到第24个月的体重变化如图,则第二年婴儿体重的月平均变化率是__________.【解析】由题图可知,第二年婴儿体重的月平均变化率
为 =0.25(千克/月).
答案:0.25千克/月6.质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位:cm,时间单位:s),求质点M在t=2时的瞬时速度,并与运用匀变速直线运动速度公式求得的结果进行比较.【解析】(1)瞬时速度v= (2)因为s=2t2+3=s0+v0t+ at2,
所以v0=0cm/s,
因为 a=2,所以a=4cm/s2,
所以瞬时速度v=4t=4×2=8cm/s.
结论:用两种方法求得的结果相同.类型一 求平均变化率
【典例1】试求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化
率.
【解题指南】先计算Δy=f(-1+Δx)-f(-1),再利用
求解.【解析】 【延伸探究】1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点
A(-1,-2)及邻近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则 =______.
【解析】
答案:3-Δx2.设函数f(x)在x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)
=aΔx+b(Δx)2(a,b∈R),则函数f(x)在x0附近的平均变化率为________.
【解析】由 =a+bΔx.可得f(x)在x0附近的平均变化率为a+bΔx.
答案:a+bΔx【方法总结】
(1)计算函数值的改变量Δy=f(x2)-f(x1).
(2)计算自变量的改变量Δx=x2-x1.
(3)得平均变化率 【补偿训练】求函数y=f(x)=3x2+2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率,并求当x0=2,Δx=0.1时平均变化率的值.【解析】函数y=f(x)=3x2+2在区间[x0,x0+Δx]上的平均
变化率为
当x0=2,Δx=0.1时,
函数y=3x2+2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2+3×0.1=12.3.类型二 求瞬时变化率
【典例2】(2017·沈阳高二检测)若一物体的运动满足
函数s= (路程单位:m,时间单位:s).
求:(1)物体在t=3s到t=5s这段时间内的平均速度.
(2)物体在t=1s时的瞬时速度.【解题指南】(1)先求增量,再求平均速度.(2)先求增量,再求平均速度,再求极限,进而得出瞬时速度.
【解析】(1)Δs=s(5)-s(3)=3×52+2-(3×32+2)=48.(2)因为Δs=29+3(1+Δt-3)2-[29+3(1-3)2]
=3(Δt)2-12Δt,
所以
所以
即物体在t=1s时的瞬时速度为-12m/s.【方法总结】
(1)函数的平均变化率和瞬时变化率的关系:
平均变化率 ,当Δx趋于0时,它所趋于的一个常数就是函数在x0处的瞬时变化率.(2)共同点:它们都是用来刻画函数变化快慢的,它们的绝对值越大,函数变化得越快.
(3)逼近法求瞬时变化率:求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解.【巩固训练】一质点按规律s(t)=at2+1做直线运动(位移单位:m,时间单位:s),若该质点在t=2s时的瞬时速度为8m/s,求常数a的值.
【解析】因为Δs=s(2+Δt)-s(2)
=a(2+Δt)2+1-a·22-1
=4aΔt+a(Δt)2,所以 =4a+aΔt,
故在t=2s时,瞬时速度为s′(2)= =4a(m/s).
由题意知,4a=8,所以a=2.【补偿训练】一物体的运动方程为s=7t2+8,则其在
t=________时的瞬时速度为1.
【解析】
当 (7Δt+14t0)=1时,t0= .
答案: 类型三 求函数在某点处的导数
【典例3】根据导数的定义求下列函数的导数.
(1)求函数y=x2+3在x=1处的导数.
(2)求函数y= 在x=a(a≠0)处的导数.【解题指南】(1)利用导数定义
进行变形.
(2)本题是根据定义求函数的导数,因此可先求 ,再求其极限值,即可得出导数值.【解析】(1)Δy=f(1+Δx)-f(1)=[(1+Δx)2+3]-(12+3)
=2Δx+(Δx)2,
所以
所以y′|x=1= (2+Δx)=2.(2)Δy=f(a+Δx)-f(a)
所以
所以y′|x=a= 【方法总结】用导数定义求函数在某一点处的导数的三个步骤
(1)作差Δy=f(x0+Δx)-f(x0).
(2)作比
(3)取极限f′(x0)=
简记为一差、二比、三极限.【巩固训练】已知函数y=f(x)=ax2+c且f′(1)=2,求a的值.【解析】f′(1)=
所以a=1.【补偿训练】求函数y=3x2在x=1处的导数.
【解题指南】先求Δy=f(1+Δx)-f(1)=6Δx+3(Δx)2,
再求 =6+3Δx,再求 =6.【解析】Δy=f(1+Δx)-f(1)=6Δx+3(Δx)2.【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
(1)平均变化率 当Δx趋于0时,它所趋于的一个常数就是函数在x0处的瞬时变化率,即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解.另外,它们都是用来刻画函数变化快慢的,它们的绝对值越大,函数变化得越快.(2)函数在一点处的导数,就是在该点函数值的改变量与自变量的改变量的比值的极限,它是一个定值,不是变数.课件57张PPT。3.1.3
导数的几何意义主题1 导数的几何意义
1.如图(1)l1是否为曲线在点A处的切线?l2是否为曲线在点B处的切线?l2是否为曲线在点C处的切线?提示:l1不是曲线在点A处的切线;l2是曲线以点B为切点的切线,不是以点C为切点的切线.2.你能不能类比圆的割线和切线的动态
关系,结合图(2)直观地感知,当Pn→P时
对应的一般曲线的切线?
提示:当Pn→P时,割线趋于确定的位置,这个确定位置上的直线就是曲线在点P处的切线.3.问题2从直观上感知了“割线逼近切线”的变化过程,进一步,如图(3)如何研究割线方程和切线方程的变化关系?提示:割线逼近切线,不妨设点P(x0,y0),Pn(x0+Δx,f(x0+Δx)).割线PPn的方程为y-f(x0)= (x-x0),
当Pn→P,即Δx→0时,变化的最终结果是
=f′(x0),故切线方程就是y-y0=
f′(x0)(x-x0).结论:导数的几何意义
曲线y=f(x)在点___________处的切线的斜率,用符号
表示为f′(x0)=________________=__.P(x0,f(x0))k【微思考】
求曲线在某点P(x0,y0)处的切线方程时易忽略什么?
提示:易忽略切点在曲线上或忽略切点在切线上.主题2 导数的概念
已知函数y=x2,完成下表:24681012结论:导函数的定义:
当x变化时,f′(x)是x的一个函数,称它为f(x)的导函数(简称导数),
即f′(x)=y′=________________.【微思考】
导函数f′(x)与函数在x=x0处的导数f′(x0)相同吗?它们有什么区别与联系?
提示:不相同.y=f(x)导函数为f′(x),f′(x0)是y=f(x)在x0处的导数.【预习自测】
1.函数y=f(x)在x=x0处的导数f ′(x0)的几何意义是
( )
A.在点x0处的斜率
B.在点(x0,f(x0))处的切线与x轴所夹的锐角的正切值
C.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率
D.点(x0,f(x0))与点(0,0)连线的斜率【解析】选C.由导数的几何意义可知函数y=f(x)在x=x0处的导数f ′(x0),即为曲线在点(x0,f(x0))处的切线的斜率.2.设f ′(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线 ( )
A.不存在
B.与x轴平行或重合
C.与x轴垂直
D.与x轴斜交【解析】选B.曲线在点(x0,f(x0))处的切线斜率为0,切线平行或重合于x轴.3.函数f(x)=x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为 ( )
A.10 B.5 C.-1 D.- 【解析】选D.因为f(x)=x3+4x+5,
所以f′(x)=3x2+4,
所以f′(1)=7,即切线斜率为7,
又f(1)=10,故切点坐标为(1,10),
所以切线的方程为:y-10=7(x-1),当y=0时,x=- .4.过曲线y=2x上两点(0,1),(1,2)的割线的斜率为________.
【解析】依题意得,割线的斜率为 =1.
答案:15.抛物线y2=x与x轴、y轴都只有一个公共点,但只有________是它的切线,而________不是它的切线.
【解析】根据曲线在某点处的切线的定义知y轴是曲线y2=x的一条切线,x轴不是切线.
答案:y轴 x轴6.如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐
标分别为(0,4),(2,0),(6,4),试求 的值.【解析】由导数的概念和几何意义知,
=f ′(1)=kAB= =-2.类型一 求曲线的切线方程
【典例1】(1)曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是 ( )
A.-9 B.-3 C.9 D.15
(2)已知曲线方程为y=x2,则过点A(2,4)且与曲线相切的直线方程为____________________.【解题指南】(1)先求出函数y=x3+11在x=1处的导数,再求出切线方程,最后求与y轴交点的纵坐标.
(2)由于点A在曲线上,可利用导数的几何意义,求出切线的斜率,再利用点斜式写出直线的方程.【解析】(1)选C.y′|x=1=
所以曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线方程为y-12=3(x-1),即3x-y+9=0,
令x=0,解得y=9,
所以曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是9.(2)因为f′(x)=
= (2x+Δx)=2x,
又点A(2,4)在曲线y=x2上,所以f′(2)=4,
所以所求切线的斜率k=4,
故所求切线的方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.
答案:4x-y-4=0【延伸探究】
1.在本例(2)中若将“点A(2,4)”改为“点B(0,0)”,则结果如何?【解析】因为f′(x)=
= (2x+Δx)=2x,
又点B(0,0)在曲线y=x2上,所以f′(0)=0,
所以所求切线的斜率k=0,
故所求切线的方程为y-0=0(x-0),即y=0.2.在本例(2)中若将“点A(2,4)”改为“点C(3,5)”,则结果如何?
【解析】因为点C(3,5)不在曲线y=x2上,
所以设切点坐标为(x0,x02).
因为f′(x)=
(2x+Δx)=2x,所以f′(x0)=2x0,所以切线的斜率k=2x0,
切线方程为y-x02=2x0(x-x0),又因为点C(3,5)在切线上,所以5-x02=2x0(3-x0),解得x0=1或x0=5.
所以切点坐标为(1,1),(5,25).
故所求切线方程为y-1=2(x-1)或y-25=10(x-5),
即2x-y-1=0或10x-y-25=0.【方法总结】
1.求曲线在点P(x0,y0)处切线的步骤
(1)求出函数y=f(x)在点x0处的导数f ′(x0).
(2)根据直线的点斜式方程,得切线方程为y-y0=
f ′(x0)(x-x0).2.过曲线外的点P(x1,y1)求曲线的切线方程的步骤
(1)设切点为Q(x0,y0).
(2)求出函数y=f(x)在点x0处的导数f ′(x0).
(3)利用Q在曲线上,点P(x1,y1)在切线上和f ′(x0)=kPQ,解出x0,y0及f ′(x0).
(4)根据直线的点斜式方程,得切线方程为y-y0=
f ′(x0)·(x-x0).【补偿训练】在曲线y=x2上,点P处的切线垂直于直线2x-6y+5=0,则P点坐标为 ( )
A.(2,4) B.
C. D.(-2,4)【解析】选B.f′(x)=
设P(x0,y0)是满足条件的点,
因为切线与直线2x-6y+5=0垂直,
所以2x0· =-1,得x0=- ,y0= .类型二 求曲线的切点
【典例2】已知曲线y=2x2+a在点P处的切线方程为8x-y-15=0,求切点P的坐标和实数a的值.
【解题指南】根据切线方程得到切线斜率为8,即f′(x)=8,解导数方程即可得到结论.【解析】设切点P的坐标为(x0,y0),切线斜率为k.
由y′=
= (4x+2Δx)=4x,
得k=y′| =4x0.根据题意得4x0=8,x0=2,
分别代入y=2x2+a和y=8x-15,得a=-7,y0=1.
故所求切点为P(2,1),a=-7.【方法总结】求曲线切点坐标的步骤
(1)设切点:先设出切点坐标(x0,y0).
(2)求斜率:求切线的斜率f′(x0).
(3)列方程:由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0.
(4)求切点:因点(x0,y0)在曲线上,将(x0,y0)代入曲线方程求y0,得切点坐标.【巩固训练】如果曲线y=x3+x-10的一条切线与直
线y=4x+3平行,那么曲线与切线相切的切点坐标为
( )
A.(1,-8) B.(-1,-12)
C.(1,-8)或(-1,-12) D.(1,-12)或(-1,-8)【解析】选C.设切点坐标为P(x0,y0),
则y0=x03+x0-10的切线斜率为k=
= [(3x02+1)+3x0Δx+(Δx)2]=3x02+1=4,所以x0=±1,当x0=1时,y0=-8,当x0=-1时,y0=-12,
所以切点坐标为(1,-8)或(-1,-12).类型三 导数几何意义的综合应用
【典例3】(1)若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程为x-y+1=0,则 ( )
A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1
C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1(2)(2017·福州高二检测)已知函数f(x)的图象如图所示,下列数值的排序正确的是 ( )
A.0B.0C.0D.0(2)从图象上可以看出f(2)与f(3)的大小,且其值大于1;再由导数的几何意义,看出f′(2)与f′(3)的大小且其值小于1.【解析】(1)选A.将点(0,b)代入x-y+1=0中,得b=1,由导数的几何意义得,
k=y′|x=0=
= (Δx+a)=a=1,
综上,a=1,b=1.(2)选B.根据导数的几何意义,在x∈[2,3]上,曲线在
x=2处切线斜率最大,k= =f(3)-f(2)>f′(3).【方法总结】有关导数的几何意义的综合问题的求解策略
(1)转化:利用导数的几何意义把问题转化为求切线方程或切点坐标问题.
(2)数形结合:注意方程思想、数形结合思想的应用.【巩固训练】已知抛物线y=x2,直线x-y-2=0,求抛物线上的点到直线的最短距离.【解析】根据题意可知与直线x-y-2=0平行的抛物线y=x2的切线对应的切点到直线x-y-2=0的距离最短.
设切点坐标为(x0,x02),则
所以x0= ,所以切点坐标为
切点到直线x-y-2=0的距离为
所以抛物线上的点到直线x-y-2=0的最短距离为 . 【补偿训练】(2017·泰安高二检测)如果f′(x)是二
次函数,且f′(x)的图象开口向上,顶点坐标为(1, ),
那么曲线y=f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范
围是 ( )【解题指南】由二次函数的图象可知最小值为 ,再根
据导数的几何意义可知k=tanα≥ ,结合正切函数的
图象求出角α的范围.【解析】选B.根据题意得f′(x)≥ ,则曲线y=f(x)上
任一点的切线的斜率k=tanα≥ ,结合正切函数的图
象可得α∈【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
(1)函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率.也就是说,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是f′(x0),相应地,切线的方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).(2)导数f′(x)是针对某一区间内任意点x而言的,函数f(x)在区间(a,b)内每一点都可导,是指对于区间(a,b)内的每一个确定的值x0,都对应着一个确定的导数f′(x0),根据函数的定义,在区间(a,b)内就构成了一个新的函数,就是函数f(x)的导函数f′(x).课件48张PPT。3.2 导数的计算
第1课时 几个常用函数的导数与基本
初等函数的导数公式主题 基本初等函数的导数
1.函数y=f(x)=c,y=f(x)=x,y=f(x)=x2,y=f(x)= 的导
数分别是什么?
提示:y=f(x)=c的导数是y′=0,y=f(x)=x的导数是
y′=1,y=f(x)=x2的导数是y′=2x,y=f(x)= 的导数是
y′=- .2.结合1中探究你能总结出函数f(x)=xα的导数吗?
提示:由于0=0·x0-1,1=1·x1-1,2x=2·x2-1,- =-1·
x-1-1,由此可猜想:y=f(x)=xα的导数是y′=α·xα-1.3.怎样理解常见函数f(x)=c,f(x)=x,f(x)=x2的导数的物理意义?
提示:对于f(x)=c,由于f′(x)=0,其物理意义为某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于静止状态;对于f(x)=x,由于f′(x)=1,其物理意义为某物体的瞬时速度为1的匀速运动;对于f(x)=x2,由于f′(x)=2x,其物理意义为物体的变速运动.结论:对于有些基本初等函数,由于不方便用定义法求导数,可直接使用下面的求导数公式:
f(x)=c?f′(x)=__,
f(x)=xα?f′(x)=αxα-1(α∈Q*),
f(x)=sinx?f′(x)=_____,
f(x)=cosx?f′(x)=______.0cosx-sinxf(x)=ax?f′(x)=_____(a>0),
f(x)=ex?f′(x)=__,
f(x)=logax?___________(a>0,且a≠1),
f(x)=lnx?f′(x)=__.axlnaex【微思考】
1.在同一平面直角坐标系中,画出函数y=2x,y=3x,y=4x的图象,并根据导数定义,求它们的导数.
(1)从图象上看,它们的导数分别表示什么?
(2)这三个函数中,哪一个增加得最快?哪一个增加得最慢?
(3)函数y=kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关?提示:(1)函数y=2x,y=3x,y=4x的图象如图所示,导数分别为y′=2,y′=3,y′=4.从图象上看,函数y=2x,y=3x, y=4x的导数分别表示这三条直线的斜率.(2)在这三个函数中y=4x增加得最快,y=2x增加得最慢.
(3)函数y=kx(k>0)增加的快慢与k有关系,即与函数的导数有关系,k越大,函数增加得越快,k越小,函数增加得越慢.
函数y=kx(k<0)减少的快慢与|k|有关系,即与函数导数的绝对值有关系,|k|越大,函数减少得越快,|k|越小,函数减少得越慢.2.如何区分f(x)=sinx与f(x)=cosx的导数特征?
提示:从导数公式(sinx)′=cosx,(cosx)′=-sinx看出:一要注意函数名称的变化,二要注意符号的变化,特别注意(cosx)′=-sinx,而不是(cosx)′=sinx.3.函数f(x)=lnx与f(x)=logax的导数公式之间有哪些差异与联系?
提示:函数f(x)=logax的导数公式为f′(x)=(logax)′
= ,当a=e时,上述公式就变为(lnx)′= .
即f(x)=lnx的导数公式是f(x)=logax的导数公式的特例.【预习自测】
1.函数f(x)=0的导数是 ( )
A.0 B.1
C.不存在 D.不确定
【解析】选A.常数函数的导数为0.2.已知函数f(x)= ,则f′(-2)= ( )
A.4 B. C.-4 D.-
【解析】选D.因为f′(x)=
所以f′(-2)=3.曲线y=-x3+3x2在点(1,2)处的切线方程为 ( )
A.y=3x-1 B.y=-3x+5
C.y=3x+5 D.y=2x
【解析】选A.因为y′=-3x2+6x,y′|x=1=-3×12 +6×1=3,即所求切线的斜率等于3,故所求直线的方程是y-2=3(x-1),即y=3x-1.4.曲线y=xn在x=2处的导数为12,则n等于________.
【解析】y′=nxn-1,所以y′|x=2=n2n-1=12,
所以n=3.
答案:35.一木块沿某一斜面自由下滑,测得下滑的水平距离scm与时间ts之间的函数关系为:s=t2,试求t=2(s)时,此木块的瞬时速度.(仿照教材P83例1的解析过程)
【解析】由幂函数导数公式得s′(t)=2t,
故s′(2)=4,
因此当t=2(s)时,木块的瞬时速度为4cm/s.类型一 常用函数的导数
【典例1】(1)下列结论中正确的个数为 ( )
①y=ln2,则y′= ;②y= ,则y′|x=3=- ;③y=2x,
则y′=2xln2;④y=log2x,则y′=
A.0 B.1 C.2 D.3(2)函数y= 在点 处的导数值是 ( )
A.4 B.-4 C.- D. 【解题指南】(1)直接利用常用函数的导数即可.(2)可先求出函数y= 的导数,再代入求值.【解析】(1)选D.若y=ln2,则y′=0,故①错;若y= ,
则y′=- ,所以y′|x=3=- ,②对;若y=2x,则y′=2xln2,③对,④也对.
(2)选B.因为y′=- ,所以当x= 时,y′=-4.【延伸探究】
1.若把本例(2)中的点“ ”改为“ ”,则结果
如何?
【解析】因为y′=- ,所以当x=2时,y′=2.若把本例(2)中的条件改为“函数y= 在点(m,n)处
的导数值为-1”,则m+n的值是多少?
【解析】因为y′=- ,又在点(m,n)处的导数值为-1,
所以 =-1,故m2=1,所以m=±1.当m=1时,n=1,当m=-1
时,n=-1,故m+n=2或m+n=-2.【方法总结】定义法求导与公式法求导的对比
(1)定义法求导:导函数定义本身就是函数求导的最基本方法,但导函数是用极限定义的,所以该方法求导最终归结为求极限,在运算上很麻烦,运算会很困难.
(2)公式法求导:用导数定义推导出常见函数与基本初等函数的导数公式后,就可以用公式直接求导,该方法简捷迅速.【补偿训练】如果函数f(x)=x2,则
的值等于______.
【解析】因为f(x)=x2,所以f′(x)=2x,
=f′(4)=8.
答案:8类型二 利用基本初等函数的导数公式求导数
【典例2】(1)已知函数f(x) =lnx,f′(x)是f(x)的导数,f′(x)的大致图象是 ( )(2)f(x)= ,则f ′(-1)= ( )【解题指南】(1)先求出函数f(x)=lnx的导数,再观察其图象,注意定义域.
(2)注意先对式子f(x)= 转化,再利用幂函数导数公式求导.【解析】(1)选C.因为函数f(x)=lnx的定义域为(0,+∞),所以f′(x)= 的定义域也为(0,+∞),所以其图象为反比例函数在第一象限的部分.
(2)选D.因为原函数可转化为:f(x)=
所以f ′(x)=
所以f ′(-1)=【方法总结】求简单函数导数的策略
(1)看形式:首先观察函数的形式,看是否符合基本初等函数的形式,如对于形如 的函数一般先转化为幂函数的形式,再用幂函数的求导公式求导.(2)化简:对于不具备基本初等函数特征的函数可进行适当变形,将其化成基本初等函数或与之相接近的函数形式,如将根式、分式化为指数式,利用幂函数求导.
(3)选公式:选择恰当的公式求解函数的导数.
提醒:区分指数函数、对数函数的求导公式,以免在运用时混淆.【巩固训练】(2017·郑州高二检测)已知f(x)=
且f′(1)=- ,求n.【解析】f′(x)=
所以f′(1)=- ,
由f′(1)=- 得- =- ,得n=3.【补偿训练】已知曲线y= -3lnx的一条切线的斜率
为 ,则切点的横坐标为 ( )
A.3 B.2 C.1 D. 【解析】选A.因为y′= ,所以
解得x=3(x=-2不合题意,舍去).类型三 利用导数公式求切线方程
【典例3】已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-
x2+8x-8,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是
( )
A.y=2x-1 B.y=x
C.y=3x-2 D.y=-2x+3【解题指南】先根据f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8求出函数f(x)的解析式,然后对函数f(x)进行求导,进而可得到y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程的斜率,最后根据点斜式可求切线方程.【解析】选A.因为f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,
所以f(2-x)=2f(x)-(2-x)2+8(2-x)-8,
所以f(2-x)=2f(x)-x2+4x-4+16-8x-8,
将f(2-x)代入f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8得f(x)=4f(x)-2x2-8x+8-x2+8x-8,所以f(x)=x2,f′(x)=2x,所以y=f(x)在(1,f(1))处的切线斜率y′=2,所以y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.【方法总结】求切线方程的步骤
(1)利用导数公式求导数.
(2)求斜率.
(3)写出切线方程.
求解时注意导数为0和导数不存在的情形.【巩固训练】1.(2017·广州高二检测)曲线y=ex在点(0,1)处的切线斜率为 ( )
A.1 B.2 C.e D.0
【解析】选A.因为y=ex,所以y′=ex,
所以曲线y=ex在点(0,1)处的切线斜率k=e0=1.2.求函数y=6x在x=1处的切线方程.
【解析】因为y′=(6x)′=6xln6,所以当x=1时,y′=6ln6,
又x=1时,y=6,所以切线方程为y-6=6ln6(x-1),
即6xln6-y-6ln6+6=0.【补偿训练】曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程为________.
【解析】由y=-5ex+3,得y′=-5ex,所以切线的斜率k=y′|x=0=-5,所以切线方程为y+2=-5(x-0),即5x+y+2=0.
答案:5x+y+2=0【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
(1)导数公式的功能:
①幂函数导数公式有降幂功能.
②正(余)弦函数导数公式有名称更换功能.
(2)对于形如 的函数一般先转化为幂函数的形式,再用幂函数的求导公式求导.(3)要区分指数函数、对数函数的求导公式,以免在运用时混淆.课件67张PPT。第2课时
导数的运算法则主题 导数的运算法则
1.试根据导数的定义,写出下列函数的导数.
(1)若F(x)=x+x2,则F′(x)=________.
(2)若F(x)=x-x2,则F′(x)=________.
(3)若F(x)=x3,则F′(x)=________.提示:(1)F′(x)=
答案:1+2x(2)F′(x)=
= (1-2x-Δx)=1-2x.
答案:1-2x
(3)F′(x)=
[3x·Δx+3x2+(Δx)2]=3x2.
答案:3x22.问题1中,若令f(x)=x,g(x)=x2,则F(x)的导数与f(x),g(x)的导数各有什么关系?
提示:因为f′(x)=1,g′(x)=2x,
故(1)中F′(x)=f′(x)+g′(x),(2)中F′(x)=f′(x)-g′(x),
(3)中F′(x)=f(x)·g′(x)+f′(x)·g(x).结论:
(1)[f(x)±g(x)]′=_______________.
(2)[f(x)·g(x)]′=______________________.
(3) =_______________________.
(4)[cf(x)]′=________.f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)+f(x)g′(x)cf′(x)【微思考】
1.在导数运算法则中,函数f(x),g(x)一定有导函数吗?
提示:一定有导函数,否则法则不成立.2.根据两个函数和差的导数运算法则,试着推广到任意有限个可导函数的和差.
提示:①[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′=f1′(x)± f2′(x)±…±fn′(x).
②[af(x)±bg(x)]′=af′(x)±bg′(x)(a,b为常数).3.根据乘法的导数法则,试着推广[f(x)g(x)]′= f′(x)g(x)+f(x)g′(x)到有限个函数的积的情形:
提示:若y=f1(x)f2(x)…fn(x),则有y′=
f1′(x)f2(x)…fn(x)+f1(x)f2′(x)…fn(x)+…+
f1(x)f2(x)…fn′(x).【预习自测】
1.函数y=x·lnx的导数是 ( )
A.x B. C.lnx+1 D.lnx+x
【解析】选C.y′=x′·lnx+x·(lnx)′
=lnx+x· =lnx+1.2.已知函数f(x)=ax2+c,且f′(1)=2,则a的值为( )
A.1 B. C.-1 D.0
【解析】选A.因为f(x)=ax2+c,所以f′(x)=2ax,
又因为f′(1)=2a,所以2a=2,所以a=1.3.曲线y= x3+x在点 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 ( )【解析】选A.对函数y= x3+x求导得y′=x2+1,将x=1代
入得曲线y= x3+x在点 处的切线斜率为k=2,故切
线方程是y- =2(x-1),该切线与坐标轴的交点是
故围成的三角形面积为 .4.函数y= 的导数是 ( )
【解析】选A.y′=5.求函数y=(2x2+3)(3x-2)的导数y′=______.
【解析】y′=(2x2+3)′(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)′ =4x(3x-2)+(2x2+3)·3=18x2-8x+9.
答案:18x2-8x+9【一题多解】因为y=(2x2+3)(3x-2)
=6x3-4x2+9x-6,
所以y′=18x2-8x+9.
答案:18x2-8x+96.求函数y=x5-x3+x-5的导数.(仿照教材P84例2的解析过程)
【解析】因为y′=(x5)′-(x3)′+(x)′-(5)′=5x4-3x2+1,
所以函数y=x5-x3+x-5的导数是y′=5x4-3x2+1.类型一 导数的运算法则
【典例1】求下列函数的导数:
(1)y=(x+1)2(x-1).
(2)y=x2sinx.
(3)y=【解析】(1)方法一:y′=[(x+1)2]′(x-1)+(x+1)2(x-1)′=2(x+1)·(x-1)+(x+1)2=3x2+2x-1.
方法二:y=(x2+2x+1)(x-1)=x3+x2-x-1,
y′=(x3+x2-x-1)′=3x2+2x-1.
(2)y′=(x2sinx)′=(x2)′sinx+x2(sinx)′
=2xsinx+x2cosx.【方法总结】应用导数运算法则求函数的导数的技巧
(1)对三角式求导要先进行化简,然后再求导,这样既减少了计算量,又可少出错.
(2)利用代数恒等变形可以避开对商的形式求导.
(3)在函数中有两个以上的因式相乘时,要注意多次使用积的求导法则,能展开的先展开成多项式,再求导.【巩固训练】求下列函数的导数:
(1)y=2xcosx.(2)y=2x+lnx.【解析】(1)y′=(2x)′cosx+2x(cosx)′
=2cosx-2xsinx.
(2)y′=(2x)′+(lnx)′=2+ .(3)方法一:
方法二:因为
所以
(4)【补偿训练】求下列函数的导数
(1)y=excosx.
(2)y=x2+tanx.
(3)y=2x3+ +cosx.【解析】(1)y=excosx,
所以y′=(ex)′cosx+ex(cosx)′
=excosx-exsinx.
(2)因为y=x2+ ,
所以y′=(x2)′+ ′(3)y′=(2x3)′+( )′+(cosx)′
=6x2+ -sinx.类型二 导数运算法则的应用
【典例2】(1)已知函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处
的切线方程是x-2y+1=0,若g(x)= ,则g′(1)=( )(2)(2017·烟台高二检测)已知函数f(x)=x3+x-16.
①求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程.
②直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标.【解题指南】(1)由g(x)= 联想商的导数运算法则,利用条件“在点(1,f(1))处的切线方程为x-2y+1=0”求出f(1),f′(1).
(2)先求出函数f(x)的导数,①由于点在曲线上,可将点的坐标代入求切线的斜率,进而得出切线方程.②由于原点不在曲线上,可先设切点坐标,列方程解出切点坐标,再求切线方程.【解析】(1)选A.由切线方程得1-2f(1)+1=0,
所以f(1)=1,由导数的几何意义得f′(1)= ,(2)因为f(x)=x3+x-16,所以f′(x)=3x2+1.
①由已知f(x)=x3+x-16,且f(2)=23+2-16=-6,
所以点(2,-6)在曲线y=f(x)上,
所以在点(2,-6)处的切线的斜率为k= f′(2)=3×22+1
=13,
所以切线方程为:y+6=13(x-2),即13x-y-32=0.②方法一:设切点为(x0,y0),
则直线l的斜率为f′(x0)=3x02+1,
所以直线l的方程为:y-y0=(3x02+1)(x-x0),
即:y-x03-x0+16=(3x02+1)(x-x0),
又因为切线l过原点,
所以0-x03-x0+16=(3x02+1)(-x0),整理得:x03=-8,
所以x0=-2.
所以y0=(-2)3+(-2)-16=-26,斜率k=3×(-2)2+1=13,
所以切线的方程为y+26=13(x+2),
化简得:13x-y=0,切点坐标为(-2,-26).方法二:设直线l的方程为y=kx,切点为(x0,y0),
则
又因为k=f′(x0)=3x02+1,
所以 =3x02+1,解得x0=-2,
所以y0=(-2)3+(-2)-16=-26,斜率k=3×(-2)2+1=13,
所以切线的方程为y+26=13(x+2),化简得:13x-y=0,切点坐标为(-2,-26).【延伸探究】
1.若本例(2)条件不变,试判定函数图象上哪一点处的切线斜率最小.
【解析】因为f(x)=x3+x-16,所以f′(x)=3x2+1≥1,即当x=0时,切线的斜率最小,此时点的纵坐标y=-16.
因此,当切线的斜率最小时,切点的坐标为(0,-16).2.若过本例(2)曲线上某点处的切线平行于直线4x-y+1=0,求切点的坐标.
【解析】因为f(x)=x3+x-16,所以f′(x)=3x2+1,设切点为(x0,y0),
则过切点处的切线的斜率为k=3x02+1,又此切线平行于直线4x-y+1=0,所以3x02+1=4,所以x0=±1,
当x0=1时,y0=-14,当x0=-1时,y0=-18.
所以切点坐标为(1,-14)或(-1,-18).【方法总结】求曲线在某一点处切线方程的一般步骤
(1)先判断给出的点(x0,y0)是否在曲线上,如果在曲线
上,则它是切点,否则不是,此时设切点坐标为(x1,y1).
(2)求切线的斜率.如果点(x0,y0)是切点,则切线斜率为
f′(x0),若(x0,y0)不是切点,则切线斜率k= f′(x1)
=(3)利用点斜式方程,求出切线方程.【补偿训练】若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是________.【解析】由题意得y′=lnx+x· =1+lnx,直线2x-y+1=0的斜率为2.
设P(m,n),则1+lnm=2,解得m=e,
所以n=elne=e,即点P的坐标为(e,e).
答案:(e,e)类型三 导数公式及运算法则的综合应用
【典例3】(1)如图是函数y= f(x)的图象,直线l:y=kx+2
是图象在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),则g′(3)=( )
A.-1 B.0 C.2 D.4(2)(2016·天津高考)已知函数f(x)=(2x+1)ex,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(0)的值为________.【解题指南】(1)先利用导数的几何意义求出y=f(x)在x=3处的导数,再利用导数公式求出g′(3).
(2)求出f′(x),代入x=0即可.【解析】(1)选B.由题意直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,由图象可知其切点为(3,1),代入直线方程得k=- ,所以f′(3)=- ,
故g′(x)=(xf(x))′
=x′f(x)+xf′(x)=f(x)+xf′(x),
所以g′(3)=f(3)+3f′(3)=1+3× =0.(2)因为f′(x)=(2x+3)ex,
所以f′(0)=3.
答案:3【延伸探究】若本例(2)中的条件不变,则f′(2)的值是多少?
【解析】由(2)的解析可知f′(2)=(4+3)·e2=7e2.【方法总结】利用导数几何意义及运算法则解决综合问题的策略
(1)求某点处的导数值,分清该点是否为切点,若为切点利用导数的几何意义求值.
(2)求范围:注意导数就是切线斜率,切线斜率与倾斜角的关系,求倾斜角的范围可先求导数的范围.【巩固训练】已知曲线方程f(x)=sin2x+2ax(x∈R),若对任意实数m,直线l:x+y+m=0都不是曲线y=f(x)的切线,则a的取值范围是 ( )
A.(-∞,-1)∪(-1,0) B.(-∞,-1)∪(0,+∞)
C.(-1,0)∪(0,+∞) D.a∈R且a≠0,a≠-1【解析】选B.f′(x)=2sinxcosx+2a=sin2x+2a,
直线l的斜率为-1,
由题知关于x的方程sin2x+2a=-1无解,
所以|2a+1|>1,
所以a<-1或a>0.【补偿训练】已知点P在曲线y= 上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是 ( )【解析】选D.函数导数y′=
因为ex+ ≥2,所以y′∈[-1，0),
所以α∈ .拓展类型:曲线的公切线
【典例】已知定义在正实数集上的函数f(x)= x2+2ax,
g(x)=3a2lnx+b(a>0),设两曲线f(x),g(x)有公共点,且
在公共点处的切线相同.
(1)若a=1,求b的值.
(2)试写出b关于a的函数关系式.【解题指南】注意转化先设公共点的坐标,利用切点处的导数相等建立关系式.【解析】(1)因为y=f(x)与y=g(x)(x>0)在公共点(x0,y0)处的切线相同,且f′(x)=x+2,g′(x)= ①
由题意知f(x0)=g(x0),f′(x0)=g′(x0)②,
所以
由x0+2= ,得x0=1或x0=-3(舍去)③,
即有b= .(2)因为y=f(x)与y=g(x)(x>0)在公共点(x0,y0)处的切线相同,且f′(x)=x+2a,g′(x)= ①
由题意知f(x0)=g(x0),f′(x0)=g′(x0)②,
即 解得x0=a或x0=-3a(舍去)③,
所以b= a2-3a2lna(a>0).【方法总结】曲线公切线问题解决思路
1.切点处的导数值:公切点处的导数值相等.
2.切点处的函数值:公切点处对应函数值相等.【巩固训练】若曲线f(x)= x2与曲线g(x)=alnx在它们的公共点P(s,t)处具有公共切线,则实数a= ( )
A.-2 B. C.1 D.2【解析】选C.根据题意可知:f′(x)= x,g′(x)= ,
两曲线在点P(s,t)处有公共的切线,
所以 即:
s= ,
代入 =alns解得:a=1.【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
(1)在两个函数积与商的导数运算中,不能认为[f(x)·g(x)]′=f′(x)·g′(x)以及
(2)注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同,积的导数公式中是“+”,而商的导数公式中分子上是“-”.(3)①[f1(x)+f2(x)+…+fn(x)]′=f1′(x)+f2′(x)+…+
fn′(x);
②[cf(x)]′=cf′(x),也就是说,常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数.课件75张PPT。3.3 导数在研究函数中的应用
3.3.1 函数的单调性与导数主题1 函数的单调性与导数的关系
1.如图1表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数h(t) =-4.9t2+6.5t+10的图象,图2表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)= h′(t)=-9.8t+6.5的图象.(1)运动员从起点到最高点,离水面的高度随时间的增
加而增加,即t∈(0,a)时,h(t)是单调_____.
此时,v(t)=h′(t)=-9.8t+6.5>0.
(2)从最高点到入水,运动员离水面的高度随时间的增
加而减少,即t∈(a,b)时,h(t)是单调_____.
相应地,v(t)=h′(t)=-9.8t+6.5<0.递增递减2.观察下面函数的图象,探讨函数的单调性与其导数正负的关系,
(1)观察图象,完成下列填空.图①中的函数y=x的导函数y′=__,此函数的单调递增
区间为__________;
图②中的函数y=x2的导函数y′=___,此函数的单调递
增区间为________,单调递减区间为________.
图③中的函数y=x3的导函数y′=___,此函数的单调递
增区间为__________;1(-∞,+∞)2x(0,+∞)(-∞,0)3x2(-∞,+∞)图④中的函数y= 的导函数y′=_____,此函数的单调
递减区间为________________.(-∞,0),(0,+∞)(2)根据(1)中的导函数与单调区间之间的关系,思考函数的单调性与导函数的正、负有什么关系?
提示:根据(1)中的结果可以看出,函数的单调区间与导函数的正负有关,当导函数在某区间上大于0时,此时对应的函数为增函数,当导函数在某区间上小于0时,此时对应的函数为减函数.3.观察下图,请完成下表:减正正>0<0结论:在区间(a,b)内函数的单调性与导数的关系增减主题2 函数变化的快慢与导数的关系
1.在同一坐标系中画出函数y=2x,y=3x,y= ,y=x2,
y=x3的图象.
提示:这几个函数的图象如图所示.2.观察以上函数的图象,当x>0时,函数增长的快慢与各函数的导数值的大小作对比,你发现了什么?
提示:增长速度快的,导函数值大,增长速度慢的,导函数值小.结论:函数变化的快慢与导数间的关系
一般地,如果一个函数在某一范围内导数的_________
___,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象
就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就
“平缓”.绝对值较大大小大小【微思考】
1.回忆函数单调性的常规定义,分析用导数研究函数的单调性与常规定义的联系?提示:增函数时有 >0也即 >0,对式子
求极限,若极限值大于0,则导数大于0,从而为增函数.
减函数时有 <0也即 <0,对式子 求极
限,若极限值小于0,则导数小于0,从而为减函数.2.在区间(a,b)上,如果f′(x)>0,则f(x)在该区间上单调递增,但反过来也成立吗?
提示:不一定成立.例如,f(x)=x3在R上为增函数,但f′(0)=0,即f′(x)>0是f(x)在该区间上单调递增的充分不必要条件.3.如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,那么如何表示这些区间?函数的单调区间与其定义域满足什么关系?
提示:不能用“∪”连接,只能用“,”或“和”字隔开,函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的,故单调区间是定义域的子集.【预习自测】
1.函数f(x)=x+lnx在(0,6)上是 ( )
A.单调增函数
B.单调减函数
C.在 上是减函数,在 上是增函数
D.在 上是增函数,在 上是减函数【解析】选A.因为x∈(0,6),所以f′(x)=1+ >0,故函
数在(0,6)上单调递增.2.f(x)在(a,b)内可导,若f′(x)<0,则f(x)在(a,b)内是 ( )
A.增函数 B.减函数 C.奇函数 D.偶函数
【解析】选B.易知导函数f′(x)<0,f(x)单调递减.3.函数y=2-3x2在区间(-1,1)上的增减性为 ( )
A.增函数 B.减函数
C.先增后减 D.先减后增
【解析】选C.y′=-6x,故当x∈(-1,0)时,y′>0;当x∈(0,1)时,y′<0,所以原函数在区间(-1,1)上先增后减.4.已知函数y=xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),下列四个图象中为y=f(x)的大致图象的是( )【解析】选C.由题图知:当x<-1时,xf′(x)<0,所以f′(x)>0,函数y=f(x)单调递增;
当-10,所以f′(x)<0,函数y=f(x)单调递减;
当01时,xf′(x)>0,所以f′(x)>0,函数y=f(x)单调递增.5.函数y=x-lnx的单调递减区间是__________.
【解析】定义域是(0,+∞),由y′=1- <0及定义域得
0答案:(0,1)6.求下列函数的单调区间:
(1)f(x)=2x(ex-1)-x2.
(2)f(x)=x-x2+lnx.【解析】(1)f′(x)=2(ex-1+xex-x)=2(ex-1)(x+1).
当x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0;
当x∈(-1,0)时,f′(x)<0;
当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0.故f(x)在(-∞,-1),(0,+∞)上单调递增,在(-1,0)上单调递减.(2)函数的定义域为(0,+∞),
f′(x)=1-2x+
令f′(x)>0,解得01,
所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.类型一 函数单调区间的判断及求解
【典例1】(1)(2015·陕西高考)设f(x)=x-sinx,则
f(x) ( )
A.既是奇函数又是减函数 B.既是奇函数又是增函数
C.是有零点的减函数 D.是没有零点的奇函数(2)求函数f(x)=3x2-2lnx的单调区间.【解题指南】(1)利用奇偶性的定义判断f(x)=x-sinx的奇偶性,利用导数判断其单调性.
(2)先求导,令导函数值大于0,得到增区间,令导函数值小于0,得到减区间.【解析】(1)选B.因为f(-x)=-x-sin(-x)=-(x-sinx)=
-f(x),所以f(x)为奇函数.又f′(x)=1-cosx≥0,所以
f(x)单调递增,选B.
(2)f(x)=3x2-2lnx的定义域为(0,+∞),
则f′(x)=6x-
由f′(x)>0得6x2-2>0,即x2> ,则x> 或x<- (舍).
所以递增区间为
由f′(x)<0得6x2-2<0,即x2< ,则- x>0,所以0所以递减区间为
【方法总结】利用导数研究函数单调性的一般步骤
(1)确定函数的定义域.
(2)求导函数f′(x).
(3)若求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.【巩固训练】求下列函数的单调区间:
(1)f(x)=x-x3. (2)f(x)=x2-lnx.【解析】(1)f′(x)=1-3x2,
令1-3x2>0,解得- 因此,函数f(x)的单调增区间为
令1-3x2<0,解得x<- 或x> .
因此,函数f(x)的单调减区间为 (2)函数f(x)的定义域为(0,+∞).
f′(x)=2x-
因为x>0,所以 x+1>0,由f′(x)>0,解得x> ,
所以函数f(x)的单调递增区间为
由f′(x)<0,解得x< ,又x∈(0,+∞),
所以函数f(x)的单调递减区间为
【补偿训练】求下列函数的单调区间:
(1)f(x)=x3+ .
(2)y=xex.【解析】(1)f′(x)=3x2-
由f′(x)>0,解得x<-1或x>1;
由f′(x)<0,解得-1所以函数的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞);
单调递减区间为(-1,0),(0,1).(2)y′=ex+xex=ex(1+x).
令y′>0,得x>-1;
令y′<0,得x<-1.
因此,y=xex的单调递增区间为(-1,+∞),
单调递减区间为(-∞,-1).类型二 原函数与导函数图象间的关系
【典例2】(1)函数y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f′(x)的图象的大致形状是 ( )(2)函数y=f(x)在定义域 内可导,其图象如图,记
y=f(x)的导函数为y=f′(x),则不等式f′(x)<0的解集
为________.【解题指南】(1)利用函数的单调性判断导数的符号,利用导数的符号判断导函数图象的位置(在x轴上方还是下方).
(2)当函数单调递减时f′(x)<0,所以只要找出函数的单调递减区间即可.【解析】(1)选D.根据图象可知,函数f(x)先单调递减,后单调递增,后为常数,因此f′(x)对应的变化规律为先负,后正,后为零.(2)函数y=f(x)在区间 和区间(2,3)上单调递减,所以在区间 和区间(2,3)上,y=f′(x)<0,
所以f′(x)<0的解集为 ∪(2,3).
答案: ∪(2,3)
【延伸探究】1.若本例(2)中的条件不变,试求不等式
f′(x)>0的解集.
【解析】根据题目中的图象,函数y=f(x)在区间
和区间(1,2)上函数为增函数,所以在区间 和
区间(1,2)上,y=f′(x)>0,
所以f′(x)>0的解集为 ∪(1,2).2.若本例(2)中的条件不变,试求不等式xf′(x)>0的解集.
【解析】由典例(2)及延伸探究1以及已知条件可知,
当x∈ 时,函数为减函数,则f′(x)<0;
当x∈(1,2)时,函数为增函数,则f′(x)>0.
综上可知:xf′(x)>0的解集为 ∪(1,2).【方法总结】判断函数与导数图象间对应关系的两个关键
第一:要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象.
第二:注意以下两个方面:(1)函数的单调性与其导函数的正、负的关系:在某个区间(a,b)内,若f′(x)>0,则y=f(x)在(a,b)上单调递增;如果f′(x)<0,则y=f(x)在这个区间上单调递减;若恒有f′(x)=0,则y=f(x)是常数函数,不具有单调性.
(2)导数与函数图象的关系:
函数值增加得越来越快, 函数值增加得越来越慢,
f′(x)>0且越来越大. f′(x)>0且越来越小.函数值减小得越来越快, 函数值减小得越来越慢,
f′(x)<0且越来越小, f′(x)<0且越来越大,
绝对值越来越大. 绝对值越来越小.【补偿训练】函数f(x)的图象如图所示,则导函数y= f′(x)的图象可能是 ( )
【解析】选D.从原函数y=f(x)的图象可以看出,其在区间(-∞,0)上是减函数,f′(x)<0;在区间(0,x1)上是增函数,f′(x)>0;在区间(x1,x2)上是减函数,f′(x)<0;在区间(x2,+∞)上是增函数,f′(x)>0.结合选项可知,只有D项满足.类型三 利用函数的单调性求参数的范围
【典例3】(1)若f(x)=ax3+x在区间[-1,1]上单调递增,求a的取值范围.
(2)(2017·广州高二检测)设函数f(x)=x2+ax-lnx,a ∈R,若f(x)在区间(0,1]上是减函数,求实数a的取值范围.【解题指南】(1)由f(x)=ax3+x在区间[-1,1]上单调递增,可得出利用不等式f′(x)≥0在[-1,1]上恒成立,确定a的取值范围.
(2)把f(x)在区间(0,1]上是减函数,转化为f′(x)≤0对任意x∈(0,1]恒成立.【解析】(1)f′(x)=3ax2+1,因为f(x)在区间[-1,1]上
单调递增,所以f′(x)=3ax2+1≥0在[-1,1]上恒成立.
当x=0时,显然成立,当x≠0时,a≥- .因为- 在
x∈[-1,0)∪(0,1]的最大值为- ,所以a≥- .
故a的取值范围是 (2)f′(x)=2x+a- .
因为f(x)在区间(0,1]上是减函数,
所以f′(x)≤0对任意x∈(0,1]恒成立,
即2x+a- ≤0对任意x∈(0,1]恒成立,
所以a≤ -2x对任意x∈(0,1]恒成立.令g(x)= -2x,所以a≤g(x)min,易知g(x)在(0,1]上单
调递减,所以g(x)min=g(1)=-1,所以a≤-1.
【延伸探究】在本例(1)中f(x)=ax3+x在区间[-1,1]上能否单调递减?【解析】假设能单调递减,f′(x)=3ax2+1,因为f(x)在
区间[-1,1]上单调递减,所以f′(x)=3ax2+1≤0在[-1,
1]上恒成立.当x=0时,显然不成立,当x≠0时,a≤- .
因为- 在x∈[-1,0)∪(0,1]上不存在最小值,所以
满足条件的a值不存在.所以f(x)=ax3+x在区间[-1,1]
上不能单调递减.【方法总结】已知函数的单调性,求参数的取值范围,应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0),x∈(a,b)恒成立,解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解),应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围.【巩固训练】已知函数f(x)=(ax2+bx+c)ex在[0,1]上单调递减且满足f(0)=1,f(1)=0,求a的取值范围.【解析】由f(0)=1,f(1)=0,得c=1,a+b=-1,
则f(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex,f′(x)=[ax2+(a-1)x-a]ex.
依题意需对于任意x∈(0,1),有f′(x)<0.
当a>0时,因为二次函数y=ax2+(a-1)x-a的图象开口向上,而f′(0)=-a<0, 所以需f′(1)=(a-1)e≤0,即0当a=0时,对于任意x∈(0,1),f′(x)=-xex<0,符合条件;
当a<0时,f′(0)=-a>0,不符合条件.
故a的取值范围为[0,1].【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
(1)单调性的判断或证明方法:求导?判断导数正负?结论.
(2)求单调区间的方法:求导?解导数不等式?单调区间.课件68张PPT。3.3.2
函数的极值与导数主题 函数极值的概念及求法
观察图象回答下面问题1.函数在点x=a的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系?
提示:函数在点x=a的函数值比它在点x=a附近的其他点的函数值都小.2.f′(a)等于多少?在点x=a附近,函数的导数的符号有什么规律?
提示:f′(a)=0,在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0.
3.函数在点x=b处的情况呢?
提示:函数在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f′(b)=0,且在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0.结论:极大(小)值的概念
(1)函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近
其他点的函数值都小,且_________,在点x=a附近的左
侧_________,右侧_________,则a叫做极小值点,f(a)
叫做函数y=f(x)的极小值.f′(a)=0f′(x)<0f′(x)>0(2)函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近
其他点的函数值都大,且_________,在点x=b附近的左
侧_________,右侧_________,则b叫做极大值点,f(b)
叫做函数y=f(x)的极大值.f′(b)=0f′(x)>0f′(x)<0【微思考】
1.函数的极值可以在区间端点处取得吗?
提示:不可以,因为在端点处不能反映两侧的函数值的变化情况,况且端点处的导数不一定为0.2.当f′(x0)=0时,x=x0是否一定为y=f(x)的极值点?
提示:不一定,只有同时满足x0左右导数符号不一致时才称x0为极值点.
3.函数的极大值一定大于极小值吗?
提示:不一定,极值刻画的是函数的局部性质,反映了函数在某一点附近的大小情况,极大值可能比极小值还小.【预习自测】
1.函数y=f(x)的导数y′与函数值和极值之间的关系
为 ( )
A.导数y′由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值
B.导数y′由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值
C.导数y′由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值
D.导数y′由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值【解析】选D.由导数y′与函数值的变化情况以及极值之间的关系,可知选项D正确.2.(2016·陕西高考)设函数f(x)= +lnx,则( )
A.x= 为f(x)的极大值点
B.x= 为f(x)的极小值点
C.x=2为f(x)的极大值点
D.x=2为f(x)的极小值点【解析】选D.函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=
当x=2时,f′(x)=0;当x>2时,f′(x)>0,
函数f(x)为增函数;当0减函数,所以x=2为函数f(x)的极小值点.3.如图是导函数y=f′(x)的图象,函数y=f(x)的极大值点是________,极小值点是________.【解析】因为在点x2左侧导数图象在x轴上方,导数为正,在点x2右侧附近导数图象在x轴下方,导数为负,故点x2为极大值点,因为在点x4左侧导数图象在x轴下方,导数为负,在点x4右侧附近导数图象在x轴上方,导数为正,故点x4为极小值点.
答案:x2 x4
4.求函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极值.(仿照教材P94例4的解析过程)
【解析】f′(x)=3x2-6x-9.
解方程3x2-6x-9=0,得x1=-1,x2=3.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:由表可知:当x=-1时,f(x)有极大值f(-1)=10.
当x=3时,f(x)有极小值f(3)=-22.类型一 求函数的极值
【典例1】求函数f(x)= 的极值.【解析】函数f(x)= 的定义域为(0,+∞),且f′(x)=
令f′(x)=0,得x=e,
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表:
故当x=e时,函数取得极大值f(e)= ,无极小值.【方法总结】求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)定区间求导:确定函数的定义区间,求导数f′(x).
(2)解方程:求方程f′(x)=0的根.
(3)列表:用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间,并列成表格.(4)检测判断:检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么f(x)在这个根处无极值.【巩固训练】1.求函数y=2x+ 的极值.
【解析】函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
y′=2- ,令y′=0,得x=±2.
当x变化时,y′,y的变化情况如下表:由表知:当x=-2时,y极大值=-8;
当x=2时,y极小值=8.2.设函数f(x)=x3+ax2-9x的导函数为f′(x),且f′(2)= 15.(1)求函数f(x)的图象在x=0处的切线方程.(2)求函数f(x)的极值.【解析】(1)因为f′(x)=3x2+2ax-9,
因为f′(2)=15,所以12+4a-9=15,
所以a=3.所以f(x)=x3+3x2-9x,
所以f′(x)=3x2+6x-9,
所以f(0)=0,f′(0)=-9,
所以函数在x=0处的切线方程为y=-9x.(2)令f′(x)=0,得x=-3或x=1.当x变化时,f(x)与f′(x)的变化情况如下表:即函数f(x)在(-∞,-3)上单调递增,在(-3,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以当x=-3时,f(x)有极大值27,当x=1时,f(x)有极小值-5.【补偿训练】求函数y= -2的极值.
【解析】因为函数的定义域为R,
所以y′=
令y′=0,得- =0,
解得x=-1或x=1.当x变化时,y′,y的变化情况如表:故当x=-1时,函数有极小值,且y极小值=f(-1)=-3;
当x=1时,函数有极大值,且y极大值=f(1)=-1.类型二 利用函数极值求参数的值
【典例2】(2016·四川高考)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a= ( )
A.-4 B.-2 C.4 D.2【解题指南】求出f′(x),解出方程f′(x)=0的根,再根据不等式f′(x)>0,f′(x)<0的解集得出函数的极值点.【解析】选D. f′(x)=3x2-12= 3(x-2)(x+2)，
令f′(x)=0,得x=-2或x=2,
易知f(x)在(-2,2)上单调递减,
在(2,+∞)上单调递增,
故f(x)的极小值为f(2),所以a=2.【方法总结】
(1)求参数值:利用函数的极值确定参数的值,常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组,利用待定系数法求解.(2)检验:因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件,所以利用待定系数法求解后,必须验证根的合理性.
【巩固训练】(2015·重庆高考)已知函数f(x)=ax3+x2
(a∈R)在x=- 处取得极值.
(1)确定a的值.
(2)若g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性.【解析】(1)对f(x)求导得f′(x)=3ax2+2x.
因为f(x)在x=- 处取得极值,
所以
解得a= .经检验满足题意.(2)由(1)知g(x)= ex,所以
g′(x)=
= x(x+1)(x+4)ex.
令g′(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4.当x<-4时,g′(x)<0,故g(x)为减函数;
当-40,故g(x)为增函数;
当-1当x>0时,g′(x)>0,故g(x)为增函数;
综上知,g(x)在(-∞,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,
-1)和(0,+∞)内为增函数.【补偿训练】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且当x=-1时取得极大值7,当x=3时取得极小值,试求函数f(x)的极小值,并求a,b,c的值.【解析】f(x)=x3+ax2+bx+c,f′(x)=3x2+2ax+b.
因为x=-1时函数取得极大值,x=3时函数取得极小值,
所以-1,3是方程f′(x)=0的根,即为方程3x2+2ax+b=0的两根.
所以f(x)=x3-3x2-9x+c.
因为x=-1时取得极大值7,
所以(-1)3-3×(-1)2-9×(-1)+c=7,
所以c=2,
所以函数f(x)的极小值为f(3)=33-3×32-9×3+2=-25.类型三 函数极值的综合应用
【典例3】(1)函数f(x)=xex在其极值点处的切线方程为__________.
(2)已知函数f(x)=x3-3ax-1(a≠0).若函数f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点,求m的取值范围.【解题指南】(1)先求出极值,再求出切点坐标,然后利用导数求出切线斜率,最后得切线方程.
(2)先由已知条件求出a值,确定f(x),再由直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同交点,利用数形结合求出m的范围.【解析】(1)f′(x)=ex+xex=ex(1+x),
令f′(x)=0得x=-1.易判断x=-1为极值点,
因为f(-1)=-e-1=- ,
所以切点为 .因为切线斜率为0,
所以所求得切线方程为y=- .
答案:y=- (2)因为f(x)在x=-1处取得极值,
所以f′(-1)=3×(-1)2-3a=0,所以a=1.
所以f(x)=x3-3x-1,f′(x)=3x2-3,
由f′(x)=0解得x1=-1,x2=1.
当x<-1时,f′(x)>0;
当-11时,f′(x)>0.
所以由f(x)的单调性可知,f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1,在x=1处取得极小值f(1)=-3.
作出f(x)的大致图象如图所示:
因为直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,结合f(x)的图象可知,m的取值范围是(-3,1).【延伸探究】
1.若本例(2)“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何?改为“一个交点”呢?
【解析】由例(2)解析可知:当m=-3或m=1时,直线y=m与y=f(x)的图象有两个不同的交点;当m<-3或m>1时,直线y=m与y=f(x)的图象只有一个交点.2.若本例(2)中条件改为“已知函数f(x)=-x3+ax2-4在
x= 处取得极值”,其他条件不变,求m的取值范围.【解析】由题意可得f′(x)=-3x2+2ax,由f′ =0,
可得a=2,所以f(x)=-x3+2x2-4,
则f′(x)=-3x2+4x.
令f′(x)=0,得x=0或x= ,
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表因为直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,
所以m的取值范围是 【方法总结】
1.三次函数有极值的充要条件
三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)有极值?导函数f′(x) =3ax2+2bx+c=0的判别式Δ=4b2-12ac>0.2.三次函数单调性与极值(设x1(1)当Δ≤0时,①若a>0,则f(x)在R上是增函数;
②若a<0,则f(x)在R上是减函数.(2)当Δ>0时,①若a>0,则f(x)的增区间为(-∞,x1)和(x2,+∞),减区间为(x1,x2),f(x1)为极大值,f(x2)为极小值;②若a<0,则f(x)的减区间为(-∞,x1)和(x2,+∞),增区间为(x1,x2),f(x1)为极小值,f(x2)为极大值.(如图所示)【补偿训练】已知函数f(x)=-x2+8x,g(x)=6lnx+m.是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.【解析】函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有
三个不同的交点,即函数φ(x)=g(x)-f(x)的图象与x轴
的正半轴有且只有三个不同的交点.因为φ(x)=x2-8x
+6lnx+m,所以φ′(x)=2x-8+
= (x>0),当x∈(0,1)时,φ′(x)>0,φ(x)是增函数;
当x∈(1,3)时,φ′(x)<0,φ(x)是减函数;
当x∈(3,+∞)时,φ′(x)>0,φ(x)是增函数;
当x=1,或x=3时,φ′(x)=0.所以φ(x)极大值=φ(1)=m-7,
φ(x)极小值=φ(3)=m+6ln3-15.因为当x充分接近0时, φ(x)<0,当x充分大时,φ(x)>0.
所以要使φ(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点,必须且只须 即7所以存在实数m,使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点,m的取值范围为(7,15-6ln3).【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
求函数y=f(x)的极值的方法
解方程f′(x)=0.当f′(x0)=0时:
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极大值.
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么f(x0)是极小值.课件63张PPT。3.3.3
函数的最大(小)值与导数主题 函数的最值
1.观察图中在[a,b]上函数y=f(x)的图象,找出它们的极大值和极小值.提示:f(c),f(e)是函数y=f(x)的极小值,f(d),f(g)是函数y=f(x)的极大值.2.观察1中函数y=f(x)的图象,你能找出函数f(x)在区间[a,b]上的最大值、最小值吗?若将区间改为(a,b),f(x)在(a,b)上还有最值吗?
提示:函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是f(g),最小值是f(b).若区间改为(a,b),则f(x)有最大值f(g),无最小值.3.观察如图所示函数y=f(x)的图象,该函数有最大值吗?提示:由图可见在最高点处图象是间断的,因此该函数没有最大值.结论:函数有最值的条件
如果在闭区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.【微思考】
1.函数在某一区间上的最大值一定是这个区间上所有函数值中的最大值吗?
提示:是.2.极值能在区间端点处取得吗?最值呢?
提示:极值只能在区间内取得,但是最值可以在区间端点处取得.3.函数最值和“恒成立”问题有什么联系?
提示:解决“恒成立”问题,可将问题转化为函数的最值问题.如f(x)>0恒成立,只要f(x)的最小值大于0即可.对含参不等式恒成立问题,求参数范围时,可先分离参数.【预习自测】
1.下列说法正确的是 ( )
A.函数在其定义域内若有最值与极值,则其极大值便是最大值,极小值便是最小值
B.闭区间上的连续函数一定有最值,也一定有极值C.若函数在其定义域上有最值,则一定有极值;反之,若有极值,则一定有最值
D.若函数在给定区间上有最值,则有且仅有一个最大值,一个最小值,但若有极值,则可有多个极值
【解析】选D.由极值与最值的区别知选D.2.连续函数f(x)在(a,b)上有最大值是有极大值的
( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选A.因为区间(a,b)为开区间,所以连续函数f(x)在(a,b)上有最大值能推出函数有极大值,但有极大值函数不一定有最大值.3.函数f(x)=x2-4x+1在[1,5]上的最小值和最大值为
( )
A.-2,6 B.-3,-2
C.2,6 D.-3,6【解析】选D.f′(x)=2x-4.当x∈(1,2)时,f′(x)<0,当x∈(2,5)时,f′(x)>0,又因为f(1)=12-4×1+1=-2,
f(5)=52-4×5+1=6.所以f(x)=x2-4x+1在[1,5]上的最小值为f(2)=22-4×2+1=-3,最大值为6.4.下列是函数f(x)在[a,b]上的图象,则f(x)在(a,b)上无最大值的是 ( )【解析】选D.在开区间(a,b)上,只有D选项所示函数f(x)无最大值.5.已知函数y=-x2-2x+3在区间[a,2]上的最大值为 ,
则a等于________.【解析】当a<-1时,最大值为4,不合题意;当-1≤a≤2
时,f(x)在[a,2]上是减函数,f(a)最大,-a2-2a+3= ,
解得a= (舍).
答案: 6.求函数f(x)=x3+2x2-4x+5,x∈[-3,1]的最大值与最小值.(仿照教材P97例5的解析过程)【解析】因为f(x)=x3+2x2-4x+5,
所以f′(x)=3x2+4x-4.
令f′(x)=0,得x1=-2,x2= .
因为f(-2)=13, ,f(-3)=8,f(1)=4,
所以函数f(x)在[-3,1]上的最大值为13,最小值为 .类型一 求函数的最值
【典例1】求函数y=5-36x+3x2+4x3在区间[-2,+∞)上的最大值与最小值.【解题指南】求函数的最值与求函数的极值相似(但最值与极值不一定相同),先列出表格,再进行判断,从而求出最值.【解析】y′=12x2+6x-36,令y′=0,x1=-2,x2= .
列表:由于当x> 时,y′>0,所以y在 上为增函数,因此,
函数y在[-2,+∞)上只有最小值-28 ,无最大值.【方法总结】闭区间[a,b]上连续的函数f(x)必有最值
(1)给定的区间必须是闭区间,f(x)在开区间上虽然连
续但不能保证有最大值或最小值.如f(x)= ,x∈(0,1),
f(x)在区间(0,1)连续,但没有最大值和最小值(如图).(2)在闭区间上的每一点必须连续,即在闭区间上有间
断点,也不能保证f(x)有最大值和最小值,如函数
f(x)=
在[-1,1]上有间断点,没有最小值(如图).(3)若连续函数在区间(a,b)内只有一个极值,那么极大值就是最大值,极小值就是最小值.【巩固训练】函数y= 在[0,2]上的最大值是 ( )
A.当x=1时,y= B.当x=2时,y=
C.当x=0时,y=0 D.当x= 时,y= 【解析】选A.y′= 令y′=0,得x=1.
因为x=0时,y=0,x=1时,y= ,x=2时,y= ,
所以最大值为 (x=1时取得).类型二 与参数有关的最值问题
【典例2】(1)已知函数f(x)=2x3-6x2+a在[-2,2]上有最
小值-37,求a的值,并求f(x)在[-2,2]上的最大值.
(2)(2017·秦皇岛高二检测)设函数f(x)=- x3+2ax2-
3a2x+b,0(2)先求导数,求出极值点,通过列表确定函数的单调区间,进而求函数的最值.【解析】(1)f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),
令f′(x)=0,得x=0或x=2.
又f(0)=a,f(2)=a-8,f(-2)=a-40.f(0)>f(2)>f(-2),
所以当x=-2时,f(x)min=a-40=-37,得a=3.
所以当x=0时,f(x)max=3.(2)f′(x)=-x2+4ax-3a2.令f′(x)=0,
解得x=a或x=3a,x∈[0,3a],列表如下:由表知:当x∈(0,a)时,函数f(x)为减函数;
当x∈(a,3a)时,函数f(x)为增函数.
所以当x=a时,f(x)的最小值为- a3+b;
当x=0或x=3a时,f(x)的最大值为b.【方法总结】已知函数最值求参数的步骤
(1)求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值.
(2)通过比较它们的大小,判断出哪个是最大值,哪个是最小值.
(3)结合已知求出参数,进而使问题得以解决.【巩固训练】(2017·包头模拟)若函数f(x)=(x-1)
(x+2)(x2+ax+b)的图象关于x=0对称,则f(x)的最小值为 ( )【解析】选C.因为函数f(x)=(x-1)(x+2)(x2+ax+b)的图象关于x=0对称,所以f(-1)=f(1),f(-2)=f(2),
即-2(1-a+b)=0,0=4(4+2a+b),求得b=-2,a=-1,
所以f(x)=(x-1)(x+2)(x2-x-2)=x4-5x2+4,所以f′(x)=4x3-10x=2x(2x2-5)=
显然,在
上,f′(x)<0,f(x)为减函数,在
上,f′(x)>0,f(x)为增函数,故当x=- 时,y=-
当x= 时,y=-
所以函数f(x)取最小值- .类型三 与最值有关的恒成立问题
【典例3】(2017·潍坊高二检测)已知函数
f(x)=x3+ax2+bx+c在x=- 与x=1处都取得极值.
(1)求a,b的值及函数f(x)的单调区间.
(2)若对x∈[-1,2],不等式f(x)范围.【解题指南】(1)由已知条件求a,b的值并确定函数f(x)的单调区间.(2)对x∈[-1,2],不等式f(x)因为f′(1)=3+2a+b=0,
解得a=- ,b=-2,所以f′(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表:所以函数f(x)的递增区间为 和(1,+∞);
递减区间为 .(2)由(1)知,f(x)=x3- x2-2x+c,x∈[-1,2],当x=-
时, 为极大值,
因为f(2)=2+c,所以f(2)=2+c为最大值.
要使f(x)f(2)=2+c,解
得c<-1或c>2.【延伸探究】
1.若典例(1)中条件不变,问法改为求函数f(x)在区间[-1,2]上的最值,结果如何.【解析】f′(x)=(3x+2)(x-1),当x变化时,f′(x),f(x)变化情况如表:由于 所以f(x)在区间[-1,2]
上的最大值为2+c,最小值为- +c.2.若典例(2)中条件不变,问法“若对x∈[-1,2],不等式f(x)当x=1时,f(1)=c- 为极小值,
又f(-1)= +c>c- ,所以f(1)=c- 为最小值.
因为存在x∈[-1,2],不等式f(x)所以只需c2>f(1)=c- ,解得c∈R.【方法总结】
1.证明不等式,研究方程根的个数、两函数图象的交点个数、图象的分布范围等问题,导数和数形结合是一种很有效的工具,经常通过分析函数的变化情况,结合图形分析求解.2.恒成立问题向最值转化也是一种常见题型
(1)要使不等式f(x)f(x)max,则上面的不等式恒成立.(2)要使不等式f(x)>h在区间[m,n]上恒成立,可先在区间[m,n]上求出函数f(x)的最小值f(x)min,只要f(x)min>
h,则不等式f(x)>h恒成立.【补偿训练】设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值.
(1)求a,b的值.
(2)若对于任意的x∈[0,3],都有f(x)因为函数f(x)在x=1及x=2时取得极值,
所以f′(1)=0,f′(2)=0, (2)由(1)可知,f(x)=2x3-9x2+12x+8c,
f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2).
当x∈(0,1)时,f′(x)>0;
当x∈(1,2)时,f′(x)<0;
当x∈(2,3)时,f′(x)>0.
所以,当x=1时,f(x)取极大值f(1)=5+8c,又f(0)=8c,f(3)=9+8c.
所以当x∈[0,3]时,f(x)的最大值为f(3)=9+8c.
因为对于任意的x∈[0,3],都有f(x)所以9+8c9.
因此c的取值范围为(-∞,-1)∪(9,+∞).【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
求最值的方法
(1)极值法:对开区间上的连续函数,最值一定是其极值.
(2)比较法:对于闭区间上的连续函数,通过比较极值与端点的函数值的大小求最值.课件77张PPT。3.4
生活中的优化问题举例类型一 面积、体(容)积有关的最值问题
【典例1】如图,四边形ABCD是一块边长为4km的正方形
地域,地域内有一条河流MD,其经过的路线是以AB的中
点M为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不计).
新长城公司准备投资建一个大型矩形游乐园PQCN(P为河流MD上任意一点),问如何施工才能使游乐园的面积最大?并求出最大面积.【解题指南】首先依据图形建立合适的坐标系,设出点的坐标,引入变量构建与面积有关的函数关系式,再利用导数求最值.【解析】以M为原点,AB所在直线为y轴建立直角坐标系,则D(4,2).设抛物线方程为y2=2px.
因为点D在抛物线上,
所以22=8p,解得p= .
所以抛物线方程为y2=x(0≤x≤4).
设P(y2,y)(0≤y≤2)是曲线MD上任一点,则|PQ|=2+y,|PN|=4-y2.
所以矩形游乐园的面积为
S=|PQ|×|PN|=(2+y)(4-y2)=8-y3-2y2+4y.
求导得S′=-3y2-4y+4,令S′=0,
得3y2+4y-4=0,解得y= 或y=-2(舍).当y∈ 时,S′>0,函数S为增函数;
当y∈ 时,S′<0,函数S为减函数.
所以当y= 时,S有最大值,得
|PQ|=2+y=2+ = ,
|PN|=4-y2=4- 所以游乐园最大面积为Smax= (km2),
即游乐园的两邻边分别为 km, km时,面积最大,最
大面积为 km2.【方法总结】利用导数解决实际问题的基本流程【巩固训练】已知矩形的两个顶点位于x轴上,另两个顶点位于抛物线y=4-x2在x轴上方的曲线上,求矩形的面积最大时的边长.【解析】设矩形边长AD=2x,则|AB|=y=4-x2.
则矩形面积为S=2x(4-x2)(0即S=8x-2x3,所以S′=8-6x2,
令S′=0,解得x1= (舍去).
当x< 时,S′>0;当x> 时,S′<0,所以当x= 时,S取得最大值,此时,S最大=
即矩形的边长分别为 时,矩形的面积最大.【补偿训练】用长为90cm、宽为48cm的长方形铁皮
做一个无盖的容器,先在四个角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图所示),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?【解析】设容器的高为xcm,容器的容积为V(x)cm3,
则V(x)=x(90-2x)(48-2x)
=4x3-276x2+4320x(0V′(x)=12x2-552x+4320
=12(x2-46x+360)=12(x-10)(x-36).
令V′(x)=0,得x1=10,x2=36(舍去).当00,V(x)是增函数;
当10因此,在定义域(0,24)内,函数V(x)只有当x=10时取得最大值,其最大值为
V(10)=10×(90-20)×(48-20)=19600(cm3).故当容器的高为10cm时,容器的容积最大,最大容积是19600cm3.类型二 费用(用料)最省问题
【典例2】(2017·重庆高二检测)某企
业拟建造如图所示的容器(不计厚度,
长度单位:米).其中容器的中间为圆柱形,左右两端均
为半球形,按照设计要求容器的体积为 立方米.假
设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为4千元.设该容器的总建造费用为y千元.(1)将y表示成r的函数f(r),并求该函数的定义域.
(2)讨论函数f(r)的单调性,并确定r和l为何值时,该容器的建造费用最小,并求出最小建造费用.【解题指南】(1)总造价等于两个半球合成一个球的表面的造价加上圆柱的侧面的造价.
(2)对y=f(r)求导然后研究单调性与最值.【解析】(1)因为容器的体积为 立方米,
所以
解得
所以圆柱的侧面积为 两端两个半球的表面积之和为4πr2,
所以
又
所以定义域为(0, ).(2)因为
所以令f′(r)>0,得2令f′(r)<0,得0所以f(r)的单调增区间为 单调减区间为(0,2).
所以当r=2时,该容器的建造费用最小,为96π千元,此
时,l= 【延伸探究】
1.试讨论该容器表面积有无最小值,若有,求出最小值;若没有,说明理由?【解析】因为容器的体积为 立方米,
所以
解得
所以圆柱的侧面积为 两端两个半球的表面积之和为4πr2,
故该容器的表面积S=
则S′=
令S′=0,解得r= 所以应在r= 时,取得最小值,而由(1)可知r∈
取不到 ,所以无最小值.2.若由于场地的限制,该容器的半径要限制在
范围内,求容器建造费用的最小值.【解析】因为y′=
所以令y′>0,得2令y′<0,得0故当r∈ 时,函数单调递减,
故当r= 时,ymin= 【方法总结】利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x).
(2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0.(3)比较函数在区间端点和使f′(x)=0成立的点的数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.
(4)写出答案.【补偿训练】甲、乙两地相距400千米,汽车从甲地匀
速行驶到乙地,速度不得超过100千米/时,已知该汽车
每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数关
系是P= (1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式.
(2)为使全程运输成本最少,汽车应以多大速度行驶?并求此时运输成本的最小值.【解析】(1)Q=P· (2)Q′= -5v,令Q′=0,则v=0(舍去)或v=80.
当0当800,
所以当v=80千米/时时,全程运输成本取得极小值,即最
小值,且Qmin=Q(80)= (元).类型三 利润最大问题
【典例3】某公司为了获得更大的利益,每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查,每年投入广告费t(单位:百万元),可增加销售额约为-t2+5t(单位:百万元,且0≤t≤5).(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内,则应投入多少广告费,才能使该公司由此获得的收益最大?(2)现该公司准备共投入3百万元,分别用于广告促销和
技术改造.经预测,每投入技术改造费x(单位:百万元),
可增加的销售额约为- x3+x2+3x(单位:百万元).请设
计一个资金分配方案,使该公司由此获得的收益最大
(注:收益=销售额-投入).【解析】(1)设投入t百万元的广告费后增加的收益为f(t)百万元,则有f(t)=(-t2+5t)-t=-t2+4t
=-(t-2)2+4(0≤t≤3),
所以当t=2时,f(t)取得最大值4,
即投入2百万元的广告费时,该公司由此获得的收益最大.(2)投入技术改造的资金为x百万元,则用于广告促销的
资金为(3-x)百万元,设由此获得的收益是g(x),则
g(x)= [-(3-x)2+5(3-x)]-3=- x3+4x+3
(0≤x≤3),
所以g′(x)=-x2+4.
令g′(x)=0,解得x=-2(舍去)或x=2.当0≤x<2时,g′(x)>0;当2故g(x)在[0,2)上是增函数,在(2,3]上是减函数.
所以当x=2时,g(x)取最大值,即将2百万元用于技术改造,1百万元用于广告促销时,该公司由此获得的收益最大.【方法总结】利润问题中的等量关系
解决此类有关利润的实际应用题,应灵活运用题设条件,建立利润的函数关系,常见的基本等量关系有:
(1)利润=收入-成本;
(2)利润=每件产品的利润×销售件数.【巩固训练】
某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量x(吨)与
每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为p=24200-
x2,且生产x吨产品的成本为R=50000+200x(元).问该
工厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大?最大利
润是多少?(利润=收入-成本)【解析】每月生产x吨时的利润为
f(x)= (50000+200x)
=- x3+24000x-50000(x≥0),
则f′(x)=- x2+24000,
令f′(x)=0,
解得x1=200,x2=-200(舍去).因为f(x)在[0,+∞)内只有一个极大值点x=200,
故它就是最大值点,且最大值为
f(200)=- ×2003+24000×200-50000
=3150000(元).
所以每月生产200吨产品时利润达到最大,最大利润为
315万元.【补偿训练】(2017·沈阳高二检测)某商品每件成本
9元,售价为30元,每星期卖出432件,如果降低价格,销售量将会增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位:元,0≤x≤30)的平方成正比,已知商品单价降低2元时,一星期将多卖出24件.(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数.
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?【解题指南】(1)先求出比例系数,再依据题设求出多卖的商品数,再根据销售利润=销售收入-成本,列出函数关系式,即可得到答案.(2)根据f(x)的解析式,用导数求最值.【解析】(1)设商品降价x元,则多卖出的商品件数为kx2,若记商品一个星期的获利为f(x),则依题意有f(x)=(30-x-9)·(432+kx2)=(21-x)(432+kx2).
又由已知条件,24=k×22,于是有k=6.
所以f(x)=-6x3+126x2-432x+9072,x∈[0,30].(2)根据(1)有f′(x)=-18x2+252x-432
=-18(x-2)(x-12),
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表:故当x=12时,f(x)取到极大值,因为f(0)=9072, f(12)=11664,
所以定价为30-12=18(元)时能使一个星期的商品销售利润最大.类型四 效率最高问题
【典例4】我们知道,汽油的消耗量w(单位:L)与汽车的
速度v(单位:km/h)之间有一定的关系,汽油的消耗量w
是汽车速度v的函数.通过大量的统计数据,并对数据进
行分析、研究,人们发现,汽车在行驶过程中,汽油平均
消耗率g(即每小时的汽油消耗量,单位:L/h)与汽车行驶的平均速度v(单位:km/h)之间有如图所示的函数关系g=f(v).且点(90,5)为直线y=kx与函数g=f(v)相切时的切点,那么汽车平均速度为多少时,汽油使用率最高,此时的每千米耗油量大约是多少L?【解题指南】研究汽油使用效率就是研究汽油消耗量
与汽车行驶路程的比值.如果用G表示每千米平均的汽
油消耗量,那么G= ,其中,w表示汽油消耗量(单位:L),
s表示汽车行驶的路程(单位:km).从图中不能直接解决
汽油使用效率最高的问题.因此,我们首先需要将问题转化为汽油平均消耗率g(即每小时的汽油耗量,单位:L/h)与汽车行驶的平均速度v(单位:km/h)之间的关系的问题.然后利用图象中的数据信息.解决汽油使用效率最高的问题.【解析】设G表示每千米平均的汽油消耗量,s表示汽车
行驶的路程(单位:km).
因为G= 这样,问题就转化为求 的最小值.从图象上看, 表示
经过原点与曲线上点的直线的斜率,进一步发现,当直
线与曲线相切时,其斜率最小.在此切点处速度约为
90km/h.因此,当汽车行驶距离一定时,要使汽油的使用效率最
高,即每千米的汽油消耗量最小,此时的车速约为
90km/h,从数值上看,每千米的耗油量就是图中的切线
的斜率,即f′(90),约为 (L/km).【方法总结】效率最高问题的解题途径【巩固训练】
统计表明:某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油
量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表
示为y= (0相距100千米,当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地
到乙地耗油最少?最少为多少升?【解析】当速度为x千米/时时,汽车从甲地到乙地行驶
了 小时,设耗油量为h(x)升,
依题意得h(x)= 令h′(x)=0,得x=80.
因为x∈(0,80)时,h′(x)<0,h(x)是减函数;
x∈(80,120)时,h′(x)>0,h(x)是增函数,
所以当x=80时,h(x)取得极小值h(80)=11.25(升).
因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值,所以它是最小值.答:汽车以80千米/时匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升.【补偿训练】如图,在直线y=0和y=a(a>0)之间表示的
是一条河流,河流的一侧河岸(x轴)是一条公路,且公路
随时随处都有公交车来往,家住A(0,a)的某学生在位于
公路上B(d,0)(d>0)处的学校就读.每天早晨该学生都
要从家出发,可以先乘船渡河到达公路上某一点,再乘
公交车去学校;或者直接乘船渡河到达公路上B(d,0)处的学校.已知船速为v0(v0>0),车速为2v0.(水流速度忽略不计)(1)若d=2a,求该学生早晨上学时,从家出发到达学校所
用的最短时间.
(2)若d= ,求该学生早晨上学时,从家出发到达学校所
用的最短时间.【解析】(1)设该学生从家出发先乘船渡河到达公路上
某一点P(x,0)(0≤x≤d),再乘公交车去学校,所用的时
间为t,则t=f(x)= (0≤x≤d).令f′(x)=0
得x= a,当0≤x< a时,f′(x)<0;
当 a0.所以当x= a时,所用的时间最短,最短时间
所以当d=2a时,该学生从家里出发到学校所用的最短时
间是 (2)由(1)的讨论知,当d= 时,t=f(x)为 上的减函
数,所以当d= 时,即该学生直接乘船渡河到达公路上
学校所用时间最短,最短时间为t=【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
(1)解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数,把“问题情景”译为数学语言,要先找出问题的主要关系,并把问题的主要关系近似化、形式化,抽象成数学问题,再化归为常规问题,最后选择合适的数学方法求解.(2)用导数解决生活中优化问题的一般步骤:
①函数建模:细致分析实际问题中各个量之间的关系,正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x,把实际问题转化为数学问题,即列出函数关系式y=f(x).
②确定定义域:一定要从问题的实际意义去考察,舍去没有实际意义的变量的范围.③求最值:此处尽量使用导数法求出函数的最值.
④下结论:紧扣题目,给出圆满的答案.课件3张PPT。阶段复习课
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第三章