课件15张PPT。1.1 命题与量词1.了解命题的定义.
2.理解全称量词与存在量词的意义.
3.会判断全称命题与存在性命题的真假.1.命题
(1)定义:能够判断真假的语句叫做命题.
(2)表示形式:一个命题,一般可以用一个小写英文字母表示,如:p,q,r,….
【做一做1】 “同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行”,该语句是命题吗?
答案:是
名师点拨1.并不是任何语句都是命题,只有那些能够判断真假的语句才是命题.一般来说,疑问句、祈使句、感叹句都不是命题.
2.有些命题尽管现在不能确定其真假,但随着时间的推移,总能判断其真假,这样的语句也是命题.
知识拓展1.真命题:如果由命题的条件通过推理一定可以得出命题的结论,那么这样的命题叫做真命题.
2.假命题:如果由命题的条件通过推理不一定能得出命题的结论,那么这样的命题叫做假命题.2.全称量词与全称命题
(1)全称量词:短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体,逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“?”表示.
(2)全称命题:含有全称量词的命题,叫做全称命题.
(3)全称命题的形式:一般地,设p(x)是某集合M的所有元素都具有的性质,那么全称命题就是形如“对M中的所有x,p(x)”的命题.用符号简记为?x∈M,p(x).【做一做2】 命题“对所有整数x,x2+1>0”是全称命题吗?若是,用符号表示出来.
分析:因为该命题含有全称量词“所有”,
所以是全称命题.
解:是,用符号表示为?x∈Z,x2+1>0.
名师点拨1.与“所有”等价的说法有“一切”“每一个”“任一个”等.
2.省去全称量词的命题仍为全称命题.如:“菱形都是平行四边形”,省去了全称量词“所有”.3.存在量词与存在性命题
(1)存在量词:短语“有一个”“有些”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分,逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“?”表示.
(2)存在性命题:含有存在量词的命题,叫做存在性命题.
(3)存在性命题的形式:一般地,设q(x)是某集合M的有些元素x具有的某种性质,那么存在性命题就是形如“存在集合M中的元素x,q(x)”的命题,用符号简记为?x∈M,q(x).
【做一做3】 判断命题“有一个整数x,x2+1=0”是不是存在性命题,若是,用符号表示出来.
分析:因为该命题含有存在量词,所以该命题是存在性命题.
解:是,用符号表示为?x∈Z,x2+1=0.1.判断一个全称命题是真(假)命题的方法
剖析:要判断一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立,一般用代数推理给出证明.要判断一个全称命题是假命题,只需举出一个反例(满足命题的条件,但不满足命题结论的例子).例如,命题p:?x∈R,x2-4x≥0,当x=1时,x2-4x=-3,故命题p为假命题.
2.判断一个存在性命题是真(假)命题的方法
剖析:只要在限定集合M中,找到一个x=x0使p(x0)成立即可,否则,这个存在性命题就是假命题.题型一题型二语句是不是命题的判定
【例1】 判断下列语句是不是命题:
(1)函数f(x)=ax2+bx+c是二次函数吗?
(2)偶数的平方仍是偶数;
(3)若空间的两条直线垂直,则这两条直线相交;
(4)两个向量的夹角可以等于π.
解:(1)不是;(2)是;(3)是;(4)是.
反思判断某个语句是不是命题的方法:首先,要看这个句子的句型;其次,要看能不能判断其真假.题型一题型二全称命题与存在性命题真假的判定
【例2】 指出下列命题是全称命题还是存在性命题,并判断其真假:
(1)p:所有正方形都是矩形;(3)r:?x∈Z,x2+2x≤0;
(4)s:至少有一个正整数x,使x3+1=0.
分析:利用全称命题和存在性命题的定义判定命题是全称命题还是存在性命题.
(1)利用正方形的定义进行判定;
(2)将不等式的左边配方后进行判定;
(3)将x=-1代入不等式后进行判定;
(4)解方程x3+1=0后,依据方程的解进行判定.题型一题型二解:(1)命题p是全称命题,
因为邻边相等的矩形是正方形,故命题p是真命题.
(2)命题q是全称命题,(3)命题r是存在性命题,
因为当x=-1时,能使x2+2x≤0,所以命题r是真命题.
(4)命题s是存在性命题,
由x3+1=0,得x=-1,而-1不是正整数,故没有任何一个正整数满足x3+1=0,因此,命题s是假命题.123451.下列语句不是命题的是( )
A.两点之间线段最短
B.互补的两个角相等
C.不是对顶角的两个角不相等
D.延长线段AB
解析:只有选项D不能判断其真假,故选项D不是命题.
答案:D123452.下列命题是存在性命题的是( )
A.偶函数的图象关于y轴对称
B.正四棱柱都是平行六面体
C.不相交的两条直线是平行线
D.存在实数大于等于3
解析:只有选项D中含有存在量词,故选项D是存在性命题.
答案:D123453.下列命题是假命题的是( )
A.若a·b=0,则a⊥b
B.若|a|=|b|,则a=b
C.若ac2>bc2,则a>b
D.7>6
解析:|a|=|b|只是两个向量的大小相等,但方向不一定相同,故这两个向量不一定相等.
答案:B123454.下列命题是真命题的是( )
A.?x∈R,x2+1<0
B.?x∈Z,3x+1是整数
C.?x∈R,|x|>3
D.?x∈Q,x2∈Z
解析:因为当x=1时,3x+1=4是整数,所以选项B是真命题.
答案:B123455.下列命题是全称命题的是 (填序号).?
(1)菱形的四条边相等;(2)有两个角是45°的三角形都是等腰直角三角形;(3)正数的平方根不等于0;(4)至少有一个正整数是偶数.
解析:(1)(2)(3)省略了全称量词,故(1)(2)(3)是全称命题;而(4)含有存在量词,故(4)是存在性命题.
答案:(1)(2)(3)课件19张PPT。1.2.1 “且”与“或”1.了解“且”与“或”的含义.
2.能判断由“且”与“或”组成的新命题的真假.1.“且”的含义及由“且”构成的新命题
(1)“且”的含义:逻辑联结词“且”与日常语言中的“并且”“及”“和”相当.
(2)由“且”构成的新命题:一般地,用逻辑联结词“且”把命题p和q联结起来,就得到一个新命题,记作:p∧q,读作“p且q”.
(3)“p且q”的真假:如果p,q都是真命题,则p∧q是真命题;如果p,q两个命题中,至少有一个是假命题,则p∧q是假命题.反过来,如果p∧q是真命题,则p,q一定都是真命题;如果p∧q为假命题,则p,q两个命题中,至少有一个是假命题.
注:在数理逻辑的书中,通常把如何由p,q的真假判定p∧q的真假总结为表Ⅰ:【做一做1】 用“且”联结命题p,q构成新命题,并判断新命题的真假:
p:16是2的倍数;q:16是8的倍数.
分析:由“且”联结写出新命题:16是2的倍数且是8的倍数;因为命题p,q都是真命题,所以新命题是真命题.
解:p∧q:16是2的倍数且是8的倍数.新命题是真命题.
归纳总结判断用“且”联结构成新命题的真假时,首先判断所给两个命题的真假,再利用表Ⅰ进行判定. 2.“或”的含义及由“或”构成的新命题
(1)“或”的含义:逻辑联结词“或”的意义和日常语言中的“或者”是相当的.
(2)由“或”构成的新命题:一般地,用逻辑联结词“或”把命题p,q联结起来,就得到一个新命题,记作:p∨q,读作“p或q”.
(3)“p或q”的真假:如果p,q两个命题中,至少有一个是真命题,则p∨q是真命题;只有当两个命题都为假时,p∨q是假命题.
注:在数理逻辑的书中,通常把如何由p,q的真假判定p∨q的真假总结为表Ⅱ:【做一做2】 用“或”联结命题p,q构成新命题,并判断新命题的真假:
p:菱形的对角线互相平分;q:菱形的对角线相等.
分析:由“或”联结写出新命题:菱形的对角线相等或互相平分;因为命题p是真命题,q是假命题,所以新命题是真命题.
解:p∨q:菱形的对角线相等或互相平分.新命题是真命题.
归纳总结判断“或”命题的真假时,首先判断所给两个命题的真假,再利用表Ⅱ进行判定.1.如何理解联结词“且”
剖析:“且”与集合中“交集”的概念有关,与A∩B={x|x∈A,且x∈B}中的“且”意义相同,即“x∈A”与“x∈B”这两个条件都要满足.例如,电子保险门在“钥匙插入”且“密码正确”两个条件都满足时,才会开启.
2.如何理解联结词“或”
剖析:“或”与集合中“并集”的概念有关,与A∪B={x|x∈A或x∈B}中的“或”意义相同,它是指“x∈A”与“x∈B”中至少有一个是成立的,既可以是x∈A,且x?B,也可以是x∈B,且x?A,也可以是x∈A,且x∈B.这与生活中“或”的含义不完全相同,例如:“你去图书馆或去游泳馆”,两者不可能同时发生;再如,日常生活中,我们认为“苹果是长在树上或长在地里”这句话是不正确的.
名师点拨“且”与“或”只有用来联结两个命题时,才称其为逻辑联结词.如:命题“方程|x|=1的解是x=1或x=-1”中的“或”就不是逻辑联结词.题型一题型二题型三“p∧q”形式的命题及其真假的判定
【例1】 分别写出由下列各组命题构成的“p∧q”形式的新命题,并判断它们的真假:
(1)p:30是5的倍数;q:30是8的倍数.
(2)p:矩形的对角线互相平分;q:矩形的对角线相等.
(3)p:x=1是方程x-1=0的根;q:x=1是方程x+1=0的根.
分析:用逻辑联结词“且”把命题p,q联结起来构成“p∧q”形式的命题;利用表Ⅰ判断其真假.
解:(1)p∧q:30是5的倍数且是8的倍数;
由于命题p是真命题,命题q是假命题,故命题p∧q是假命题.
(2)p∧q:矩形的对角线互相平分且相等.
由于命题p和q都是真命题,故命题p∧q是真命题.
(3)p∧q:x=1是方程x-1=0的根且是方程x+1=0的根.
由于命题p是真命题,命题q是假命题,故命题p∧q是假命题.题型一题型二题型三反思1.写由“且”构成的新命题时,若两个命题有公共的主语,则后一个命题可省略主语.
2.判断由“且”构成的新命题真假的方法和步骤:(1)先判断每一个命题的真假;(2)利用表Ⅰ判断“且”命题的真假.题型一题型二题型三“p∨q”形式的命题及其真假的判定
【例2】 分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”形式的命题,并判断它们的真假:
(1)p:正多边形各边相等;q:正多边形各内角相等.
(2)p:线段中垂线上的点到线段两个端点的距离相等;q:角平分线上的点到角两边的距离不相等.
(3)p:正六边形的对角线都相等;q:偶数都是4的倍数.
分析:用逻辑联结词“或”把命题p,q联结起来构成“p∨q”形式的命题;利用表Ⅱ判断其真假.题型一题型二题型三解:(1)p∨q:正多边形各边相等或各内角相等.
由于命题p是真命题,命题q是真命题,故命题p∨q是真命题.
(2)p∨q:线段中垂线上的点到线段两个端点的距离相等或角平分线上的点到角两边的距离不相等.
由于命题p是真命题,命题q是假命题,故命题p∨q是真命题.
(3)p∨q:正六边形的对角线都相等或偶数都是4的倍数.
由于命题p是假命题,命题q是假命题,故命题p∨q是假命题.
反思1.写由“或”构成的新命题时,若两个命题有公共的主语,则后一个命题可省略主语.
2.判断由“或”构成的新命题真假的方法和步骤:(1)先判断每一个命题的真假;(2)利用表Ⅱ判断“或”命题的真假.题型一题型二题型三易错题型
【例3】 (1)命题“等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边”是由“或”或“且”构成的新命题吗?若是,指出是哪种形式;若不是,说明理由.
错解不是由“或”或“且”构成的新命题.理由:因为命题中不含有逻辑联结词“或”或“且”.
错因分析:没有注意到该命题是省略联结词“且”的命题.
正解:所给命题可改写为“等腰三角形顶角的平分线垂直且平分底边”,也就是“等腰三角形顶角的平分线垂直底边且等腰三角形顶角的平分线平分底边”,故该命题是由“且”构成的新命题.
构成形式:p∧q.题型一题型二题型三(2)命题“不等式x2>1的解集是{x|x>1或x<-1}”的构成形式是“p∨q”吗?为什么?
错解:是.因为该命题中含有逻辑联结词“或”.
错因分析:没有注意到“或”联结的不是两个命题.
正解不是;因为“或”在此不是联结的两个命题.123451.下列命题的构成是“p∨q”形式的是( )
A.5既是奇数又是质数
B.6≤7
C.π不是有理数
D.2是4的约数并且是7的约数
答案:B123452.下列命题的构成不是“p∧q”形式的是( )
A.2是6的约数,也是8的约数
B.方程x2=1的一个解是x=1,另一个解是x=-1
C.2和-2是方程x2-4=0的根
D.函数f(x)=0既是奇函数又是偶函数
答案:B123453.命题“方程|x|=2的解是x=±2”中,使用逻辑联结词的情况是( )
A.使用了逻辑联结词“或”
B.使用了逻辑联结词“且”
C.使用了逻辑联结词“或”与“且”
D.没有使用逻辑联结词
解析:命题“方程|x|=2的解是x=±2”可以写成“方程|x|=2的解是x=2或x=-2”,其中的“或”不是联结的两个命题,故没有使用逻辑联结词.选D.
答案:D123454.下列命题中既是“p∧q”形式的命题,又是真命题的是 ( )
A.15或20是5的倍数
B.1和2是方程x2-3x+2=0的根
C.方程x2+2=0有实数根
D.有一个角大于90°的三角形是钝角三角形
解析:命题“1和2是方程x2-3x+2=0的根”可写成“1是方程x2-3x+2=0的根且2是方程x2-3x+2=0的根”,此命题是用“且”联结的两个命题构成的新命题,故是“p∧q”形式的命题;又两个命题都是真命题,故该命题是真命题.从而选B.
答案:B123455.命题“集合A是集合A∪B的子集或是集合A∩B的子集”是 命题(填“真”或“假”).?
答案:真课件18张PPT。1.2.2 “非”(否定)1.了解逻辑联结词“非”的含义.
2.会对含有量词的命题进行否定.1.“非”的含义
逻辑联结词“非”(也称为“否定”)的意义是由日常语言中的“不是”
“全盘否定”“问题的反面”等抽象而来的.
【做一做1】 下列词语与“非”的含义不同的是( )
A.是
B.不是
C.全盘否定
D.问题的反面
答案:A【做一做2】 已知命题p:函数y=sin x是奇函数,写出命题p的否定,并判断其真假.
解: p:函数y=sin x不是奇函数;假命题.归纳总结1.一般来说,全称命题的否定是一个存在性命题,存在性命题的否定是一个全称命题,因此在写其否定时,要把相应的全称量词改为存在量词,存在量词改为全称量词.
2.下表是一些常用词语和它们的否定词语,理解它们对于今后解决问题大有帮助.题型一题型二题型三反思解决此类问题要依据命题的否定形式进行否定.注意常用词语的否定词语不能写错.题型一题型二题型三存在性命题与全称命题的否定
【例2】 写出下列命题的否定,并判断其真假:
(1)p:?x∈R,x2+1<0;
(2)q:每一个对角互补的四边形有外接圆;
(3)r:有些菱形的对角线互相垂直;
(4)s:所有能被3整除的整数是奇数.
分析:命题p,r是存在性命题,按存在性命题的否定形式进行否定即可;命题q,s是全称命题,按全称命题的否定形式进行否定即可.题型一题型二题型三反思1.解决此类问题首先分清命题是存在性命题还是全称命题,然后按存在性命题和全称命题的否定形式进行否定.
2.全称命题的否定是存在性命题,存在性命题的否定是全称命题.题型一题型二题型三易错题型
【例3】 写出命题“菱形的对角线相等”的否定.
错解:其否定是:菱形的对角线不相等.
错因分析:没有注意到该命题是省略了全称量词的全称命题,从而没把全称量词改为存在量词.
正解:有些菱形的对角线不相等.123451.命题“p”与命题“ p”的真假关系是( )
A.可能都是真命题 B.一定是一真一假
C.可能都是假命题 D.不能判断
答案:B123452.命题2≠3的形式是( )
A. p B.p∨q
C.p∧q D.以上答案都不正确
答案:A123453.已知命题p:存在实数m,使方程x2+mx+1=0有实数根,则 p是( )
A.存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实数根
B.不存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实数根
C.对任意的实数m,方程x2+mx+1=0无实数根
D.至多有一个实数m,方程x2+mx+1=0无实数根
答案:C12345解析:由命题“p∧q”是假命题知p,q中至少有一个为假,但不能确定谁真谁假,故选项A,B,C错.命题“p∧q”是假命题,则其否定为真,从而选D.
答案:D123455.命题“存在x∈R,2x≤0”的否定是( )
A.不存在x∈R,2x>0
B.存在x∈R,2x≥0
C.对任意的x∈R,2x≤0
D.对任意的x∈R,2x>0
解析:该命题是存在性命题,利用存在性命题的否定形式判断可知选D.
答案:D课件23张PPT。1.3.1 推出与充分条件、必要条件1.了解推出的意义.
2.理解充分条件和必要条件的意义.
3.掌握判断充分条件、必要条件的方法.1.命题的条件和结论
“如果p,则(那么)q”形式的命题,其中p称为命题的条件,q称为命题的结论.
【做一做1】 指出命题“若a=-b,则a2=b2”的条件和结论.
解:命题的条件是:a=-b,结论是:a2=b2.
2.推出符号“?”的含义
当命题“如果p,则q”经过推理证明断定是真命题时,就说由p可以推出q,记作p?q,读作“p推出q”.名师点拨只有当一个命题是真命题时,才能使用推出符号“?”表示.例如:
“如果两个三角形全等,那么它们的面积相等”是真命题,故可用推出符号“?”表示为:两个三角形全等?它们的面积相等.
“如果两个三角形面积相等,那么它们全等”是假命题,故此命题不能用推出符号“?”表示.
知识拓展1.符号“ ”的含义.
当命题“如果p,则q”是假命题时,就说由p不能推出q.记作p q,读作“p不能推出q”.
2.推出的传递性.
若p?q,且q?r,则p?r.3.充分条件、必要条件
如果p可推出q,则称p是q的充分条件,q是p的必要条件.
【做一做3】 已知r:x=8,s:x>7,问r是s的充分条件吗?s是r的必要条件吗?s是r的充分条件吗?4.充要条件
一般地,如果p?q,且q?p,则称p是q的充分且必要条件,简称p是q的充要条件,记作p?q.
显然,当p是q的充要条件时,q也是p的充要条件.p是q的充要条件,又常说成q当且仅当p,或p与q等价.
【做一做4】 已知p:两直线平行;q:内错角相等.试判断p是q的什么条件?
解:因为p?q,且q?p,所以p是q的充要条件.
名师点拨对充要条件的判定,首先要分清条件p和结论q,不但要有p?q,还要有q?p.1.对充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”的理解
剖析:(1)充分条件:说条件是充分的,也就是说条件是足以保证结论成立的.例如,说“x>8”是“x>6”的一个充分条件,就是说“x>8”这个条件,足以保证“x>6”成立.
(2)必要条件:说条件是必要的,就是说该条件必须要有,必不可少.从上例可以看出,如果x>6,那么x可能大于8,也可能不大于8;但如果x不大于6,那么x不可能大于8.因此要使x>8必须要有x>6这个条件.必要条件简单说就是:有它不一定,没它可不行.2.从集合的观点理解充分条件、必要条件和充要条件
剖析:首先建立与p,q相对应的集合,即p:A={x|p(x)},q:B={x|q(x)}.题型一题型二题型三题型四充分条件、必要条件的判断
【例1】 在下列各题中,试判定p是q的什么条件:
(1)p:(x-2)(x-3)=0,q:x=2;
(2)p:同位角相等,q:两直线平行;
(3)p:x=3,q:x2=9;
(4)p:四边形的对角线相等,q:四边形是平行四边形.
分析:(1)利用“两个因式的积等于零?两个因式中至少有一个等于零”及充分条件、必要条件的定义判断.
(2)利用平行线的判定定理和性质定理以及充分条件、必要条件的定义判断.
(3)利用平方与开平方的意义,通过计算进行判断.
(4)利用平行四边形的判定和性质定理进行判断.题型一题型二题型三题型四解:(1)因为命题“若(x-2)(x-3)=0,则x=2”是假命题,而命题“若x=2,则(x-2)(x-3)=0”是真命题,所以p是q的必要条件,但不是充分条件,即p是q的必要不充分条件.
(2)因为命题“若同位角相等,则两直线平行”是真命题,而命题“若两直线平行,则同位角相等”也是真命题,所以p是q的充要条件.
(3)因为命题“若x=3,则x2=9”是真命题,而命题“若x2=9,则x=3”是假命题,所以p是q的充分条件,但不是必要条件,即p是q的充分不必要条件.
(4)因为命题“若四边形的对角线相等,则四边形是平行四边形”是假命题,而命题“若四边形是平行四边形,则四边形的对角线相等”也是假命题,所以p不是q的充分条件,也不是必要条件,即p是q的既不充分也不必要条件.题型一题型二题型三题型四反思判断p是q的充分条件、必要条件的方法与步骤:
(1)分清条件p和结论q;
(2)判断命题“若p,则q”和命题“若q,则p”的真假;
(3)依据充分条件、必要条件的定义给出结论.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四求充要条件
【例3】 求函数f(x)=(a2+4a-5)x2-4(a-1)x+3的图象全在x轴的上方的充要条件.
分析:先求“函数f(x)=(a2+4a-5)x2-4(a-1)x+3的图象全在x轴的上方”的必要条件,然后再看该条件能否推出“函数f(x)=(a2+4a-5)x2-4(a-1)x+3的图象全在x轴的上方”,即其充分性是否成立.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四易错题型
【例4】 已知命题p:A={x|x2-5x-6<0},q:B={x|-1
错解:由x2-5x-6<0,得-1因为p是q的充分条件,故2a>6,即a>3.
所以a的取值范围为a>3.
错因分析:“p是q的充分条件?A?B”,而错解用了“p是q的充分条件?A?B”,导致丢掉了a=3的错误.
正解:由x2-5x-6<0,得-1因为p是q的充分条件,即A?B,
故2a≥6,即a≥3,
所以a的取值范围为a≥3.123451.设a>0,且a≠1,则“函数f(x)=ax在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:由函数f(x)=ax在R上是减函数,可得0答案:A6123452.已知p:x=0,q:x(x-1)=0,则p是q的 条件.?
答案:充分不必要6123453.已知在△ABC中,有p:AB=AC,q:∠C=∠B,则p是q的 条件.?
答案:充要6123454.已知p:x2=1,q:x=1,则p是q的 条件.?
答案:必要不充分6123455.已知p:x(x-3)<0,q:|x|<2,则p是q的 条件.?
解析:由x(x-3)<0得0答案:既不充分也不必要61234566.已知p:{x|x2<1},q:{x|x>a},若p是q的充分不必要条件,求a的取值范围.
分析:先化简集合,根据p是q的充分不必要条件得到两个集合之间的关系,然后利用集合关系解决问题.
解:设A={x|x2<1}={x|-1a},
则p:A={x|-1a}.
?
∵p是q的充分不必要条件,
∴A?B.结合数轴分析可得a≤-1,
∴a的取值范围为(-∞,-1].课件16张PPT。1.3.2 命题的四种形式1.了解四种命题的定义.
2.会分析四种命题的相互关系.1.四种命题
(1)原命题:如果p,则q;
(2)原命题的条件和结论“换位”得
如果q,则p,
这称为原命题的逆命题;
(3)原命题的条件和结论“换质”(分别否定)得
如果非p,则非q,
这称为原命题的否命题;
名师点拨否命题和命题的否定是两个不同的概念,应注意区别:
(1)一般地,只有“如果p,则q”形式的命题才有否命题:“如果非p,则非q”,而一般命题都可有“否定命题”;
(2)一般命题的否定命题与原命题总是一真一假,而“如果p,则q”的否命题与原命题的真假可能相同也可能相反.(4)原命题的条件和结论“换位”又“换质”得如果非q,则非p,这称为原命题的逆否命题.
名师点拨原命题是我们自己规定的,其他三种命题是相对原命题而言的.
【做一做1】 已知命题“如果x2=1,则x=1或x=-1”为原命题,写出它的其他三种命题.
解:它的逆命题、否命题、逆否命题分别为:
如果x=1或x=-1,则x2=1;
如果x2≠1,则x≠1,且x≠-1;
如果x≠1,且x≠-1,则x2≠1.2.四种命题的关系
(1)原命题和逆命题是互逆的命题;否命题和逆否命题也是互逆的命题.
(2)原命题和否命题、逆命题和逆否命题都是互否的命题.
(3)原命题和逆否命题、逆命题和否命题都是互为逆否的命题.
四种命题的关系如下图:【做一做2】 与命题“如果x>2,则x2>4”互逆的命题是 ( )
A.如果x>2,则x2<4
B.如果x≤2,则x2≤4
C.如果x2≤4,则x≤2
D.如果x2>4,则x>21.互为逆否命题的两个命题的等价性的理解
剖析:互为逆否命题的两个命题的等价性可以从集合角度给出恰当的解释.
设A={x|p(x)},B={x|q(x)},其中p,q是集合A,B中元素的特征性质,如果A?B,则意味着对于元素x要具有性质p就必须具有性质q,所以可以认为A?B与p?q等同.由维恩图(如图所示)易发现有下面的结论:A?B与?UB??UA等价,也就说明“p?q”与“ q? p”等价.2.互为逆否命题的两个命题的等价性的应用
剖析:由于原命题和逆否命题同真同假,逆命题和否命题同真同假,所以当一个命题不易判断真假时,可以通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假,这种方法特别适合条件和结论是否定形式的命题.例如,判断“如果a+b≠5,则a≠2或b≠3”的真假,直接去看,是不易判断其真假的,但以其逆否命题“如果a=2,且b=3,则a+b=5”来判断真假就十分容易了.题型一题型二题型三四种命题
【例1】 写出命题“已知a,b,c,d都是实数,若a=b,c=d,则a+c=b+d”的逆命题、否命题与逆否命题.
分析:先分清命题的条件和结论,再由四种命题的定义写出即可.条件“a=b,c=d”是“p且q”形式的命题,其否定为“a≠b或c≠d”.
解:逆命题:已知a,b,c,d都是实数,若a+c=b+d,则a=b,c=d;
否命题:已知a,b,c,d都是实数,若a≠b或c≠d,则a+c≠b+d;
逆否命题:已知a,b,c,d都是实数,若a+c≠b+d,则a≠b或c≠d.
反思写已知命题的逆命题、否命题与逆否命题时,应先把已知命题看成原命题,再分清原命题的条件和结论,最后利用四种命题的定义写出其他三种命题.题型一题型二题型三四种命题的关系
【例2】 已知下列四个命题:
(1)p:若一个数是负数,则它的平方是正数;
(2)q:若一个数不是负数,则它的平方不是正数;
(3)s:若一个数的平方不是正数,则它不是负数;
(4)r:若一个数的平方是正数,则它是负数.
其中是互为逆否命题且都为真命题的两个命题为( )
A.p与r B.q与r C.p与q D.p与s
解析:利用四种命题的相互关系可判断p与s,q与r都互为逆否命题.命题p是真命题,利用互为逆否的两个命题真假性相同,可知s也为真命题,而命题q,r为假命题,故选D.
答案:D
反思解决本题的关键是明确四种命题的相互关系,利用“原命题与逆否命题”互为逆否命题、“否命题与逆命题”互为逆否命题来解决.题型一题型二题型三命题的否定与命题的否命题
【例3】 写出命题“面积相等的三角形是全等三角形”的否定及否命题,并判断它们的真假.
分析:该命题是省略全称量词的全称命题,写其否定时要添加存在量词.利用否命题的定义写出否命题.
解:其否定为:有些面积相等的三角形不是全等三角形.(真)
其否命题为:面积不相等的三角形不是全等三角形.(真)
反思命题的否定一般来说只否定命题的结论,而写原命题的否命题时,既要否定条件又要否定结论.123451.对原命题的条件和结论分别否定得到的命题是原命题的 ( )
A.逆命题 B.否命题
C.逆否命题 D.全称命题
答案:B123452.命题“若两个角相等,则这两个角是对顶角”的逆命题是 ( )
A.若两个角是对顶角,则这两个角相等
B.若两个角不是对顶角,则这两个角不相等
C.若两个角是对顶角,则这两个角不相等
D.若两个角不相等,则这两个角不是对顶角
答案:A123453.与命题“若a·b=0,则a⊥b”等价的命题是( )
A.若a·b≠0,则a不垂直于b
B.若a⊥b,则a·b=0
C.若a不垂直于b,则a·b≠0
D.若a·b≠0,则a⊥b
答案:C12345答案:C 12345课件17张PPT。2.1 曲线与方程1.了解曲线与方程的对应关系.
2.了解两条曲线交点的求法.
3.了解用坐标法研究几何性质.
4.掌握求曲线的方程和由方程研究曲线的性质. 1.点的轨迹方程
一般地,一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹,所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程.
【做一做1】 到A(2,-3)和B(4,-1)的距离相等的点的轨迹方程是( )
A.x-y-1=0 B.x-y+1=0
C.x+y-1=0 D.x+y+1=0
答案:C2.曲线的方程与方程的曲线的定义
(1)在平面直角坐标系中,如果曲线C与方程F(x,y)=0之间具有如下关系:
①曲线C上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解;
②以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.
那么,曲线C叫做方程F(x,y)=0的曲线,方程F(x,y)=0叫做曲线C的方程.
名师点拨在曲线的方程的定义中,曲线上的点与方程的解之间的关系①和②缺一不可,而且两者是对曲线上的任意一点以及方程的任意一个实数解而言的.从集合的角度来看,设A是曲线C上的所有点组成的点集,B是所有以方程F(x,y)=0的实数解为坐标的点组成的点集,则由关系①可知A?B,由关系②可知B?A;若同时具有关系①和②,就有A=B.
(2)曲线C用集合的特征性质描述法,可以描述为C={M(x,y)|F(x,y)=0}.1.对曲线与方程的定义的进一步理解
剖析:(1)定义中的第①条“曲线C上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解”,阐明曲线上没有坐标不满足方程的点,也就是说曲线上的所有点都符合这个条件并且毫无例外(纯粹性).
(2)定义中的第②条“以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上”,阐明符合条件的所有点都在曲线上并且毫无遗漏(完备性).
(3)定义的实质是平面曲线的点集{M|p(M)}和方程F(x,y)=0的解集{(x,y)|F(x,y)=0}之间的一一对应关系,由曲线和方程的这一对应关系,既可以通过方程研究曲线的性质,又可以由曲线求它的方程.2.曲线方程的求法
剖析:(1)建立适当的平面直角坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;
(2)写出适合条件p的点M的集合P={M|p(M)};
(3)用坐标表示条件p(M),列出方程F(x,y)=0;
(4)化方程F(x,y)=0为最简形式;
(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.
一般地,化简前后方程的解集是相同的,步骤(5)可以省略不写,如有特殊情况,可以适当说明.另外,也可以根据情况省略步骤(2),直接列出曲线方程.题型一题型二曲线与方程的概念
【例1】 若曲线C上的点的坐标满足方程F(x,y)=0,则下列说法正确的是( )
A.曲线C的方程是F(x,y)=0
B.方程F(x,y)=0的曲线是C
C.坐标不满足方程F(x,y)=0的点都不在曲线C上
D.坐标满足方程F(x,y)=0的点都在曲线C上
解析:方法一:上述说法写成命题的形式为“若点M(x,y)是曲线C上的点,则点M的坐标适合方程F(x,y)=0”.其逆否命题为“若点M的坐标不适合方程F(x,y)=0,则点M 不在曲线C上”.故选C.
方法二:本题亦可考虑特殊值法,作直线l:y=1.考查l与F(x,y)=y2-1=0的关系,知选项A,B,D三种说法均不正确.故选C.
答案:C题型一题型二反思1.判定曲线与方程的对应关系有两种方法:等价转换和特值讨论.它们使用的依据是曲线的纯粹性和完备性.
2.处理“曲线与方程”的概念题,可采用直接法,也可采用特值法.题型一题型二曲线方程的求法
【例2】 已知△ABC,A(-2,0),B(0,-2),第三个顶点C在曲线y=3x2-1上移动,求△ABC的重心G的轨迹方程.
分析:先写出C与G之间的坐标关系,再用G的坐标表示C的坐标,然后代入C的坐标所满足的关系式中,化简整理即得所求轨迹方程.
解:设△ABC的重心坐标为G(x,y),顶点C的坐标为(x1,y1),题型一题型二题型一题型二反思求曲线的方程的关键是找到曲线上动点的运动规律,并利用坐标把这种规律翻译成代数方程.123451.方程x2+xy=x表示的图形是( )
A.一个点
B.一条直线
C.两条直线
D.一个点和一条直线
解析:x2+xy=x可化为x(x+y)=x,
即x(x+y-1)=0,
即x=0或x+y-1=0.
答案:C12345答案:B 12345123454.若点P(2,-3)在曲线x2-ay2=1上,则a= .?12345课件22张PPT。2.2.1 椭圆的标准方程1.理解椭圆的定义.
2.掌握椭圆的标准方程的定义.1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
名师点拨在椭圆的定义中,
(1)当常数等于|F1F2|时,动点的轨迹是线段F1F2.
(2)当常数小于|F1F2|时,动点的轨迹不存在.【做一做1-1】 到两定点F1(-5,0)和F2(5,0)的距离之和为10的点M的轨迹是( )
A.椭圆 B.线段
C.圆 D.以上都不对
解析:由题意可知,|MF1|+|MF2|=10=|F1F2|,故点M的轨迹是线段F1F2.
答案:B
【做一做1-2】 已知椭圆上一点P到椭圆两个焦点F1,F2的距离之和等于10,若椭圆上另一点Q到焦点F1的距离为3,则点Q到焦点F2的距离为( )
A.2 B.3
C.5 D.7
解析:由椭圆的定义得,点Q到另一个焦点的距离为10-3=7.
答案:D2.椭圆的标准方程 名师点拨由求椭圆的标准方程的过程可知,只有当椭圆的两个焦点都在坐标轴上,且关于原点对称时,才能得到椭圆的标准方程.反之亦成立.1.椭圆的定义
剖析:(1)用集合语言叙述为:
点集P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|};
(2)在椭圆的定义中,要求常数必须大于|F1F2|,否则点的轨迹就不是椭圆.在椭圆的标准方程中,a表示椭圆上的任一点M到两焦点的距离的和的一半,可借助图形帮助记忆,如图,a,b,c恰构成一个直角三角形的三条边,都是正数,a是斜边,所以a>b,a>c,且a2=b2+c2,其中c是焦距的一半,叫做半焦距.题型一题型二题型三求椭圆的标准方程
【例1】 求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0);
(2)焦点在y轴上,且经过点(0,2)和(1,0);分析:应用待定系数法求椭圆的标准方程,注意“定位”与“定量”的确定.题型一题型二题型三题型一题型二题型三反思1.当椭圆的焦点在坐标轴上且两焦点的中点为坐标原点时,椭圆的方程是标准方程.
2.求椭圆的标准方程可分三步:(1)确定焦点所在的坐标轴;(2)求出a2,b2的值;(3)写出椭圆的标准方程.
3.已知椭圆经过两点,求椭圆的标准方程时,把椭圆的方程设成mx2+ny2=1(m>0,n>0,且m≠n)的形式有两个优点:(1)列出的方程组中分母不含字母;(2)不用讨论焦点所在的坐标轴.题型一题型二题型三与椭圆有关的轨迹问题
【例2】 若一个动点P(x,y)到两个定点A(-1,0),A'(1,0)的距离的和为定值m,试求点P的轨迹.
分析:分m<2,m=2,m>2三种情况来讨论,即可求得所求的轨迹.
解:|PA|+|PA'|=m,|AA'|=2.
(1)当m<2时,点P不存在.
(2)当m=2时,点P的轨迹是线段AA',其方程为y=0(-1≤x≤1).
(3)当m>2时,由椭圆的定义知,点P的轨迹是以A,A'为焦点的椭圆.
∵2c=2,2a=m,题型一题型二题型三反思在求动点的轨迹时,要对动点仔细分析,当发现动点到两定点的距离之和为定值时,首先要考虑它是否满足椭圆的定义,再确定其轨迹.一定要注意定值与两定点间距离的大小关系.题型一题型二题型三题型一题型二题型三反思求解椭圆的标准方程及相关问题时,需要注意:
(1)不要忽略定义中的条件2a>|F1F2|;
(2)在没有明确椭圆焦点所在坐标轴的情况下,椭圆的标准方程可能有两个;
(3)不要忽略标准方程中a>b>0这一条件.123451.到两定点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之和为6的点M的轨迹( )
A.是椭圆
B.是线段
C.是椭圆或线段或不存在
D.不存在
解析:因为|MF1|+|MF2|=6<|F1F2|=8,
所以轨迹不存在.
答案:D123452.焦点在x轴上,且过点(-5,0)和(0,3)的椭圆的标准方程为 .123453.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是 .?123454.已知B,C是两个定点,|BC|=4,且△ABC的周长等于10,则△ABC的顶点A的轨迹方程为 .?
解析:以过B,C两点的直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系xOy,如图所示,由|BC|=4,可知B(-2,0),C(2,0),由|AB|+|AC|+|BC|=10,可知|AB|+|AC|=6>|BC|=4,因此点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,这个椭圆上的点与两焦点的距离之和为2a=6,但A不在x轴上,由a=3,c=2,得b2=a2-c2=9-4=5.12345123455.已知点P在椭圆上,且P到两焦点的距离分别为5,3,过P且与焦点所在的坐标轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点,求椭圆的标准方程.
分析:由点P到两焦点的距离分别为5,3,得2a=5+3;由过P且与焦点所在的坐标轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点,得(2c)2=52-32,从而可求得a,b,c,得到所求方程.课件16张PPT。2.2.2 椭圆的几何性质1.掌握椭圆的几何性质.
2.掌握椭圆的标准方程中a,b,c,e的几何意义及其之间的相互关系.焦点在x轴、y轴上的两类椭圆的几何性质与特征比较:名师点拨1.判断曲线关于原点、x轴、y轴对称的依据.
若把方程中的x换成-x,y换成-y,方程不变,则曲线关于原点对称.
若把方程中的y换成-y,方程不变,则曲线关于x轴对称.
若把方程中的x换成-x,方程不变,则曲线关于y轴对称.
2.椭圆的顶点是它与对称轴的交点.A.5 B.3 C.6 D.12
解析:椭圆的长轴长为2a,由方程可知a=6,
所以2a=12.
答案:D题型一题型二题型三利用椭圆的方程研究其几何性质
【例1】 分别求出椭圆25x2+16y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点坐标和顶点坐标.
分析:把椭圆方程写成标准形式,求出基本元素a,b,c,即可求出答案.反思已知椭圆的方程讨论其性质时,应先将方程化成标准形式,找准a与b,求出c,才能正确地得出椭圆的有关性质.题型一题型二题型三利用椭圆的几何性质求椭圆的方程 题型一题型二题型三反思在求椭圆的标准方程时,首先要分清焦点在哪个坐标轴上,然后利用条件求出a2.本题所给方程中的a与椭圆标准方程中的a不同.题型一题型二题型三椭圆几何性质的应用 12345答案:D 612345答案:D 6123456123456123456123456分析:应用待定系数法,列出关于a,b,c的方程组再求解.
解:当椭圆的焦点在x轴上时,课件20张PPT。2.3.1 双曲线的标准方程1.理解双曲线的定义.
2.掌握双曲线的标准方程的定义.1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距.
名师点拨在双曲线的定义中,
(1)当常数等于|F1F2|时,动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条射线(包括端点).
(2)当常数大于|F1F2|时,动点的轨迹不存在.
(3)当常数等于零时,动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
(4)当定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话,点的轨迹就成为双曲线的一支.【做一做1】 已知定点F1(-3,0),F2(3,0),在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中,为双曲线的是( )
A.||PF1|-|PF2||=5
B.||PF1|-|PF2||=6
C.||PF1|-|PF2||=7解析:因为|F1F2|=6,所以与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值应小于6,故选A.
答案:A2.双曲线的标准方程 名师点拨1.由求双曲线的标准方程的过程可知:只有当双曲线的两个焦点在坐标轴上,且关于原点对称时,才能得到双曲线的标准方程.反之亦成立.
2.在双曲线的标准方程中,若x2的系数为正,则焦点在x轴上;若y2的系数为正,则焦点在y轴上.1.椭圆与双曲线的区别
剖析:2.求双曲线方程的常用方法
剖析:(1)待定系数法.即先设出方程的标准形式,再确定方程中的参数a,b的值,即“先定型,再定量”,若两种类型都有可能,则应进行分类讨论.
(2)定义法.题型一题型二题型三题型四双曲线的定义及应用
【例1】 如图所示,已知定圆F1:x2+y2+10x+24=0,定圆F2:x2+y2-10x+9=0,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
分析:可利用双曲线的定义来求解.
解:由圆F1:(x+5)2+y2=1,
得圆心F1(-5,0),半径r1=1.
由圆F2:(x-5)2+y2=42,
得圆心F2(5,0),半径r2=4.
设动圆M的半径为R,则有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4,题型一题型二题型三题型四反思遇到动点到两定点的距离之差的问题时,应联想到能否用双曲线的定义来解,并要注意x的范围.题型一题型二题型三题型四求双曲线的标准方程 分析:可根据已知条件,先设出双曲线方程,再把点的坐标代入即可.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四与双曲线有关的轨迹问题 分析:已知角的关系,可先用正弦定理,化角的关系为边的关系,再考虑用定义求轨迹方程.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思求轨迹方程时,如果没有平面直角坐标系,那么要建立适当的平面直角坐标系.动点M的轨迹是双曲线的一支且去掉一个点,这种情况一般在求得方程的后面应加以说明,并把说明的内容加上括号.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思判断时,需先将原方程化为标准形式,即方程的右边是1,方程的左边是“x2”和“y2”项的差,再根据“x2”与“y2”系数的正负判断焦点所在的坐标轴,最后求解.12341.已知F1(-8,3),F2(2,3),动点P满足|PF1|-|PF2|=10,则点P的轨迹是( )
A.双曲线 B.双曲线的一支
C.直线 D.一条射线
解析:因为F1,F2是两定点,|F1F2|=10,所以满足条件|PF1|-|PF2|=10的点P的轨迹为一条射线.
答案:D1234A.P到左焦点的距离是8
B.P到左焦点的距离是15
C.P到左焦点的距离不确定
D.这样的点P不存在
解析:选项A和选项C易判断是错误的,对选项B而言,若|PF1|=15,
|PF2|=5,则|PF1|+|PF2|=20,而|F1F2|=26,即有|PF1|+|PF2|<|F1F2|=26,这与“三角形的两边之和大于第三边”相矛盾,故选D.
答案:D123412344.求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)a=4,c=5,焦点在x轴上;
(2)a=b,经过点(3,-1).
分析:灵活应用双曲线方程,要注意讨论焦点所在的位置,不要漏解.
解:(1)因为a=4,c=5,所以b2=c2-a2=25-16=9.
又因为焦点在x轴上,课件21张PPT。2.3.2 双曲线的几何性质1.理解并掌握双曲线的几何性质.
2.能根据这些几何性质解决一些简单问题. 双曲线的标准方程和几何性质 【做一做2】 已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则其标准方程为 .?题型一题型二题型三题型四已知双曲线方程求其几何性质
【例1】 求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程,并作出草图.
分析:将双曲线方程变为标准方程,确定a,b,c后求解.题型一题型二题型三题型四反思求双曲线的几何性质必须先把方程化为标准形式,作几何图形时,应先画出两条渐近线和两个顶点.题型一题型二题型三题型四已知双曲线的几何性质求双曲线方程 题型一题型二题型三题型四与双曲线的渐近线有关的问题 题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四求双曲线的离心率 题型一题型二题型三题型四123451234512345解析:利用双曲线的标准方程求得a,b,c,即可求得离心率.
答案:C1234512345课件14张PPT。2.4.1 抛物线的标准方程1.掌握抛物线的定义,理解焦点、准线方程的几何意义.
2.能够根据已知条件写出抛物线的标准方程.1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.
名师点拨抛物线定义中的定点F不在定直线l上,否则点的轨迹不是抛物线,而是过点F与l垂直的一条直线.【做一做】若抛物线的焦点坐标为(1,0),则抛物线的标准方程为( )
A.y2=x B.y2=2x
C.y2=4x D.无法确定
解析:因为焦点(1,0)在x轴的正半轴上,
所以抛物线的标准方程为y2=4x.故选C.
答案:C抛物线是双曲线的一支吗?
剖析:虽然抛物线的形状与双曲线的形状看起来有点“像”,但绝不能把抛物线看成是双曲线的一支.
当抛物线上的点趋向于无穷远时,曲线上的点的切线与对称轴近似平行;而双曲线上的点趋向于无穷远时,曲线上的点的切线与渐近线近似平行;抛物线没有渐近线;从方程上看,抛物线方程与双曲线方程有很大差别.题型一题型二题型三抛物线的标准方程
【例1】 已知焦点在x轴正半轴的抛物线C经过点(2,-4),求抛物线的标准方程.
分析:已知抛物线的焦点在x轴正半轴,设出标准方程y2=2px(p>0),将点(2,-4)代入求解即可.
解:因为焦点在x轴的正半轴上,所以设抛物线方程为y2=2px(p>0),
将(2,-4)的横、纵坐标代入得p=4,
故所求方程为y2=8x.题型一题型二题型三抛物线定义的应用
【例2】过抛物线x=4y2的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=5,求线段AB的长.题型一题型二题型三题型一题型二题型三根据抛物线的方程求焦点坐标和准线方程
【例3】已知抛物线的方程如下,分别求其焦点坐标和准线方程:
(1)y2=8x;(2)x=ay2(a>0).
分析:先将所给方程化为标准形式,求出p,再结合图形,求出焦点坐标与准线方程.
解:(1)因为2p=8,所以p=4,开口向右,焦点坐标为(2,0),准线方程为x=-2.12345答案:B 12345答案:B 123453.以抛物线y2=4x的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )
A.x2+y2+2x=0
B.x2+y2+x=0
C.x2+y2-x=0
D.x2+y2-2x=0
解析:因为抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),所以满足题意的圆的方程为(x-1)2+y2=1,整理得x2+y2-2x=0,故选D.
答案:D123454.抛物线y2=2x上的两点A,B到焦点的距离之和是5,则线段AB的中点到y轴的距离是 .?123455.已知点P(1,-2)在抛物线y2=2px(p>0)上,求点P到抛物线焦点的距离.
分析:由点P在抛物线上可求得p值,再结合定义求得点P到焦点的距离.
解:因为点P在抛物线上,
所以(-2)2=2p·1,即p=2.课件19张PPT。2.4.2 抛物线的几何性质1.掌握抛物线的几何性质.
2.能根据这些几何性质解决一些简单问题.1.抛物线y2=2px(p>0)的几何性质
(1)范围.
因为p>0,所以这条抛物线上任意一点M的坐标(x,y)满足不等式x≥0,抛物线在y轴的右侧,当x的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸,它开口向右.
(2)对称性.
关于x轴对称,抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.
(3)顶点.
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点,这条抛物线的顶点为坐标原点.
(4)离心率.
抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用e表示,由抛物线的定义知e=1.【做一做1】已知抛物线的方程为y2=16x,则抛物线的准线方程为( )
A.x=-2 B.x=4
C.x=8 D.x=-4解析:∵2p=16,
?
故抛物线的准线方程为x=-4.
故选D.
答案:D【做一做2】已知抛物线y2=4x上一点A的横坐标为4,则点A与抛物线焦点的距离为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
解析:因为抛物线准线为x=-1,且点A的横坐标为4,
所以点A到准线的距离为5.
又因为点A到准线的距离与到焦点的距离相等,
所以点A到焦点的距离为5.
答案:D2.在直角坐标平面上,顶点在原点、对称轴与坐标轴重合的抛物线有四种位置情况,因此抛物线的方程相应地有四种形式,它们都叫做抛物线的标准方程.3.四种标准形式的抛物线几何性质的比较四种形式的抛物线标准方程的对比
剖析:(1)共同点:①原点在抛物线上;
②焦点在坐标轴上;(2)不同点:①焦点在x轴上时,方程的右端为±2px,左端为y2;焦点在y轴上时,方程的右端为±2py,左端为x2;
②开口方向与x轴(或y轴)的正半轴方向相同,焦点在x轴(或y轴)正半轴上,方程右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴方向相同,焦点在x轴(或y轴)负半轴上,方程右端取负号.题型一题型二题型三抛物线中的最值问题
【例1】 若点A的坐标为(3,2),F为抛物线y2=2x的焦点,点P在该抛物线上移动,为使得|PA|+|PF|取得最小值,则点P的坐标为 .
解析:由抛物线定义,知|PF|等于点P到抛物线准线的距离|PP'|,如图所示.
?
因此,当且仅当点P,A,P'在同一条直线上时,有|PF|+|PA|=|PP'|+|PA|最小,
此时点P的纵坐标等于点A的纵坐标,即y=2,故此时点P的坐标为(2,2).
答案:(2,2)题型一题型二题型三反思求抛物线中的最值时,应从分析图形的性质入手,将三角形的性质与抛物线的定义、性质相结合,从而使问题简单化.题型一题型二题型三求抛物线的标准方程
【例2】 分别求适合下列条件的抛物线的标准方程:
(1)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,且过点A(2,3);反思1.抛物线的标准方程有四种形式,主要看其焦点位置或开口方向.
2.抛物线的标准方程中只有一个参数.题型一题型二题型三抛物线几何性质的应用
【例3】 已知抛物线的标准方程如下,分别求其焦点坐标和准线方程:
(1)x2=4y;(2)2y2+5x=0.
分析:先根据抛物线的标准方程求出参数p,再根据开口方向,写出焦点坐标和准线方程.
解:(1)由抛物线的标准方程,知抛物线的焦点在y轴正半轴上,开口向上,且2p=4.
所以p=2.
故焦点坐标为(0,1),准线方程为y=-1.题型一题型二题型三反思由抛物线的标准方程求其焦点坐标和准线方程,首先判断抛物线的开口方向,求出参数p,然后再求解.123451.已知抛物线的准线方程为x=-7,则抛物线的标准方程为( )
A.x2=-28y B.y2=28x
C.y2=-28x D.x2=28y1234512345123454.若抛物线y2=mx(m≠0)的准线与直线x=1的距离为3,则抛物线的方程为 .?123455.已知抛物线的焦点在x轴的正半轴上,焦点到准线的距离是3,则抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程分别为
、 、 .?课件25张PPT。2.5 直线与圆锥曲线1.能用坐标法解决直线与圆锥曲线的位置关系问题和实际问题.
2.掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断,弦长问题,中点弦及相关问题.1.直线与圆锥曲线的位置关系
(1)从几何角度看,可分为三类:无公共点,仅有一个公共点及有两个相异的公共点.
(2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得方程解的情况来判断.设直线l的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为f(x,y)=0.如消去y后得ax2+bx+c=0.
①若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行或重合;当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行(或重合).
②若a≠0,设Δ=b2-4ac.
当Δ>0时,直线和圆锥曲线相交于不同的两点;
当Δ=0时,直线和圆锥曲线相切于一点;
当Δ<0时,直线和圆锥曲线没有公共点.名师点拨如果直线和圆锥曲线只有一个公共点,那么它们不一定相切.例如,当直线和双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行时,它们只有一个公共点,它们是相交的位置关系,而不是相切.A.相交 B.相切
C.相离 D.不确定
解析:由于直线y=kx-k+1=k(x-1)+1过定点(1,1),又(1,1)在椭圆内,故直线与椭圆必相交.
答案:A(2)当斜率k不存在时,可求出交点坐标,直接运算(利用轴上两点间距离公式).【做一做2】已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线C交于A,B两点.若D(2,2)为AB的中点,则抛物线C的方程为 .?1.解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时,有哪些常用的数学思想方法?
剖析:(1)方程的思想.笛卡儿在创立解析几何时,他大胆设想:所有的数学问题都可以化为方程(组)问题,然后通过解方程(组)得到数学问题的解决,因此,直线和圆锥曲线位置关系的判定,直线和圆锥曲线的交点,直线和圆锥曲线相关的弦长等,都可以通过方程(组)来解决.
(2)数形结合的思想.由于几何研究的对象是图形,而图形的直观性会帮助我们发现问题,启发我们的思路,得到解决问题的有效方法,所以在解决本类题目时,最好先画出草图,注意观察、分析图形的特征,将形与数结合起来.
(3)设而不求与整体代入的技巧与方法.解析几何的运算具有明确的几何意义,是带有几何特色的代数计算,在处理圆锥曲线中与“中点弦”有关问题时,常用中点公式、根与系数的关系整体代入使问题得到解决.2.在直线与圆锥曲线的位置关系中,常见问题的处理方法有哪些?
剖析:(1)在解析几何中,直线与曲线的位置关系可以转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论,但当直线与曲线只有一个交点时,须除去以下两种情况,此直线才是曲线的切线:一是直线与抛物线的对称轴平行;二是直线与双曲线的渐近线平行.
(2)运用圆锥曲线弦长公式时,注意结合中点坐标公式和根与系数的关系求解.题型一题型二题型三直线与圆锥曲线的位置关系
【例1】 已知曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1.
(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;题型一题型二题型三题型一题型二题型三反思一般地,在讨论直线和圆锥曲线的位置关系时,先联立方程组,再消去x(或y),得到关于y(或x)的方程.若是直线与圆或椭圆,则无需讨论二次项系数是否为零(一定不为零),直接考虑Δ的情况即可;若是直线与双曲线或抛物线,则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况,这是要特别注意的问题.另外注意直线的斜率不存在的情形.题型一题型二题型三点关于直线对称的问题 分析:先利用对称性,设出点A,B及AB中点的坐标,再利用点A,B在椭圆上,寻找中点的横、纵坐标的关系,最后确定m的取值范围.
解:设椭圆上两点A(x0-s,y0-t),B(x0+s,y0+t),AB的中点为C'(x0,y0).
因为点A,B关于直线y=4x+m对称,题型一题型二题型三 反思解决点关于直线对称,主要利用“点与对称点所在的直线和对称轴所在直线的斜率之积为-1”和“点与对称点的中点在对称轴上”两个条件.题型一题型二题型三易错题型 题型一题型二题型三题型一题型二题型三12345答案:A 123452.直线y=2k与曲线9k2x2+y2=18k2|x|(k∈R,k≠0)的公共点的个数是( )
A.-1 B.2
C.3 D.4
解析:由题意联立方程组答案:D 12345123454.如图所示,过点P(0,2)的直线和抛物线y2=8x交于A,B两点,若线段AB的中点M在直线x=2上,则弦AB的长为 .?123451234512345课件19张PPT。3.1.1 空间向量的线性运算1.理解空间向量的概念,掌握空间向量的几何表示法和字母表示法.
2.会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律.
3.能运用空间向量的运算及运算律解决简单的立体几何中的问题.1.空间向量的概念
(1)向量:在空间中,具有大小和方向的量.
(2)相等的向量(同一向量):同向且等长的有向线段表示的向量.(4)向量a的长度或模:表示向量a的有向线段的长度,记作|a|.
(5)向量的基线:表示向量的有向线段所在的直线.
(6)共线向量或平行向量:基线互相平行或重合的空间向量,规定:零向量与任意向量共线.答案:3 2.空间向量的加法、减法和数乘运算 (3)数乘:|λa|=|λ||a|,
当λ>0时,λa与a方向相同;
当λ<0时,λa与a方向相反;
当λ=0时,λa为零向量.
(4)线性运算律
①加法交换律:a+b=b+a;
②加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c);
③分配律:(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb.名师点拨1.平面向量求和的三角形法则和平行四边形法则,对空间向量也同样成立.
2.三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量.1.如何理解空间向量的有关概念?
剖析:(1)空间向量的概念及表示与平面向量一样.
(2)零向量的方向是任意的,而不是零向量没有方向.
(3)向量只是用有向线段来表示,但向量不是有向线段.
(4)共线向量或平行向量,其基线平行或重合均可.共线向量的起点和终点未必共线,平行向量的基线未必平行(可能重合),应特别注意零向量与任意向量共线.2.空间向量加法的运算要注意什么?
剖析:(1)首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向最后一个向量的终点的向量.因此,求空间若干个向量之和时,可通过平移使它们转化为首尾相接的向量.(2)首尾相接的若干个向量若构成一个封闭图形,则它们的和为零向量.(3)平面中两个向量相加的平行四边形法则及三角形法则在空间中仍然成立.题型一题型二题型三空间向量的概念
【例1】 下列命题是真命题的序号是 .?题型一题型二题型三反思注意空间向量概念的理解,注意区别向量与向量的模以及向量的手写体与印刷体.题型一题型二题型三空间向量的线性运算
【例2】 已知在平行六面体ABCD - A'B'C'D'中,M为CC'的中点(如图),化简下列向量表达式,并在图中表示化简结果.题型一题型二题型三反思注意结合图形使用相等向量转化. 题型一题型二题型三化简向量表达式 反思空间向量的减法运算注意使用相反向量,无图形的空间向量的加减法运算注意使用交换律和结合律,同时注意运算结果是0,而不是0.12341.“两个向量共线”是“两个向量相等”的 条件.?
答案:必要不充分1234123412344.如图,在平行六面体ABCD - A1B1C1D1中化简下列各式:12345课件21张PPT。3.1.2 空间向量的基本定理1.了解共线或平行向量的概念,向量共面的意义,掌握它们的表示方法.
2.了解空间向量共线、共面和分解定理,会选择适当基底表示空间向量.
3.会用本节知识解决简单的立体几何中的问题.1.共线向量定理
两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在唯一的实数x,使a=xb.
名师点拨对于空间任意两个向量a,b(b≠0),共线向量定理可分解为以下两个命题:(1)a∥b?存在唯一实数x使a=xb;(2)存在唯一实数x,使a=xb?a∥b.
【做一做1】若m=a+b,n=-3b-3a,则m与n共线吗?2.共面向量定理
(1)向量a平行于平面:向量a的基线平行于平面α或在平面α内,则称向量a平行于平面α,记作a∥α.
(2)共面向量定义:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
【做一做2-1】空间中任意三个向量一定是共面向量吗?请举例说明.(3)共面向量定理.
如果两个向量a,b不共线,则向量c与向量a,b共面的充要条件是:存在唯一的一对实数x,y,使c=xa+yb.
(4)三个向量共面,又称这三个向量线性相关.
名师点拨1.a∥α是指a的基线在平面α内或平行于平面α.
2.共面向量是指这些向量的基线平行于同一平面或在同一平面内,共面向量的基线可能相交、平行或异面.
3.共面向量的定理给出了平面的向量表示,说明平面内任意一个向量可以由两个不共线的平面向量表示出来,它既是判断三个向量是否共面的依据,又是已知共面条件的另一种形式,可以借已知共面条件化为向量式,以便于向量的运算.
4.利用共面向量定理可证明点线共面、线面平行等.【做一做2-2】若向量a,b不共线,p=2b,m=a+b,n=a-b,则p,m,n共面吗?
分析:利用向量共面的条件,存在唯一的一对实数x=1,y=-1,使p=xm+yn.
解:因为p=m-n,所以p,m,n共面.3.空间向量分解定理
如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使p=xa+yb+zc.这时不共面的三个向量a,b,c叫做空间的一个基底,记作{a,b,c}.
【做一做3】已知空间的一个基底{a,b,c},m=a+b,n=a-b,则a,b,c中能与m,n构成空间的一个基底的是 .?
答案:c
名师点拨1.用空间三个不共面的已知向量组{a,b,c}可以线性表示出空间中的任意一个向量,而且表示的结果是唯一的.
2.空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底.
3.因为0与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,所以三个向量不共面,就隐含它们都不是0.
4.一个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念.1.如何理解共线向量定理与共面向量定理?
剖析:(1)共线向量定理中注意b≠0,否则当b=0时,若a≠0,显然a∥b,但是不存在唯一的实数x,使a=xb,从而“存在唯一的实数x,使a=xb”不再是a∥b的充要条件.
(2)向量与平面平行,向量所在的直线可以在平面内,而直线与平面平行时两者是没有公共点的.
(3)共面向量不一定是在同一平面内的,但可以平移到同一平面内.
(4)空间中任意两个向量一定是共面向量.零向量与任意向量共面.2.如何理解空间向量分解定理?
剖析:(1)只有三个向量a,b,c不共面,其线性组合xa+yb+zc才能生成所有的空间向量,否则,若向量a,b,c共面,由数乘向量和向量加法的几何意义,可知其线性组合xa+yb+zc表示的只是与a,b,c共面的向量,而不是空间的任意向量.
(2)零向量与任意向量共面,所以零向量不能作为基向量.
(3)注意区分基底与基向量,一个基底{a,b,c}中的a,b,c都叫基向量.
(4)任意三个不共面向量都可构成空间的一个基底;任意一个空间的基底都可生成空间的所有向量;每一个空间向量都可被分解到任意一个基底中基向量的三个不同方向;同一个向量在同一个基底下的分解式是唯一的.题型一题型二题型三空间向量的共线共面概念
【例1】 下列命题正确的是( )
A.若a与b共线,b与c共线,则a与c共线
B.向量a,b,c共面即它们所在的直线共面
C.若向量a,b是非零向量,则a+b可成为空间向量的一个基向量
D.若存在唯一的一对实数x,y,使p=xa+yb,那么向量p与向量a,b共面
解析:对于选项A,当b=0时,a与b共线,b与c共线,但a与c未必共线;
对于选项B,直线共面是指直线在同一平面内,而向量共面其基线可平行于平面α而不在平面α内,即其基线可以是异面直线;
对于选项C,当a=-b时,a+b=0,不能成为空间向量的一个基向量;
选项D符合共面向量定理.特别地,若向量a,b共线,则p与向量a,b共线,仍有p与向量a,b共面.
答案:D题型一题型二题型三反思注意理解空间向量共线、共面的意义,重视零向量与任意向量共线、共面,弄清构成空间向量的一个基底的条件.题型一题型二题型三判定空间向量共面 分析:在图中找封闭的四边形,建立向量相等的关系式.题型一题型二题型三 反思判断三个(或三个以上)向量共面,主要使用空间向量共面定理,即其中一个向量能用另两个向量线性表示即可.通常应结合图形,选择其中某两个向量作为基向量,其他向量都用这两个基向量线性表示.当然,必要时也可选择目标向量以外的一组基底,通过待定系数法,建立这三个向量的一个线性关系式.题型一题型二题型三空间向量分解定理 题型一题型二题型三题型一题型二题型三反思要求某向量m在给定基底{a,b,c}下的分解式,就是要找到一组有序实数x,y,z,使m=xa+yb+zc.一般是寻找一个包含目标向量的封闭多边形,通过向量的线性运算,先建立向量的关系式,将目标向量初步表示出来,再逐步将各个向量用给定的基向量a,b,c来表示即可.123451.已知向量a,b不共线,p=ka+b,q=a-k2b,若p,q共线,则k的值是( )
A.0 B.1
C.-1 D.2
解析:若p,q共线,则存在唯一的实数x,使p=xq,即ka+b=xa-xk2b,答案:C 123452.当|a|=|b|≠0,且a,b不共线时,a+b与a-b的关系是 ( )
A.共面 B.不共面
C.共线 D.无法确定
答案:A12345答案:A 12345123455.已知a=i+k-2j,b=-i+2k+3j,c=-3i+7j,证明这三个向量共面.
证明:∵a=i+k-2j,b=-i+2k+3j,c=-3i+7j,
∴c=-2a+b,
故a,b,c这三个向量共面.课件20张PPT。3.1.3 两个向量的数量积1.理解空间向量夹角的概念及表示方法.
2.理解两个向量的数量积的概念.
3.会利用数量积的定义及运算律,计算两个向量的数量积及向量的模.1.两个向量的夹角
(1)定义及表示:
已知两个非零向量a,b,在空间中任取一点O,
则∠AOB叫做向量a与b的夹角,记作;
(2)范围和性质:
规定0≤≤π,显然有=;
如果=90°,则称a与b互相垂直,记作a⊥b.
【做一做1】已知向量a,b不共线且模相等,m=a+b,n=a-b,则= .?2.异面直线
(1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线;
(2)两条异面直线所成的角:把异面直线平移到一个平面内,这时两条直线的夹角(锐角或直角)叫做两条异面直线所成的角.如果所成的角是直角,则称两条异面直线互相垂直.
【做一做2】 在正四面体ABCD中,AB与CD的位置关系是( )
A.平行 B.垂直但不相交
C.相交但不垂直 D.相交且垂直
答案:B
名师点拨对异面直线定义的理解需注意的问题:(1)“不在同一平面内的两条直线”是指不在任意一个平面内的两条直线,异面直线既不相交,也不平行,要注意把握异面直线的不共面性.(2)不能把异面直线误解为:分别在不同平面内的两条直线为异面直线.3.两个向量的数量积
已知空间两个向量a,b,则|a||b|cos叫做两个空间向量a,b的数量积(或内积),记作a·b,即,a·b=|a||b|cos.
【做一做3】已知|a|=2,|b|=3,=60°,则a·b= .?
答案:34.空间向量数量积的性质
(1)a·e=|a|cos(e为单位向量);
(2)a⊥b?a·b=0;
(3)|a|2=a·a;
(4)|a·b|≤|a||b|.
名师点拨两个向量的数量积的性质的作用:
性质(1)可以帮助我们求两个向量的夹角.
性质(2)用于判断空间两个向量是否垂直.
性质(3)主要用于计算向量的模.
性质(4)主要用于不等式的证明.5.两个空间向量的数量积满足的运算律
(1)(λa)·b=λ(a·b);
(2)a·b=b·a(交换律);
(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
【做一做4】下列各式不正确的是 .(填序号)?②a·b=0?a=0或b=0;
③|a·b|=|a||b|;
④a·(b+c)=(b+c)·a.解析:①
②∵a·b=0?a⊥b,∴命题错误;
③∵|a·b|=|a||b||cos|,∴命题错误;
④正确.
答案:①②③1.如何理解空间向量的夹角?
剖析:(1)只有两个非零向量才可以定义夹角,求向量的夹角注意把向量平移到同一起点;
(2)向量夹角的范围是[0,π],向量同向时夹角为0,向量反向时夹角为π;
(3)注意零向量与任意向量平行,零向量与任意向量垂直.
2.如何理解异面直线?
剖析:(1)两直线不同在某一个平面不一定是异面直线,异面直线是不同在任何一个平面内,异面直线既不平行也不相交;(3)在空间中两直线垂直但未必相交. 3.如何理解空间向量的数量积?
剖析:(1)空间向量的数量积是平面向量数量积的推广;
(2)空间向量的数量积的运算符号是“·”,不能省略,更不能写成“×”;
(3)空间向量的数量积(内积)是一个实数而不是一个向量,它有别于数乘向量;
(4)空间向量的数量积不满足结合律,即a·(b·c)≠(a·b)·c;(6)a⊥b的充要条件是a·b=0,这是用向量证明空间中垂直关系的根本方法.题型一题型二题型三求空间向量的夹角
【例1】 如图,在正方体ABCD - A'B'C'D'中,求下列各向量的夹角:题型一题型二题型三题型一题型二题型三求空间向量的数量积 题型一题型二题型三反思求两个向量m,n的数量积一般分为两个层次:一是结合图形确定向量m,n的模及的大小,直接利用空间向量数量积的定义来求,此种情况下要注意向量夹角的正确性;二是选定一组基向量表示向量m,n,从而把m,n的数量积通过运算转化为基向量之间的数量积来求.题型一题型二题型三空间向量的数量积的应用
【例3】 如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,求B,D间的距离.题型一题型二题型三反思通过向量数量积的性质,可证明空间中的垂直关系,求空间中两点间的距离,求空间中角的度数.12345解析:利用|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)可得|a-b|2=484,故|a-b|=22.
答案:A12345A.60° B.30°
C.45° D.90°
答案:A1234512345123455.根据下列等式,求.
(1)cos=1;
(2)cos=0;
(3)a·b=-|a||b|.
解:(1)∵cos=1,∴=0°;
(2)∵cos=0,∴=90°;
(3)∵a·b=-|a||b|,∴=180°. 课件21张PPT。3.1.4 空间向量的直角坐标运算1.了解空间向量坐标的定义.
2.掌握空间向量的坐标运算.
3.会利用向量的坐标关系,判定两个向量共线或垂直.
4.会计算向量的长度及两向量的夹角.1.空间向量的坐标表示
(1)单位正交基底.
建立空间直角坐标系Oxyz,分别沿x轴,y轴,z轴的正方向引单位向量i,j,k,这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i,j,k},这个基底叫做单位正交基底.
单位向量i,j,k都叫做坐标向量.
【做一做1-1】 设{e1,e2,e3}是空间向量的一个单位正交基底,则|e1|+|e2|+|e3|= .?
答案:3(2)空间向量的坐标表示.
在空间直角坐标系中,已知任一向量a,根据空间向量分解定理,存在唯一实数组(a1,a2,a3),使a=a1i+a2j+a3k,a1i,a2j,a3k分别为向量a在i,j,k方向上的分向量,有序实数组(a1,a2,a3)叫做向量a在此直角坐标系中的坐标.上式可简记作a=(a1,a2,a3).
【做一做1-2】 向量0的坐标为 .?
答案:(0,0,0)
名师点拨向量的坐标与点的坐标表示方法不同,如
向量a=(x,y,z),点A(x,y,z).2.空间向量的直角坐标运算
(1)设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则容易得到
a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);
a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3);
λa=(λa1,λa2,λa3);
a·b=a1b1+a2b2+a3b3.
(2)向量在空间直角坐标系中的坐标的求法:设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),【做一做2】 设a=(1,2,3),b=(1,1,1),则2a+b= .?
答案:(3,5,7)3.空间向量平行和垂直的条件
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
(1)a∥b(b≠0)?a=λb?a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3,(2)a⊥b?a·b=0?a1b1+a2b2+a3b3=0.
【做一做3】 设a=(1,2,3),b=(1,-1,x),若a⊥b,则x= .?【做一做4】 向量a=(2,-1,-1),b=(1,-1,0)的夹角余弦值为 ,名师点拨1.空间向量的坐标是空间向量的一种形式.在坐标形式下的模长公式、夹角公式、向量平行和垂直的条件与在普通基底下相同,仅仅是形式不同;
2.空间向量在坐标形式下同样可以用来求距离(长度)、夹角、证明垂直和平行关系等.如何理解空间向量的坐标及其运算?
剖析:(1)注意空间向量的坐标与向量终点的坐标的区别与联系.向量的坐标是其终点与起点坐标的差量.只有以原点为起点的向量,向量的坐标才等于向量终点的坐标.
(2)空间向量的坐标运算和平面向量基本一致,只是多了一个竖坐标.
(3)坐标形式下向量的计算就是指坐标的运算.题型一题型二题型三空间向量的坐标运算
【例1】 设向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8),计算3a-2b,(a+b)·(a-b).
分析:利用空间向量的坐标运算先求3a,2b,a+b,a-b,再进行相关运算.
解:3a=(9,15,-12),2b=(4,2,16),3a-2b=(9,15,-12)-(4,2,16)=(9-4,15-2,-12-16)=(5,13,-28);a+b=(3,5,-4)+(2,1,8)=(3+2,5+1,-4+8)=(5,6,4);a-b=(3,5,-4)-(2,1,8)=(3-2,5-1,-4-8)=(1,4,-12),
(a+b)·(a-b)=(5,6,4)·(1,4,-12)=5×1+6×4+4×(-12)=5+24-48=-19.
反思空间向量的坐标运算首先进行数乘运算,然后再进行加减运算,最后进行数量积运算,先算括号内的后算括号外的.题型一题型二题型三空间向量的平行与垂直问题
【例2】 设向量a=(1,x,1-x),b=(1-x2,-3x,x+1),求满足下列条件时,实数x的值.
(1)a∥b;(2)a⊥b.
分析:解答本题可先由a∥b,a⊥b分别建立关于x的方程,再解方程即可.
解:(1)①当x=0时,a=(1,0,1),b=(1,0,1),a=b,满足a∥b.
②当x=1时,a=(1,1,0),b=(0,-3,2),不满足a∥b,
∴x≠1.题型一题型二题型三反思要熟练掌握向量平行和垂直的条件,借助此条件可将立体几何中的平行垂直问题转化为向量的坐标运算.在应用坐标形式下的平行条件时,一定注意结论成立的前提条件,在条件不明确时要分类讨论.题型一题型二题型三空间向量的夹角及长度公式的应用 题型一题型二题型三题型一题型二题型三反思运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的基本思路:
(1)建立空间直角坐标系;
(2)求出相关点的坐标和向量坐标;
(3)结合公式进行计算;
(4)将计算的向量结果转化为几何结论.123456123452.下面各组向量不平行的是( )
A.a=(1,0,0),b=(-3,0,0)
B.c=(0,1,0),d=(1,0,1)
C.e=(0,1,-1),f=(0,-1,1)
D.g=(1,0,0),h=(0,0,0)
解析:A项中b=-3a,a∥b,C项中f=-e,f∥e,D项中h=0,
∴h∥g.
答案:B6123453.已知a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),且(c-a)·2b=-2,则x的值为( )
A.3 B.4 C.2 D.1
解析:∵(c-a)·2b=(0,0,1-x)·(2,4,2)=-2,
∴2(1-x)=-2,x=2.
答案:C61234561234561234566.已知向量a=(-2,2,0),b=(-2,0,2),求向量n使n⊥a,且n⊥b.
解:设n=(x,y,z),
则n·a=(x,y,z)·(-2,2,0)=-2x+2y=0,
n·b=(x,y,z)·(-2,0,2)=-2x+2z=0.于是向量n=(x,x,x)=x(1,1,1),x∈R. 课件36张PPT。3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程 3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示1.理解直线的方向向量与平面的法向量.
2.会用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系.
3.会利用向量运算证明两直线垂直或求两直线所成的角.
4.理解并会应用三垂线定理及其逆定理.1.用向量表示直线或点在直线上的位置
(1)直线的方向向量.
给定一个定点A和一个向量a,再任给一个实数t,以A为起点作 ,这时点P的位置被t的值完全确定.当t在实数集R中取遍所有值时,点P的轨迹是通过点A且平行于向量a的一条直线l,向量a称为该直线的方向向量.
名师点拨一条直线有无数个方向向量.【做一做1】 若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向量为( )
A.(1,2,3) B.(1,3,2)
C.(2,1,3) D.(3,2,1)
答案:A2.用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行
(1)直线与直线平行
设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1∥l2或l1与l2重合?v1∥v2.
(2)直线与平面平行
已知两个不共线向量v1,v2与平面α共面,一条直线l的一个方向向量为v,则l∥α或l在α内?存在两个实数x,y,使v=xv1+yv2.
(3)平面与平面平行
已知两个不共线的向量v1,v2与平面α共面,则α∥β或α与β重合?v1∥β且v2∥β.
【做一做2】 l1的方向向量v1=(1,3,3),l2的方向向量v2=(λ,6,6),若l1∥l2,则λ= .?
答案:23.用向量运算证明两直线垂直或求两直线所成的角
(1)设两条直线所成的角为θ,则直线方向向量间的夹角与θ 相等或互补;
(2)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,直线l1与l2的夹角为θ,则
l1⊥l2?v1⊥v2,cos θ=|cos|.
【做一做3】 设直线l1和l2的方向向量的夹角为120°,则l1和l2这两条直线所成的角为 .?
答案:60°
名师点拨两条直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角求得,但二者不完全相等,当两方向向量的夹角是钝角时,应取其补角作为两直线所成的角.4.法向量的概念
已知平面α,如果向量n的基线与平面α垂直,则向量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交.
【做一做4】 若n=(2,2,1)是平面α的一个法向量,下列向量中能作平面α的法向量的是( )答案:A 解:不一定. 6.利用法向量判断平面与平面的平行与垂直
设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则容易得到
平面α∥平面β或α与β重合?n1∥n2;
平面α⊥平面β?n1⊥n2?n1·n2=0.
【做一做6】 已知平面α,β的法向量分别是a=(4,0,-2),b=(1,0,2),则平面α,β的位置关系是( )
A.平行 B.垂直
C.相交不垂直 D.无法判断
答案:B名师点拨1.用空间向量的方法证明立体几何中的平行或垂直问题,主要运用了直线的方向向量和平面的法向量,同时也要借助空间中已有的一些关于平行或垂直的定理.
2.用向量方法证明平行或垂直问题的步骤:
(1)建立空间图形与空间向量之间的关系(可以建立空间直角坐标系,也可以不建立).
(2)通过向量运算研究垂直关系问题.
(3)根据运算结果解释相关问题.7.三垂线定理及三垂线定理的逆定理
三垂线定理:如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,则它也和这条斜线垂直.
三垂线定理的逆定理:如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在平面内的射影垂直.
名师点拨定理中的已知直线必须是已知平面内的直线.三垂线定理与逆定理主要解决异面直线垂直问题.
【做一做7】 已知斜线b在平面α内的射影为c,且直线a⊥c,则a与b 垂直.(填“一定”或“不一定”)?
答案:不一定(因为a不一定在平面α内)2.如何用向量的方法证明空间中的平行关系?
剖析:空间中的平行关系本质上是线线平行,根据共线向量定理,只需证明直线的方向向量a∥b,即a=λb(λ∈R).此外,证明线面平行也可用共面向量定理,即只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可;证明面面平行也可用证明平面的法向量平行的方法.3.如何理解平面的法向量?
剖析:平面的法向量并不唯一,并且平面的法向量垂直于平面内的所有向量.
设n1,n2分别是平面α,β的法向量:
平面α∥平面β或α与β重合?n1∥n2;
平面α⊥平面β?n1⊥n2?n1·n2=0.题型一题型二题型三题型四题型五利用向量方法判定线、面的位置关系
【例1】 (1)设a,b分别是直线l1,l2的方向向量,根据下列条件判断l1,l2的位置关系:
①a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3);
②a=(5,0,2),b=(0,4,0).
(2)设u,v分别是平面α,β的法向量,判断α,β的位置关系:②u=(0,3,0),v=(0,-5,0).
(3)设u是α的法向量,a是直线l的方向向量,判断α,l的位置关系:
①u=(2,2,-1),a=(-3,4,2);
②u=(0,2,-3),a=(0,-8,12).题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五反思解答这类问题的关键:一是要清楚直线的方向向量,平面的法向量和直线、平面的位置关系之间的内在联系;二是熟练掌握判断向量共线、垂直的方法.题型一题型二题型三题型四题型五平面的法向量的求法
【例2】 已知四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1,求平面SCD和平面SAB的法向量.
分析:解答本题可先建立空间直角坐标系,写出每个平面内不共线的两个向量的坐标,再利用待定系数法求出平面的法向量.题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五反思平面的法向量有无数个,一般用待定系数法解一个三元一次方程组,求得其中的一个即可.构造方程组时,注意所选平面内的两个向量是不共线的,赋值时保证所求法向量为非零向量.利用向量法证明空间中的平行关系
【例3】 在长方体ABCD - A1B1C1D1中,AA1=2AB=2BC,E,F,E1分别是棱AA1,BB1,A1B1的中点.
求证:CE∥平面C1E1F.题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五反思解决此类题目,能建立坐标系的先建立坐标系,找出相应直线的方向向量和平面的法向量,并确定它们对应的坐标,进行求解、证明;不方便建立坐标系的可以用基向量法.题型一题型二题型三题型四题型五向量法证明线线垂直、线面垂直
【例4】 如图,在四棱锥P - ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,
AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.
求证:(1)AE⊥CD;
(2)PD⊥平面ABE.题型一题型二题型三题型四题型五证明:(1)∵AB,AD,AP两两垂直,
∴建立如图所示的空间直角坐标系.
设PA=AB=BC=1,则P(0,0,1).
∵∠ABC=60°,
∴△ABC为正三角形.题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五反思1.证明线线垂直一般转化为证明直线上的向量的数量积为零.
2.证明线面垂直有两种方法.
一是用线面垂直的判定定理证明;
二是通过证明直线上的向量与平面的法向量平行来证明.题型一题型二题型三题型四题型五向量法证明面面垂直
【例5】 在四面体ABCD中,AB⊥平面BCD,BC=CD,
∠BCD=90°,∠ADB=30°,E,F分别是AC,AD的中点,求证:平面BEF⊥平面ABC.题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五反思证明面面垂直的传统方法是转化为线面垂直、线线垂直,另一种方法是证明两个平面的法向量垂直.应用后一种方法的关键是:(1)建立适当的空间直角坐标系;(2)求出平面的一个法向量;(3)判断两个法向量的关系;(4)由法向量的关系转化为平面关系.123451.两条不重合的直线l1和l2的方向向量分别为v1=(1,0,-1),v2=(-2,0,2),则l1与l2的位置关系是 ( )
A.平行 B.相交 C.垂直 D.不确定
答案:A6123452.已知动点P的竖坐标为0,则动点P的轨迹是( )
A.平面
B.直线
C.不是平面也不是直线
D.以上都不对
解析:点P在坐标平面xOy内.
答案:A6123456123454.已知点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的单位法向量的坐标为 .?6123455.已知u=(-2,2,5),v=(6,-4,4)分别是平面α,β的法向量,则α与β的位置关系是 .?
解析:由u·v=(-2)×6+2×(-4)+5×4=0可得α⊥β.
答案:垂直6123456课件26张PPT。3.2.3 直线与平面的夹角 3.2.4 二面角及其度量1.理解斜线和平面所成角的定义,体会夹角定义的唯一性、合理性.
2.会求直线与平面所成的角.
3.掌握二面角的概念,二面角的平面角的定义,会找一些简单图形中的二面角的平面角.
4.掌握求二面角大小的基本方法.1.直线与平面的夹角
(1)如果一条直线与一个平面垂直,我们规定这条直线与平面的夹角为90°;
(2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内,我们规定这条直线与平面的夹角为0°;
(3)斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角);
(4)直线与平面的夹角的范围是[0°,90°].
【做一做1】 已知直线l的一个方向向量与平面α的法向量的夹角为135°,则直线l与平面α的夹角为( )
A.135° B.45° C.75° D.以上均错
解析:因为直线与平面的夹角的范围是[0°,90°],所以直线l与平面α的夹角为180°-135°=45°,90°-45°=45°.
答案:B2.最小角定理
(1)线线角、线面角的关系式:
cos θ=cos θ1cos θ2,?
如图,θ是OA与OM所成的角,
θ1是OA与OB所成的角,
θ2是OB与OM所成的角.
(2)最小角定理:
斜线和它在平面内的射影所成的角,是斜线和这个平面内 所有直线所成角中最小的角.
【做一做2】 已知一条直线与平面的夹角为30°,则它和这个平面内所有直线所成角中最小的角为( )
A.30° B.60° C.90° D.150°
答案:A3.二面角的定义及表示方法
(1)平面内的一条直线把平面分为两部分,其中的每一部分都叫做半平面.
(2)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角;这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面.棱为l,两个面分别为α,β的二面角,记作α - l - β.若A∈α,B∈β,二面角也可以记作 A - l - B.?
(3)二面角的平面角
在二面角α - l - β的棱上任取一点O,在两半平面内分别作射线OA⊥l,OB⊥l,则∠AOB叫做二面角α - l - β的平面角.?
(4)二面角的范围是[0°,180°].
(5)平面角是直角的二面角叫做直二面角.名师点拨1.二面角是图形,它是由两个半平面和一条棱构成的图形.
2.符号α - l - β的含义是棱为l,两个面分别为α,β的二面角.
3.两个平面相交,构成四个二面角.【做一做3】 在正方体ABCD - A1B1C1D1中,二面角A - B1C - A1的平面角的正切值为( )4.设m1⊥α,m2⊥β,则角与二面角α - l - β相等或互补.
【做一做4】 若二面角的两个半平面的法向量分别为(4,2,0)和(3,-6,5),则这个二面角的余弦值是( )解析:4×3+2×(-6)+0×5=0,则二面角的两个半平面的法向量互相垂直.故这个二面角的余弦值是0.
答案:A1.如何理解直线与平面所成的角?
剖析:(1)直线与平面斜交时,直线与平面所成的角是指这条直线和它在平面内的射影所成的锐角;
(2)直线与一个平面垂直时,直线与平面的夹角为90°;
(3)一条直线与一个平面平行或在平面内时,直线与平面的夹角为0°.
2.如何用向量求线面角?
剖析:设直线l的方向向量为a,平面的法向量为n,直线与平面所成的角为θ,则sin θ=|cos剖析:二面角的平面角必须具备三个条件:
(1)二面角的平面角的顶点在二面角的棱上;
(2)二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个面内;
(3)二面角的平面角的两条边都与棱垂直,且平面角的大小与平面角在棱上的位置无关.
4.如何求二面角?
剖析:(1)作出二面角的平面角;
(2)利用法向量的夹角.题型一题型二题型三题型四用定义法求直线与平面所成的角 分析:解答本题可找出点A在平面内射影的位置,作出线面角,然后解三角形求出线面角.
解:∵OA=OB=OC=a,
∠AOB=∠AOC=60°,
∴AB=AC=a.
∵ 为等腰直角三角形.同理,△BOC也为等腰直角三角形.如图,过点A作AH⊥α于点H,连接OH,则OH为AO在平面α内的射影,∠AOH为OA与平面α所成的角.题型一题型二题型三题型四反思用定义法求直线与平面所成的角时,关键是找到斜线的射影,找射影有两种方法:(1)斜线上任一点在平面内的射影必在斜线在平面内的射影上;(2)利用已知垂直关系得出线面垂直,确定射影.题型一题型二题型三题型四用向量法求直线与平面所成的角
【例2】 在直三棱柱ABC - A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=2BC,
A1B⊥B1C.求B1C与侧面A1ABB1所成角的正弦值.
分析:因为是直三棱柱,所以本题可建立空间直角坐标系,利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角求解.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思利用向量法求斜线与平面的夹角的优势在于不用找角,只需建立适当的坐标系,用待定系数法求出平面的法向量,再用公式求解即可.但要注意法向量的正确性以及线面角与向量夹角的关系.题型一题型二题型三题型四用定义法求二面角的大小 【例3】 如图,在四面体ABCD中,AD⊥平面BCD,AD=DC=BC=a,(1)求证:平面ABC⊥平面ADC;
(2)求二面角C - AB - D的大小.
分析:(1)可利用面面垂直的判定定理证明;
(2)利用平面ABC垂直于平面ADC,作出所求二面角的平面角,然后解三角形求角.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思所谓定义法,就是作出二面角的平面角,然后通过解三角形求解.作出二面角的平面角常用的方法有:(1)找与二面角的棱垂直的平面与二面角两半平面的交线;(2)在二面角的一个面上取一点,利用三垂线定理作平面角;(3)在二面角的棱上取一点,分别在两个面内作出和棱垂直的射线.题型一题型二题型三题型四用向量法求二面角的大小
【例4】 在正方体ABCD - A1B1C1D1中,求二面角A1 - BD - C1的余弦值.
分析:本题可建立空间直角坐标系,分别求平面C1BD和平面A1BD的一个法向量,然后通过法向量的夹角的余弦值求得二面角的余弦值.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四123451.在正方体ABCD - A1B1C1D1中,O为侧面BCC1B1的中心,则AO与平面ABCD所成角的正弦值为( )解析:设BC的中点为E,则∠OAE就是AO与平面ABCD所成的角.
答案:C123452.若正三棱锥A-BCD的所有棱长都相等,则侧棱与底面所成的角的正切值是( )答案:B 123453.若BC在平面α内,斜线AB与平面α所成的角为γ,∠ABC=θ,AA'⊥平面α,垂足为A',∠A'BC=β,那么 ( )
A.cos θ=cos γ·cos β B.sin θ=sin γ·sin β
C.cos γ=cos θ·cos β D.cos β=cos γ·cos θ
答案:A123454.已知正四面体ABCD,则二面角A - BC - D的余弦值为 ( )123455.设a=(0,1,1),b=(1,0,1)分别是平面α,β的两个法向量,则锐二面角α - l - β的大小是( )
A.45° B.90°
C.60° D.120°课件18张PPT。3.2.5 距离(选学)1.理解图形F1与图形F2的距离的概念.
2.掌握四种距离的概念.
3.会解决一些简单的距离问题.1.距离的概念
一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的最小值,叫做图形与图形的距离.
名师点拨此概念中的图形不仅仅是平面图形,也包括空间图形.
【做一做1】 空间直角坐标系中,已知A(2,3,4),B(-2,1,0),C(1,1,1),则点C到AB中点的距离为( )2.点到平面的距离
一点到它在一个平面内正射影的距离,叫做点到这个平面的距离.
名师点拨求点到平面的距离时,一般是过该点作平面的垂线,也可利用等积法求解.
【做一做2】 在棱长为a的正方体ABCD - A1B1C1D1中,点A1到平面BB1D1D的距离为( )3.直线与它的平行平面的距离
一条直线上的任一点,与它平行的平面的距离,叫做直线与这个平面的距离.
名师点拨求线面距离时,注意在l上所取一点的位置,通常借助于面面垂直的性质过这一点作平面的垂线,从而转化为点到面的距离求解.
【做一做3】 已知正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为2,则BC到AB1C1D的距离为( )解析:设AB1中点为O,则BO即为BC到平面AB1C1D的距离.
答案:C4.两个平行平面的距离
(1)和两个平行平面同时垂直的直线,叫做两个平面的公垂线.
(2)公垂线夹在平行平面间的部分,叫做两个平面的公垂线段.
(3)两平行平面的公垂线段的长度,叫做两平行平面的距离.
名师点拨两平行平面的公垂线段就是在一个平面内取一点作另一个平面的垂线段,这样公垂线段的长就是点到平面的距离,所以两平行平面的距离,可转化为点到平面的距离,可以用点到平面的距离求解.
【做一做4】 已知平面α∥平面β,空间一点到α的距离是4,到平面β的距离是2,则平面α与平面β的距离是( )
A.2 B.6
C.2或6 D.以上都错
解析:这一点可能在两平面之间也可能在两平面的外侧.
答案:C如何求点到平面的距离?
剖析:如图,BO⊥平面α,垂足为O,则点B到平面α的距离就是线段BO的长度.题型一题型二求点到平面的距离 分析:直接作平面的垂线较困难,故可考虑建立平面直角坐标系求解.题型一题型二题型一题型二题型一题型二求平行平面之间的距离
【例2】 已知正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为a,求平面AB1D1与平面BDC1的距离.
解:建立空间直角坐标系如图,
则A(a,0,0),B(a,a,0),D(0,0,0),C1(0,a,a),D1(0,0,a),B1(a,a,a).题型一题型二反思求两平面之间的距离,首先要判定两平面的位置关系,然后转化为点面距离来求.123451.在棱长为a的正方体ABCD - A1B1C1D1中,M是AA1的中点,则点A1到平面MBD的距离为( )答案:D 123452.已知矩形ABCD的一边CD在平面α内,AC与α所成的角为60°,若AB=2,AD=4,则AB到α的距离为( )解析:如图,作AE⊥α于点E, 答案:A 123453.已知正四棱台ABCD - A1B1C1D1的上、下底面的边长分别为2和4,侧面与下底面所成的角为45°,则两底面间的距离为( )答案:B 123454.把边长为a的正三角形ABC沿高AD折成60°的二面角B - AD - C,则点A到直线BC的距离等于 .?123455.已知平面α内的∠MON=60°,PO是α的斜线段,PO=3,且∠POM=∠PON=45°,则点P到α的距离为 .?课件12张PPT。本 章 整 合专题一专题二专题三专题一 逻辑联结词(且、或、非)
应用 已知命题p:2∈{2,3,4},q:{矩形}∩{菱形}={正方形}.写出命题“p∨q”“p∧q”“ p”,并判断其真假.
提示:用“且”“或”“非”把命题联结起来写出新命题;先判断每个命题的真假,然后利用表Ⅰ、表Ⅱ、表Ⅲ判断由“且”“或”“非”联结成的新命题的真假.
解:p∨q:2∈{2,3,4}∨{矩形}∩{菱形}={正方形};
p∧q:2∈{2,3,4}∧{矩形}∩{菱形}={正方形};
p:2?{2,3,4},
由已知得命题p,q都是真命题,故p∨q,p∧q都是真命题, p是假命题.专题一专题二专题三专题二 充分条件、必要条件的判定及其应用
判断一个命题是另一个命题的充分条件或必要条件一般用定义法,即分别看“p?q”与“q?p”是否成立,在判断时,常从集合的角度理解,小范围可以推出大范围,大范围不能推出小范围.
应用1 指出下列各组命题中,p是q的什么条件?
(1)p:a+b=2,q:直线x+y=0与圆(x-a)2+(y-b)2=2相切;
(2)设l,m均为直线,α为平面,其中l不在α内,m?α,p:l∥α,q:l∥m.
提示:(1)先明确直线与圆相切的几何条件,圆心到直线的距离d=半径r?直线与圆相切,然后利用充分条件、必要条件的定义判定;(2)用直线与平面平行的判定定理及充分条件、必要条件的定义进行判定.专题一专题二专题三反之,若直线与圆相切,则|a+b|=2.
所以a+b=2或a+b=-2.
故p是q的充分不必要条件.
(2)因为l∥α不能推出l∥m,但l∥m?l∥α,
所以p是q的必要不充分条件.专题一专题二专题三专题一专题二专题三专题三 四种命题及其关系
1.原命题与其逆否命题等价,原命题的逆命题与原命题的否命题等价,即互为逆否命题的两个命题等价(同真或同假).
2.互为逆命题或互为否命题的两个命题不等价.专题一专题二专题三应用命题:已知a,b为实数,若关于x的不等式x2+ax+b≤0有非空解集,则a2-4b≥0,写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断这些命题的真假.
提示:先根据定义写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题,再利用一元二次不等式的解集与判别式之间的关系判断命题的真假.
解:逆命题:已知a,b为实数,若a2-4b≥0,则关于x的不等式x2+ax+b≤0有非空解集.
否命题:已知a,b为实数,若关于x的不等式x2+ax+b≤0的解集为空集,则a2-4b<0.
逆否命题:已知a,b为实数,若a2-4b<0,则关于x的不等式x2+ax+b≤0的解集为空集.
原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题.1234解析:∵a>1>0,b>1>0,
∴ab>1,
即a>1,b>1?ab>1.
答案:D12342.(重庆高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且以2为周期,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的( )
A.既不充分也不必要的条件
B.充分而不必要的条件
C.必要而不充分的条件
D.充要条件
解析:若f(x)为[0,1]上的增函数,则f(x)在[-1,0]上为减函数,根据f(x)的周期为2可推出f(x)为[3,4]上的减函数;若f(x)为[3,4]上的减函数,则f(x)在[-1,0]上也为减函数,所以f(x)在[0,1]上为增函数,故选D.
答案:D12343.(全国高考)下面四个条件中,使a>b成立的充分而不必要的条件是( )
A.a>b+1 B.a>b-1
C.a2>b2 D.a3>b3
解析:A选项中a>b+1>b,所以充分性成立,但必要性不成立,所以“a>b+1”为“a>b”成立的充分而不必要条件.
答案:A12344.(安徽高考)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )
A.所有不能被2整除的整数都是偶数
B.所有能被2整除的整数都不是偶数
C.存在一个不能被2整除的整数是偶数
D.存在一个能被2整除的整数不是偶数
解析:全称命题的否定:所有变为存在,且否定结论.
所以原命题的否定是:存在一个能被2整除的整数不是偶数.
答案:D课件26张PPT。本 章 整 合专题一专题二专题三专题一 轨迹问题
求轨迹方程是解析几何中的重点内容,也是难点之一.在高考试题中,往往处在综合题目的第一步,是解答其他步骤的基础,对整个题目的正确解决往往起到举足轻重的作用.
由于求轨迹方程时所给的条件多种多样,所以求轨迹方程的方法是灵活的,常用的方法如下:
1.直接法
当动点直接与已知条件发生联系时,在设曲线上动点的坐标为(x,y)后,可根据题设条件将自然语言运用基本公式(如两点间距离公式、点到直线距离公式、斜率公式、面积公式等)变换成表示动点坐标x,y间的关系式(等式)的数学语言,从而得到轨迹方程.这种求轨迹方程的方法称为直接法.直接法求轨迹方程经常要联系平面图形的性质.专题一专题二专题三2.定义法
若动点的轨迹的条件符合某种已知曲线的定义,如椭圆、双曲线、抛物线的定义等,则可先设出其标准方程,然后用待定系数法求解,这种求轨迹方程的方法叫定义法.利用定义法求轨迹方程时要善于分析元素的几何特征,并与常见曲线的定义相联系.
3.代入法
若轨迹上的点P(x,y)依赖于另一动点Q(x',y'),而点Q(x',y')又在某已知曲线上,则可列出关于x,y,x',y'的方程组,利用x,y表示出x',y',把x',y'代入已知曲线的方程便得到动点P的轨迹方程,此法称为代入法,也叫转移法或相关点法.
4.代换法
求弦中点的轨迹方程,常常运用“设而不求”的技巧,通过中点坐标及斜率的代换,达到求出轨迹方程的目的,这种求轨迹方程的方法叫代换法,也有人称之为“点差法”或“设而不求法”.专题一专题二专题三应用1 已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C为一个焦点作过A,B的椭圆,求椭圆的另一个焦点F的轨迹方程.
提示:先根据椭圆的定义,列出关系式,再将其坐标化即可.
解:∵|AC|=13,|BC|=15,|AB|=14,
又|AF|+|AC|=|BF|+|BC|,
∴|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2,
故点F的轨迹是以A,B为焦点,实轴长为2的双曲线的一支.
又c=7,a=1,b2=48,专题一专题二专题三应用2 已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1内切,和圆C2外切,求动圆圆心的轨迹方程.
提示:先利用两圆内切和外切求得圆心距,再利用椭圆的定义求解.
解:设动圆圆心为P(x,y),半径为r,连接PC1,PC2(如图).?
则|PC1|=13-r,|PC2|=3+r,所以|PC1|+|PC2|=16.
由椭圆的定义知:点P的轨迹是以点C1,C2为焦点的椭圆,
其中2c=8,2a=16,
所以b2=a2-c2=48,专题一专题二专题三应用3 过双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线,垂足为N.求线段QN的中点P的轨迹方程.
提示:先找到点P和点Q坐标之间的关系,再利用点Q坐标满足双曲线方程,间接求得点P的轨迹方程.
解:设动点P的坐标为(x,y),点Q的坐标为(x1,y1),则点N的坐标为(2x-x1,2y-y1).因为点N在直线x+y=2上,所以2x-x1+2y-y1=2.①专题一专题二专题三专题二 圆锥曲线的应用问题
椭圆、双曲线和抛物线是三种重要的二次曲线,灵活地运用圆锥曲线的定义和性质,可提高解题效率.专题一专题二专题三解析:如图所示,延长垂线F1Q交F2P的延长线于点A,则△APF1是等腰三角形,
?
∴|PF1|=|AP|,
从而|AF2|=|AP|+|PF2|=|PF1|+|PF2|=2a.
∵点O是线段F1F2的中点,点Q是线段AF1的中点,又当点P为椭圆的左、右顶点时也满足题意,
∴点Q的轨迹是以原点O为圆心,半径为a的圆.
答案:A专题一专题二专题三专题三 与圆锥曲线有关的最值问题
与圆锥曲线有关的最值问题,大都是些综合性问题,解法灵活,技巧性强,涉及代数、三角、几何诸方面的知识,现把这类问题的求解策略与方法介绍如下:
(1)平面几何法.
平面几何法求最值问题,主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解.
(2)目标函数法.
建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题,是常规方法,其关键是选取适当的变量建立目标函数.
(3)判别式法.专题一专题二专题三(4)圆锥曲线定义的应用.
①通常运用圆锥曲线的定义求解的题目如下:a.求轨迹问题;b.求曲线上某些特殊的点的坐标;c.求过焦点的弦长、焦半径.
②要注意不断总结和积累应用圆锥曲线的定义解题的经验,以提高灵活运用定义解题的能力.专题一专题二专题三应用1已知点A(4,-2),F为抛物线y2=8x的焦点,点M在抛物线上移动,当|MA|+|MF|取最小值时,点M的坐标为( )专题一专题二专题三提示:△ABF1的面积是由直线AB的斜率k确定的,因此可构建以k为自变量的目标函数,用代数的方法求函数的最大值.
解:由题意,知|F1F2|=2.
经分析,当直线AB的斜率不存在时,不满足题意.
故设直线AB的方程为y=kx+1,
代入椭圆的方程2x2+y2=2,
得(k2+2)x2+2kx-1=0,专题一专题二专题三专题一专题二专题三应用3设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx(k>0)与直线AB相交于点D,与椭圆相交于E,F两点.(2)求四边形AEBF面积的最大值.
提示:将四边形AEBF的面积视为△AEB与△AFB(或△BEF与△AEF)面积的和,求得目标函数,应用均值不等式可求最值.专题一专题二专题三专题一专题二专题三专题一专题二专题三专题一专题二专题三1234561.(陕西高考)设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程是( )
A.y2=-8x B.y2=8x
C.y2=-4x D.y2=4x1234561234561234561234561234565.(陕西高考)下图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.水位下降1 m后,水面宽 m.?123456课件26张PPT。本 章 整 合专题一专题二专题三专题一 空间向量的概念
数学概念是数学体系的基础,准确掌握空间向量的有关概念是学好空间向量的关键.
注意概念的严密、精练、准确性,防止缺失概念中的某些条件或者忽略概念规定的特殊情况.专题一专题二专题三应用给出下列命题: ②若a·b<0,则是钝角;
③若a是直线l的方向向量,则λa(λ∈R)也是l的方向向量;
④非零向量a,b,c满足a与b,b与c,c与a都是共面向量,则a,b,c必共面.
其中错误命题的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4专题一专题二专题三专题一专题二专题三专题二 空间向量与线面的位置关系
利用向量平行、向量垂直的条件,解决空间中的平行与垂直关系,将几何证明转化为纯代数运算,从而使问题得以简化.
(1)证明两条直线平行,只需证明这两条直线的方向向量是共线向量.
(2)证明线面平行的方法:
①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;
②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线;
③利用共面向量定理,即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量.
(3)证明面面平行的方法:
①转化为线线平行、线面平行处理;
②证明这两个平面的法向量是共线向量.专题一专题二专题三(4)证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直.
(5)证明线面垂直的方法:
①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量;
②证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直.
(6)证明面面垂直的方法:
①转化为线线垂直、线面垂直处理;
②证明两个平面的法向量互相垂直.专题一专题二专题三应用1如图,在四棱锥P - ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB于点F.证明:(1)PA∥平面EDB;
(2)PB⊥平面EFD.提示:底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,所以可建立空间直角坐标系使用空间向量来证明.专题一专题二专题三专题一专题二专题三专题一专题二专题三应用2在直三棱柱ABC - A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=1,专题一专题二专题三专题一专题二专题三专题三 利用空间向量求空间的角与距离
利用向量求空间中的夹角及距离问题是高考的重点.解题的关键是会找直线的方向向量及平面的法向量,并用它们表示空间中的角及距离,所有的空间距离问题用向量求时,有着相同的表现形式.应加强理解,求角时,要弄清向量夹角与所求角的关系.
应用1在正方体ABCD - A1B1C1D1中,E,F分别为AA1,AB的中点,求EF和平面ACC1A1所成角的大小.
提示:已知正方体中有两两垂直的关系,故可考虑建系用法向量求解.专题一专题二专题三专题一专题二专题三提示:设CD的中点为O,可证明MO,BO,CD两两垂直,从而可用等积法、定义法求解或者建系用向量法来求解.专题一专题二专题三专题一专题二专题三专题一专题二专题三123?1231232.(安徽高考)如图,ABEDFC为多面体,平面ABED与平面ACFD垂直,点O在线段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF都是正三角形.
?
(1)证明:直线BC∥EF;
(2)求棱锥F - OBED的体积.1231231233.(北京高考)如图,在四棱锥P - ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°.
?
(1)求证:BD⊥平面PAC;
(2)若PA=AB,求PB与AC所成角的余弦值;
(3)当平面PBC与平面PDC垂直时,求PA的长.
(1)证明:因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD.
又因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD.
所以BD⊥平面PAC.123123