2.1两条直线的位置关系（1）同步练习（含答案）

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2.1两条直线的位置关系（1）
姓名：__________班级：__________学号：__________
本节应掌握和应用的知识点
１.在同一平面内,两条直线的位置关系有平行和相交两种．
２.对顶角
(１)概念:有公共顶点的两个角,如果它们的两边互为反向延长线,这样的两个角就叫做对顶角．
(２)性质:对顶角相等．
３.余角与补角
(１)概念:如果两个角的和是９０°,那么称这两个角互为余角;如果两个角的和是１８０°,那么称这两个角互为补角．
(２)性质:同角或等角的余角相等;同角或等角的补角相等．
基础知识和能力拓展训练
一、选择题
1．在同一个平面内,两条直线的位置关系是（　　）
A. 平行或垂直 B. 相交或垂直 C. 平行或相交 D. 不能确定
2．如图，直线AB，CD相交于点O，因为∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°，所以∠1＝∠2，其推理依据是（　　）
A. 同角的余角相等 B. 对顶角相等 C. 同角的补角相等 D. 等角的补角相等
3．如图，∠1与∠2是对顶角的是（　　）
A. B. C. D.
4．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，∠AOE＝52°，则∠BOD等于( )
A. 24° B. 26° C. 36° D. 38°
5．如图，直线AB⊥CD于点O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（ ）
A. 互为余角
B. 互为补角
C. 互为对顶角
D. 互为邻补角
6．如图，三条直线l1，l2，l3相交于点O，则∠1＋∠2＋∠3＝（ ）
A. 180° B. 150° C. 120° D. 90°
7．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝70°，∠2＝40°，则∠1的度数为（　　）
A. 30° B. 35° C. 40° D. 70°
8．如图所示，直线AB、CD相交于点O，且∠AOD+∠BOC=100°，则∠AOC是（ ）．
A. 150° B. 130° C. 100° D. 90°
9．如图，当光线从空气射入水中，光线的传播发生了改变，这就是折射现象，∠1的对顶角是（ ）
A. ∠AOB B. ∠BOC C. ∠AOC D. ∠OAB
10．三条互不重合的直线的交点个数可能是（　　）
A. 0，1，3 B. 0，2，3 C. 0，1，2，3 D. 0，1，2
二、填空题
11．当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线___________，这个公共点叫做它们的___________．
12．同一个平面内的三条直线两两相交,最多有a个交点,最少有b个交点,则a+b=______；
13．如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠EOD＝∠AOC，则∠BOC＝____．
14．如图所示，直线AB交CD于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD：∠EOD=4：1，则∠AOF=____________．
15．如图，直线AB，CD相交于点O，∠EOC=70°，OA平分∠EOC，则∠BOD=________．
16．如图，直线AB与直线CD交于点O，OE⊥AB，∠DOF＝90°，OB平分∠DOG，有下列结论：①当∠AOF＝60°时，∠DOE＝60°；②OD为∠EOG的平分线；③与∠BOD相等的角有三个；④∠COG＝∠AOB－2∠EOF.其中正确的结论是________(填序号)．
　
三、解答题
17．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，O为垂足，∠DOB=2∠EOD，求∠AOC，∠COB的度数．
18．如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，OE⊥AB，OF⊥CD.
（1）图中除直角和平角外，还有相等的角吗？请写出两对：
①　 ；②　　 .
（2）如果∠AOD=40°，求∠COP和∠BOF的度数.
19．如图，O是直线AB上的一点，OC⊥OD，垂足为O.
（1）若∠BOD=32°，求∠AOC的度数；
（2）若∠AOC：∠BOD=2:1，直接写出∠BOD的度数.
20．如图，AB与CD相交于O，OE平分∠AOC，OF⊥AB于O，OG⊥OE于O，若∠BOD=400，求∠AOE和∠FOG的度数．
21．如图所示,直线AB,CD,EF相交于点O,∠DOB的度数是它余角的2倍,∠AOE=2∠DOF,OG⊥AB.
求：(1)∠DOB的度数;
(2)∠BOF的度数;
(3)∠EOG的度数.
22．直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足为O．
(1)若∠EOF=54°，求∠AOC的度数；
(2) ①在∠AOD的内部作射线OG⊥OE；
②试探索∠AOG与∠EOF之间有怎样的关系？并说明理由．
参考答案
1．C
【解析】在同一个平面内,两条直线的位置关系是平行或相交，故选C.
2．C
【解析】根据同角的补角相等推出即可．
答：∵∠1+∠3=180°,∠2+∠3=180°，
∴∠1=∠2(同角的补角相等)，
故选C.
3．A
【解析】根据对顶角的定义可知，只有选项A中的两个角是对顶角，其它都不是．故选A．
4．D
【解析】试卷分析：直接利用垂直的定义以及互余的性质得出∠BOD的度数，进而得出答案．
解：∵OE⊥CD,∠AOE=52°，
∴∠AOC=38°，
则∠BOD=∠AOC=38°.
故选：D.
5．A
【解析】∵∠1+∠COE=90°, ∠2=∠COE,
∴∠1+∠2=90°,
∴∠1与∠2互余，
故选A.
6．A
【解析】根据对顶角相等的性质可知∠1、∠2、∠3的对顶角构成平角，因此可求得∠1+∠2+∠3=180°.
故选：A.
点睛：此题主要考查了对顶角相等，解题关键是通过图形发现对顶角，然后才能利用平角的概念求解，比较简单，是常考题.
7．A
【解析】∵∠AOC＝70°，
∴∠BOD＝70°，
∵∠2＝40°，
∴∠1＝70° 40°＝30°，
故选：A．
8．B
【解析】试题分析：两直线相交，对顶角相等，即∠AOD=∠BOC，已知∠AOD+∠BOC=100°，可求∠AOD=50°；又∠AOD与∠AOC互为邻补角，即∠AOD+∠AOC=180°，将∠AOD的度数代入，可求∠AOC=130°．
故选B．
9．A
【解析】根据折射的规律以及图形可知OC是折射光线，OA是入射光线的延长线，所以∠1的对顶角是∠AOB；故选A.
点睛：本题考查对顶角的定义及性质，注意对顶角的定义中的关键词，如:一个公共顶点，反向延长线等.能正确地识图并能应用是解题的关键.
10．C
【解析】分四种情况：①三条直线平行，有0个交点；②三条直线相交于同一点，有1个交点；③一条直线截两条平行线有2个交点；④三条直线两两相交有3个交点．故选C．
点睛：本题没有明确平面上三条不重合直线的相交情况，需要运用分类讨论思想，解答时要分各种情况解答，要考虑到可能出现的所有情形，不要遗漏，否则讨论的结果就不全面．
11． 相交， 交点
【解析】试题解析：两条不同的直线有一个公共点，则两直线相交，公共点叫做交点.
12．4
【解析】平面内三条直线两两相交，最多有3个交点，最少有1个交点，即可得a+b=4．
13．120°
【解析】试题解析：
①
又 ②
由①、②得，
∵∠BOC与∠AOC是邻补角，
故答案为：
14．120°
【解析】∵OE平分∠BOD，
∴∠DOB=2∠1，
∵∠2:∠1=4:1，
∵∠2+2∠1=180°，
∴∠DOB=60°，
∴∠BOE=30°，
∵OE平分∠BOD,OF平分∠COB,∠BOD+∠COB=180°，
∴∠BOF=90° 30°=60°，
∴∠AOF=180° ∠BOF=180° 60°=120°.
15．35°
【解析】试题分析：∵∠EOC＝70°，OA平分∠EOC，
∴∠AOC＝∠EOC＝×70°＝35°，
∴∠BOD＝∠AOC＝35°．
故答案为35°．
点睛：本题考查了角平分线的定义，对顶角相等的性质，熟记定义并准确识图是解题的关键．
16．①③④
【解析】试题分析：①∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝∠BOE＝90°，
∵∠DOF＝90°，
∴∠AOE＝∠DOF＝90°，
∴∠AOF＝∠DOE，
∴当∠AOF＝60°时，∠DOE＝60°，故①正确；
②∵不能证明∠GOD＝∠EOD，
∴无法证明OD为∠EOG的角平分线，故②错误；
③∵OB平分∠DOG，
∴∠BOD＝∠BOG．
∵直线AB，CD交于点O，
∴∠BOD＝∠AOC．
∵∠BOE＝∠DOF＝90°，
∴∠BOD＝∠EOF，
∴与∠BOD相等的角有三个，故③正确；
④∵∠COG＝∠AOB－∠AOC－∠BOG，
∠EOF＝∠BOG＝∠AOC＝∠BOD，
∴∠COG＝∠AOB－2∠EOF，故④正确；
所以正确的结论有①③④．
故答案为①③④．
点睛：本题考查了垂线，余角、对顶角以及角平分线的性质，注意结合图形，发现角与角之间的关系，难度适中．
17．120°
【解析】∵OE⊥AB，
∴∠EOB=90°，即∠EOD+∠DOB=90°，
∵∠DOB=2∠EOD，∴∠DOB=60°，即∠AOC=∠DOB=60°，
∴∠COB=180°﹣60°=120°．
18．（1）∠COE=∠BOF、∠COP=∠BOP、∠COB=∠AOD（写出任意两个即可）；（2）①∠COP=20°；②∠BOF=50°．
【解析】试题分析：（1）根据同角的余角相等可知∠COE=∠BOF，利用角平分线的定义可得∠COP=∠BOP，对顶角相等可得∠COB=∠AOD；
（2）①利用角平分线的定义可得；②利用互余的关系可得.
试题解析：（1）∠COE=∠BOF、∠COP=∠BOP、∠COB=∠AOD（写出任意两个即可）；
（2）①∠COP=∠BOC=20°；
②∵∠AOD=40°，∴∠BOF=90°-40°=50°．
点睛：能结合图形找出各角之间的关系，利用角平分线的概念、余角的定义以及对顶角相等的性质进行计算是解题的关键.
19．（1）∠AOC=58°；（2）30°
【解析】试题分析：（1）根据垂直的定义可得∠COD=90°，再由∠AOB为平角，∠BOD=32°即可求得∠AOC的度数；（2）设∠BOD=x，则∠AOC=2x，根据平角的定义列方程求解即可.
试题解析：
（1）∵OC⊥OD
∴∠COD=90°
∵∠AOB是平角
∴∠AOB=180°
∵∠BOD=32°
∴∠AOC=180°-∠BOD-∠COD=58°
（2）设∠BOD=x，则∠AOC=2x，
∴x+2x+90°=180°，
解得x=30°，即∠BOD=30°.
20．∠AOE=200，∠FOG=200．
【解析】试题分析：根据对顶角相等得到∠AOC=∠BOD=40°，然后再根据角平分线的定义即可求得∠AOE的度数，再根据同角的余角相等即可求得∠FOG的度数.
试题解析：∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOC=∠BOD=40°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE=∠AOC=20°，
∵OF⊥AB，OG⊥OE，
∴∠AOF=∠EOG=90°，
即∠AOG与∠FOG互余，∠AOG与∠AOE互余，
∴∠FOG=∠AOE=20°.
【点睛】本题考查了对顶角的性质、角平分线的定义、余角的性质等，在解题时根据对顶角的性质和角平分线，余角的性质进行解答是关键．
21． (1)∠DOB=60°;(2)∠BOF =40°; (3)∠EOG=50°.
【解析】试题分析: （1）首先根据垂直定义可得∠GOB=90°，根据平角定义可得∠COG+∠DOB=90°，再根据∠DOB是它余角的2倍可得∠DOB+∠DOB=90°，进而可算出∠DOB的度数；
（2）首先根据对顶角相等可得∠AOC的度数，再根据∠AOE=2∠DOF可得3∠COE=60°，继而可得∠COE=20°，∠AOE=40°，由对顶角相等可得∠BOF的度数；
（3）首先计算出∠COG，再计算出∠COE，进而可得答案．
试题解析:
(1)∵∠DOB的度数是它的余角的2倍,
∴∠DOB=2(90°- ∠DOB),
由此得∠DOB=60°.　
(2)∵∠AOE=∠BOF,且∠AOE=2∠DOF,
∴∠AOE=∠BOF=∠DOB=40°.
(3)∵OG⊥AB,
AOG=90°,
故∠EOG=∠AOG- ∠AOE=90°- 40°=50°.
22．（1）72°（2）①；②∠AOG=∠EOF；理由见解析.
【解析】试题分析：（1）利用角平分线的性质结合已知得出∠DOE的度数，进而得出答案；
（2）①根据要求作图即可；
②由OG⊥OE得∠AOG+∠GOE+∠BOE=180°,由OF⊥CD得∠COF+∠FOE+∠DOE= 180°,又OE是角平分线，即可得出结论.
试题解析：（1）∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=∠DOE，
∵∠EOF=54°，OD⊥OF，
∴∠DOE=36°，
∴∠BOE=36°，
∴∠AOC=72°；
（2）①如图所示，
②∵OF⊥CD,
∴∠COF=90°，∠COF+∠EOF+∠EOD=180°，
∵OG⊥OE
∴∠GOE=90°，∠AOG+∠GOE+∠EOB=180°
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=∠DOE，
∴∠AOG=∠EOF.
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