2.1两条直线的位置关系（2）同步练习（含答案）

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2.1两条直线的位置关系（2）同步练习
姓名：__________班级：__________学号：__________
本节应掌握和应用的知识点
１.两条直线相交成四个角,如果有一个角是９０°,那么称这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足,通常用符号“⊥”表示两条直线垂直．
２.平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
３.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 ．
基础知识和能力拓展训练
一、选择题
1．如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则图中互余的角有（ ）对．
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
2．如图，点P在直线AB上，点C，D在直线AB的上方，且PC⊥PD，∠APC=28°，则∠BPD的度数为（　　）
A. 28° B. 60° C. 62° D. 152°
3．如图是某同学在体育课上跳远后留下的脚印,那么他的跳远成绩可以用图中哪条线段的长度表示(　)
A. 线段AM B. 线段BN C. 线段CN D. 无法确定
4．如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是（ ）
A. 两点之间线段最短 B. 点到直线的距离
C. 垂线段最短 D. 两点确定一条直线
5．如图，OC⊥AB于点O，OD⊥OE于点O，则图中相等的角有（ ）
A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对
6．如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°AC=3，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是（　　）
A. 3.5 B. 4.2 C. 5.8 D. 6.5
7．如图，点在直线外， 于点， 为上任意一点，则与的大小关系是（ 　）
A. B.
C. D.
8．如图，AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，其中长度能表示点到直线（或线段）的距离的线段有（ ）
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 5条
9．如图，点A在直线l1上．点B，C分别在直线l2上．AB⊥l2 ,AC⊥l1，AB=4，AC=5，则下列说法正确的是（ ）
A. 点B到直线，的距离等于4 B. 点C到直线的距离等于5
C. 点C到AB的距离等于4 D. 点B到直线AC的距离等于5
10．若点A到直线l的距离为7cm，点B到直线l的距离为3cm，则线段AB的长度为（ ）
A. 10cm B. 4cm C. 10cm或4cm D. 至少4cm
二、填空题
11．如图所示,王师傅为了检验门框AB是否垂直于地面,在门框AB的上端A处用细线悬挂一铅锤,看门框AB是否与铅锤线重合.若门框AB垂直于地面,则AB会重合于AE,否则AB与AE不重合.你能说出这里面的道理吗
12．如图， ， ，则的度数是_______
13．如图所示，，，则点A到直线的距离是线段______的长度。
14．有一个与地面成30°角的斜坡，如图②，现要在斜坡上竖一电线杆，当电线杆与斜坡成的_______°时，电线杆与地面垂直．
15．如右图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中四种搭建方式PA，PB，PC，PD中，最短的是__________．
16．如图，直线AB、CD相交于点O， ，垂足为O，如果，则_______．
三、解答题
17．如图，已知直线AB及直线AB外一点P，按下列要求完成画图和解答：（1）连接PA，PB，用量角器画出∠APB的平分线PC，交AB于点C；
（2）过点P作PD⊥AB于点D；
（3）用刻度尺取AB中点E，连接PE；
（4）根据图形回答：点P到直线AB的距离是线段 的长度．
18．已知：点P是直线MN外一点，点A、B、C是直线MN上三点，分别连接PA、PB、PC．
（1）通过测量的方法，比较PA、PB、PC的大小，直接用“＞”连接；
（2）在直线MN上能否找到一点D，使PD的长度最短？如果有，请在图中作出线段PD，并说明它的理论依据；如果没有，请说明理由．
19．如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．
（1）若∠1＝∠2，判断ON与CD的位置关系，并说明理由．
（2）若∠BOC＝4∠1，求∠MOD的度数．
20．如图所示，点A，O，B在同一条直线上，∠BOC=40°，射线OC⊥射线OD，射线OE平分∠AOC.求∠DOE的大小.
21．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，OF平分∠BOD．
（1）图中除直角外，请写出一对相等的角吗：　 　（写出符合的一对即可）
（2）如果∠AOE=26°，求∠BOD和∠COF的度数．（所求的角均小于平角）
22．如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD，OP是∠BOC的平分线.
（1）请写出图中所有∠EOC的补角 ____________________；
（2）如果∠POC：∠EOC＝2：5．求∠BOF的度数.
23．如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．
（1）若∠1=∠2，求∠NOD．
（2）若∠1=∠BOC，求∠AOC与∠MOD．
参考答案
1．A
【解析】∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠ACB=90°;
∵AD⊥BC,
∴∠B+∠BAD=90°,∠ACD+∠CAD=90°, ∠E+∠F=90°,
故选A
2．C
【解析】根据垂直的定义和余角的性质即可得到结论．
解：∵PC⊥PD，
∴∠CPD=90°，
∵∠APC=28°，
∴∠BPD=90°﹣∠APC=62°，
故选C．
3．B
【解析】点到直线的距离，所以他的跳远成绩是BN,故选B.
4．C
【解析】要把河中的水引到水池A中,应在河岸B处(AB⊥CD)开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是垂线段最短，
故答案为：C。
5．C
【解析】∵OC⊥AB于点O，OD⊥OE于点O，
∴∠AOC=∠BOC=90°，∠AOC=∠DOE=90°，∠BOC=∠DOE=90°，
∴∠AOC+∠COD=∠DOE+∠COD，即∠AOD=∠COE；
∠BOC-∠DOB=∠DOE-∠DOB，即∠COD=∠BOE；
∴图中共有5对相等的角，分别是：∠AOC=∠BOC，∠AOC=∠DOE，∠BOC=∠DOE，∠AOD=∠COE，∠COD=∠BOE.
故选C.
6．D
【解析】根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3；
∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，
∴AB=6，
∴AP的长不能大于6，
故选D．
7．C
【解析】（1）若A、B重合，则PA=PB
（2）若A、B不重合，则PA>PB，综上述，选择C.
8．D
【解析】试题解析：表示点C到直线AB的距离的线段为CD，
表示点B到直线AC的距离的线段为BC，
表示点A到直线BC的距离的线段为AC，
表示点A到直线DC的距离的线段为AD，
表示点B到直线DC的距离的线段为BD，
共五条．
故选D．
9．B
【解析】根据已知以及图形，可知点A到BC的距离是4，点C到l1d的距离是5，点C到AB的距离是BC的长，点B到AC的距离小于BC，所以正确的是B；故选B.
10．D
【解析】试题解析：如图，
从点A作直线l的垂线，垂足为C点，当A、B、C三点共线时，线段AB的长为7-3=4cm，其它情况下大于4cm，
故选D．
11．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
【解析】试题分析：过A处用细线悬挂一铅锤，则AE过点A且垂直于地面BD，AB也经过点A，若AB垂直于地面BD，根据过一点有且只有一条直线垂直于已知直线可知AE与AB是同一条直线，即AB会重合于AE，反之，AB与AE不重合，因此这里面依据的道理是过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．
故答案为：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．
12．
【解析】∵OC⊥OD,
∴∠COD=90°,
∴∠1+∠2=180°-90°=90°,
∴∠2=90°-∠1=90°-50°=40°.
13．AB
【解析】根据点到直线的距离的定义，可知点A到直线l1的距离是线段AB的长.
故填:AB.
14．60°
【解析】
15．PC
【解析】根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∵PC⊥AD，
∴PC最短，
故答案为：PC．
【点睛】本题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短在生活中的应用.
16．48°
【解析】试题解析：∵OE⊥AB，∠EOD=42°，
∴∠BOD=90°-∠EOD=90°-42°=48°，
∵∠BOD与∠AOC是对顶角，
∴∠BOD=∠AOC=48°．
17．（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）PD．
【解析】试题分析：(1)、用量角器量出∠APB的度数，然后求出一半的度数得出答案；(2)、根据垂线的作法得出答案；(3)、用刻度尺量出AB的长度，然后找出中点，从而得出答案；(4)、点到直线的距离是指点到直线垂线段的长度．
试题解析：(1)、如图所示；(2)、如图所示；(3)、如图所示；
(4)、PD．
18．见解析
【解析】试题分析：（1）通过测量不难得出PA＞PB＞PC；由于点到直线的距离垂线段最短，所以过点P作PD⊥MN交MN于点D.
试题解析：
解：（1）通过测量可知，PA＞PB＞PC；
（2）过点P作PD⊥MN，则PD最短.
（垂线段最短）．
点睛：点到直线的距离，垂线段最短.
19．（1）90°；（2）ON⊥OD；（3）90°；（4）150°.
【解析】试题分析：（1）根据垂直定义可得，进而可得 再利用等量代换可得到 从而可得
（2）根据垂直定义和条件可得 再根据邻补角定义可得的度数．
试题解析：（1）
理由如下：
∵OM⊥AB，
∴
∴
又∵∠1=∠2，
∴
即
∴ON⊥CD.
(2)∵OM⊥AB,
又
20．160°.
【解析】试题分析： 先求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义求出 ∠EOC的度数，再由OC⊥OD求出 ∠COD的度数，再由 ∠DOE=∠DOC+∠COE即可得.
试题解析：∵ ∠BOC=40°，
∴ ∠AOC=180°-∠BOC=140°，
∵ 射线OE平分∠AOC，
∴ ∠EOC= ∠AOC=70°，
∵ 射线OC⊥射线OD，
∴ ∠COD=90°，
∴ ∠DOE=∠DOC+∠COE=160°.
【点睛】本题考查了角平分线的定义、垂直的定义等，结合图形正确地进行分析是解题的关键.
21．（1）∠DOF=∠BOF；（2）∠BOD=64°，∠COF=148°.
【解析】试题分析：（1）利用角平分线的性质可得∠DOF=∠BOF；（2）已知OE⊥CD，根据垂直的定义可得∠COE=90°，根据∠AOC=∠COE﹣∠AOE求得∠AOC的度数，根据对顶角相等可得∠AOC=∠BOD，又因OF平分∠BOD，可求得∠DOF的度数，再由∠COF=180°﹣∠DOF即可求得∠COF的度数．
试题解析：
（1）∠DOF=∠BOF
（2）∵OE⊥CD，
∴∠COE=90°，
∴∠AOC=∠COE﹣∠AOE=90°﹣26°=64°，
∵∠AOC=∠BOD，
∴∠BOD=64°，
又∵OF平分∠BOD，
∴∠DOF=∠BOD=×64°=32°，
∴∠COF=180°﹣∠DOF=180°﹣32°=148°=148°．
点睛：本题考查了角的简单计算，结合图形找出各角之间的关系，利用角平分线的概念、对顶角相等的性质以及平角的定义进行计算．
22．（1）∠EOD和∠AOF；（2）50°.
【解析】试题分析：（1）首先根据垂直定义可得∠AOE=∠DOF=90°，然后再证明∠EOD=∠AOF，根据补角定义可得∠EOD，∠AOF都是∠EOC的补角；
（2）根据角平分线定义可得∠POC=∠POB，再根据条件∠POC：∠EOC=2：5，可得∠COP的度数，然后即可算出∠BOF的度数．
试题解析：解：（1）∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴∠AOE=∠DOF=90°，∴∠EOA+∠AOD=∠DOF+∠AOD，即：∠EOD=∠AOF，∵∠EOC+∠EOD=180°，∴∠AOF+∠EOC=180°，∴∠EOD，∠AOF都是∠EOC的补角，故答案为：∠EOD，∠AOF；
（2）∵OP是∠BOC的平分线，∴∠POC=∠POB，∵∠POC：∠EOC=2：5，∴∠POC=90°×=20°，∴∠POB=20°，∵∠DOF=90°，∴∠BOF=90°﹣20°﹣20°=50°．
点睛：此题主要考查了补角、垂直、以及角的计算，关键是理清图中角之间的和差关系．
23．（1）∠NOD=90°；（2）∠AOC=45°，∠MOD=135°.
【解析】试题分析：（1）由已知条件和观察图形可知∠1与∠AOC互余，再根据平角的定义求解；
（2）利用已知的∠1=∠BOC，结合图形以及对顶角的性质求∠AOC与∠MOD即可．
试题解析：（1）因为OM⊥AB，
所以∠AOM=∠1+∠AOC=90°，
因为∠1=∠2，
所以∠NOC=∠2+∠AOC=90°，
所以∠NOD=180°-∠NOC=180°-90°=90°；
（2）因为OM⊥AB，
所以∠AOM=∠BOM=90°，
因为∠1=∠BOC，
所以∠BOC=∠1+90°=3∠1，
解得∠1=45°，
所以∠AOC=90°-∠1=90°-45°=45°，
所以∠MOD=180°-∠1=180°-45°=135°．
【点睛】本题利用垂直的定义，对顶角的性质和平角的定义计算，解题的关键是要领会由垂直得直角这一要点．
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