13.1 命题、定理与证明
1、判断下列语句是不是命题
（1）延长线段AB（ ）
（2）两条直线相交，只有一交点（ ）
（3）画线段AB的中点（ ）
（4）若|x|=2，则x=2（ ）
（5）角平分线是一条射线（ ）
2、选择题
（1）下列语句不是命题的是（ ）
A、两点之间，线段最短 B、不平行的两条直线有一个交点
C、x与y的和等于0吗？ D、对顶角不相等。
（2）下列命题中真命题是（ ）
A、两个锐角之和为钝角 B、两个锐角之和为锐角
C、钝角大于它的补角 D、锐角小于它的余角
（3）命题：①对顶角相等；②垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等。其中假命题有（ ）21世纪教育网版权所有
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
3、分别指出下列各命题的题设和结论。
（1）如果a∥b，b∥c，那么a∥c
（2）同旁内角互补，两直线平行。
4、分别把下列命题写成“如果……，那么……”的形式。
（1）两点确定一条直线；
（2）等角的补角相等；
（3）内错角相等。
5、已知：如图AB⊥BC，BC⊥CD且∠1=∠2，求证：BE∥CF
证明：∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知）
∴ = =90°（ ）
∵∠1=∠2（已知）
∴ = （等式性质）
∴BE∥CF（ ）
6、已知：如图，AC⊥BC，垂足为C，∠BCD是∠B的余角。
求证：∠ACD=∠B。
证明：∵AC⊥BC（已知）
∴∠ACB=90°（ ）
∴∠BCD是∠DCA的余角
∵∠BCD是∠B的余角（已知） ∴∠ACD=∠B（ ）
7、已知，如图，BCE、AFE是直线，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4。
求证：AD∥BE。
证明：∵AB∥CD（已知）
∴∠4=∠ （ ）
∵∠3=∠4（已知）
∴∠3=∠ （ ）
∵∠1=∠2（已知）
∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（ ）
即∠ =∠
∴∠3=∠ （ ）
∴AD∥BE（ ）
8、已知，如图，AB∥CD，∠EAB+∠FDC=180°。
求证：AE∥FD。
9、已知：如图，DC∥AB，∠1+∠A=90°。
求证：AD⊥DB。
10、如图，已知AC∥DE，∠1=∠2。
求证：AB∥CD。
11、已知，如图，AB∥CD，∠1=∠B，∠2=∠D。
求证：BE⊥DE。
12、求证：两条平行直线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行。
【参考答案】
1、（1）不是 （2）是 （3）不是 （4）是 （5）是
2、（1）C （2）C （3）B
3、（1）题设：a∥b，b∥c结论：a∥c
（2）题设：两条直线被第三条直线所截的同旁内角互补。
结论：这两条直线平行。
4、（1）如果有两个定点，那么过这两点有且只有一条直线
（2）如果两个角分别是两个等角的补角，那么这两个角相等。
（3）如果两个角是内错角，那么这两个角相等。
5、∠ABC=∠BCD，垂直定义，∠EBC=∠BCF，内错角相等，两直线平行。
6、垂直定义；余角定义，同角的余角相等。
7、∠BAE 两直线平行同位角相等
∠BAE （等量代换） 等式性质
∠BAE，∠CAD，∠CAD（等量代换）
内错角相等，两直线平行。
8、证明：∵AB∥CD
∴∠AGD+∠FDC=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠EAB+∠FDC=180°（已知）
∴∠AGD=∠EAB（同角的补角相等）
∴AE∥FD（内错角相等，两直线平行）
9、证明：∵DC∥AB（已知）
∴∠A+∠ADC=180°（两直线平行，同旁内角互补）
即∠A+∠ADB+∠1=180°
∵∠1+∠A=90°（已知）
∴∠ADB=90°（等式性质）
∴AD⊥DB（垂直定义）
10、证明：∵AC∥DE（已知）
∴∠2=∠ACD（两直线平行，内错角相等）
∵∠1=∠2 （已知）
∴∠1=∠ACD（等量代换）
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
11、证明：作EF∥AB
∵AB∥CD
∴∠B=∠3（两直线平行，内错角相等）
∵∠1=∠B（已知）
∴∠1=∠3（等量代换）
∵AB∥EF，AB∥（已作，已知）
∴EF∥CD（平行于同一直线的两直线平行）
∴∠4=∠D（两直线平行，内错角相等）
∵∠2=∠D（已知）
∴∠2=∠4（等量代换）
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°（平角定义）
∴∠3+∠4=90°（等量代换、等式性质）
即∠BED=90°
∴BE⊥ED（垂直定义）
12、已知：AB∥CD，EG、FR分别是∠BEF、∠EFC的平分线。
求证：EG∥FR。
证明：∵AB∥CD（已知）
∴∠BEF=∠EFC（两直线平行，内错角相等）
∵EG、FR分别是∠BEF、∠EFC的平分线（已知）
∴2∠1=∠BEF，2∠2=∠EFC（角平分线定义）
∴2∠1=2∠2（等量代换）
∴∠1=∠2（等式性质）
∴EG∥FR（内错角相等，两直线平行）
命题
1．下面3个句子：①对顶角相等；②过一点作已知直线的垂线；③延长线段AB．其中属于命题的是（ ）．21世纪教育网版权所有
（A）① （B）② （C）③ （D）①③
2．下列命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？
（1）内错角相等；
（2）两直线平行，同旁内角互补；
（3）若x=2，则x+1>1；
（4）不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号应改变方向；
（5）三角形两边之和大于第三边．
3．下列各命题的条件是什么？结论是什么？
（1）两直线平行，同位角相等；
（2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
4．在一次测试中，老师出了如下题目：比较n与（n+1）的大小．有些同学经过计算发现：当n=1、2时，有nn+1<（n+1）n，于是认为命题“如果n为任意自然数，则nn+1<（n+1）n”为真命题．你认为他们的判断正确吗？说说你的理由．21教育网
参考答案
1．（A）
2．真命题是（2）（3）（5）；假命题是（1）（4）
3．略
4．想法不对，n=3时，nn+1>（n+1）n
定义、命题与证明
【巩固练习】
一.选择题
1．下列语句不是命题的是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．不平行的两条直线有一个交点
C．x与y的和等于0吗？ D．对顶角不相等
2．下列命题中的真命题是（ ）
A．邻补角是两个互补的角
B．同位角相等
C．经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行
D．两条直线相交，有两个角相等，则两条直线互相垂直
3．下列命题是假命题的是（ ）
A．若|x+2|+（y-5）2=0则x=-2，y=5
B．x＜y，则x+2008＜y+2008
C．平移不改变图形的形状和大小
D．单项式 的系数是
4. 下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（ ）
A．a=﹣2 B．a=﹣1 C．a= 1 D．a=2
5．下列命题为假命题的是（ ）
A．三角形三个内角的和等于180° B．三角形两边之和大于第三边
C．三角形的外角等于两个内角的和 D．三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘积的一半21世纪教育网版权所有
6．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（ ）
A．150° B．210° C．105° D．75°
二.填空题
7．命题“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式可写成 .
8．请给假命题“两个锐角的和是锐角”举出一个反例： ．
9．请补全一个真命题：若a2＞b2，则 ．
10．命题：“平行于同一条直线的两条直线平行”的题设是 ，结论是 ．
11．命题“如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0”是 命题（填“真”或“假”）．
12．写出两个已学过的基本事实（也称公理）
（1） .21cnjy.com
（2） .www.21-cn-jy.com
三.解答题：
13．如果∠α和∠β互为补角，并且∠β的一半比∠α小30°，求∠α和∠β的度数．
14．请解释下列几何名词的意思.
（1）三角形的中线：
（2）三角形的外角：
（3）点到直线的距离：
15．如图，有三个论断①∠1=∠2；②∠B=∠D；③∠A=∠C，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．2·1·c·n·j·y
【答案与解析】
一.选择题
1．【答案】C；
【解析】C选项不是判断性语句，其他三项无论正确与否都是对一件事情做出了判断，是命题.
2．【答案】A；
3．【答案】D；
【解析】单项式的系数是 ，所以是假命题，
4．【答案】A；
【解析】要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．
5．【答案】C；
【解析】解：A、三角形三个内角的和等于180°，所以A选项为真命题；
B、三角形两边之和大于第三边，所以B选项为真命题；
C、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，所以C选项为假命题；
D、三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘积的一半，所以D选项为真命题．故选C．
6．【答案】A ；
【解析】翻折必有相等的角即∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°，∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°-75°=105°，∴∠1+∠2=360°-2×105°=150°．
二.填空题
7．【答案】如果两个角是同角的余角，那么他们相等.
８．【答案】例如α=50°，β=60°，α+β≥90°
【解析】判断“两个锐角的和是锐角”什么情况下不成立，即找出两个和＞90°的锐角即可．
9．【答案】|a|＞|b|；
【解析】∵若a2＞b2，∴|a|＞|b|，真命题为：若a2＞b2，则|a|＞|b|．
10．【答案】两条直线平行于同一条直线；这两条直线平行.
【解析】理解命题的题设和结论的定义．题设是命题的条件部分，结论是由条件得到的结论．
11．【答案】假；
【解析】当a=2，b=﹣1时，a+b＞0成立，但a＞0，b＞0不成立．故命题“如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0”是假命题．21教育网
12．【答案】答案不唯一：（1）两点确定一条直线；（2）两点之间，线段最短；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直等.21·cn·jy·com
三.解答题
13. 【解析】
解：由题意可知：∠α+∠β=180°，+30°=∠α，∴∠α=80°，∠β=100°．
14.【解析】
解：（1）连接三角形的顶点和对边中点的线段；
（2）三角形一边的延长线和另一边组成的角；
（3）点到直线的垂线段的长度．
15.【解析】
已知：∠B=∠D，∠A=∠C．
求证：∠1=∠2．
证明：∵∠A=∠C，
∴AB∥CD．
∴∠B=∠BFC．
∵∠B=∠D，
∴∠BFC=∠D．
∴DE∥BF．
∴∠DMN=∠BNM．
∵∠1=∠DMN，∠2=∠BNM，
∴∠1=∠2．
（答案不唯一，只要能由条件依据定义、定理等到正确结论都可以）
“命题、定理与证明”
1、判断下列语句是不是命题
（1）延长线段AB（ 不是）
（2）两条直线相交，只有一交点（是 ）
（3）画线段AB的中点（ 不是 ）
（4）若|x|=2，则x=2（是 ）
（5）角平分线是一条射线（ 是 ）
2、选择题
（1）下列语句不是命题的是（ C ）
A、两点之间，线段最短 B、不平行的两条直线有一个交点
C、x与y的和等于0吗？ D、对顶角不相等。
（2）下列命题中真命题是（ C ）
A、两个锐角之和为钝角 B、两个锐角之和为锐角
C、钝角大于它的补角 D、锐角小于它的余角
（3）命题：①对顶角相等；②垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等。其中假命题有（ B ）21教育网
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
3、分别指出下列各命题的题设和结论。
（1）如果a∥b，b∥c，那么a∥c
（2）同旁内角互补，两直线平行。
（1）题设：a∥b，b∥c结论：a∥c
（2）题设：两条直线被第三条直线所截的同旁内角互补。
结论：这两条直线平行。
4、分别把下列命题写成“如果……，那么……”的形式。
（1）两点确定一条直线；
（2）等角的补角相等；
（3）内错角相等。
（1）如果有两个定点，那么过这两点有且只有一条直线
（2）如果两个角分别是两个等角的补角，那么这两个角相等。
（3）如果两个角是内错角，那么这两个角相等。
5、已知：如图AB⊥BC，BC⊥CD且∠1=∠2，求证：BE∥CF
证明：∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知）
∴ ∠ABC = ∠BCD =90°（垂直定义）
∵∠1=∠2（已知）
∴ ∠EBC = ∠BCF （等式性质）
∴BE∥CF（ 内错角相等，两直线平行 ）
6、已知：如图，AC⊥BC，垂足为C，∠BCD是∠B的余角。
求证：∠ACD=∠B。
证明：∵AC⊥BC（已知）
∴∠ACB=90°（ 垂直定义 ）
∴∠BCD是∠DCA的余角
∵∠BCD是∠B的余角（已知） ∴∠ACD=∠B（ 余角定义，同角的余角相等 ）；
7、已知，如图，BCE、AFE是直线，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4。
求证：AD∥BE。
证明：∵AB∥CD（已知）
∴∠4=∠ BAE （两直线平行同位角相等 ）
∵∠3=∠4（已知）
∴∠3=∠ BAE （ 等量代换 ）
∵∠1=∠2（已知）
∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（ 等式性质 ）
即∠ BAE =∠ CAD
∴∠3=∠ CAD （ 等量代换 ）
∴AD∥BE（ 内错角相等，两直线平行 ）
8、已知，如图，AB∥CD，∠EAB+∠FDC=180°。
求证：AE∥FD。
证明：∵AB∥CD
∴∠AGD+∠FDC=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠EAB+∠FDC=180°（已知）
∴∠AGD=∠EAB（同角的补角相等）
∴AE∥FD（内错角相等，两直线平行）
9、已知：如图，DC∥AB，∠1+∠A=90°。
求证：AD⊥DB。
证明：∵DC∥AB（已知）
∴∠A+∠ADC=180°（两直线平行，同旁内角互补）
即∠A+∠ADB+∠1=180°
∵∠1+∠A=90°（已知）
∴∠ADB=90°（等式性质）
∴AD⊥DB（垂直定义）
10、如图，已知AC∥DE，∠1=∠2。
求证：AB∥CD。
证明：∵AC∥DE（已知）
∴∠2=∠ACD（两直线平行，内错角相等）
∵∠1=∠2 （已知）
∴∠1=∠ACD（等量代换）
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
11、已知，如图，AB∥CD，∠1=∠B，∠2=∠D。
求证：BE⊥DE。
、证明：作EF∥AB
∵AB∥CD
∴∠B=∠3（两直线平行，内错角相等）
∵∠1=∠B（已知）
∴∠1=∠3（等量代换）
∵AB∥EF，AB∥（已作，已知）
∴EF∥CD（平行于同一直线的两直线平行）
∴∠4=∠D（两直线平行，内错角相等）
∵∠2=∠D（已知）
∴∠2=∠4（等量代换）
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°（平角定义）
∴∠3+∠4=90°（等量代换、等式性质）
即∠BED=90°
∴BE⊥ED（垂直定义）
12、求证：两条平行直线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行。
已知：AB∥CD，EG、FR分别是∠BEF、∠EFC的平分线。
求证：EG∥FR。
证明：∵AB∥CD（已知）
∴∠BEF=∠EFC（两直线平行，内错角相等）
∵EG、FR分别是∠BEF、∠EFC的平分线（已知）
∴2∠1=∠BEF，2∠2=∠EFC（角平分线定义）
∴2∠1=2∠2（等量代换）
∴∠1=∠2（等式性质）
∴EG∥FR（内错角相等，两直线平行）
13、如图，点E在DF上，点B在AC上，∠1=∠2，∠C=∠D．
试说明：∠A=∠F．
考点：平行线的判定与性质．
专题：证明题．
分析：先根据对顶角相等结合∠1=∠2推出∠3=∠4，然后根据内错角相等，两直线平行证明BD∥CE，再根据两直线平行，同位角相等得到∠5=∠C，从而推出∠5=∠D，再根据内错角相等，两直线平行证明AC∥DF，然后根据两直线平行，内错角相等即可得证．21世纪教育网版权所有
解答：证明：如图，∵∠1=∠3，∠2=∠4，∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∴BD∥CE，
∴∠5=∠C，
∵∠C=∠D，
∴∠5=∠D，
∴AC∥DF，
∴∠A=∠F．
13.1 命题、定理与证明
基础巩固
一、训练平台（每小题6分，共24分）
1．下列命题中是真命题的是（ ）
A．平行于同一条直线的两条直线平行;
B．两直线平行，同旁内角相等
C．两个角相等，这两个角一定是对顶角;
D．相等的两个角是平行线所得的内错角
2．下列语句中不是命题的是（ ）
A．延长线段AB; B．自然数也是整数
C．两个锐角的和一定是直角; D．同角的余角相等
3．下列语句中是命题的是（ ）
A．这个问题 B．这只笔是黑色的
C．一定相等 D．画一条线段
4．下列命题是假命题的是（ ）
A．互补的两个角不能都是锐角; B．若a⊥b，a⊥c，则b⊥c
C．乘积是1的两个数互为倒数; D．全等三角形的对应角相等
二、提高训练（第1～4小题各6分，第5～6小题各12分，共48分）
1．下列命题中正确的是（ ）
A．有限小数是有理数; B．无限小数是无理数
C．数轴上的点与有理数一一对应; D．数轴上的点与实数一一对应
2．现有下列命题，其中真命题的个数是（ ）
①（-5）2的平方根是-5；②近似数3.14×103有3个有效数字；
③单项式3x2y与单项式-2xy2是同类项；④正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列命题中，真命题是（ ）
A．有两边相等的平行四边形是菱形;
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．四个角相等的菱形是正方形;
D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
4．某工程队，在修建兰定高速公路时，有时需将弯曲的道路改直， 根据什么公理可以说明这样做能缩短路程（ ）21世纪教育网版权所有
A．直线的公理; B．直线的公理或线段最短公理
C．线段最短公理; D．平行公理
5．证明：两条平行线被第三条直线所截，则它们的一对同位角的平分线互相平行．（要求画图，写出已知、求证、证明）21教育网
6．在一次数学竞赛中，A，B，C，D，E五位同学分别得到了前五名（ 没有并列同一名次的）．关于各人的名次大家作出了下面的猜测：21cnjy.com
A说：“第二名是D，第三名是B”． B说：“第二名是C，第四名是E．”
C说：“第一名是E，第五名是A．” D说：“第三名是C，第四名是A．”
E说：“第二名是B，第五名是D．”
结果每人都只猜对了一半，请判断他们的名次如何．
三、探索发现（共14分）
在四边形ABCD中，给出下列论断：①AB∥DC；②AD=BC；③∠A=∠C．以其中两个作为条件，另外一个作为结论，用“如果……那么……”的形式， 写出一个你认为正确的命题．
四、拓展创新（共14分）
如图所示，平行四边形ABCD中，AQ，BN，CN，DQ分别是∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，在不添加其他条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结论，并给出证明过程．（推理过程中用到平行四边形和角平分线这两个条件）
参考答案
随堂测评
一、1．A 2．A 3．B 4．B
二、1．AD 2．B 3．C 4．C
5．如图所示，已知a∥b，AB，CD分别是∠EAC和∠FCG的平分线，求证AB∥CD．证明略．
6．E，C，B，A，D．
三、如图所示，在四边形ABCD中，如果AB∥CD，∠A=∠C，那么AD=BC，证明略．
四、可得出△APB是直角三角形，△ABP≌△CDM，四边形PQMN是矩形，等等， 证明略．
