第22讲：选修1-2第三章《数系的扩充与复数的引入》单元检测题-高中数学单元检测题 Word版含解析

选修1-2第三章《数系的扩充与复数的引入》单元检测题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知i是虚数单位，a、b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的(　　)
A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数是，则等于(　　)
A．－1－2i B．－2＋i
C．－1＋2i D．1＋2i
3．复数z＝(m∈R，i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．已知复数z＝－＋i，则＋|z|＝(　　)
A．－－i B．－＋i
C. ＋i D．－i
5．若θ∈，则复数(cosθ＋sinθ)＋(sinθ－cosθ)i在复平面内所对应的点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
6．已知复数z满足(1－i)z＝i2015(其中i为虚数单位)，则的虚部为(　　)
A. B．－
C.i D．－i
7．设z的共轭复数为，若z＋＝4，z·＝8，则等于(　　)
A．i B．－i
C．±1 D．±i
8．若关于x的方程x2＋(1＋2i)x＋3m＋i＝0有实根，则实数m等于(　　)
A. B．i
C．－ D．－i
9．已知复数z＝(x－2)＋yi(x、y∈R)在复平面内对应的向量的模为，则的最大值是(　　)
A. B．
C. D．
10．设a∈R，i是虚数单位，则“a＝1”是“为纯虚数”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
11．已知复数a＝3＋2i，b＝4＋xi(其中i为虚数单位，x∈R)，若复数∈R，则实数x的值为(　　)
A．－6 B．6
C. D．－
12．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论正确的是(　　)
A．z对应的点在第一象限
B．z一定不为纯虚数
C.对应的点在实轴的下方
D．z一定为实数
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．设复数a＋bi(a，b∈R)的模为，则(a＋bi)(a－bi)＝________.
14．已知x＋＝－1，则x2014＋的值为________________．
15．已知复数z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ＋isinβ，则复数z1·z2的实部是_____________
16．设θ∈[0,2π]，当θ＝________________时，z＝1＋sinθ＋i(cosθ－sinθ)是实数．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i(m∈R)，试求m取何值时
(1)z是实数．
(2)z是纯虚数．
(3)z对应的点位于复平面的第一象限．
18．(本小题满分12分)(1)已知复数z在复平面内对应的点在第四象限，|z|＝1，且z＋＝1，求z；
(2)已知复数z＝－(1＋5i)m－3(2＋i)为纯虚数，求实数m的值．
19．(本小题满分12分)虚数z满足|z|＝1，z2＋2z＋＜0，求z.
20．(本小题满分12分)设z＝log2(1＋m)＋ilog(3－m)(m∈R)．
(1)若z在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围；
(2)若z在复平面内对应的点在直线x－y－1＝0上，求m的值．
21．(本小题满分12分)满足z＋是实数，且z＋3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z，若不存在，请说明理由．
22.（本小题满分12分）复数z＝且|z|＝4，z对应的点在第一象限，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a、b的值．
选修1-2第三章《数系的扩充与复数的引入》单元检测题参考答案
选择题答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
A
D
B
B
D
A
D
A
C
C
【第4题解析】因为z＝－＋i，所以＋|z|＝－－i＋＝－i.故选D.
【第5题解析】θ∈时，sinθ＋cosθ<0，sinθ－cosθ>0，故对应点(cosθ＋sinθ，sinθ－cosθ)在第二象限．故选B.
【第6题解析】∵2015＝4×503＋3，∴i2015＝i3＝－i. ∴z＝＝－i. ∴z的虚部为－.故选B.
【第7题解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，由条件可得解得因此或所以＝＝＝＝＝－i，或＝＝＝＝＝i，所以＝±i. 故选D.
【第8题解析】设方程的实数根为x＝a(a为实数)，则a2＋(1＋2i)·a＋3m＋i＝0，
∴∴故选A.
填空题答案
第13题
3
第14题
－1
第15题
cos(α＋β)
第16题
或π
【第13题解析】由题易得＝，故a2＋b2＝3；(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3.故填3 .
【第14题解析】∵x＋＝－1，∴x2＋x＋1＝0. ∴x＝－±i，∴x3＝1. ∵2014＝3×671＋1，∴x2014＝x，∴x2014＋＝x＋＝－1. 故填－1.
【第15题解析】z1·z2＝(cosα＋isinα)(cosβ＋isinβ) =cosαcosβ－sinαsinβ＋(cosαsinβ＋sinαcosβ)i＝cos(α＋β)＋sin(α＋β)i 故z1·z2的实部为cos(α＋β)．故填cos(α＋β).
【第16题解析】z为实数，则cosθ＝sinθ，即tanθ＝1.因为θ∈[0,2π]，所以θ＝或π. 故填或π.
【第17题答案】（1）m＝－1，或m＝－2; (2) m＝3；（3）m<－2，或m>3.
【第17题解析】(1)由m2＋3m＋2＝0且m2－2m－2>0，解得m＝－1，或m＝－2，复数表示实数．
(2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数．
由lg(m2－2m－2)＝0，且m2＋3m＋2≠0，
求得m＝3，故当m＝3时，复数z为纯虚数．
(3)由lg(m2－2m－2)>0，且m2＋3m＋2>0，解得m<－2，或m>3，故当m<－2，或m>3时，复数z对应的点位于复平面的第一象限．
【第18题答案】（1）z＝－i.；（2）m＝－2.
【第18题解析】(1)设z＝a＋bi(a、b∈R)，
由题意得解得a＝，b＝±.
∵复数z在复平面内对应的点在第四象限，∴b＝－.
∴z＝－i.
(2)z＝－(1＋5i)m－3(2＋i)＝(m2－m－6)＋(2m2－5m－3)i，依题意，m2－m－6＝0，解得m＝3或－2.
∵2m2－5m－3≠0.∴m≠3.∴m＝－2.
又x2＋y2＝1.　　　　 　③ 由①②③得 ∴z＝－±i.
【第20题答案】（1）{x|－1【第20题解析】(1)由已知，得
解①得－1解②得m<2.
故不等式组的解集为{x|－1因此m的取值范围是{x|－1(2)由已知得，点(log2(1＋m)，log(3－m))在直线x－y－1＝0上，
即log2(1＋m)－log(3－m)－1＝0，
整理得log2[(1＋m)(3－m)]＝1.
从而(1＋m)(3－m)＝2，即m2－2m－1＝0，
解得m＝1±，且当m＝1±时都能使1＋m>0，且3－m>0.故m＝1±.
【第22题答案】a＝－，b＝－1.
【第22题解析】z＝(a＋bi)
＝2i·i(a＋bi)＝－2a－2bi.
由|z|＝4，得a2＋b2＝4. ①
∵复数0、z、对应的点构成正三角形，
∴|z－|＝|z|.
把z＝－2a－2bi代入化简得|b|＝1. ②
又∵z对应的点在第一象限，
∴－2a>0，－2b>0，∴a由①②③得
故所求值为a＝－，b＝－1.