第21讲：选修1-2第二章《推理与证明》单元检测题-高中数学单元检测题 Word版含解析

选修1-2第二章《推理与证明》单元检测题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理(　　)
A．正确
B．推理形式不正确
C．两个“自然数”概念不一致
D．“两个整数”概念不一致
2．用反证法证明命题“＋是无理数”时，假设正确的是(　　)
A．假设是有理数　　　　B．假设是有理数
C．假设或是有理数 D．假设＋是有理数
3．下列推理过程属于演绎推理的为(　　)
A．老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验
B．由1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32…得出1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2
C．由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线(四面体每一个顶点与对面重心的连线)交于一点
D．通项公式形如an＝cqn(cq≠0)的数列{an}为等比数列，则数列{－2n}为等比数列
4．用反证法证明命题“已知x，y∈N*，如果xy可被7整除，那么x，y至少有一个能被7整除”时，假设的内容是(　　)
A．x，y都不能被7整除
B．x，y都能被7整除
C．x，y只有一个能被7整除
D．只有x不能被7整除
5．求证：＋<2的证明过程如下：
因为＋和2都是正数，
所以为了证明＋<2，
只需证明(＋)2<(2)2，
展开得10＋2<20，即<5，
只需证明21<25.
因为21<25成立，
所以不等式＋<2成立．
上述证明过程应用了(　　)
A．综合法　　　　　 B．分析法
C．反证法 D．综合法、分析法合用
6．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为(　　)
A．a1a2a3…a9＝29 B．a1＋a2＋…＋a9＝29
C．a1a2a3…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9
7．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值(　　)
A．大于0 B．小于0
C．不小于0 D．不大于0
8．已知对正数a和b，有下列命题：
①若a＋b＝1，则≤；②若a＋b＝3，则≤；③若a＋b＝6，则≤3.根据以上三个命题提供的规律猜想：若a＋b＝9，则≤(　　)
A．2 B.
C．4 D．5
9．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3，4)，且法向量为n＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简得x－2y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1，2，3)，且法向量为m＝(－1，－2，1)的平面的方程为(　　)
A．x＋2y－z－2＝0 B．x－2y－z－2＝0
C．x＋2y＋z－2＝0 D．x＋2y＋z＋2＝0
10．下列不等式中一定成立的是(　　)
A．lg>lg x(x>0)
B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.>1(x∈R)
11．已知f(x)＝sin x＋cos x，定义f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝[f1(x)]′，…，fn＋1(x)＝[fn(x)]′(n∈N*)，经计算，f1(x)＝cos x－sin x，f2(x)＝－sin x－cos x，f3(x)＝－cos x＋sin x，…，照此规律，则f100(x)＝(　　)
A．－cos x＋sin x B．cos x－sin x
C．sin x＋cos x D．－sin x－cos x
12．请阅读下列材料：若两个正实数a1，a2满足a＋a＝1，求证：a1＋a2≤.
证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1，因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，即4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤.
根据上述证明方法，若n个正实数a1，a2，…，an满足a＋a＋…＋a＝n时，你能得到的结论是(　　)
A．a1＋a2＋…＋an≤2n B．a1＋a2＋…＋an≤n2
C．a1＋a2＋…＋an≤n D．a1＋a2＋…＋an≤
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．“因为AC，BD是菱形ABCD的对角线，所以AC，BD互相垂直且平分．”补充以上推理的大前提是________．
14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市．
由此可以判断乙去过的城市为________．
15．通过圆与球的类比，由“半径为R的圆的内接矩形中，以正方形的面积最大，最大值为2R2.”猜想关于球的相应命题为________．
16．如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，过点A作BC的垂线，垂足为A1，过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点 A2作A1C的垂线，垂足为A3……依此类推，设BA＝a1，AA1＝a2，A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，则a7＝________．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝(x>0)．如下定义一列函数：f1(x)＝f(x)，f2(x)＝f(f1(x))，f3(x)＝f(f2(x))，…，fn(x)＝f(fn－1(x))，…，n∈N*，那么由归纳推理求函数fn(x)的解析式．
18．(本小题满分12分)已知A＋B＝，且A，B≠kπ＋(k∈Z)．求证：(1＋tan A)(1＋tan B)＝4.
19．(本小题满分12分)把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立．
(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；
(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．
20．(本小题满分12分)设{an}是首项为a，公差为d的等差数列(d≠0)，Sn是其前n项的和．记bn＝，n∈N*，其中c为实数．若c＝0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk＝n2Sk(k，n∈N*)．
21．(本小题满分12分)设函数f(x)＝，a，b为正实数．
(1)用分析法证明：f＋f≤；
(2)设a＋b>4，求证：af(b)，bf(a)中至少有一个大于.
22．(本小题满分12分)如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起图②中△A1BE的位置，得到四棱锥A1-BCDE.
(1)证明：CD⊥平面A1OC；
(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1-BCDE的体积为36，求a的值．
选修1-2第二章《推理与证明》单元检测题参考答案
选择题答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
D
A
B
D
D
B
A
C
C
C
【第5题解析】结合证明特征可知，上述证明过程用了分析法，其属于直接证明法．故选B.
【第6题解析】由等差数列性质，有a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5.易知选项D正确．故选D.
【第7题解析】法一：因为a＋b＋c＝0，所以a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0，
所以ab＋bc＋ca＝－≤0.
法二：令c＝0，若b＝0，则ab＋bc＋ca＝0，否则a、b异号，所以ab＋bc＋ca＝ab<0，排除A、B、C，选项D正确．故选D.
【第8题解析】从已知的三个不等式的右边可以看出，其表现形式为，，，所以，若a＋b＝9，则≤.故选B.
【第9题解析】所求的平面方程为－1×(x－1)＋(－2)×(y－2)＋1×(z－3)＝0.化简得x＋2y－z－2＝0. 故选A.
【第10解析】A项中，因为x2＋≥x，所以lg≥lg x；B项中sin x＋≥2只有在sin x>0时才成立；C项中由不等式a2＋b2≥2ab可知成立；D项中因为x2＋1≥1，所以0<≤1.故选C.
【第11题解析】根据题意， f4(x)＝[f3(x)]′＝sin x＋cos x，f5(x)＝[f4(x)]′＝cos x－sin x，f6(x)＝[f5(x)]′＝－sin x－cos x，…，
观察知fn(x)的值呈周期性变化，周期为4，所以f100(x)＝f96＋4(x)＝f4(x)＝sin x＋cos x.
故选C.
【第12题解析】构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋n，因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0；即4(a1＋a2＋…＋an)2－4n2≤0，所以a1＋a2＋…＋an≤n. 故选C.
填空题答案
第13题
菱形的对角线互相垂直且平分
第14题
A
第15题
半径为R的内接六面体中以正方体的体积为最大，最大值为R3.
第16题
【第16题解析】根据题意易得a1＝2，a2＝，a3＝1，∴{an}构成以a1＝2，q＝的等比数列，∴a7＝a1q6＝2×＝. 故填.
【第17题答案】fn(x)＝(x>0)．
【第17题解析】依题意得，f1(x)＝，
f2(x)＝＝＝
f3(x)＝＝＝，…，
由此归纳可得fn(x)＝(x>0)．
【第18题答案】见解析
【第18题解析】由A＋B＝得tan(A＋B)＝tan ，
即＝，
所以tan A＋tan B＝－tan Atan B.
所以(1＋tan A)(1＋tan B)＝1＋(tan A＋tan B)＋3tan Atan B＝1＋(－tan Atan B)＋3tan Atan B＝4.
故原等式成立．
(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误的，这两个平面也可能相交．[.
【第20题答案】见解析.
【第20题解析】证明：由题意得，Sn＝na＋d.
由c＝0，得bn＝＝a＋d.
又因为b1，b2，b4成等比数列，
所以b＝b1b4，即＝a，
化简得d2－2ad＝0.
因为d≠0，所以d＝2a.
因此，对于所有的m∈N*，有Sm＝m2a.
从而对于所有的k，n∈N*，有Snk＝(nk)2a＝n2k2a＝n2Sk.
【第21题答案】见解析
【第21题解析】证明：(1)欲证f＋f≤，
即证＋≤，
只要证≤.
因为a，b为正实数，只要证3(a2＋b2＋4ab)≤2(2a2＋2b2＋5ab)，即a2＋b2≥2ab，
因为a2＋b2≥2ab显然成立，故原不等式成立．
(2)假设af(b)＝≤，bf(a)＝≤，
由于a，b为正实数，所以2＋b≥2a，2＋a≥2b，
两式相加得：4＋a＋b≥2a＋2b，[
即a＋b≤4，与条件a＋b>4矛盾，
故af(b)，bf(a)中至少有一个大于.
(2)解：由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，
且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，
又由(1)知，A1O⊥BE，
所以A1O⊥平面BCDE，
则A1O是四棱锥A1-BCDE的高．
由图①知，A1O＝AB＝a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2.
从而四棱锥A1-BCDE的体积
V＝×S·A1O＝a2·a＝a3.
由a3＝36，得a＝6.