第19讲：选修1-1第三章《导数及其应用》单元检测题-高中数学单元检测题 Word版含解析

选修1-1第三章《导数及其应用》单元检测题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是(　　)
A．7米/秒　　　　　　 B．5米/秒
C．6米/秒 D．4米/秒
2．若二次函数y＝f(x)的图像过原点，且它的导数y＝f′(x)的图像是经过第一、二、三象限的一条直线，则y＝f(x)的图像顶点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．120°
4．已知函数f(x)＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为，则a等于(　　)
A．－ B.
C．－ D．－或－
5．已知物体的运动方程是S(t)＝t2＋(t的单位：s，S的单位：m)．则物体在时刻t＝2时的速度v与加速度a分别为(　　)
A. m/s　 m/s2
B. m/s　 m/s2
C. m/s　 m/s2
D. m/s　 m/s2
6．若函数y＝f(x)在x0处可导，则f′(x)＝0是f(x)在x0处取得极值的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．函数f(x)在其定义域内可导，y＝f(x)的图像如图所示，则导函数y＝f′(x)的图像为(　　)
8．定义在(0，＋∞)上的可导函数f(x)满足f′(x)·x0的解集为(　　)
A．(0,2) B．(0,2)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．?
9．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝处有极值，则ac＋2b的值为(　　)
A．－3 B．0
C．1 D．3
10．已知函数f(x)＝x－sinx，若x1，x2∈[－，]，且f(x1)＋f(x2)>0，则下列不等式中正确的是(　　)
A．x1>x2 B．x1C．x1＋x2>0 D．x1＋x2<0
11．曲线y＝x3上一点B处的切线l交x轴于点A，△OAB(O是原点)是以A为顶点的等腰三角形，则切线l的倾斜角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．120°
12．若a，b在区间[0, ]上取值，则函数f(x)＝ax3＋bx2＋ax在R上有两个相异极值点的概率是(　　)
A. B.
C. D．1－
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知曲线y＝x2－1在x＝x0点处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0点处的切线互相平行，则x0的值为________．
14．已知函数f(x)＝x3＋ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是________．
15．若f′(x)＝3x2－6x，且f(0)＝4，则不等式f(x)>0的解集是________．
16．已知函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)求函数f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]的最值．
18．(本小题满分12分)若函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在(－∞，＋∞)上单调递增，求a的取值范围．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3－4x＋m在区间(－∞，＋∞)上有极大值.
(1)求实数m的值；
(2)求函数f(x)在区间(－∞，＋∞)的极小值．
20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝sinx－cosx＋x＋1，021．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋x2－2ax－3，g(a)＝a3＋5a－7.
(1)a＝1时，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若函数f(x)在区间[－2,0]上不单调，且x∈[－2,0]时，不等式f(x)22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－alnx(a∈R)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)当x>1时，x2＋lnx选修1-1第三章《导数及其应用》单元检测题参考答案
选择题答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
B
C
A
B
D
A
A
C
C
C
【第4题解析】f(x)＝－(x＋1)2＋4. f(x)的开口向下，对称轴为x＝－1，当x＝－1，f(－1)＝4>，∴a>－1. ∴f(x)在[a,2]是减函数．∴f(a)＝，解得a＝－，或a＝－(舍去)．故选C.
【第5题解析】S′(t)＝2t－ ∴v＝S′(2)＝2×2－＝. 令g(t)＝S′(t)＝2t－，∴g′(t)＝2＋2t－3，∴a＝g′(2)＝. 故选A .
【第6题解析】f′(x)＝0不一定能推出f(x)在x0处取得极值，f(x)在x0处取得极值一定能推出f′(x)＝0，故选B.
【第7题解析】由于函数先减后增再减，所以导函数的图像是先负后正再负，故选D.
【第8题解析】[]′＝<0，∴为减函数，∵f(2)＝0，∴＝0.∴>0的解为0【第9题解析】f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题可知f′()＝3a()2＋2b＋c＝0，∴＋＋c＝0，∴ac＋2b＝－3，故选A.
【第10解析】易知函数f(x)为奇函数，又f′(x)＝1－cosx≥0，所以函数f(x)为增函数，由f(x1)＋f(x2)>0?f(x1)>－f(x2)?f(x1)>f(－x2)?x1>－x2?x1＋x2>0. 故选C.
【第11题解析】设B(x0，x)，由于y′＝3x2，故切线l的方程为y－x＝3x(x－x0)，
令y＝0得点A(，0)，由|OA|＝|AB|，得()2＝(x0－)2＋(x－0)2，当x0＝0时，题目中的三角形不存在，故得x＝，故x＝，直线l的斜率为3x＝，故直线l的倾斜角为60°. 故选C.
【第12题解析】易得f′(x)＝3ax2＋2bx＋a，函数f(x)＝ax3＋bx2＋ax在R上有两个相异极值点的充要条件是a≠0，且其导函数的判别式大于0，即a≠0，且4b2－12a2>0，
又a，b在区间[0，]上取值，则a>0，b>a，点(a，b)满足的区域如图中阴影部分所示，其中正方形区域的面积为3，阴影部分的面积为，故所求的概率是. 故选C.
填空题答案
第13题
0或－
第14题
(－∞，0)
第15题
{x|x>－1，且x≠2}
第16题
(6，＋∞)
【第16题解析】由题可知，函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递减，所以其导函数f′(x)＝＝在(－2，＋∞)上小于零，解得a>6.故填(6，＋∞).
【第17题答案】f(x)的最小值为－12，最大值为2.
【第17题解析】f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3>0，
∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，
∴f(x)在[－1,1]上为增函数．
故x＝－1时，f(x)min＝－12；
x＝1时，f(x)max＝2.
即f(x)的最小值为－12，最大值为2.
【第18题答案】a≥.
【第18题解析】由f(x)在R上为增函数知f′(x)≥0，从而将问题转化为一元二次不等式问题求解．
f′(x)＝3ax2－2x＋1.
∵f(x)在R上单调递增，所以f′(x)≥0.
即3ax2－2x＋1≥0在R上恒成立．
即∴a≥.∴a≥.
(2)由(1)得f(x)＝x3－4x＋4
又当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－.
【第20题答案】单调递增区间是(0，π)与(，2π)，单调递减区间是(π，)，极小值为f()＝，极大值为f(π)＝π＋2.
【第20题解析】解　由f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0令f′(x)＝0，从而sin(x＋)＝－，得x＝π，或x＝，
当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：
x
(0，π)
π
(π，)
(，2π)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增
π＋2
单调递减
π
单调递增
因此，由上表知f(x)的单调递增区间是(0，π)与(，2π)，单调递减区间是(π，)，极小值为f()＝，极大值为f(π)＝π＋2.
(2)f′(x)＝x2＋(a－2)x－2a＝(x＋a)(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝2，或x＝－a.
∵函数f(x)在区间[－2,0]上不单调，
∴－a∈(－2,0)，即0又∵在(－2，－a)上，f′(x)>0，
在(－a,0)上，f′(x)<0，
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
－2
(－2，－a)
－a
(－a,0)
0
f′(x)
＋
0
－
f(x)
f(－2)
单调递增
极大值
单调递减
f(0)
∴f(x)在[－2,0]上有唯一的极大值点x＝－a.
∴f(x)在[－2,0]上的最大值为f(－a)．
∴当x∈[－2,0]时，不等式f(x)∴－a3＋×a2＋2a2－3∴a3＋a2－3∴a2－5a＋4<0，解得1综上所述，a的取值范围是(1,2)．
【第22题答案】（1）当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)，单调递减区间为(0，)；（2）当x>1时，x2＋lnx【第22题解析】解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由题意得f′(x)＝x－(x>0)，
∴当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
当a>0时，f′(x)＝x－＝
＝.
∴当0当x>时，f′(x)>0.
∴当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)，单调递减区间为(0，)．