第18讲：选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》单元检测题-高中数学单元检测题 Word版含解析
文档属性
| 名称 | 第18讲：选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》单元检测题-高中数学单元检测题 Word版含解析 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 496.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-02-08 20:27:40 | ||
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文档简介
选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》单元检测题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知抛物线的准线方程为x＝－7，则抛物线的标准方程为( )
A．x2＝－28y B．y2＝28x
C．y2＝－28x D．x2＝28y
2．设P是椭圆＋＝1上的点．若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )
A．4 B．5
C．8 D．10
3．双曲线3mx2－my2＝3的一个焦点是(0,2)，则m的值是( )
A．－1 B．1
C．－ D.
4．椭圆＋＝1上一点P到两焦点的距离之积为m，则m取最大值时，P点坐标是( )
A．(5,0)或(－5,0)
B．(，)或(，－)
C．(0,3)或(0，－3)
D．(，)或(－，)
5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
6．在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是( )
A．(－2,1) B．(1,2)
C．(2,1) D．(－1,2)
7．已知抛物线的顶点为原点，焦点在y轴上，抛物线上点M(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为( )
A．4或－4 B．－2
C．4 D．2或－2
8．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且它的一个焦点在抛物线y2＝12x的准线上，则此双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
9．动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过点( )
A．(4,0) B．(2, 0)
C．(0,2) D．(0，－2)
10．椭圆＋＝1(a＞b＞0)上任意一点到两焦点的距离分别为d1，d2，焦距为2c，若d1,2c，d2成等差数列，则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
11．已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是( )
A．x2＝y－ B．x2＝2y－
C．x2＝2y－1 D．x2＝2y－2
12．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为双曲线左支上一点，若的最小值为8a，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A．(1,3) B．(1,2)
C．(1,3] D．(1,2]
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．若双曲线－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±x，则b等于________．
14．若中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过点(4,0)，离心率为，则椭圆的标准方程为________．
15．设F1和F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为________．
16．过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点作圆x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A，B.若∠AOB＝120°(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为________．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)求与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦距，且离心率为的椭圆的标准方程．
18．(本小题满分12分)已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.
19．(本小题满分12分)已知椭圆方程为＋＝1，在椭圆上是否存在点P(x，y)到定点A(a,0)(其中0＜a＜3)的距离的最小值为1，若存在，求出a的值及P点的坐标；若不存在，说明理由．
20．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，直线l为圆O：x2＋y2＝b2的一条切线，记椭圆C的离心率为e.
(1)若直线l的倾斜角为，且恰好经过椭圆C的右顶点，求e的大小；
(2)在(1)的条件下，设椭圆C的上顶点为A，左焦点为F，过点A与AF垂直的直线交x轴的正半轴于B点，且过A，B，F三点的圆恰好与直线l：x＋y＋3＝0相切，求椭圆C的方程．
21．(本小题满分12分)设椭圆C1：＋＝1(a>b>0)，抛物线C2：x2＋by＝b2.
(1)若C2经过C1的两个焦点，求C1的离心率；
(2)设A(0，b)，Q(3，b)，又M，N为C1与C2不在y轴上的两个交点，若△AMN的垂心为B(0，b)，且△QMN的重心在C2上，求椭圆C1和抛物线C2的方程．
22．(本小题满分12分)已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是，直线y＝t与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；
(3)设Q(x，y)是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值．
选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》单元检测题参考答案
选择题答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
A
C
B
B
A
C
B
A
C
C
【第4题解析】|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，∴|PF1|·|PF2|≤()2＝25. 当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5时，取得最大值，此时P点是短轴端点，故选C.
【第5题解析】依题意知?a2＝9，b2＝27，所以双曲线的方程为－＝1. 故选B.
【第6题解析】如图所示，直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN1⊥l，
由抛物线的定义知，|PF|＝|PN|，∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，当且仅当A，P，N三点共线时取等号，∴P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1，则可排除A、C、D项，故选B.
【第7题解析】由题可知，－(－2)＝4，∴p＝4.∴抛物线的方程为x2＝－8y. 将(m，－2)代入可得m2＝16，∴m＝±4.故选A..
【第8题解析】抛物线y2＝12x的准线方程为x＝－3，由题意，得解得a2＝3，b2＝6，故所求双曲线的方程为－＝1. 故选C.
【第11题解析】由y＝x2?x2＝4y，焦点F(0,1)，设PF中点Q(x，y)、P(x0，y0)，
则∴x2＝2y－1. 故选C.
【第12题解析】＝＝|PF1|＋＋4a≥8a，当|PF1|＝，即|PF1|＝2a时取等号．又|PF1|≥c－a，∴2a≥c－a. ∴c≤3a，即e≤3. ∴双曲线的离心率的取值范围是(1,3].故选C.
填空题答案
第13题
1
第14题
＋＝1，或＋＝1
第15题
1
第16题
2
【第13题解析】由题意知＝，解得b＝1. 故填1.
【第14题解析】若焦点在x轴上，则a＝4，由e＝，可得c＝2，∴b2＝a2－c2＝16－12＝4，椭圆方程为＋＝1，
若焦点在y轴上，则b＝4，由e＝，可得＝，∴c2＝a2. 又a2－c2＝b2，∴a2＝16，a2＝64.∴椭圆方程为＋＝1. 故填＋＝1，或＋＝1.
【第15题解析】由题设知②－①2得|PF1|·|PF2|＝2. ∴△F1PF2的面积S＝|PF1|·|PF2|＝1. 故填1.
【第16题解析】
如图，设双曲线一个焦点为F，则△AOF中，|OA|＝a，|OF|＝c，∠FOA＝60°.
∴c＝2a，∴e＝＝2. 故填2.
【第18题解析】设直线上任意一点坐标为(x，y)，
弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
∵P1，P2在抛物线上，∴y＝6x1，y＝6x2.
两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．
∵y1＋y2＝2，∴k＝＝＝3.
∴直线的方程为y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0.
由得y2－2y－22＝0，
∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22.
∴|P1P2|＝ ＝.
∵|x|≤3，当|a|≤3，又0即0＜a≤时，|AP|2的最小值为4－a2.
依题意，得4－a2＝1，∴a＝±?，
当a＞3，即＜a＜3.
此时x＝3，|AP|2取最小值(3－a)2.
依题意，得(3－a)2＝1，∴a＝2.
此时P点的坐标是(3,0)．
故当a＝2时，存在这样的点P满足条件，P点坐标为(3,0)．
【第20题答案】（1）.; (2) ＋＝1.
【第20题解析】
(1)如图，设直线l与圆O相切于E点，椭圆C的右顶点为D，
则由题意易知，△OED为直角三角形，
且|OE|＝b，|OD|＝a，∠ODE＝，
∴|ED|＝＝c(c为椭圆C的半焦距)．
∴椭圆C的离心率e＝＝cos＝.
(2)由(1)知，＝，
∴可设a＝2m(m>0)，则c＝m，b＝m，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
∴A(0，m)，∴|AF|＝2m.
直线AF的斜率kAF＝，∴∠AFB＝60°.
在Rt△AFB中，|FB|＝＝4m，
∴B(3m,0)，设斜边FB的中点为Q，则Q(m,0)，
∵△AFB为直角三角形，
∴过A，B，F三点的圆的圆心为斜边FB的中点Q，且半径为2m，
∵圆Q与直线l：x＋y＋3＝0相切，
∴＝2m.
∵m是大于0的常数，∴m＝1. 故所求的椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由题设可知M、N关于y轴对称，
设M(－x1，y1)，N(x1，y1)(x1>0)，
由△AMN的垂心为B，
有·＝0?－x＋(y1－b)(y1－b)＝0.
由点N(x1，y1)在抛物线上，x＋by1＝b2， 解得y1＝－，或y1＝b(舍去)，
故x1＝b，M(－b，－)，N(b，－)，得△QMN重心坐标(，)．
由重心在抛物线上得3＋＝b2，
∴b＝2，M(－，)，N(，－)，
又∵M，N在椭圆上，得a2＝，椭圆方程为＋＝1，抛物线方程为x2＋2y＝4.
∴圆P的半径为.
∴＝|t|，解得t＝±.
∴点P的坐标是(0，±)．
(3)由(2)知，圆P的方程为
x2＋(y－t)2＝3(1－t2)．
∵点Q(x，y)在圆P上，
∴y＝t±≤t＋.
设t＝cosθ，θ∈(0，π)，
则t＋＝cosθ＋sinθ＝2sin(θ＋)，
当θ＝，即t＝，且x＝0，y取最大值2.
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知抛物线的准线方程为x＝－7，则抛物线的标准方程为( )
A．x2＝－28y B．y2＝28x
C．y2＝－28x D．x2＝28y
2．设P是椭圆＋＝1上的点．若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )
A．4 B．5
C．8 D．10
3．双曲线3mx2－my2＝3的一个焦点是(0,2)，则m的值是( )
A．－1 B．1
C．－ D.
4．椭圆＋＝1上一点P到两焦点的距离之积为m，则m取最大值时，P点坐标是( )
A．(5,0)或(－5,0)
B．(，)或(，－)
C．(0,3)或(0，－3)
D．(，)或(－，)
5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
6．在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是( )
A．(－2,1) B．(1,2)
C．(2,1) D．(－1,2)
7．已知抛物线的顶点为原点，焦点在y轴上，抛物线上点M(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为( )
A．4或－4 B．－2
C．4 D．2或－2
8．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且它的一个焦点在抛物线y2＝12x的准线上，则此双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
9．动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过点( )
A．(4,0) B．(2, 0)
C．(0,2) D．(0，－2)
10．椭圆＋＝1(a＞b＞0)上任意一点到两焦点的距离分别为d1，d2，焦距为2c，若d1,2c，d2成等差数列，则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
11．已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是( )
A．x2＝y－ B．x2＝2y－
C．x2＝2y－1 D．x2＝2y－2
12．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为双曲线左支上一点，若的最小值为8a，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A．(1,3) B．(1,2)
C．(1,3] D．(1,2]
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．若双曲线－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±x，则b等于________．
14．若中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过点(4,0)，离心率为，则椭圆的标准方程为________．
15．设F1和F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为________．
16．过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点作圆x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A，B.若∠AOB＝120°(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为________．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)求与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦距，且离心率为的椭圆的标准方程．
18．(本小题满分12分)已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.
19．(本小题满分12分)已知椭圆方程为＋＝1，在椭圆上是否存在点P(x，y)到定点A(a,0)(其中0＜a＜3)的距离的最小值为1，若存在，求出a的值及P点的坐标；若不存在，说明理由．
20．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，直线l为圆O：x2＋y2＝b2的一条切线，记椭圆C的离心率为e.
(1)若直线l的倾斜角为，且恰好经过椭圆C的右顶点，求e的大小；
(2)在(1)的条件下，设椭圆C的上顶点为A，左焦点为F，过点A与AF垂直的直线交x轴的正半轴于B点，且过A，B，F三点的圆恰好与直线l：x＋y＋3＝0相切，求椭圆C的方程．
21．(本小题满分12分)设椭圆C1：＋＝1(a>b>0)，抛物线C2：x2＋by＝b2.
(1)若C2经过C1的两个焦点，求C1的离心率；
(2)设A(0，b)，Q(3，b)，又M，N为C1与C2不在y轴上的两个交点，若△AMN的垂心为B(0，b)，且△QMN的重心在C2上，求椭圆C1和抛物线C2的方程．
22．(本小题满分12分)已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是，直线y＝t与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；
(3)设Q(x，y)是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值．
选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》单元检测题参考答案
选择题答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
A
C
B
B
A
C
B
A
C
C
【第4题解析】|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，∴|PF1|·|PF2|≤()2＝25. 当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5时，取得最大值，此时P点是短轴端点，故选C.
【第5题解析】依题意知?a2＝9，b2＝27，所以双曲线的方程为－＝1. 故选B.
【第6题解析】如图所示，直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN1⊥l，
由抛物线的定义知，|PF|＝|PN|，∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，当且仅当A，P，N三点共线时取等号，∴P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1，则可排除A、C、D项，故选B.
【第7题解析】由题可知，－(－2)＝4，∴p＝4.∴抛物线的方程为x2＝－8y. 将(m，－2)代入可得m2＝16，∴m＝±4.故选A..
【第8题解析】抛物线y2＝12x的准线方程为x＝－3，由题意，得解得a2＝3，b2＝6，故所求双曲线的方程为－＝1. 故选C.
【第11题解析】由y＝x2?x2＝4y，焦点F(0,1)，设PF中点Q(x，y)、P(x0，y0)，
则∴x2＝2y－1. 故选C.
【第12题解析】＝＝|PF1|＋＋4a≥8a，当|PF1|＝，即|PF1|＝2a时取等号．又|PF1|≥c－a，∴2a≥c－a. ∴c≤3a，即e≤3. ∴双曲线的离心率的取值范围是(1,3].故选C.
填空题答案
第13题
1
第14题
＋＝1，或＋＝1
第15题
1
第16题
2
【第13题解析】由题意知＝，解得b＝1. 故填1.
【第14题解析】若焦点在x轴上，则a＝4，由e＝，可得c＝2，∴b2＝a2－c2＝16－12＝4，椭圆方程为＋＝1，
若焦点在y轴上，则b＝4，由e＝，可得＝，∴c2＝a2. 又a2－c2＝b2，∴a2＝16，a2＝64.∴椭圆方程为＋＝1. 故填＋＝1，或＋＝1.
【第15题解析】由题设知②－①2得|PF1|·|PF2|＝2. ∴△F1PF2的面积S＝|PF1|·|PF2|＝1. 故填1.
【第16题解析】
如图，设双曲线一个焦点为F，则△AOF中，|OA|＝a，|OF|＝c，∠FOA＝60°.
∴c＝2a，∴e＝＝2. 故填2.
【第18题解析】设直线上任意一点坐标为(x，y)，
弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
∵P1，P2在抛物线上，∴y＝6x1，y＝6x2.
两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．
∵y1＋y2＝2，∴k＝＝＝3.
∴直线的方程为y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0.
由得y2－2y－22＝0，
∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22.
∴|P1P2|＝ ＝.
∵|x|≤3，当|a|≤3，又0
依题意，得4－a2＝1，∴a＝±?，
当a＞3，即＜a＜3.
此时x＝3，|AP|2取最小值(3－a)2.
依题意，得(3－a)2＝1，∴a＝2.
此时P点的坐标是(3,0)．
故当a＝2时，存在这样的点P满足条件，P点坐标为(3,0)．
【第20题答案】（1）.; (2) ＋＝1.
【第20题解析】
(1)如图，设直线l与圆O相切于E点，椭圆C的右顶点为D，
则由题意易知，△OED为直角三角形，
且|OE|＝b，|OD|＝a，∠ODE＝，
∴|ED|＝＝c(c为椭圆C的半焦距)．
∴椭圆C的离心率e＝＝cos＝.
(2)由(1)知，＝，
∴可设a＝2m(m>0)，则c＝m，b＝m，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
∴A(0，m)，∴|AF|＝2m.
直线AF的斜率kAF＝，∴∠AFB＝60°.
在Rt△AFB中，|FB|＝＝4m，
∴B(3m,0)，设斜边FB的中点为Q，则Q(m,0)，
∵△AFB为直角三角形，
∴过A，B，F三点的圆的圆心为斜边FB的中点Q，且半径为2m，
∵圆Q与直线l：x＋y＋3＝0相切，
∴＝2m.
∵m是大于0的常数，∴m＝1. 故所求的椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由题设可知M、N关于y轴对称，
设M(－x1，y1)，N(x1，y1)(x1>0)，
由△AMN的垂心为B，
有·＝0?－x＋(y1－b)(y1－b)＝0.
由点N(x1，y1)在抛物线上，x＋by1＝b2， 解得y1＝－，或y1＝b(舍去)，
故x1＝b，M(－b，－)，N(b，－)，得△QMN重心坐标(，)．
由重心在抛物线上得3＋＝b2，
∴b＝2，M(－，)，N(，－)，
又∵M，N在椭圆上，得a2＝，椭圆方程为＋＝1，抛物线方程为x2＋2y＝4.
∴圆P的半径为.
∴＝|t|，解得t＝±.
∴点P的坐标是(0，±)．
(3)由(2)知，圆P的方程为
x2＋(y－t)2＝3(1－t2)．
∵点Q(x，y)在圆P上，
∴y＝t±≤t＋.
设t＝cosθ，θ∈(0，π)，
则t＋＝cosθ＋sinθ＝2sin(θ＋)，
当θ＝，即t＝，且x＝0，y取最大值2.