第01讲：必修1第一章《集合与函数概念》单元检测题-高中数学单元检测题 Word版含解析

必修1第一章《集合与函数概念》单元检测题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2<9}，则A∩B＝
(　　)
A．{－2，－1,0,1,2,3}
B．{－2，－1,0,1,2}
C．{1,2,3}
D．{1,2}
2．设集合M＝{1,2}，则满足条件M∪N＝{1,2,3,4}的集合N的个数是
(　　)
A．1
B．3
C．2
D．4
3．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是
(　　)
A．y＝－3x＋2
B．y＝
C．y＝x2－4x＋5
D．y＝3x2＋8x－10
4．若奇函数f(x)在[3,7]上是增函数，且最小值是1，则它在[－7，－3]上是
(　　)
A．增函数且最小值是－1
B．增函数且最大值是－1
C．减函数且最大值是－1
D．减函数且最小值是－1
5．已知集合P＝{x|y＝}，集合Q＝{y|y＝}，则P与Q的关系是
(　　)
A．P＝Q
B．PQ
C．PQ
D．P∩Q＝
6．设F(x)＝f(x)＋f(－x)，x∈R，若[－π，－]是函数F(x)的单调递增区间，则一定是F(x)单调递减区间的是
(　　)
A．[－，0]
B．[，π]
C．[π，π]
D．[π，2π]
7．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝1，则
(　　)
A．f(－1)B．f(1)C．f(2)D．f(1)8．图中的图象所表示的函数的解析式为
(　　)
A．y＝|x－1|　(0≤x≤2)
B．y＝－|x－1|　(0≤x≤2)
C．y＝－|x－1|　(0≤x≤2)
D．y＝1－|x－1|　(0≤x≤2)
9．已知f(x)＝，则f()＋f()＝
(　　)
A．－　　　
B.
C.　　　
D．－
10．函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f(a)≤f(2)，则实数a的取值范围是
(　　)
A．a≤2
B．a≥－2
C．－2≤a≤2
D．a≤－2或a≥2
11．已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图像的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则i＝
(　　)
A．0
B．m
C．2m
D．4m
12．已知f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，F(x)＝则F(x)的最值是
(　　)
A．最大值为3，最小值－1
B．最大值为7－2，无最小值
C．最大值为3，无最小值
D．既无最大值，又无最小值
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．函数y＝2x＋4的值域为________.
14．有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两种都没买的有________人.
15．若函数f(x)的定义域为[－1,2]则函数f(3－2x)的定义域为________.
16．规定记号“Δ”表示一种运算，即aΔb＝＋a＋b，a，b∈R＋，若1Δk＝3，则函数f(x)＝kΔx的值域是________.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1＜x＜6}，C＝{x|x＞a}，U＝R.
(1)求A∪B，( UA)∩B；
(2)若A∩C≠ ，求a的取值范围．
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝.
(1)判断函数f(x)在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．
19．(本小题满分12分)已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤－a－1}，B＝{x|x＞a＋2}，C＝{x|x＜0或x≥4}都是U的子集.
若 U(A∪B) C，问这样的实数a是否存在？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
20．(本小题满分12分)已知a，b为常数，且a≠0，f(x)＝ax2＋bx，f(2)＝0，方程f(x)＝x有两个相等实根.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的值域；
(3)若F(x)＝f(x)－f(－x)，试判断F(x)的奇偶性，并证明你的结论．
21．(本小题满分12分)设f(x)为定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x；当x>2时，y＝f(x)的图象是顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的一部分.
(1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；
(2)在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的值域和单调区间．
22．(本小题满分12分)定义在R上的函数f(x)，满足当x>0时，f(x)>1，且对任意的x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)·f(y)，f(1)＝2.
(1)求f(0)的值；
(2)求证：对任意x∈R，都有f(x)>0；
(3)解不等式f(3－2x)>4.
必修1第一章《集合与函数概念》单元检测题参考答案
选择题答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
D
D
B
B
B
B
B
A
D
B
B
【第1题解析】由x2<9得，－3【第2题解析】
∵M＝{1,2}，M∪N＝{1,2,3,4}．
∴N＝{3,4}或{1,3,4}或{2,3,4}或{1,2,3,4}，即集合N有4个．故选D.
【第5题解析】P＝{x|y＝}＝[－1，＋∞)，Q＝{y|y＝}＝[0，＋∞)，所以QP.故选B.
【第6题解析】因为F(－x)＝F(x)，所以F(x)是偶函数，因而在[，π]上F(x)一定单调递减．故选B.
【第7题解析】因为二次函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1，所以f(－1)＝f(3)．又函数f(x)的图象为开口向上的抛物线，则f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，故f(1)【第8题解析】0≤x≤1，y＝x,1故选B.
【第9题解析】
f()＝2×－1＝－，f()＝f(－1)＋1＝f()＋1＝2×－1＋1＝，∴f()＋f()＝－，故选A.
【第10解析】∵y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，∴y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，由f(a)≤f(2)，得f(|a|)≤f(2)，∴|a|≥2，得a≤－2或a≥2，故选D.
【第11题解析】因为y＝f(x)，y＝|x2－2x－3|都关于x＝1对称，所以它们交点也关于x＝1对称，当m为偶数时，其和为2×＝m，当m为奇数时，其和为2×＋1＝m，因此选B.
【第12题解析】作出F(x)的图象，如图实线部分，知有最大值而无最小值，且最大值不是3，故选B.
填空题答案
第13题
(－∞，4]
第14题
2
第15题
[，2]
第16题
(1，＋∞)
【第13题解析】令t＝，则x＝1－t2(t≥0)，y＝2x＋4＝2－2t2＋4t＝－2(t－1)2＋4.又∵t≥0，∴当t＝1时，ymax＝4.故原函数的值域是(－∞，4]．故填(－∞，4].
【第14题解析】结合Venn图可知，两种都没买的有2人．故填2.
【第17题答案】（1）A∪B＝{x|1＜x≤8},
( UA)∩B＝{x|1＜x＜2};
(2)
a＜8.
【第17题解析】
(1)A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1＜x＜6}＝{x|1＜x≤8}．
∵ UA＝{x|x＜2或x＞8}，∴( UA)∩B＝{x|1＜x＜2}．
(2)∵A∩C≠ ，作图易知，只要a在8的左边即可，∴a＜8.
【第18题答案】（1）函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，证明见解析；（2）函数f(x)的最大值为f(4)＝，最小值为f(1)＝.
【第18题解析】(1)函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．
证明：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
易知x1－x2＜0，(x1＋1)(x2＋1)＞0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，
即f(x1)＜f(x2)，
所以函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．
(2)由(1)知函数f(x)在[1,4]上是增函数，则函数f(x)的最大值为f(4)＝，最小值为f(1)＝.
【第19题答案】存在这样的实数a，且a的取值范围是{a|a≤－}．
【第19题解析】因为 U(A∪B) C，所以应分两种情况．
(1)若 U(A∪B)＝ ，则A∪B＝R，
因此a＋2≤－a－1，即a≤－.
(2)若 U(A∪B)≠ ，则a＋2＞－1－a，即a＞－.
又A∪B＝{x|x≤－a－1或x＞a＋2}，
所以 U(A∪B)＝{x|－a－1＜x≤a＋2}，
又 U(A∪B) C，所以a＋2＜0或－a－1≥4，
即a＜－2或a≤－5，即a＜－2.
又a＞－，故此时a不存在．
综上，存在这样的实数a，且a的取值范围是{a|a≤－}．
(2)由(1)知f(x)＝－(x－1)2＋.
显然函数f(x)在[1,2]上是减函数，
∴x＝1时，f(x)max＝，x＝2时，f(x)min＝0.
∴x∈[1,2]时，函数f(x)的值域是[0，]．
(3)F(x)是奇函数．
证明：F(x)＝f(x)－f(－x)＝(－x2＋x)－[－(－x)2＋(－x)]＝2x，
∵F(－x)＝2(－x)＝－2x＝－F(x)，
∴F(x)是奇函数．
【第21题答案】（1）f(x)＝－2(x＋3)2＋4，x∈(－∞，－2)；（2）图像见解析；（3）值域为{y|y≤4}，单调增区间为(－∞，－3]和[0,3]，单调减区间为[－3,0]和[3，＋∞)．
(3)由图象观察知f(x)的值域为{y|y≤4}．
单调增区间为(－∞，－3]和[0,3]．
单调减区间为[－3,0]和[3，＋∞)．
【第22题答案】（1）f(0)＝1；（2）证明见解析；（3）不等式的解集是(－∞，)．
【第22题解析】(1)对任意x，y∈R，f(x＋y)＝f(x)·f(y)．
令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)·f(0)，
即f(0)·[f(0)－1]＝0.
令y＝0，得f(x)＝f(x)·f(0)，对任意x∈R成立，
所以f(0)≠0，因此f(0)＝1.
(2)证明：对任意x∈R，
有f(x)＝f(＋)＝f()·f()＝[f()]2≥0.
假设存在x0∈R，使f(x0)＝0，
则对任意x>0，有
f(x)＝f[(x－x0)＋x0]＝f(x－x0)·f(x0)＝0.
这与已知x>0时，f(x)>1矛盾．
所以，对任意x∈R，均有f(x)>0成立．
(3)令x＝y＝1有
f(1＋1)＝f(1)·f(1)，
所以f(2)＝2×2＝4.
任取x1，x2∈R，且x1则f(x2)－f(x1)
＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)
＝f(x2－x1)·f(x1)－f(x1)
＝f(x1)·[f(x2－x1)－1]．
∵x10，
由已知f(x2－x1)>1，
∴f(x2－x1)－1>0.
由(2)知x1∈R，f(x1)>0.
所以f(x2)－f(x1)>0，
即f(x1)故函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
由f(3－2x)>4，得f(3－2x)>f(2)，
即3－2x>2.
解得x<.
所以，不等式的解集是(－∞，)．