第29讲：选修2-2第三章《数系的扩充与复数的引入》单元检测题-高中数学单元检测题 Word版含解析

选修2-2第三章《数系的扩充与复数的引入》单元检测题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．复数z＝1＋cos α＋isin α (π<α<2π)的模为(　　)
A．2cos B．－2cos
C．2sin D．－2sin
2．已知M＝{1,2，m2－3m－1＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，M∩N＝{3}，则实数m的
值为(　　)
A．－1或6 B．－1或4
C．－1 D．4
3．若θ∈，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i在复平面内所对应的点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．一元二次方程x2－(5＋i)x＋4－i＝0有一个实根x0，则(　　)
A．x0＝4 B．x0＝1
C．x0＝4或x0＝1 D．x0不存在
5．在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则||
等于(　　)
A. B．2 C. D．4
6．已知复数z＝ ，是z的共轭复数，则z·等于(　　)
A. B. C．1 D．2
7．在复平面上复数－1＋i、0、3＋2i所对应的点分别是A、B、C，则平行四边形ABCD
的对角线BD的长为(　　)
A．5 B. C. D.
8．已知复数z对应的点在第二象限，它的模是3，实部是－，则z为(　　)
A．－＋2i B．－－2i
C.＋2i D.－2i
9．1＋2i＋3i2＋…＋2 005i2 004的值是(　　)
A．－1 000－1 000i B．－1 002－1 002i
C．1 003－1 002i D．1 005－1 000i
10．设复数z满足＝i，则|1＋z|等于(　　)
A．0 B．1 C. D．2
11．若z1＝(2x－1)＋yi与z2＝3x＋i (x，y∈R)互为共轭复数，则z1对应的点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
12．f(n)＝in＋i－n (n∈N＋)的值域中的元素个数是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．无穷多个
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．z1是复数，z2＝z1－i1(其中1表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是－1，则z2
的虚部为______．
14．如果一个复数与它的模的和为5＋i，那么这个复数是________．
15．若复数z＝，则|＋3i|＝________.
16．已知复数z1＝2＋3i，z2＝a＋bi，z3＝1－4i，它们在复平面上所对应的点分别为A、
B、C.若＝2＋，则a＝________，b＝________.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知复数z＝(2＋i)m2－－2(1－i)，当实数m取什么值时，复数z是(1)虚数，(2)纯虚数．
18．(本小题满分12分)设复数z满足|z|＝5，且(3＋4i)z在复平面内的对应点在第二、四象限的角平分线上，|z－m|＝5(m∈R)，求z和m的值．
19.( 本小题满分12分)复数z＝，若z2＋<0，求纯虚数a.
20．(本小题满分12分)已知复数z的模为2，求复数1＋i＋z的模的最大值、最小值．
21.( 本小题满分12分)已知z是虚数，证明：z＋为实数的充要条件是|z|＝1.
22．(本小题满分12分)复数z＝且|z|＝4，z对应的点在第一象限，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a、b的值．
选修2-2第三章《数系的扩充与复数的引入》单元检测题参考答案
选择题答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
B
D
B
A
B
A
C　
C
C
B
【第1题解析】|z|＝＝＝＝2
∵π<α<2π，∴<<π，∴cos <0，∴2＝－2cos .故选B.
【第4题解析】由已知可得x－(5＋i)x0＋4－i＝0，∴，该方程组无解．故选D.
【第5题解析】由题意＝－，∴对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i，∴||＝2.故选B,
【第6题解析】∵z＝＝，∴|z|＝＝＝.∴z·＝|z|2＝.故选A.
【第7题解析】对应的复数为－1＋i，对应的复数为3＋2i，∵＝＋，∴对应的复数为(－1＋i)＋(3＋2i)＝2＋3i.∴BD的长为.故选B.
【第8题解析】设z＝x＋yi (x，y∈R)，则x＝－，由|z|＝3，得(－)2＋y2＝9，即y2＝4，∴y＝±2，∵复数z对应的点在第二象限，∴y＝2. ∴z＝－＋2i.故选A.
【第9题解析】1＋2i＋3i2＋4i3＝1＋2i－3－4i＝－2－2i. 周期出现，原式＝501×(－2－2i)＋2 005i2 004＝－1 002－1 002i＋2 005＝1 003－1 002i.故选C.
【第10题解析】由＝i，得z＝＝－i，∴|1＋z|＝|1－i|＝.故选C.
【第11题解析】由z1，z2互为共轭复数，得解得所以z1＝(2x－1)＋yi＝－3－i.由复数的几何意义知z1对应的点在第三象限．故选C.
【第12题解析】根据i的周期性，当n＝4k (k∈N＋)时，f(n)＝i4k＋i－4k＝1＋1＝2，当n＝4k＋1 (k∈N＋)时，f(n)＝i4k＋1＋i－(4k＋1)＝i＋＝0，当n＝4k＋2 (k∈N＋)时，f(n)＝i4k＋2＋i－(4k＋2)＝－2，
当n＝4k＋3 (k∈N＋)时，f(n)＝i4k＋3＋i－(4k＋3)＝－i－＝0. 故值域中元素个数为3.故选B.
填空题答案
第13题
1
第14题
＋i
第15题
第16题
－3　－10
【第13题解析】设z1＝a＋bi，则z2＝a＋bi－i(a－bi)＝a－b＋(b－a)i，又a－b＝－1，∴b－a＝1. 故填1.
【第14题解析】设z＝a＋bi (a、b∈R)，根据题意得a＋bi＋＝5＋i，
所以有，解之得，∴z＝＋i. 故填＋i.
【第17题解析】由于m∈R，复数z可表示为
z＝(2＋i)m2－3m(1＋i)－2(1－i)
＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i，
(1)当m2－3m＋2≠0，
即m≠2且m≠1时，z为虚数．
(2)当，
即m＝－时，z为纯虚数．
【第18题答案】z＝±，m＝0，或m＝2或m=-2.
【第18题解析】设z＝a＋bi (a，b∈R)．
因为|z|＝5，所以a2＋b2＝25.
因为(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)
＝(3a－4b)＋(4a＋3b)i，
又(3＋4i)z在复平面内的对应点在第二、四象限的角平分线上，
所以3a－4b＋4a＋3b＝0，得b＝7a，
所以a＝±，b＝±，即z＝±，
所以z＝±(1＋7i)．
当z＝1＋7i时，有|1＋7i－m|＝5，
即(1－m)2＋72＝50，得m＝0，或m＝2.
当z＝－(1＋7i)时，
同理可得m＝0，或m＝－2.
∴　∴m＝4.∴a＝4i.
【第20题答案】|z＋1＋i|min＝0，|z＋1＋i|max＝4.
【第20题解析】利用公式||z1|－|z2||≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|.
∵|z|＝2，∴||z|－|1＋i||≤|z＋1＋i|≤|z|＋|1＋i|.
∴0≤|z＋1＋i|≤2＋2，
∴|z＋1＋i|min＝0，|z＋1＋i|max＝4.
【第21题答案】证明见解析
【第21题解析】设z＝x＋yi (x，y∈R且y≠0)，
则z＋＝x＋yi＋＝x＋yi＋＝x＋＋i.
当|z|＝1，即x2＋y2＝1时，z＋＝2x∈R.
当z＋∈R，即y－＝0时，又y≠0，
∴x2＋y2＝1，即|z|＝1. ∴z＋为实数的充要条件是|z|＝1.