第28讲：选修2-2第二章《推理与证明》单元检测题-高中数学单元检测题 Word版含解析
文档属性
| 名称 | 第28讲：选修2-2第二章《推理与证明》单元检测题-高中数学单元检测题 Word版含解析 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 408.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-02-08 20:43:26 | ||
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文档简介
选修2-2第二章《推理与证明》单元检测题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列说法中正确的是( )
A．合情推理就是正确的推理
B．合情推理就是归纳推理
C．归纳推理是从一般到特殊的推理过程
D．类比推理是从特殊到特殊的推理过程
2．下面几种推理是合情推理的是( )
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；
③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.
A．①② B．①③④
C．①②④ D．②④
3．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于( )
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
4．用反证法证明命题“如果a>b，那么>”时，假设的内容应是( )
A.＝ B.<
C.＝，且< D.＝或<
5．有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
6．数列{an}中，若a1＝，an＝ (n≥2，n∈N*)，则a2 011的值为( )
A．－1 B. C．1 D．2
7．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A＝∠B＝90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.
正确顺序的序号排列为( )
A．①②③ B．②③①
C．③①② D．③②①
8．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列一些性质，你认为比较恰当的是( )
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；
③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．
A．① B．①②
C．①②③ D．③
9．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝ (n∈N*)，验证n＝1时，
左边应取的项是( )
A．1 B．1＋2
C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4
10．若函数f(x)＝x2－2x＋m (x∈R)有两个零点，并且不等式f(1－x)≥－1恒成立，则实
数m的取值范围为( )
A．(0,1) B．[0,1)
C．(0,1] D．[0,1]
11．求证：＋<2.
证明：因为＋和2都是正数，
所以为了证明＋<2，
只需证明(＋)2<(2)2，
展开得6＋2<12，即<3，
只需证明5<9.因为5<9成立．
所以不等式＋<2成立．
上述证明过程应用了( )
A．综合法 B．分析法
C．反证法 D．间接证法
12．若a，b，c均为实数，则下面四个结论均是正确的：
①ab＝ba；②(ab)c＝a(bc)；
③若ab＝bc，b≠0，则a－c＝0；
④若ab＝0，则a＝0或b＝0.
对向量a，b，c，用类比的思想可得到以下四个结论：
①a·b＝b·a；②(a·b)c＝a(b·c)；③若a·b＝b·c，b≠0，则a＝c；
④若a·b＝0，则a＝0或b＝0.
其中结论正确的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知数列{an}，a1＝，an＋1＝，则a2，a3，a4，a5分别为______________，猜
想an＝______.
14．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在
空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为______．
15．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，
第五个等式为________．
16．已知x>0，由不等式x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，…，启发我们可以得到推广结
论：x＋≥n＋1 (n∈N*)，则m＝________.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设f(x)＝x2＋ax＋b，
求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.
18．(本小题满分12分)用反证法证明：已知a与b均为有理数，且与都是无理数，
证明：＋是无理数．
19.( 本小题满分12分)已知正数数列{an}的前n项和Sn＝(an＋)，
(1)求a1，a2，a3；
(2)归纳猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
20．(本小题满分12分)已知a>0，求证：－≥a＋－2.
21.( 本小题满分12分)在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：＝＋，那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．
22．(本小题满分12分)已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝ (n∈N*)且点P1的坐标为(1，
－1)．
(1)求过点P1，P2的直线l的方程；
(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点Pn都在(1)中的直线l上．
选修2-2第二章《推理与证明》单元检测题参考答案
选择题答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
D
D
C
B
C
C
D
B
B
B
【第6题解析】∵a1＝，an＝，∴a2＝＝2，a3＝＝－1，a4＝＝.
∴an＋3＝an，即周期为3. ∴a2 011＝a670×3＋1＝a1＝.故选B.
【第7题解析】由题得选项C正确，故选C.
【第8题解析】因为正三角形的边和角可以与正四面体的面(或棱)和相邻的二面所成的二面角(或共顶点的两棱夹角)类比，所以①②③都恰当．故选C.
【第9题解析】 n＝1时，n＋3＝4，∴左边＝1＋2＋3＋4. 故选D.
【第10题解析】∵f(x)＝x2－2x＋m有两个零点，∴Δ＝4－4m>0，∴m<1，又f(1－x)＝(1－x)2－2(1－x)＋m＝x2＋m－1≥m－1.而f(1－x)≥－1恒成立，∴m－1≥－1，∴m≥0，∴0≤m<1.故选B.
【第11题解析】本题中的证明执果索因，是分析法．故选B.
【第12题解析】①正确，其余错误．故选B.
填空题答案
第13题
，，，
第14题
1∶8
第15题
13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.
第16题
nn
【第13题解析】由题得填，，， .
【第14题解析】∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，∴它们的体积比为1∶8. 故填1∶8.
【第15题解析】由前三个式子可以得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次多1，等号的右边是一个正整数的平方，后一个正整数依次比前一个大3,4，…，因此，第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212. 故填13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.
①＋③，得－1<10＋4a＋2b<1，
所以－3<8＋4a＋2b<－1，
所以－<4＋2a＋b<－.
由②知－<4＋2a＋b<，矛盾，
所以假设不成立，即|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.
【第18题答案】证明见解析
【第18题解析】假设＋为有理数，
则(＋)(－)＝a－b，
由a>0，b>0，得＋>0.
∴－＝
∵a、b为有理数且＋为有理数．
∴，即－为有理数．
∴(＋)＋(－)，即2为有理数．
从而也就为有理数，这与已知为无理数矛盾，
∴＋一定为无理数．
【第19题答案】(1)a1＝1，a2＝－1，a3＝－；（2）猜想an＝－.证明见解析.
【第19题解析】(1)a1＝1，a2＝－1，a3＝－.
(2)猜想an＝－.
证明：①当n＝1时，由a1＝＝1得结论成立；
②假设n＝k(k∈N*)时结论成立，
即ak＝－.
当n＝k＋1时，
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(ak＋1＋)－(ak＋)
＝(ak＋1＋)－ (－＋)，
从而有a＋2ak＋1－1＝0，
又由ak＋1>0，
解得ak＋1＝＝－，
这说明当n＝k＋1时结论成立．
由①②可知，an＝－对任意正整数n都成立．
从而只要证2≥.
只要证4≥2
即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．
【第21题答案】猜想：四面体A－BCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则＝＋＋.证明见解析.
【第21题解析】
①
∴＝＝＋.
所以＝＋.
类比AB⊥AC，AD⊥BC猜想：
四面体A－BCD中，AB、AC、AD两两垂直，
AE⊥平面BCD，则＝＋＋.
②
如图②，连接BE交CD于F，连接AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD， ∴AB⊥平面ACD.
而AF?平面ACD，∴AB⊥AF.
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
∴＝＋.
在Rt△ACD中，AF⊥CD，
∴＝＋.
∴＝＋＋，故猜想正确．
【第22题答案】（1）直线l的方程为2x＋y＝1；（2）证明见解析.
【第22题解析】(1)由P1的坐标为(1，－1)知a1＝1，b1＝－1.
∴b2＝＝，a2＝a1·b2＝. ∴点P2的坐标为.
∴直线l的方程为2x＋y＝1.
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列说法中正确的是( )
A．合情推理就是正确的推理
B．合情推理就是归纳推理
C．归纳推理是从一般到特殊的推理过程
D．类比推理是从特殊到特殊的推理过程
2．下面几种推理是合情推理的是( )
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；
③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.
A．①② B．①③④
C．①②④ D．②④
3．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于( )
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
4．用反证法证明命题“如果a>b，那么>”时，假设的内容应是( )
A.＝ B.<
C.＝，且< D.＝或<
5．有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
6．数列{an}中，若a1＝，an＝ (n≥2，n∈N*)，则a2 011的值为( )
A．－1 B. C．1 D．2
7．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A＝∠B＝90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.
正确顺序的序号排列为( )
A．①②③ B．②③①
C．③①② D．③②①
8．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列一些性质，你认为比较恰当的是( )
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；
③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．
A．① B．①②
C．①②③ D．③
9．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝ (n∈N*)，验证n＝1时，
左边应取的项是( )
A．1 B．1＋2
C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4
10．若函数f(x)＝x2－2x＋m (x∈R)有两个零点，并且不等式f(1－x)≥－1恒成立，则实
数m的取值范围为( )
A．(0,1) B．[0,1)
C．(0,1] D．[0,1]
11．求证：＋<2.
证明：因为＋和2都是正数，
所以为了证明＋<2，
只需证明(＋)2<(2)2，
展开得6＋2<12，即<3，
只需证明5<9.因为5<9成立．
所以不等式＋<2成立．
上述证明过程应用了( )
A．综合法 B．分析法
C．反证法 D．间接证法
12．若a，b，c均为实数，则下面四个结论均是正确的：
①ab＝ba；②(ab)c＝a(bc)；
③若ab＝bc，b≠0，则a－c＝0；
④若ab＝0，则a＝0或b＝0.
对向量a，b，c，用类比的思想可得到以下四个结论：
①a·b＝b·a；②(a·b)c＝a(b·c)；③若a·b＝b·c，b≠0，则a＝c；
④若a·b＝0，则a＝0或b＝0.
其中结论正确的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知数列{an}，a1＝，an＋1＝，则a2，a3，a4，a5分别为______________，猜
想an＝______.
14．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在
空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为______．
15．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，
第五个等式为________．
16．已知x>0，由不等式x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，…，启发我们可以得到推广结
论：x＋≥n＋1 (n∈N*)，则m＝________.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设f(x)＝x2＋ax＋b，
求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.
18．(本小题满分12分)用反证法证明：已知a与b均为有理数，且与都是无理数，
证明：＋是无理数．
19.( 本小题满分12分)已知正数数列{an}的前n项和Sn＝(an＋)，
(1)求a1，a2，a3；
(2)归纳猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
20．(本小题满分12分)已知a>0，求证：－≥a＋－2.
21.( 本小题满分12分)在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：＝＋，那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．
22．(本小题满分12分)已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝ (n∈N*)且点P1的坐标为(1，
－1)．
(1)求过点P1，P2的直线l的方程；
(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点Pn都在(1)中的直线l上．
选修2-2第二章《推理与证明》单元检测题参考答案
选择题答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
D
D
C
B
C
C
D
B
B
B
【第6题解析】∵a1＝，an＝，∴a2＝＝2，a3＝＝－1，a4＝＝.
∴an＋3＝an，即周期为3. ∴a2 011＝a670×3＋1＝a1＝.故选B.
【第7题解析】由题得选项C正确，故选C.
【第8题解析】因为正三角形的边和角可以与正四面体的面(或棱)和相邻的二面所成的二面角(或共顶点的两棱夹角)类比，所以①②③都恰当．故选C.
【第9题解析】 n＝1时，n＋3＝4，∴左边＝1＋2＋3＋4. 故选D.
【第10题解析】∵f(x)＝x2－2x＋m有两个零点，∴Δ＝4－4m>0，∴m<1，又f(1－x)＝(1－x)2－2(1－x)＋m＝x2＋m－1≥m－1.而f(1－x)≥－1恒成立，∴m－1≥－1，∴m≥0，∴0≤m<1.故选B.
【第11题解析】本题中的证明执果索因，是分析法．故选B.
【第12题解析】①正确，其余错误．故选B.
填空题答案
第13题
，，，
第14题
1∶8
第15题
13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.
第16题
nn
【第13题解析】由题得填，，， .
【第14题解析】∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，∴它们的体积比为1∶8. 故填1∶8.
【第15题解析】由前三个式子可以得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次多1，等号的右边是一个正整数的平方，后一个正整数依次比前一个大3,4，…，因此，第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212. 故填13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.
①＋③，得－1<10＋4a＋2b<1，
所以－3<8＋4a＋2b<－1，
所以－<4＋2a＋b<－.
由②知－<4＋2a＋b<，矛盾，
所以假设不成立，即|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.
【第18题答案】证明见解析
【第18题解析】假设＋为有理数，
则(＋)(－)＝a－b，
由a>0，b>0，得＋>0.
∴－＝
∵a、b为有理数且＋为有理数．
∴，即－为有理数．
∴(＋)＋(－)，即2为有理数．
从而也就为有理数，这与已知为无理数矛盾，
∴＋一定为无理数．
【第19题答案】(1)a1＝1，a2＝－1，a3＝－；（2）猜想an＝－.证明见解析.
【第19题解析】(1)a1＝1，a2＝－1，a3＝－.
(2)猜想an＝－.
证明：①当n＝1时，由a1＝＝1得结论成立；
②假设n＝k(k∈N*)时结论成立，
即ak＝－.
当n＝k＋1时，
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(ak＋1＋)－(ak＋)
＝(ak＋1＋)－ (－＋)，
从而有a＋2ak＋1－1＝0，
又由ak＋1>0，
解得ak＋1＝＝－，
这说明当n＝k＋1时结论成立．
由①②可知，an＝－对任意正整数n都成立．
从而只要证2≥.
只要证4≥2
即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．
【第21题答案】猜想：四面体A－BCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则＝＋＋.证明见解析.
【第21题解析】
①
∴＝＝＋.
所以＝＋.
类比AB⊥AC，AD⊥BC猜想：
四面体A－BCD中，AB、AC、AD两两垂直，
AE⊥平面BCD，则＝＋＋.
②
如图②，连接BE交CD于F，连接AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD， ∴AB⊥平面ACD.
而AF?平面ACD，∴AB⊥AF.
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
∴＝＋.
在Rt△ACD中，AF⊥CD，
∴＝＋.
∴＝＋＋，故猜想正确．
【第22题答案】（1）直线l的方程为2x＋y＝1；（2）证明见解析.
【第22题解析】(1)由P1的坐标为(1，－1)知a1＝1，b1＝－1.
∴b2＝＝，a2＝a1·b2＝. ∴点P2的坐标为.
∴直线l的方程为2x＋y＝1.