第25讲：选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》单元检测题-高中数学单元检测题 Word版含解析

选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》单元检测题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
2．平面内有定点A、B及动点P，设命题甲是“|PA|＋|PB|是定值”，命题乙是“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，那么甲是乙的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．设a≠0，a∈R，则抛物线y＝ax2的焦点坐标为(　　)
A. B.
C. D.
4．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是(　　)
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝2(x≠±2) D．x2＋y2＝4(x≠±2)
5．已知椭圆＋＝1 (a>b>0)有两个顶点在直线x＋2y＝2上，则此椭圆的焦点坐标是(　　)
A．(±，0) B．(0，±)
C．(±，0) D．(0，±)
6．设椭圆＋＝1 (m>1)上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
7．已知双曲线的方程为－＝1，点A，B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一焦点，则△ABF1的周长为(　　)
A．2a＋2m B．4a＋2m
C．a＋m D．2a＋4m
8．已知抛物线y2＝4x上的点P到抛物线的准线的距离为d1，到直线3x－4y＋9＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是(　　)
A. B. C．2 D.
9．设点A为抛物线y2＝4x上一点，点B(1,0)，且|AB|＝1，则A的横坐标的值为(　　)
A．－2 B．0
C．－2或0 D．－2或2
10．从抛物线y2＝8x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△PFM的面积为(　　)
A．5 B．6
C．10 D． 5
11．若直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A，B两个不同的点，且AB的中点的横坐标为2，则k等于(　　)
A．2或－1 B．－1
C．2 D．1±
12．设F1、F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且·＝0，则|＋|等于(　　)
A．3 B．6 C．1 D．2
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．以等腰直角△ABC的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为_ ___________．
14．已知抛物线C：y2＝2px (p>0)，过焦点F且斜率为k (k>0)的直线与C相交于A、B两点，若＝3，则k＝________.
15．已知抛物线y2＝2px (p>0)，过点M(p,0)的直线与抛物线交于A、B两点，则·＝________.
16．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝_ _______.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)求与椭圆＋＝1有公共焦点，并且离心率为的双曲线方程．
18．(本小题满分12分)已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点F交椭圆于A、B两点，求弦AB的长．
19.( 本小题满分12分)已知两个定点A(－1,0)、B(2,0)，求使∠MBA＝2∠MAB的点M的轨迹方程．
20．(本小题满分12分)已知点A(0，－2)，B(0,4)，动点P(x，y)满足·＝y2－8.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设(1)中所求轨迹与直线y＝x＋2交于C、D两点．求证：OC⊥OD(O为原点)．
21.( 本小题满分12分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程．
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
22．(本小题满分12分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y＝x2的焦点，离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M，若＝m，＝n，求m＋n的值．
选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》单元检测题参考答案
选择题答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
D
D
A
B
B
A
B
A
C
B
【第5题解析】故选A.
【第6题解析】2a＝3＋1＝4.∴a＝2，又∵c＝＝1，∴离心率e＝＝.故选B.
【第7题解析】∵A，B在双曲线的右支上，∴|BF1|－|BF2|＝2a，|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|＋|AF1|－(|BF2|＋|AF2|)＝4a，|BF1|＋|AF1|＝4a＋m，∴△ABF1的周长为4a＋m＋m＝4a＋2m..故选B.
【第8题解析】
如图所示过点F作FM垂直于直线3x－4y＋9＝0，当P点为直线FM与抛物线的交点时，d1＋d2最小值为＝.故选A.
【第9题解析】由题意B为抛物线的焦点．令A的横坐标为x0，则|AB|＝x0＋1＝1，∴x0＝0.故选B.
【第10题解析】由题得
.故选A.
【第11题解析】由消去y得，k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，故Δ＝[－4(k＋2)]2－4k2×4
＝64(1＋k)>0，解得k>－1，由x1＋x2＝＝4，解得k＝－1或k＝2，又k>－1，故k＝2.故选C.
【第12题解析】因为·＝0，所以⊥，则||2＋||2＝|F1F2|2＝4c2＝36，故|＋|2＝||2＋2·＋||2＝36，所以|＋|＝6.故选B.
填空题答案
第13题
或－1
第14题
第15题
－p2
第16题
2
【第14题解析】设直线l为抛物线的准线，过A，B分别作AA1，BB1垂直于l，A1，B1为垂足，过B作BE垂直于AA1与E，则|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，由＝3，∴cos∠BAE＝＝，∴∠BAE＝60°，∴tan∠BAE＝.即k＝.故填.
【第15题解析】直接取两个特殊点
.故填－p2.
【第16题解析】设点A，B的横坐标分别是x1，x2，则依题意有焦点F(1,0)，|AF|＝x1＋1＝2，x1＝1，直线AF的方程是x＝1，故|BF|＝|AF|＝2. 故填2.
【第17题答案】－y2＝1.
【第17题解析】由椭圆方程为＋＝1，知长半轴长a1＝3，短半轴长b1＝2，焦距的一半c1＝＝，
∴焦点是F1(－，0)，F2(，0)，因此双曲线的焦点也是F1(－，0)，F2(，0)，设双曲线方程为－＝1 (a>0，b>0)，由题设条件及双曲线的性质，
得，解得，
故所求双曲线的方程为－y2＝1.
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝
＝＝.
【第19题答案】点M的轨迹方程为3x2－y2＝3(右支)或y＝0 (－1【第19题解析】设动点M的坐标为(x，y)．
设∠MAB＝β，∠MBA＝α，即α＝2β，
∴tan α＝tan 2β，则tan α＝.①
(1)如图(1)，当点M在x轴上方时，tan β＝，tan α＝，
将其代入①式并整理得3x2－y2＝3 (x>0，y>0)；
(2)如图(2)，当点M在x轴的下方时，
tan β＝，tan α＝，
将其代入①式并整理得3x2－y2＝3 (x>0，y<0)；
(3)当点M在x轴上时，若满足α＝2β，M点只能在线段AB上运动(端点A、B除外)，只能有α＝β＝0.
综上所述，可知点M的轨迹方程为3x2－y2＝3(右支)或y＝0 (－1【第20题答案】（1）x2＝2y；（2）证明见解析.
【第20题解析】(1)解　∵A(0，－2)，B(0,4)，
∴＝(－x，－2－y)，＝(－x,4－y)．
【第21题答案】（1）抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1；（2）符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0.
【第21题解析】(1)将(1，－2)代入y2＝2px，
得(－2)2＝2p·1，所以p＝2.
故所求的抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t.
由得y2＋2y－2t＝0.
因为直线l与抛物线C有公共点，
所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.
另一方面，由直线OA到l的距离d＝
可得＝，解得t＝±1.
因为－1?[－，＋∞)，1∈[－，＋∞)，
所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0.
【第22题答案】（1）＋y2＝1；（2）m＋n＝10.
【第22题解析】(1)设椭圆C的方程为＋＝1 (a>b>0)．
抛物线方程可化为x2＝4y，其焦点为(0,1)，
则椭圆C的一个顶点为(0,1)，即b＝1.
由e＝＝＝.
得a2＝5，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
＝ (x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)．
∵＝m，＝n，
∴m＝，n＝，
∴m＋n＝，
又2x1x2－2(x1＋x2)＝
＝－，
4－2(x1＋x2)＋x1x2
＝4－＋＝，
∴m＋n＝10.