2.2 不等式的基本性质同步练习

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2.2不等式的基本性质同步练习
姓名：__________班级：__________学号：__________
本节应掌握和应用的知识点
１.不等式的性质１:不等式的两边加(或减)同一个数 (或式子),不等号的方向不变 ．即:如果a＞b, 那么a±c ＞ b±c．
２.不等式的性质２:不等式的两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变 ．即:如果a＞b, c＞０,那么ac＞bc(或＞) ．
３.不等式的性质３:不等式的两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变．即:如果a＞b, c＜０,那么ac＜bc(或＜ )
基础知识和能力拓展训练
一、选择题
1．若，则下列式子中错误的是（ ）．
A. B. C. D.
2．下列不等式对任何实数x都成立的是( )
A. x+1>0 B. x2+1>0 C. x2+1<0 D. ∣x∣+1<0
3．下列选项正确的是（　　）
A. 若a＜b，则ac2＜bc2 B. 若 ac2＜bc2，则a＜b
C. 若a＜b，则a2＜b2 D. 若a＜b，则ac＜bc
4．如图，点A表示的数是a，则数a，–a，2a的大小顺序是（ ）
A. a<–a <2a B. 2a< a<–a C. –a5．已知x＞y，若对任意实数a，以下结论：甲：ax＞ay；乙：a2－x＞a2－y；丙：a2＋x≤a2＋y；丁：a2x≥a2y，其中正确的是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
6．已知a、b为有理数，下列式子：①|ab|＞ab；② ；③ ；④a3+b3=0，其中一定能够表示a、b异号的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7．用求差法比较大小，就是根据两数之差是正数、负数或0，判断两数大小关系的方法．若a＞b，mA. P＜Q B. P = Q C. P＞Q D. P与Q的大小不确定
8．甲在东七菜市上先买了3只羊，平均每只a元，稍后又买了2只，平均每只羊b元，后来他以每只元的价格把羊全卖给了乙，结果发现赔了钱，赔钱的原因是( )
A. a＞b B. a=b C. a＜b D. 与a、b大小无关
9．设“○”，“□”，“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“○”，“□”，“△”这样的物体，按质量由小到大的顺序排列为（　　）
A. ○□△ B. ○△□ C. □○△ D. △□○
10．不等式(1－a) x﹥2变形后得到成立，则a的取值(　 　)
A. a>0 C. a<0 C. a>1 D. a<1
二、填空题
11．若﹣a2b3＞0，则b_____0．
12．如果，则__________（填“”或“”）．
13．已知关于x的不等式(m－1)x＞6，两边同除以m－1，得x＜，则化简：|m－1|－|2－m|＝______．
14．若a＜b＜0，则1，1-a，1-b这三个数最大的是________________.
15．已知a、b、c都是实数，且满足a＞b＞c,a+b+c=0.那么， 的取值范围是__________.
16．若我们规定[x）表示大于x的最小整数，例如[3）=4，[﹣1.2）=﹣1，则下列结论：①[0）=0；②[x）﹣x的最小值是0； ③[x）﹣x的最大值是0； ④存在实数x，使[x）﹣x=0.5成立．其中正确的是______________．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题
17．利用不等式的基本性质，将下列不等式化为“x>a”或“x(1)x＋2>7.
(2)3x<－12.
(3)－7x>－14.
(4) x<2.
18．(1)若x>y ，请比较2－3x 与 2－3y 的大小，并说明理由．
(2)若x>y，请比较(a－3)x与(a－3)y的大小．
19．已知点P(2a－4，3a＋6)在第三象限，求点Q(－a，2a＋4)所在的象限.
20．(1)若x(2)已知关于x的不等式(1－a)x≥2可化为x≤，试确定a的取值范围．
21．小雨的爸爸从市场买回来四个大西瓜，爸爸为了考一考小雨，让小雨把四个大西瓜依次边上①，②，③，④号后，按质量由小到大的顺序排列出来（不准用称），小雨用一个简易天平操作，操作如下：（操作过程中，天平自身损坏忽略不计）
根据实验，小雨很快就把四个编好号的大西瓜的质量由小到大排列起来了．你认为小雨的实验于结果都是真实的吗？（即通过上述实验能找出它们质量的大小吗？）请说明你的理由，并与同学交流．
22．已知a，b，c是三角形的三边，求证： ＋＋<2.
参考答案
1．C
【解析】根据不等式基本性质1，不等式的两边同时减2，不等号的方向不变，故A正确，不符合题意；
根据不等式基本性质1，不等式的两边同时加1，不等号的方向不变，故B正确，不符合题意；
根据不等式基本性质3，不等式的两边同时乘-5，不等号的方向改变，故C错误，符合题意；
根据不等式基本性质2，不等式的两边同时除以5，不等号的方向不变，故D正确，不符合题意，
故选C.
2．B
【解析】A.当x=-1时，x+1=0，所以该不等式不成立；故本选项错误；
B.因为x2 0，所以无论x取何值都有x2+1≥0，所以该不等式成立；故本选项正确；
C.因为x2 0，所以无论x取何值都有x2+1≥0，所以该不等式不成立；故本选项错误；
D.∣x∣≥0所以∣x∣+1≥1；故本选项错误；
故选：B.
3．B
【解析】试题解析：∵a若，则a若a若abc，故选项D错误，
故选B.
点睛：不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变.
不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变.
4．B
【解析】根据数轴图判断出a的范围为－1＜a＜0，∴0＜－a＜1，∴a＜－a，∵1＜2，∴a＞2a，∴2a< a<–a.
故选B.
点睛：不等式左右两边乘以同一个负数，不等式符号要改变.
5．D
【解析】甲：当a=0时，ax=ay，故甲错误；
乙：由x＞y，所以-x<-y，所以a2－x丙：由x＞y，所以a2＋x>a2＋y，故丙错误；
丁：当a=0时，a2x=a2y，当a≠0时，a2x>a2y，所以a2x≥a2y，故丁正确.
故选D.
点睛：熟记不等式的性质：①如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c；②如果a>b，并且c>0，那么ac>bc， ；③如果a>b，并且c<0，那么ac6．B
【解析】①|ab|＞ab，即a与b异号，符合题意；
②, a与b异号，符合题意；
③,若a=0成立，a与b不一定异号，不符合题意；
④a3+b3=0，a与b异号或都为0，不符合题意，
则其中一定能够表示a、b异号的有2个.
故选B.
7．C
【解析】P Q=n+3a (m+3b)=n+3a m 3b=n m+3(a b)
∵a>b，m0，∴P Q>0，∴P>Q，
故选：C.
8．A
【解析】由题意得
， ， .
故选C.
【点睛】由题意知甲赔了钱，也就是买5之羊时的平均价格比卖5只羊时的平均价格低，从而列出不等式求解.
9．D
【解析】由图(1)可知，1个 的质量大于1个□的质量，
由图(2)可知，1个□的质量等于2个△的质量，
∴1个□质量大于1个△质量。
故按质量从小到大的顺序排列为△□ .
故选D.
10．C
【解析】分析：本题考察不等式的基本性质3.
解析：∵(1－a) x﹥2，变形为∴ ＜0，解得a>1.
故选C
11．＜
【解析】∵﹣a2b3＞0，
∴a2b3<0，
∵a2>0,
∴b3<0，
∴b<0.
点睛：本题考查了不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
12．
【解析】∵3x＜0，
∴x＜0，
∵2＞1，
∴2x＜x.
故答案为＜.
点睛：不等式两边乘以同一个负数，不等式符号要改变.
13．-1
【解析】因为（m-1）x＞6，两边同除以m-1，得x＜，
所以m-1＜0，m＜1，
所以2-m＞0，
所以|m-1|-|2-m|
=（1-m）-（2-m）
=1-m-2+m
=-1
故答案是：-1.
【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；解答此题的关键是判断出m-1＜0．
14．1-a
【解析】∵a＜b＜0，
∴-a>-b>0，
∴1-a>1-b>1，
∴这三个数最大的是1-a.
15．
【解析】本题解析：∵a+b+c=0，
∴a>0，c<0①
∴b= a c，且a>0，c<0
∵a>b>c
∴ a c c ②
解得> 2，
将b= a c代入b>c，得 a c>c，即a< 2c ③
解得< ，
∴ 2<< .故答案为： 2<< .
点睛：先将a+b+c=0变形为b=-a-c，代入不等式a>b，b>c，得到两个不等关系，解这两个不等式，即可求得a与c的比值关系，联立求得的取值范围．
16．④
【解析】试题解析：∵[x）表示大于x的最小整数，
∴①[0）=1，故①错误；
②若x为整数，则[x）-x=1，
若x不是整数，则[x）-x≠0，故[x）-x的最小值是0错误，故②错误；
③若x=1，则[x）-x=2-1=1，故③错误；
④当x=0.5时，[x）-x=1-0.5=0.5成立．故④正确，
故正确的个数为1，
故答案为：④．
17．（1）x>5;(2)x<-4;(3)x<2;(4)x<6
【解析】试题分析：（1）不等式两边都减去2即可；
（2）两边都除以3即可；
（3）两边都除以－7，改变不等号方向即可；
（4）两边都乘3即可.
试题解析：
（1）两边都减去2，得x>5
（2）两边都除以3，得x<－4.
（3）两边都除以－7，得x<2.
（4）两边都乘3，得x<6.
18．(1)2－3x<2－3y；（2） (a－3)x<(a－3)y.
【解析】试题分析：(1) 根据不等式的性质，由x＜y，可得：-x＞-y，据此判断出2-3x与2-3y的大小即可;
(2)分三种情况（a-3>0、a-3=0和a-3<0）讨论，再由不等式性质比较大小.
试题解析：
（1）2－3x<2－3y.理由如下：
∵x>y(已知)，
∴－3x<－3y (不等式的基本性质3)，
∴2－3x<2－3y (不等式的基本性质2)．
（2）当a>3时，
∵ x>y, a－3>0，
∴ (a－3)x>(a－3)y.
当a＝3时，
∵ a－3＝0，
∴ (a－3)x＝(a－3)y＝0.
当a<3时，
∵ x>y, a－3<0，
∴ (a－3)x<(a－3)y.
19．点Q在第四象限.
【解析】试题分析：根据第三象限内点的坐标：横坐标＜0，纵坐标＜0建立不等式组求出a的取值范围，然后根据不等式的性质得出点Q的横、纵坐标的正负，即可判断所在的象限．
试题解析：
解：∵点P(2a－4，3a＋6)在第三象限，
∴ ，
解此不等式组得a＜－2.
∴2a＜－4，即2a＋4＜0.
又∵－a＞2，
∴点Q在第四象限.
点睛：本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决此题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（－，＋）；第三象限（－，－）；第四象限（＋，－）．
20．(1)a>2;(2)a>1
【解析】试题分析：依据不等式的性质解答即可．
试题解析：
(1)∵x由于不等号的方向不变，因此可以判断不等式两边同乘了一个正数，
∴a－2>0，
∴a>2.
(2)∵(1－a)x≥2两边同时除以(1－a)，得x≤，
由于不等号的方向改变了，因此可以判断不等式
两边同时除以了一个负数，
∴1－a＜0，
∴a＞1.
21．③＞①＞②＞④
【解析】试题分析：利用已知天平得出：①＞②，②+③＞①+④，①+②=③+④，进而比较得出即可．
试题解析：由题意可得：①＞②，②+③＞①+④，①+②=③+④，
因为 ①＞②，②+③＞①+④，所以②+③＞①+④＞②+④，所以③＞④；
因为①+②=③+④，所以①﹣③=④﹣②，又②+③＞①+④，
所以②﹣④＞①﹣③＞④﹣②，所以②＞④，所以①＞②＞④；
因为①+②=③+④，所以①﹣④=③﹣②＞0，
所以③＞②；④﹣②＜0，所以①﹣③＜0，所以③＞①；
综上，③＞①＞②＞④．
22．见解析
【解析】试题分析：先根据三角形的三边关系及不等式的性质得出分析.
试题解析：
由“三角形两边之和大于第三边”可知，
均是真分数，
再利用分数与不等式的性质，得
.
同理，
∴＋＋<.
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系及不等式的性质．解题关键是运用不等式的传递性．
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