第三十一章 随机事件的概率全章教案
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第三十一章 随机事件的概率
1.体会有些事件的发生是确定的,有些是不确定的.在具体问题情景中,能区分必然事件、不可能事件、随机事件.
2.了解事件发生的可能性有大小之分,能对一些简单事件发生的可能性大小作定量描述.
3.通过试验,知道大量重复试验时的频率具有稳定性,用频率估计事件发生的概率.
4.能利用表格或树形图列举试验的所有可能结果,求简单事件的概率.
5.能设计简单的试验,验证对事件发生的可能性大小的直观猜想.
1.经历猜测、试验、收集与分析试验结果的过程,归纳出三种事件的各自的本质特征,抽象成数学概念.
2.通过现实生活中的问题的探究,体会运用数学知识解决实际问题的方法,感受数学知识与现实世界的联系.
3.通过直觉判断——试验——汇总试验数据——分析数据——发现规律等探究过程,让学生体会探究的乐趣,增强学习的自信心.
4.通过观察列举法的结果是否重复和遗漏,总结列举不重复不遗漏的方法,培养学生观察、归纳、分析问题的能力.
5.通过运用列表法或树形图法求事件的概率解决实际问题,提高学生解决问题的能力,发展应用意识.
6.经历运用列表法或树形图法解决概率实际问题的过程,渗透数学建模的思想,感知数学的应用价值.
1.从具体生活实例出发,观察、思考、总结,确定事件的分类,学会与他人合作交流,培养合作精神,发展随机观念.
2.体验从事物的表象到本质的探究过程,感受数学的科学严谨性及生活中丰富的数学现象.
3.通过在试验中获取数据,归纳总结试验结果,发现规律,真正做到在探索中学习,培养学生的探索精神.
4.在观察、思考、试验、归纳等数学活动中,培养学生的辩证唯物主义观点,增强学生的学科意识.
5.通过对实际问题的分析,理解用频率来估计概率的方法,渗透转化和估算的思想.
6.通过具体实际生活情景,经历用频率估计概率的过程,激发学生的学习兴趣,体验数学的应用价值.
统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象,它通过对数据的收集、整理、描述和分析以及对事件发生可能性的刻画,来帮助人们作出合理的决策.对统计与概率知识的认识,学生在七八年级每学期都有接触,知识螺旋上升,逐步推进.现实生活中存在大量的不确定事件,在一次观察和试验中,不确定事件发生与否具有随机性,但在大量重复试验中却呈现出确定的规律性,而概率论正是研究这种不确定事件的规律性的学科.本章的内容包括认识确定事件和随机事件,理解概率的意义;初步认识频率的稳定性,用频率估计概率;用列举法求简单事件的概率.通过本章的学习,使学生初步感受随机现象,树立随机的观念,为进一步学习统计与概率的知识和方法奠定基础.
对于随机事件的认识,让学生观察、分析摸球试验,体验有些事件的发生是不确定的,从而能区分确定事件和随机事件;随机事件发生的可能性相同时,可以利用概率公式计算事件的概率;用列举法分析事件发生的所有可能情况的结果数一般有列表和画树状图两种方法;随机事件在每次试验中发生与否具有不确定性,但只要保持试验条件不变,那么这一事件出现的频率就会随着试验次数的增大而趋于稳定.这个稳定值就可以作为该事件发生概率的估计值.用等可能事件的概率公式解决一些现实问题,用频率来估计事件发生的概率在生活生产中有着广泛的应用.它有助于我们在错综复杂的情况下,分析事件的本质属性,帮助我们作出合理的判断,这是本章学习的重点.等可能事件的概率的计算往往需要学生有较强的分析和综合能力,对在保持试验条件不变的情况下,随着试验次数的增加,某事件出现的频率趋于稳定,学生较难理解,是本章教学的难点.
【重点】
理解随机事件、必然事件、不可能事件的定义,并能准确地对某一事件进行判断;理解概率的意义,会用列表法和树形图法求事件的概率,并能利用概率知识解决日常生活中的实际问题.
【难点】
理解概率的意义;会用列表法和树形图法求确定事件发生的概率,并能利用概率解决实际问题.
1.概率内容比较抽象,试验的不确定性、概率结果的唯一性,常常使学生感到困惑.所以教学中应多选取贴近学生生活的实际问题,通过观察、分析大量学生熟悉而有趣的问题,使学生认识到不确定现象的普遍性,丰富对概率背景的认识.让学生亲身经历试验,分析试验结果,经历观察与思考、一起探究、大家谈谈等数学活动过程,调动学生的学习积极性,激发对概率学习的兴趣,培养学生的主动参与意识.
2.在本章的教学中,教师要注重引导学生积极参与试验,并和学生小组内交流试验结果,体会随机事件在一次试验中具有不确定性,在大量试验下却呈现出确定的规律.在教学设计中,要根据现有条件,设计方便操作的试验,由于试验耗费的时间较多,可以安排学生课下进行试验,课堂上重点进行汇报试验结果、数据交流、统计分析、讨论交流.
3.列举法计算事件的概率的教学,教师要提供不同类型的问题情景,让学生进行充分的观察思考和讨论交流,形成解决问题的策略,并对不同的观点进行辨析.同时引导学生探究计算概率的方法,特别对于两步完成的试验,可以用列表法列举试验的结果,对于两步以上完成的试验,用树形图列举试验的结果.
4.根据《数学课程标准》,“概率与统计”这块内容到这里已全部学完.应适当注意统计与概率之间的内在联系,频率作为概率的估计值就是体现两者联系的一个方面.用频率的近似值估计概率,在教学中有两点要引起重视.一是试验条件不变,二是随着试验次数的增加,频率趋于稳定,这个稳定值可作为概率的估计值.试验条件不变实际上不容易做到,有条件的话用计算机模拟试验,教学效果将更好.
31.1确定事件和随机事件
1课时
31.2随机事件的概率
2课时
31.3用频率估计概率
2课时
31.4用列举法求简单事件的概率
2课时
回顾与反思
1课时
31.1 确定事件和随机事件
1.初步认识有些事件的发生是确定的,有些事件的发生是不确定的.
2.在具体的问题情景中区分必然事件、不可能事件和随机事件,能正确地描述事件.
1.经历猜测、试验、收集与分析试验结果的过程,归纳出三种事件的各自的本质特征,抽象成数学概念.
2.通过观察一些现象,初步认识有些事件的发生是确定的,有些事件的发生是不确定的,体会数学与生活密切联系.
1.从具体生活实例出发,观察、思考、总结,确定事件的分类,学会与他人合作交流,培养合作精神,发展随机观念.
2.体验从事物的表象到本质的探究过程,感受数学的科学严谨性及生活中丰富的数学现象.
【重点】
必然事件、随机事件和不可能事件的特点.
【难点】
能够判断具体问题情景中的随机事件类型.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P60~62.
导入一:
(课件展示)
如图所示,彩票号码摇奖器中,有10个质地、大小完全相同的球,分别标号为0,1,2,…,9.摇奖器在转动的过程中,将有一个球从下方的洞中漏出.你事先能确定这个球的号码吗?漏出球的号码有多少种可能结果?每个号码出现的可能性大小是否相同?
【师生活动】 教师展示课件,学生观察回答,教师导出本章课题——随机事件的概率.
导入二:
播放一段天气预报,引出一句古语:“天有不测风云”.
(课件展示)
请说明下列事件是否一定发生.
(1)太阳从西边落下;
(2)某人的体温是100 ℃;
(3)a2+b2=-1(其中a,b都是实数);
(4)水往低处流;
(5)酸和碱反应生成盐和水;
(6)一元二次方程x2+2x+3=0有实数解.
【师生活动】 教师展示问题,学生思考回答,教师点评并提问“上述事件是确定的吗?”,学生思考回答后,教师导出本节课课题——确定事件和随机事件.
[设计意图] 通过教材章题页中的彩票摇奖问题简要指明了本章学习的研究内容,激发学生的学习兴趣.通过学生熟知的生活常识和学科知识中生动的、有趣的实例,引出必然事件和不可能事件,很自然地进入新知识的学习和探究,同时体会数学与生活实际息息相关.
[过渡语] 在现实生活中,有些事情事先我们能知道它们一定发生或一定不发生,但对有些事情是否发生,我们事先不能作出肯定的回答,它们有时会发生,有时不会发生,发生与否具有随机性,让我们一起观察哪些事件是随机的,哪些事件是确定的.
观察与思考
(课件展示)
观察下列摸球试验,思考相应的问题.
试验1:A盒中有10个大小和质地都相同的红球,搅匀后从中任意摸出1个球.事先能肯定摸到的是红球吗?能摸到黄球吗?
试验2:B盒中有10个大小和质地都相同的球,其中6个是红球,4个是黄球,搅匀后从中任意摸出1个球.事先能肯定摸到的是红球吗?能肯定摸到的是黄球吗?
试验3:C盒中有10个大小和质地都相同的球,分别标号为0,1,…,9,搅匀后从中任意摸出1个球.摸到球的号码有多少种可能结果?事先能肯定摸到球的号码是几吗?
思路一
【师生活动】 学生独立思考后,小组内合作交流,小组代表回答,教师点评.
教师根据学生回答归纳:
(1)在试验1中,由于A盒中全是红球,所以摸到的肯定是红球.我们说“摸到红球”是必然发生的事情.由于A盒中没有黄球,所以肯定不会摸到黄球,即“摸到黄球”是不可能发生的事情.
(2)在试验2中,可能摸到红球,也可能摸到黄球,事先不能肯定摸到的是红球还是黄球.我们说“摸到红球”和“摸到黄球”都是随机发生的事情.
(3)在试验3中,标号为0,1,…,9的球都有可能被摸到,共有10种可能结果,但事先不能肯定哪种结果会发生.
教师提问:
1.在试验1中,“摸到红球”“摸到黄球”的事件分别是什么事件?
2.在试验2中,“摸到红球”和“摸到黄球”是什么事件?
【师生活动】 学生思考回答,师生共同归纳概念.
(课件展示)
在一定条件下,必然发生的事情叫做必然事件,不可能发生的事情叫做不可能事件,可能发生也可能不发生的事情叫做随机事件.必然事件和不可能事件统称为确定事件.
思路二
【师生活动】 学生独立思考回答试验1,学生亲自做试验2和试验3,重复试验几次,观察事件发生的情况,并回答提出的问题.
教师引导思考:
上面的事件可以分几类?各类事件有什么特点?
【师生活动】 学生观察思考后,小组合作交流,小组代表回答,教师点评,师生共同归纳有关概念.
(课件展示)
在一定条件下,必然发生的事情叫做必然事件,不可能发生的事情叫做不可能事件,可能发生也可能不发生的事情叫做随机事件.必然事件和不可能事件统称为确定事件.
追加提问:
1.在试验1中,“摸到红球”和“摸到黄球”分别是什么事件?
2.试验2中,“摸到红球”和“摸到黄球”分别是什么事件?
【师生活动】 学生思考回答,教师点评.
[设计意图] 从试验出发,学生观察、思考、归纳,体会不同类型的事件的特点,培养学生的归纳总结能力,体会数学与生活之间密切联系.
做一做
(课件展示)
【思考1】
对于试验3,指出下列事件中,哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件.
(1)摸到球的号码不超过9;
(2)摸到球的号码为6;
(3)摸到球的号码为10;
(4)摸到球的号码为奇数.
【师生活动】 学生独立思考,小组内交流答案,小组代表回答,教师点评并给出提示.
【提示】 为方便起见,一般用大写拉丁字母A,B,C,…表示事件.例如,在试验3中,可设A=“摸到球的号码为奇数”,B=“摸到球的号码为偶数”,事件A和B都是随机事件.
【思考2】
你能举出现实生活中有哪些随机事件的实例吗?
【师生活动】 学生思考回答,教师鼓励学生大胆发言,教师点评并课件展示生活中常见实例.
(课件展示)
(1)抛掷一枚硬币,硬币落地后,“正面朝上”和“反面朝上”都是随机事件.
(2)上学路上,小明在某个有交通信号灯的路口“遇到红灯”是随机事件.
(3)小亮拨打火车票订票电话,“线路占线”是随机事件.
(4)从一批节能灯管中任意抽查一只,“使用寿命超过3000 h”是随机事件.
[设计意图] 通过练习,进一步巩固所学知识,加深对必然事件、不可能事件、随机事件的理解.通过列举现实生活中的随机事件的实例,感受生活中处处有数学,数学来源于生活,又运用到生活中去.
[知识拓展] 必然事件与不可能事件统称为确定事件,在叙述必然事件、不可能事件和随机事件时,必须受一定条件的制约,如标准大气压下,水加热到100 ℃沸腾是必然事件,但气压高于标准大气压时,水加热到100 ℃沸腾就不是必然事件.
判断一个事件是必然事件、不可能事件还是随机事件,要从它们的定义出发,同时也要联系生活中的相关知识.
1.事件的分类:
事件
2.在一定条件下,必然发生的事情叫做必然事件,不可能发生的事情叫做不可能事件,可能发生也可能不发生的事情叫做随机事件.
1.(2016·漳州中考)掷一枚质地均匀的硬币10次,下列说法正确的是 ( )
A.每2次必有1次正面向上
B.必有5次正面向上
C.可能有7次正面向上
D.不可能有10次正面向上
解析:掷一枚质地均匀的硬币10次是随机事件,正面可能朝上可能朝下,正面朝上的次数不会超过10次.故选C.
2.下列说法正确的是 ( )
A.如果一件事情发生的机会只有十万分之一,那么它就不可能发生
B.如果一件事情发生的可能性是100%,那么它就一定会发生
C.买彩票的中奖率是1%,那么买100张彩票,就有一张中奖
D.一个口袋中有10个质地均匀的小球,其中9个白球,只有一个红球,那么从中任取一个球,一定是白球
解析:选项A中事件发生的可能性虽然很小,但也有可能发生;选项B中的事件是必然事件,所以它一定会发生;选项C中买彩票的中奖率是1%,说明中奖的可能性小,有时买100张彩票也可能不中奖;选项D中的事件是随机事件.故选B.
3.有下列事件:①今天是6月1日,明天是6月2日;②明天是阴天;③全年级370人中,至少有两个人的生日是同一天;④下个月有32天.以上事件中,确定事件有 ,随机事件有 .(填序号)?
解析:①③是必然事件,②是随机事件,④是不可能事件,所以确定事件是①③④,随机事件是②.
答案:①③④ ②
4.下列事件中,哪些是必然事件?哪些是不可能事件?哪些是随机事件?
①抛掷一块石头,石头落地;
②某人的体温是100 ℃;
③a2+b2=-1(其中a,b都是实数);
④水往低处流;
⑤酸和碱反应生成盐和水;
⑥三个人性别各不相同;
⑦一元二次方程x2+2x+3=0无实数根;
⑧经过有信号灯的十字路口,遇见红灯.
解:事件①④⑤⑦是必然事件;事件②③⑥是不可能事件;事件⑧是随机事件.
31.1 确定事件和随机事件
观察与思考
做一做
一、教材作业
【必做题】
教材第62页习题A组.
【选做题】
教材第62页习题B组的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列事件是随机事件的是 ( )
A.抛硬币,正面朝上
B.在标准大气压下,加热到100 ℃,水沸腾
C.奥运会上,百米赛跑的成绩为5秒
D.掷一枚普通骰子,朝上的一面的点数是8
2.下列成语中描述的事件必然发生的是 ( )
A.水中捞月 B.瓮中捉鳖
C.守株待兔 D.拔苗助长
3.“a是实数,|a|≥0”这一事件是 ( )
A.必然事件 B.不确定事件
C.不可能事件 D.随机事件
4.下列事件:①在足球赛中,弱队战胜强队;②抛掷一枚硬币,落地后正面朝上;③任取两个正整数,其和大于1;④长为3 cm,5 cm,9 cm的三条线段能围成一个三角形,其中确定事件的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.从正五边形的五个顶点中,任取四个顶点连成四边形,对于事件M:“这个四边形是等腰梯形”,下列判断正确的是 ( )
A.事件M是不可能事件
B.事件M是必然事件
C.事件M是随机事件
D.以上均不正确
6.“任意打开一本200页的教科书,正好是第35页”,这是 事件.(填“随机”或“必然”)?
7.抛掷两个分别标有1,2,3,4的正四面体木块,写出这个试验中的一个随机事件是 ,写出这个试验中的一个必然事件是 .?
8.袋子中装有6个红球、3个白球、2个黄球,这些球除了颜色外完全相同,将袋中球搅拌均匀.
(1)闭上眼睛从袋子中拿出一个球,拿出 是可能的, 是不可能的;?
(2)闭上眼睛从袋子中取出3个球,拿出的都是 是不可能的,都是 是可能的.?
9.按事件的确定性,将下列事件分为两类.
(1)同种电荷,相互排斥;
(2)没有水分,种子就不会发芽;
(3)掷一枚硬币,出现正面朝上;
(4)若a,b为实数,则a+b=b+a;
(5)掷一枚骰子,向上的一面是2点;
(6)若射击运动员射击一次,命中靶心.
【能力提升】
10.下列事件中是必然事件的为 ( )
A.有两边及一角对应相等的三角形全等
B.方程x2-x+1=0有两个不相等的实数根
C.北京明天是晴天
D.圆的切线垂直于过切点的半径
11.下列事件中,哪些是必然发生的?哪些是不可能发生的?哪些是随机发生的?
(1)小明今年18岁,明年15岁;
(2)小兵期中考试,数学获得满分120分;
(3)购买一件合格率为98%的商品,买到一件次品(不合格产品);
(4)任意购买一张电影票,座位号是双号;
(5)向空中抛掷一枚硬币,硬币正面朝上;
(6)今天是10号,明天是11号.
12.如图所示的转盘被分成三个相同的扇形,指针位置固定,转动转盘后任其自由停止,其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置,并相应得到一个数(指针指向两个扇形的交线时,当作指向右边的扇形).写出此情景下一个不可能发生的事件.
【拓展探究】
13.一个不透明的袋子中装有6个红球和4个白球,请根据此信息设计一个随机事件、一个必然事件和一个不可能事件.
【答案与解析】
1.A(解析:抛硬币,可能正面朝上,可能反面朝上,是随机事件;B是必然事件;C,D是不可能事件.)
2.B(解析:只有B是必然事件.)
3.A(解析:因为任何实数的绝对值都是非负数,所以|a|≥0是必然成立的.)
4.B(解析:①在足球赛中,弱队战胜强队,此事件为随机事件.②抛掷一枚硬币,落地后正面朝上,此事件为随机事件.③任取两个正整数,其和大于1,此事件为确定事件中的必然事件.④长分别为3 cm,5 cm,9 cm的三条线段能围成一个三角形,此事件为确定事件中的不可能事件.故确定事件为③和④,一共有2个确定事件.)
5.B(解析:如图所示,正五边形ABCDE中,连接BE,根据正五边形ABCDE的性质得到BC=DE=CD=AB=AE,根据多边形的内角和定理得出∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠AED=108°,根据等腰三角形的性质求出∠ABE=∠AEB=36°,求出∠CBE=72°,推出BE∥CD,得到四边形BCDE是等腰梯形,所以该事件是必然事件.)
6.随机(解析:任意打开一本200页的教科书,可能是第35页,也可能不是第35页,所以是随机事件.)
7.着地点数之和为4 着地点数之和小于9(解析:写出的事件可能发生可能不发生的即为随机事
件,一定发生的为必然事件,答案不唯一.)
8.(1)红,白,黄球 红,白,黄颜色之外的颜色的球
(2)黄球 红球或者白球(解析:(1)因为袋中只有红,白,黄球,所以拿出红,白,黄球是可能的,其他颜色的球是不可能的,(2)因为袋中红,白,黄球中只有黄球少于3个,是2个,所以闭上眼睛随机从袋子中取3个球,拿出都是黄球是不可能的,都是红球或者白球是可能的.)
9.解:确定事件有:(1)(2)(4),不确定事件有:(3)(5)(6)
10.D(解析:如果是两边及一边的对角对应相等,这两个三角形就不一定全等,所以A是随机事件;根据根的判别式可得b2-4ac<0,所以方程x2-x+1=0没有实数根,所以B是不可能事件;北京明天是晴天也可能是阴天,所以C是随机事件;根据切线的性质可得圆的切线垂直于过切点的半径,所以D是必然事件.)
11.解:(1)是不可能发生的;(2)(3)(4)(5)是随机发生的;(6)是必然发生的.
12.解:如“转动一次得到数2”等.答案不唯一.
13.解:一个不透明的袋子中装有6个红球和4个白球,从中任意取出1个球是红球可能发生也可能不发生,是随机事件.一个不透明的袋子中装有6个红球和4个白球,从中摸出5个球,至少有1个球是红球一定发生,是必然事件.一个不透明的袋子中装有6个红球和4个白球,从中任意取出1个球是黑球一定不会发生,是不可能事件.(答案不唯一)
本节课通过具体的摸球试验,让学生了解必然事件、不可能事件和随机事件的概念,会正确描述事件.学生动手重复做试验,体会摸球试验中的事件可能发生,也可能不发生,通过观察、动手操作、思考、小组交流、师生共同归纳出随机事件的概念,学生在活动中思考,更好地体现数学的意义和价值.通过做一做环节,让学生体会同一试验中还有许多随机事件,进一步巩固所学概念,加深对必然事件、不可能事件、随机事件的理解.通过列举现实生活中的随机事件的实例,感受生活中处处有数学,数学来源于生活,又运用到生活中去.学生在课堂上思维活跃,亲身经历概念的形成过程,提高学生的归纳总结能力.
本节课通过试验体会事件可能发生,可能不发生,从而师生共同归纳事件的有关概念,并能够在具体生活情景中区分必然事件、不可能事件和随机事件,让学生认识到随机现象的普遍性.本课时内容简单,教师讲的还是较多,没有把课堂真正放手交给学生,教师可以让学生通过自主学习,小组合作交流,共同归纳得出事件的有关概念,让学生亲身经历概念的形成过程,更加突出课堂的主体作用.
本节课通过观察试验,在具体的生活情景中区分必然事件、不可能事件和随机事件.在教学设计中,教师以生活实际情景导入新课,激发学生的学习兴趣,然后通过试验,教师提出问题,学生观察、思考、合作、交流、归纳,得出事件的有关概念,在该环节教师要给学生充足的时间交流,体会三种事件的不同特点.在学生理解有关概念后,教师鼓励学生大胆发言,列举生活中的不同事件,并能区分必然事件、不可能事件和随机事件,在教学活动中,教师给学生活动的空间,让学生真正成为课堂的主人.
练习(教材第61页)
1.解:必然事件:(1)(2),不可能事件:(3),随机事件:(4)(5)
2.解:例如:中秋节的晚上看到圆圆的月亮;打开电视机,正在播少儿节目;小明坚持锻炼身体,长大后会成为飞行员等.
习题(教材第62页)
A组
解:(1)必然事件:A,不可能事件:B,随机事件:C和D. (2)必然事件:G,不可能事件:E,随机事件:F. (3)H是随机事件.
B组
1.(1)随机事件 (2)随机事件 (3)随机事件 (4)不可能事件 (5)随机事件 (6)必然事件
2.解:同时掷两枚质地均匀的正方体骰子,骰子的六个面上分别刻有1到6的点数,骰子落地后,记下朝上一面的点数,点数之和是自然数,这是必然事件;点数之和为13是不可能事件;点数之和为12,点数之和小于4,点数之积为奇数,点数之积为偶数都是随机事件.(答案不唯一)
亲身经历概念的形成过程
本节课是随机事件的概率的第一课时,主要是引入必然事件、不可能事件、 随机事件的概念,为后面事件的概率的学习做铺垫.概念的学习十分重要,随着对数学学习的深入,学生会体会越来越多.所以在本课时的教学设计中,可以让学生亲自做一做试验2和试验3,而且重复几次试验,让学生体会有些事件的发生是不确定的,有些事件的发生是确定的,然后通过小组合作交流,共同归纳事件类型的不同,从而很自然地归纳出确定事件和随机事件的有关概念,学生亲自经历知识的形成过程,体验课堂上成功的快乐,激发学好数学的自信心.为了加深学生对概念的理解和掌握,给一定的时间让学生列举现实生活中各种不同的随机现象,并指出其中的随机事件,让学生认识到随机现象的普遍性,并逐步学会正确表述随机事件,使学生对本节课概念的理解得到进一步的巩固提高.
在不透明的口袋中装有大小、质地、外形一模一样的5个红球、3个蓝球和2个白球,它们已经在口袋里被搅匀了,请判断以下是随机事件、不可能事件、还是必然事件.
(1)从口袋中一次任意取出一个球,是白球;
(2)从口袋中一次任取5个球,全是蓝球;
(3)从口袋中一次任取5个球,只有蓝球和白球,没有红球;
(4)从口袋中一次任意取出6个球,恰好红、蓝、白三种颜色的球都齐了.
解:(1)可能发生,也可能不发生,是随机事件.
(2)一定不会发生,是不可能事件.
(3)可能发生,也可能不发生,是随机事件.
(4)可能发生,也可能不发生,是随机事件.
31.2 随机事件的概率
1.认识到事件发生的可能性有大小之分,能对事件发生的可能性大小做出判断,并进行定量描述.
2.初步认识到当大量重复试验时,频率在某种程度上可以反映事件发生的可能性大小.
3.理解概率的意义,在试验结果等可能发生的条件下,会求简单事件的概率.
1.通过观察试验、分析试验结果的过程,认识到事件发生的可能性有大小之分,认识到试验在数学学习中的必要性.
2.通过直觉判断——试验——汇总试验数据——分析数据——发现规律等探究过程,让学生体会探究的乐趣,激发学习的自信心.
3.通过现实生活中的问题的探究,体会运用数学知识解决实际问题的方法,感受数学知识与现实世界的联系.
1.通过在试验中获取数据,归纳总结试验结果,发现规律,真正做到在探索中学习,培养学生的探索精神.
2.通过学生自主动手、动脑、小组合作交流,正确理解概率的有关知识,培养学生的合作意识.
3.在观察、思考、试验、归纳等数学活动中,培养学生的辩证唯物主义观点,增强学生的学科意识.
【重点】
在具体情景中了解概率的意义;会求简单事件的概率.
【难点】
理解概率的意义.
第课时
1.理解事件发生的可能性有大小之分,并能对事件发生的可能性大小做出判断.
2.初步认识大量重复试验时,频率反映事件发生的可能性大小.
3.理解概率的意义,在试验结果等可能发生的条件下,会求简单事件的概率.
1.通过现实生活中问题的探究,体会随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.
2.利用统计的定义计算实际问题中等可能事件的概率,初步掌握利用数学知识思考和解决实际问题的方法.
1.通过试验、观察、归纳,体会用随机的观点认识世界,培养辩证唯物主义思想.
2.通过在试验中获取数据,归纳总结试验结果,发现规律,真正做到在探索中学习,培养学生的探索精神.
【重点】
在具体情景中了解概率的意义;会求简单事件的概率.
【难点】
对频率和概率的初步理解.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P63~64.
导入一:
(课件展示)
请大家帮忙:
周末市体育场有一场精彩的篮球比赛,老师手中只有一张球票,小强与小明都是班里的篮球迷,两人都想去.我很为难,真不知该把球票给谁.请大家帮我想个办法来决定把球票给谁.
【师生活动】 学生思考后回答,教师鼓励学生大胆发言,对学生的较好的想法予以肯定,并提问为什么要用抓阄、抽签、猜拳、投硬币……等等方法,然后引出本节课课题.
【导入语】 我们用抓阄、抽签、猜拳、投硬币……等等方法的原因是这样做对两个人是公平的,他们得到球票的可能性一样大,这就是我们这节课要学习的事件发生的可能性大小问题.
导入二:
(课件展示)
袋中装有4个黑球,2个白球,这些球的形状、大小、质地等完全相同,在看不到球的条件下,随机地从袋子中摸出一个球.我们把“摸到白球”记为事件A,把“摸到黑球”记为事件B.
提问:
1.事件A和事件B是随机事件吗?
2.哪个事件发生的可能性大?
【师生活动】 学生思考回答,教师点评.
[设计意图] 通过解决实际生活问题,让学生感受数学在实际问题中的应用,让学生在潜意识中开始接触概率,并激发学生的学习兴趣.以学生熟悉的摸球试验为例,让学生初步体会用数值刻画随机事件发生的可能性大小,以及用数值刻画的合理性,从定性分析到定量刻画.
[过渡语] 随机事件是否发生具有偶然性,但它们发生的可能性有大小之分.如何用数值刻画随机事件发生的可能性大小呢?让我们一起去探究.
大家谈谈:
(课件展示)
1.在足球比赛时,通过掷硬币,以正、反面朝向来决定谁先挑边.你认为这种方式公平吗?
2.“今天有雨”是必然事件还是随机事件?“很可能要下雨”是什么意思?
【师生活动】 学生独立思考后,小组内合作交流答案,学生回答后,教师点评,并指出掷一枚质地均匀的硬币,落地后“正面朝上”和“反面朝上”都是随机事件,它们发生的可能性相同.“今天有雨”是随机事件,“很可能要下雨”是说事件“今天有雨”发生的可能性较大.
[设计意图] 通过简单常见的生活实际问题,初步体会生活中事件的可能性是不同的,为进一步学习可能性事件的大小做好准备,并体会表示可能性大小的常用语言.
一起探究一
(课件展示)
袋子中有大小、质地完全相同的5个球,其中3个是红球,2个是黄球.从中任意摸出1个球,事件A=“摸到红球”,B=“摸到黄球”.
思路一
(课件展示)
1.直观猜测:
事件A和B发生的可能性大小相同吗?
2.动手试验:
分组做摸球试验,每摸出1个球,记下球的颜色后放回袋子中,搅匀后再进行下一次摸球.每组重复20次试验,记录事件A和B发生的次数.
3.汇总数据:
汇总各组的摸球结果并填写下表:
事件
A=“摸
到红球”
B=“摸
到黄球”
合计
发生的次数
占试验总次数的百分比
4.分析数据:
思考:事件A和B发生的次数占试验总次数百分比的大小有什么规律?
5.发现规律:
思考:能用两个数分别刻画事件A和B发生的可能性大小吗?
【师生活动】 学生根据教师提出的思考、操作的步骤,思考后,小组内交流答案,小组内进行摸球试验,并记录结果,小组内成员通过合作完成试验过程及归纳结论.小组代表发言,其他学生提出质疑,师生共同归纳有关概念及结论.
(课件展示)
做n次重复试验,如果事件A发生了m次,那么数m叫做事件A发生的频数,比值叫做事件A发生的频率.
事件发生的频率,在某种程度上反映了事件发生的可能性大小.
思路二
【师生活动】 学生自主学习教材第63~64页.教师提示:在自主学习的过程中,小组内进行摸球试验,并完成教材中的表格的填写,小组内合作交流教师提出的问题.教师在巡视过程中帮助有困难的学生.
思考:
1.根据所填数据,计算事件A发生的次数与试验总次数的百分比是多少.
2.根据所填数据,计算事件B发生的次数与试验总次数的百分比是多少.
3.事件A和B发生的可能性大小相同吗?
4.什么叫频数?什么叫频率?
5.事件A和B的频率分别是多少?
6.事件发生的频率,某种程度上能反映事件的可能性大小吗?
【师生活动】 小组代表回答教师提出的问题,教师点评,课件展示结论.
(课件展示)
做n次重复试验,如果事件A发生了m次,那么数m叫做事件A发生的频数,比值叫做事件A发生的频率.
事件发生的频率,在某种程度上反映了事件发生的可能性大小.
[设计意图] 摸球试验操作方便、简单且可重复,又为学生所熟知,学生做起来比较方便,易激发学生的学习兴趣.让学生通过动手操作获得正确结论,初步感受事件发生的可能性大小是客观存在的,培养学生的辩证唯物主义观点.
一起探究二
思路一
(课件展示)
思考:
1.在上面“一起探究”的摸球试验中,任意摸出1个球,有几种可能的结果?摸到每个球的可能性大小是否相同?能不能用数值刻画摸到每个球的可能性大小?
2.你能用数值刻画摸到红球的可能性大小吗?
3.你能用数值刻画摸到黄球的可能性大小吗?
4.请你归纳如何用数值描述事件发生的可能性大小.
【师生活动】 学生独立思考后,小组内交流答案,学生代表回答,教师在巡视中帮助理解有困难的学生,课件展示概率的概念.
(课件展示)
我们用一个数刻画随机事件A发生的可能性大小,这个数叫做事件A的概率,记作P(A).
如果一个试验有n种等可能的结果,事件A包含其中的k种结果,那么事件A发生的概率为P(A)=.
追加思考:
必然事件的概率是多少?不可能事件的概率是多少?随机事件的概率呢?
【师生活动】 学生思考回答,教师点评.
(课件展示)
任何一个事件A都满足0≤P(A)≤1.必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0.
思路二
学生自主学习教材第64页,思考下列问题:
(课件展示)
1.什么是事件的概率?
2.事件的概率是用数值刻画事件的什么的量?
3.必然事件、不可能事件的概率是多少?随机事件的概率呢?
4.求出一起探究试验中,摸到红球、摸到黄球的概率分别是多少?
【师生活动】 学生自主学习教材,教师课件展示提出的问题,学生独立思考后,小组内合作交流,小组代表发言,教师点评后用课件展示结论.
(课件展示)
我们用一个数刻画随机事件A发生的可能性大小,这个数叫做事件A的概率,记作P(A).
如果一个试验有n种等可能的结果,事件A包含其中的k种结果,那么事件A发生的概率为P(A)=.
任何一个事件A都满足0≤P(A)≤1.必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0.
[设计意图] 学生在教师问题的引导下,思考用数值定量描述事件发生的可能性大小,从而归纳概率的定义,正确理解频率与概率的区别和联系,降低学生学习的难度,提高学生分析问题的能力.
例题讲解
(课件展示)
(教材第64页例1)有10张正面分别写有1,2,…,10的卡片,背面图案相同.将卡片背面朝上充分混匀后,从中随机抽取1张卡片,得到一个数.设A=“得到的数是5”,B=“得到的数是偶数”,C=“得到的数能被3整除”,求事件A,B,C发生的概率.
教师引导分析:
1.随机抽取1张卡片,有 种等可能的结果,等可能的结果分别为 .?
2.事件A包括 种可能的结果,根据概率计算公式,可得事件A的概率是 .?
3.事件B包括 种可能的结果,根据概率计算公式,可得事件B的概率是 .?
4.事件C包括 种可能的结果,根据概率计算公式,可得事件C的概率是 .?
5.你能归纳利用定义求概率的一般步骤吗?
(首先列举出事件中所有等可能的结果,再列举出所求事件中包含的结果,最后代入概率公式求解.)
【师生活动】 学生独立思考后,小组内交流答案,小组代表展示结果,教师点评归纳.
(课件展示)
解:试验共有10种可能结果,每个数被抽到的可能性相等,则A包含1种可能结果,B包含5种可能结果,C包含3种可能结果.
所以P(A)=,P(B)==,P(C)=.
[设计意图] 在教师问题的引导下求解简单事件的概率,并归纳总结利用概率的定义求解概率的一般步骤,让学生进一步理解概率的意义,培养学生的归纳总结能力,提高学生参与课堂的意识.
[知识拓展] 1.随机事件发生的可能性有大小之分,可以分为可能性极小、不太可能、可能、很可能、可能性极大.
2.当A是必然发生的事件时,其发生的可能性是100%,P(A)=1.当A是不可能发生的事件时,其发生的可能性是0,P(A)=0.随机事件发生的概率P的取值范围为03.概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性大小,概率大,并不能说明事件一定发生,只是发生的可能性大;反之,概率小,并不能说明事件不发生,只是发生的可能性小.
1.一般地,随机事件发生的可能性有大有小,不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性大小.
2.频率的定义:做n次重复试验,如果事件A发生了m次,那么数m叫做事件A发生的频数,比值叫做事件A发生的频率.事件发生的频率,在某种程度上反映了事件发生的可能性大小.
3.概率的定义:我们用一个数刻画随机事件A发生的可能性大小,这个数叫做事件A的概率,记作P(A).
4.计算概率的公式:如果一个试验有n种等可能的结果,事件A包含其中的k种结果,那么事件A发生的概率为P(A)=.
5.任何一个事件A都满足0≤P(A)≤1.必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0.
1.(2016·常德中考)下列说法正确的是 ( )
A.袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球,从中随机抽出一个球,一定是红球
B.天气预报“明天降水概率10%”,是指明天有10%的时间会下雨
C.某地发行一种福利彩票,中奖率是千分之一,那么,买这种彩票1000张,一定会中奖
D.连续掷一枚均匀硬币,若5次都是正面朝上,则第六次仍然可能正面朝上
解析:袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球,从中随机抽出一个球,是红球的概率为,故A选项错误;天气预报“明天降水概率10%”,是指明天有10%的概率会下雨,故B选项错误;某地发行一种福利彩票,中奖率是千分之一,那么,买这种彩票1000张,可能会中奖,故C选项错误;连续掷一枚均匀硬币,若5次都是正面朝上,则第六次仍然可能正面朝上,故D选项正确.故选D.
2.事件A:打开电视,它正在播广告;事件B:抛掷一枚质地均匀的骰子,朝上的点数小于7;事件C:在标准大气压下,温度低于0 ℃时冰融化.三个事件的概率分别记为P(A),P(B),P(C),则P(A),P(B),P(C)的大小关系正确的是 ( )
A.P(C)B.P(C)C.P(C)D.P(A)解析:由题意可知事件A是随机事件,∴ 03.在一个不透明的口袋中,装有5个红球,3个白球,它们除颜色外都相同,从中任意摸出一个球,摸到红球的概率为 .?
解析:一共有8个球,其中有5个红球,则P(摸到红球)=.故填.
4.抛一个普通的正方体骰子,观察向上一面的点数,求下列事件的概率.
(1)点数为6;(2)点数小于3;(3)点数为质数.
解析:抛一个普通的正方体骰子,向上一面的点数可能是1,2,3,4,5,6,共6种可能.
解:(1)向上一面点数是6的可能有1种,所以P(点数为6)=.
(2)向上一面点数小于3的可能有1,2,共2种,所以P(点数小于3)=.
(3)向上一面点数是质数的可能有2,3,5,共3种,所以P(点数是质数)=.
第1课时
一起探究一
一起探究二
例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第65页习题A组的1,2,3,4,5题.
【选做题】
教材第66页习题B组的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.气象台预报“本市明天降水概率是30%”,对此消息下列说法正确的是 ( )
A.本市明天将有30%的地区降水
B.本市明天将有30%的时间降水
C.本市明天有可能降水
D.本市明天肯定不降水
2.从一副扑克(去掉大、小王)中任意抽取一张,下列事件发生的可能性最大的是 ( )
A.抽到黑桃3 B.抽到红桃
C.抽到黑桃 D.抽到红色
3.在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4,5,从中随机摸出一个小球,其标号是3的概率为 ( )
A. B. C. D.
4.一个不透明的布袋里有30个球,每次摸一个,摸一次就一定摸到红球,则红球有 ( )
A.15个 B.20个 C.29个 D. 30个
5.袋中有红球4个,白球若干个,它们只有颜色上的区别,从袋中随机地抽取一个球,如果取到白球的可能性较大,那么袋中白球的个数可能是 ( )
A.3个 B.不足3个
C.4个 D.5个或5个以上
6.(2016·泰州中考)抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1次,朝上一面的点数为偶数的概率是 .?
7.(2016·龙东中考)在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的4个红球,3个白球,2个绿球,则摸出绿球的概率是 .?
8.有一个质地均匀的正方体骰子,其中5个面上分别标有1,2,2,3,4这5个数字,任意掷一次,如果掷“3”朝上的可能性与掷“2”朝上的可能性相同,那么该骰子第六个面应标上的数字是 .?
9.有一个布口袋装有白、红、黑三种颜色的小球,它们除颜色之外没有任何区别,其中有白球5个、红球3个、黑球1个.袋中的球已经搅匀,闭上眼睛随机地从袋中取出1个球,取出红球的概率是 .?
10.一个小球在如图所示的地面上随意滚动,小球“停在黑色方块上”与“停在白色方块上”的可能性哪个大?(各方块的大小、质地均相同)
(第10题图)
【能力提升】
11.如图所示,在两个同心圆中,四条直径把大圆分成八等份,若往圆面掷飞镖,则飞镖落在黑色区域的概率是 .?
(第11题图)
【拓展探究】
12.甲袋中放着22个红球和8个黑球,乙袋中则放着200个红球、8个黑球和10个白球,这三种球除了颜色以外没有任何区别,两袋中的球都已经各自搅匀,蒙上眼睛从口袋中取一个球,如果你想取出1个红球,你选哪个口袋成功的机会大呢?
小明认为选甲较好,因为里面的球比较少,容易摸到红球;小红认为选乙较好,因为里面的球比较多,成功的机会也比较大;小丽则认为都一样,因为只摸一次,谁也无法预测会取出什么颜色的球.
你觉得他们说得有道理吗?
【答案与解析】
1.C(解析:本市明天降水是一个随机事件,降水的概率是30%,既不是指30%的地区,也不是指30%的时间降水,而是指明天有可能降水,虽然有30%的可能性,但不能确定明天不降水,所以A,B,D说法不正确.)
2.D(解析:在52张扑克中,抽到黑桃3的可能只有1种,抽到红桃和黑桃的可能都是13种,抽到红色的可能是26种,所以抽到红色的可能性最大.)
3.A(解析:从口袋中随机摸出一个小球,共有5种等可能的结果,而标号是3的有1种可能,所以所求概率为.)
4.D(解析:∵一个不透明的布袋里有30个球,每次摸一个,摸一次就一定摸到红球,∴摸一次摸到红球的概率为1,∴红球的个数为30.)
5.D(解析:∵摸到白球的可能性比摸到红球的可能性大,∴白球的个数>红球的个数,∴白球的个数>4,即白球的个数≥5.)
6.(解析:抛掷一枚质地均匀的正方体骰子,一共有6种等可能的结果,朝上一面可能有2,4,6三种偶数结果,所以所求概率为=.)
7.(解析:根据概率的概念可得摸出绿球的概率是=.故填.)
8.3(解析:任意掷一次,数字2出现的可能有两次,要使掷“3”朝上的可能性与掷“2”朝上的可能性相同,数字3出现的可能要有两次,所以第六个面标上数字3.)
9.(解析:先确定口袋中所有球的个数,再确定口袋中红球的个数,最后根据概率的定义得到答案.根据题意可知,口袋中一共有9个球,其中红球有3个,所以摸到红球的概率为=.)
10.解:图中共有黑色方块7个,白色方块17个,故小球“停在白色方块上”的可能性大.
11.(解析:根据黑色区域占总面积的,知P(落在黑色区域)=.)
12.解:选乙袋成功的机会大.小明、小红、小丽他们的说法都不正确.成功的机会和总球数的多少没关系,而与红球在总球数中所占的比有关,故小明、小红、小丽的说法都不对;因为随机事件发生的机会的大小是可以预测的.
本节课是让学生经历观察试验、分析试验结果的过程,认识事件发生的可能性有大小之分,并能通过概率的定义进行定量描述.教学设计中不同的生活情景贯穿本节课的始终,让学生体会数学与实际生活之间的联系.首先教师提出简单的生活实际问题,让学生独立思考回答,初步体会随机事件发生的可能性有大小之分,接下来的一起探究,在教师的引导下以学生自主探究为主,让学生经历直觉判断——进行试验——汇总数据——分析结果——发现规律的过程,从而让学生认识到频率与概率之间的关系,自然生成概率的概念,达到真正理解概率的意义,通过让学生经历知识的形成过程,达到了突破重难点的目的.
本节课中事件的可能性大小学生理解较为简单,但对概率的意义的理解部分学生有困难,在教学过程中,学生对生活实际中的可能性大小描述都能够顺利完成,但在探究频率与概率之间的关系及概率的定义时,部分学生出现困难,教师给学生交流理解的时间较短,也没有通过练习让学生体会和理解概率的意义.在下节课的教学中,教师要注意多设计几个求随机事件的概率的问题,让学生通过练习体会概率的意义.
本节课通过现实生活中的实际问题体会随机事件的可能性有大小之分,然后在教师的引导下共同探究定量描述随机事件的可能性大小,自然生成概率的定义,通过练习让学生体会随机事件概率的意义.在教学设计中,注重培养学生独立思考、合作交流的能力,学生能通过自主学习、合作交流学会的知识,教师尽量让学生动手、动口、动脑,让学生亲身经历知识的形成过程,达到对知识的真正理解和掌握,在教学设计中注重学生参与课堂,突出学生的主体地位.
练习(教材第65页)
1.解:P(A)==0.5,P(B)==0.3,P(C)==0.2,图略.
2.解:(1)指针落在红色区域的可能性最大,因为红色占的份数最多. (2)P(红色区域)==,P(绿色区域)=,P(黄色区域)=.
习题(教材第65页)
A组
1.解:P(遇到红灯)==,P(遇到绿灯)==,<,所以遇到绿灯的可能性较大.
2.解:(1)事件A发生的可能性较大. (2)P(A)==,P(B)==.
3.解:P(红球)==.
4.解:P(碰上地雷)=.
5.P(D)>P(B)>P(C)>P(A)
B组
1.解:(1). (2)0. (3).
2.解:将除了颜色不同其他均相同的6个红球,4个白球,2个黄球放入一个不透明的袋子里,搅匀后从中摸出1个球,则摸到红球的概率是,摸到白球的概率是,摸到黄球的概率是.(答案不唯一)
重视数学与生活密切联系的教学
本节课是通过试验和生活实际情景,让学生从数值关系中发现规律,总结得出结论,明确是在相同条件下,通过大量重复试验或观察得出的结果,进而获得概率的定义,在定义的理解中,让学生清楚概率与频率的区别和联系,这是本节课的难点.概率是一门研究现实世界广泛存在的随机现象的规律的科学,因此,在教学设计中生活实际情景贯穿整个教学设计的始终,渗透数学源于生活、寓于生活、用于生活的意识,激发学生的好奇心和求知欲,体会数学与实际生活密切联系.在设计的教学活动中,在教师的引导下,以学生的自主探究为主,应充分发挥学生的主动性,让学生亲自试验,亲自感受规律的发现过程,教师鼓励学生大胆发表自己的见解,大胆质疑,经历知识的形成过程,激发学生学习兴趣,提高学生课堂参与意识,从而培养学生的动手、动脑能力,达到突破难点强化重点的目的.
下列说法中正确的是 ( )
①不太可能发生的事就一定不能发生;
②一件事情要么发生,要么不发生,所以它发生的概率为0.5;
③买1张彩票的中奖率为,那么买1张彩票一定不会中奖;
④抛一枚硬币的前9次均出现正面,则第10次一定会出现反面.
A.4个 B.3个 C.2个 D.0个
解析:不太可能发生的事是随机事件,一定不能
发生是不可能事件,故①错误;一件事情要么发生,要么不发生,所以它发生的概率大于0小于1,故②错误;彩票中奖是随机事件,不是不可能事件,故③错误;抛一枚硬币出现正面是随机事件,第10次不一定会出现反面,故④错误.故选D.
第课时
1.进一步理解概率的意义.
2.会求实际问题中等可能事件的概率,并能通过概率判断游戏是否公平.
1.经历探究游戏是否公平的过程,体会游戏是否公平的本质特征,体会数学与实际生活之间的联系.
2.提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生的数学化归思想.
1.在体会概率意义的同时,感受与他人合作的重要性.
2.体验从事物的表象到本质的探究过程,感受数学的科学性及生活中丰富是数学现象.
3.使学生认识到研究随机事件的概率是现实生活的需要,树立辩证唯物主义观点.
【重点】
用列举法求概率.
【难点】
能根据不同情况选择恰当的方法进行列举,解决较复杂事件概率的计算问题.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P66~69.
导入一:
复习提问:
1.什么是事件A的频率?
2.什么是等可能事件的概率?
【师生活动】 学生思考回答,教师点评,并强调两者之间的关系.
导入二:
思考:
1.抛掷一枚质地均匀的骰子,向上一面的点数是6的概率是多大?若点数分别是4,5呢?
2.从分别写有数字1,2,3,4,5的五张纸片中随机抽取一张,你能求出“抽到偶数”“抽到奇数”这两个事件的概率吗?
3.在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4,5,从中随机摸出一个小球,其标号大于2的概率是多少?
【师生活动】 学生独立思考后,小组内交流答案,小组代表展示后,教师点评,导入新课.
[设计意图] 通过复习回忆频率和概率的有关概念,为本节课的学习做好铺垫,同时通过求常见掷骰子、抽卡片及摸球事件中的概率,自然地构建新知识,学生易于理解和接受.
[过渡语] 上节课我们学习了概率的有关概念,并能够求等可能简单事件的概率.这节课我们进一步通过求概率,看看游戏是否公平.
一起探究一
(课件展示)
小明和小亮做掷硬币游戏.
将一枚质地均匀的硬币投掷两次.如果都是正面朝上,那么小明胜;如果一次正面朝上、一次反面朝上,那么小亮胜.这个游戏公平吗?
思路一
(课件展示)
甲同学的观点:
掷两次硬币,有三种可能结果:“两次都是正面朝上”“一次正面朝上、一次反面朝上”“两次都是反面朝上”.这三个事件的概率相等,都是.游戏是公平的.
乙同学的观点:
我做过掷两次硬币的试验,在100次重复试验中,“一次正面朝上、一次反面朝上”的频率明显比“两次都是正面朝上”的频率大.我认为游戏不公平.
大家谈谈:
1.甲、乙两名同学发表了各自的观点,你同意谁的观点?
2.怎样才算是一个公平的游戏?
【师生活动】 学生独立思考后,小组内合作交流,教师在巡视中帮助有困难的学生,小组代表展示,教师鼓励学生发表自己的看法,师生共同归纳结论.
结论:
在机会游戏中,对于两个事件A和B,如果规定A发生,甲胜,B发生,乙胜,那么当事件A和B的概率相等时,游戏是公平的.否则,就不公平.
思路二
教师引导学生思考:
1.掷两次硬币,有几种等可能的结果?你能列举出来吗?
2.你能分别求出“两次都是正面朝上”“一次正面朝上、一次反面朝上”的概率吗?
3.如果问题2中的两个事件的概率相等,那么该游戏是否公平?
4.某同学说:我做过掷两次硬币的试验,在100次重复试验中,“一次正面朝上、一次反面朝上”的频率明显比“两次都是正面朝上”的频率大.我认为游戏不公平.你认为这位同学说的有道理吗?为什么?
5.你认为怎样才算是一个公平的游戏?
【师生活动】 学生在教师提出问题的引导下思考,小组合作交流,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,小组代表展示,学生质疑,教师点评,师生共同归纳结论.
结论:
在机会游戏中,对于两个事件A和B,如果规定A发生,甲胜,B发生,乙胜,那么当事件A和B的概率相等时,游戏是公平的.否则,就不公平.
[设计意图] 通过教师引导、小组合作交流等数学活动,得到判断游戏是否公平不是看各方获胜的次数,而是通过计算各方的概率是否相等进行判断.在解决学生感兴趣的情景问题过程中,进一步理解概率的意义.
一起探究二
(课件展示)
如图所示,掷两次硬币.
【师生活动】 教师引导学生用树形图的形式列举出所有可能结果,并说明这些结果是等可能的,学生观察并思考下列问题
(课件展示)
(1)有几种等可能的结果?
(2)P(两次正面朝上)= ;?
P(一次正面朝上,一次反面朝上)= ;?
P(两次反面朝上)= ;?
(3)对于小明和小亮所做的掷硬币游戏,如果游戏不公平,怎样修改游戏规则,可使其成为一个公平的游戏?
【师生活动】 学生独立思考后,小组内合作交流,小组代表展示,对如何修改游戏规则,教师鼓励学生大胆发表自己的观点,只要双方获胜的概率相等即可,教师对学生的展示作出评价.
[设计意图] 教师引导学生通过画图列举事件的结果,为后边学习树形图求事件的概率做好铺垫,同时让学生熟练求等可能事件的概率的方法和步骤,并进一步理解游戏是否公平的判断原则,提高学生分析问题、解决问题的能力.
做一做
(课件展示)
甲、乙两个盒子中各装有三张分别标记1,2,3的卡片,分别从甲、乙两个盒子中随机抽取一张,记录上面的数,并用(m,n)表示“甲盒中抽取的卡片上的数为m,乙盒中抽取的卡片上的数为n”这一结果.
(1)这样的“数对”共有多少种可能结果?
(2)将所有这样的“数对”的可能结果及对应的两数之和填入下表:
可能结果
两数的和
(3)P(两数之和为奇数)= ,P(两数之和为偶数)= .?
【师生活动】 学生独立思考完成后,小组内交流答案,小组代表展示结果,教师点评.
[设计意图] 通过做一做,进一步巩固求等可能事件的概率的方法,培养学生独立思考的习惯.
例题讲解
(课件展示)
(教材第67页例2) 一副扑克牌除去“大、小王”后共有52张,充分洗匀后从中任意抽取1张牌.
(1)抽到红心牌的概率是多大?
(2)抽到A牌的概率是多大?
(3)抽到红色牌的概率是多大?
教师引导分析:
1.52张扑克牌中任意抽取一张共有多少等可能的结果?
2.52张扑克牌中红心牌有多少张、A有几张、红色牌有多少张?
3.52张扑克牌中任意抽取一张,抽到红心的等可能的结果有几种?抽到A、抽到红色牌呢?
4.你能根据概率的定义分别求出以上事件的概率吗?
【师生活动】 学生根据教师提出的问题,独立思考完成,小组内合作交流答案,小组代表展示,教师点评.
(板书)
解:从52张扑克牌中任意抽取1张牌,共有52种等可能结果,其中抽到红心牌的结果有13种,抽到A牌的结果有4种,抽到红色牌(红心牌13张、方块牌13张)的结果有26种.所以:
P(抽到红心牌)==,
P(抽到A牌)==,
P(抽到红色牌)==.
[设计意图] 通过例题进一步理解简单事件的概率的意义,熟练应用概率的定义求简单事件的概率的方法步骤,培养学生分析问题、解决问题的能力.
[知识拓展] 1.概率是反映事件发生可能性大小的一般规律,同一个事件可能发生的概率与不可能发生的概率之和为1.
2.在机会游戏中,判断游戏对甲、乙两人是否公平,即分别求出甲、乙两人获胜事件的概率,若两个事件的概率相等,则游戏公平,若两个事件的概率不相等,则游戏不公平.
1.求简单事件概率的方法步骤.
2.如何利用概率判断游戏是否公平.
1.某种彩票中奖的概率是1%,下列说法正确的是 ( )
A.买1张这种彩票一定不会中奖
B.买1张这种彩票一定会中奖
C.买100张这种彩票一定会中奖
D.买这种彩票中奖的可能性很小
解析:中奖机会是1%,就是说中奖的概率是1%,机会较小,但也有可能发生.故选D.
2.在一个不透明的口袋中,装有3个红球,2个白球,它们除颜色外都相同,从中任意摸出一个球,摸到红球的概率为 ( )
A. B. C. D.
解析:∵共5球在袋中,其中3个红球,∴摸到红球的概率为.故选C.
3.写有“中国”“美国”“英国”“韩国”的四张卡片,从中随机抽取一张,抽到卡片所对应的国家在亚洲的概率是 .?
解析:∵有“中国”“美国”“英国”“韩国”的四张卡片,卡片所对应的国家为亚洲的有“中国”“韩国”,∴从中随机抽取一张,抽到卡片所对应的国家为亚洲的概率是=.故填.
4.从甲、乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者,求下列事件的概率:
(1)抽取1名,恰好是甲;
(2)抽取2名,甲在其中.
解:(1)∵从甲、乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者,
∴抽取1名,恰好是甲的概率为.
(2)∵抽取2名,可得:甲乙,甲丙,乙丙,共3种等可能的结果,甲在其中的有2种情况,
∴抽取2名,甲在其中的概率为.
5.小明和小华要下棋,在决定谁先下的时候,两人起了争执,都想自己先下,笑笑想了一个游戏规则:掷骰子,大于3小明先行,小于3小华先行,若恰好是3,两人不输不赢,你认为笑笑的游戏规则公平吗?
解:掷骰子的共有6种可能结果:1,2,3,4,5,6.
大于3的有三种可能:4,5,6.小于3的有两种可能:1,2.
所以小明先行的概率为=,小华先行的概率为=,
因为≠,所以笑笑制订的游戏规则不公平.
第2课时
一起探究一
一起探究二
做一做
例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第68页习题A组的1,2,3,4题.
【选做题】
教材第69页习题B组的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为,下列说法错误的是 ( )
A.连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上
B.连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上
C.大量反复抛一枚均匀硬币,平均每100次出现正面朝上50次
D.通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
2.小芳将一个质地均匀的骰子(各面分别标有1,2,3,4,5,6)连续抛了两次,朝上的数字都是“6”,则她第三次抛掷,数字“6”朝上的概率为 ( )
A. B. C.1 D.无法确定
3.在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4,5,从中随机摸出一个小球,其标号大于2的概率为 ( )
A. B. C. D.
4.小刚掷一枚均匀硬币,结果是一连9次都掷出正面朝上,则他第10次掷硬币时,出现正面朝上的概率是 ( )
A.0 B.1 C. D.不确定
5.四张质地、大小、背面完全相同的卡片上,正面分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形四个图案.现把它们的正面向下随机摆放在桌面上,从中任意抽出一张,则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为 ( )
A. B. C. D.1
6.在一个不透明的盒子中装有8个白球,若干个黄球,它们除颜色不同外,其余均相同,若从中随机摸到一个球,它是白球的概率为,则黄球的个数为 ( )
A.2 B.4 C.12 D.16
7.端午节前,妈妈去超市买了大小、质量及包装均相同的粽子8个,其中火腿粽子5个,豆沙粽子3个,若小明从中任取1个,是火腿粽子的概率是 .?
8.有4条线段,长度分别为3 cm,4 cm,5 cm,6 cm,从中任取3条,能构成直角三角形的概率是 .?
9.一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球,其中5个黄球,8个黑球,7个红球.
(1)求从袋中摸出一个球是黄球的概率;
(2)现从袋中取出若干个黑球,搅匀后,使从袋中摸出一个球是黑球的概率是,求从袋中取出黑球的个数.
10.在只有一张足球门票的情况下,两位球迷为决定谁去,进行了下面的游戏:两枚质地均匀的硬币同时抛出,若出现一正一反,则甲胜;若出现同正或同反,则乙胜.这样的游戏对甲、乙二人是否公平?
【能力提升】
11.一儿童行走在如图所示的地板上,当他随意停下时,最终停在地板上阴影部分的概率是 ( )
A. B. C. D.
12.某公司对一批某一品牌的衬衣的质量抽检结果如下表:
抽查件数
50
100
200
300
400
500
次品件数
0
4
16
19
24
30
(1)从这批衬衣中任抽1件是次品的概率约为多少?
(2)如果销售这批衬衣600件,那么至少需要准备多少件正品衬衣供买到次品的顾客调换?
【拓展探究】
13.如图所示的是一个转盘.转盘分成8个相同的图形,颜色分为红、绿、黄三种,指针的位置固定,转动转盘后任其自由停止,其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个图形的交线时,当作指向右边的图形),求下列事件的概率.
(1)指针指向红色;
(2)指针指向黄色或绿色.
【答案与解析】
1.A(解析:连续抛一均匀硬币2次,有可能两次都正面朝上,也可能都反面朝上,故选项A错误;连续抛一均匀硬币次都正面朝上,是一个随机事件,10次都可能正面朝上有可能发生,故选项B正确;大量反复抛一均匀硬币,平均100次出现正面朝上50次,也有可能发生,故选项C正确;通过抛一均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的,概率均为,故选项D正确.)
2.A(解析:根据题意,每个面出现的机会是相等的,所以第三次抛掷,朝上数字是“6”的概率是.)
3.C(解析:从口袋中随机摸出一个小球,共有5种等可能的结果,而标号大于2的有3,4,5,共3种结果,所以所求概率为.)
4.C(解析:抛掷一枚硬币,正面朝上的概率为,与投掷次数无关.)
5.B(解析:四种图形中中心对称图形有2种,故P(中心对称图形)=.)
6.B(解析:设有x个黄球,故P(抽到白球)==,故x=4.)
7.(解析:∵共有8个粽子,火腿粽子有5个,∴从中任取1个,是火腿粽子的概率是.)
8.(解析:4条线段中任取3条线段,共有3,4,5;3,4,6;4,5,6;3,5,6四种情况,其中3,4,5一组能构成直角三角形,所以所求概率为.)
9.解:(1)从袋中摸出一个球是黄球的概率为=. (2)设从袋中取出x个黑球,根据题意可得=,解得x=2,所以从袋中取出2个黑球.
10.解:这样的游戏对甲、乙二人公平.理由如下:两枚质地均匀的硬币同时抛出,可能的情况为:正正、正反、反正、反反,∴出现一正一反的概率是,出现同正或同反的概率是.∴这样的游戏对甲、乙二人公平.
11.A(解析:观察这个图可知:黑色区域(3块)的面积占总面积(9块)的,故其概率为.)
12.解:(1)=0.06,即从这批衬衣中抽1件是次品的概率约为0.06.
(2)600×0.06=36(件),即至少需要准备36件正品衬衣供买到次品的顾客调换.
13.解:按颜色把8个扇形分为红1、红2、绿1、绿2、绿3、黄1、黄2、黄3.所有可能结果的总数为8.(1)指针指向红色的结果有2种,∴P(指向红色)==. (2)指针指向黄色或绿色的结果有3+3=6(种),∴P(指向黄色或绿色)==.
本节课通过设计判断一个机会游戏是否公平的问题情景,学生经过独立思考、小组合作交流、学生展示等数学活动作出判断,在教学活动中,教师鼓励学生大胆发表自己的看法,学生思维活跃,在具体情景中进一步理解概率的意义.在一起探究二中,教师引导学生用图形列举所有等可能的结果,为后边学习树形图求事件的概率打下铺垫,通过修改游戏规则,学生再次体会游戏是否公平通过两个事件的概率大小是否相等做出判断.做一做和例题讲解,教师把课堂再次交给学生,学生独立思考完成后,小组合作交流、展示,充分发挥学生在课堂上的主体作用,学生在课堂上体验成功的快乐,激发学习数学的兴趣.
本节课是上节课求简单事件的概率的延续,大部分知识学生能够通过自主学习完成,在课堂上给学生自主学习、独立思考、小组合作交流的时间还是较少,教师放不开手脚,重复较多,在以后的教学中给学生更多的机会和时间,让他们充分融汇到自主学习中,在合作交流中提炼结论,让每个人在课堂上学到有价值的数学.此外学生第一次接触到用图形列举试验结果,教师在引导过程中语言不够简练明确,学生理解有困难时,没有通过具体事例,让学生亲自尝试用图形列举试验结果.
本节课通过掷硬币游戏,判断游戏是否公平导入新课,学生在上节课学习概率的意义的基础上很自然地构建出新知识——通过计算事件的概率判断游戏是否公平,在教学设计中,给学生时间和空间进行独立思考、小组合作交流,让学生通过自主学习、合作交流归纳出结论,体验知识的形成过程.在教学设计中,用图形列举事件的结果是本节课的难点,教师引导语言要简练明确,设计一个小练习让学生独立完成,达到巩固难点的目的.最后的做一做及例题讲解,教师要放开手脚,让学生思考、交流完成,发挥学生的主体作用.
练习(教材第68页)
1.解:不同意,硬币正面朝上和反面朝上的概率都是,所以两人获胜的概率相同,游戏是公平的.
2.解:丙的观点是正确的.理由为:指针停在蓝色区域的概率是不变的,与其他各次试验中指针停在何种区域无关,所以甲的观点不正确;指针停在蓝色区域的概率是,表明指针停在蓝色区域的可能性是,但并不说明重复试验三次一定会有一次指针停在蓝色区域,所以乙的观点不正确;由于三种颜色区域,在转盘中所占的比例相等,所以指针停在三个区域的概率相等.
习题(教材第68页)
A组
1.解:公平.因为硬币只有正反两面,以正面或反面朝上决定先后开球的顺序,可使双方的机会是均等的,即各占,所以这种方式是公平的.
2.
3.解:P(A)=,P(B)=,P(C)=.
4.解:(1)P(选到女生)==. (2)P(选到共青团员)==. (3)P(选到女共青团员)==.
B组
1.解:不公平.因为P(甲获胜)=,P(乙获胜)=,所以游戏规则不公平.
2.解:2个扇形涂红色,4个扇形涂黄色,6个扇形涂蓝色.
采用自主学习、合作交流的学习方式
本节课的重点是进一步理解概率的意义,会求简单事件的概率,并能通过计算事件的概率判断机会游戏是否公平,在上节课学生已经学习了概率的定义,所以对本节课的学习有了一定的学习经验和基础,在教学设计中,注重采用自主学习的方式教学,在完成对相关知识点的回顾后,从学生的生活经验和已有的知识背景出发,引入新课题,让学生进行分组讨论,教师以问题的形式加以引导,学生通过小组互动交流,达成共识,共同归纳出结论.在做一做、例题讲解等教学设计中,教师为学生创造主动参与学习过程的条件,使学生领悟新知识,帮助学生在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识、技能、数学思想和方法.教师在教学活动中只是组织者和参与者,真正的实施者是学生,要最大限度地满足学生自主发展的需要,要尽可能做到让学生在“活动”中学习,在“主动”中发展,在“合作”中增知,在“探究”中创新,要充分体现学生学习的自主性.
投掷一枚普通的正方体骰子24次.
(1)你认为下列四种说法哪种是正确的?
①出现1点的概率等于出现3点的概率;
②投掷24次,2点一定会出现4次;
③投掷前默念几次“出现4点”,投掷结果出现4点的可能性就会加大;
④连续投掷6次,出现的点数之和不可能等于37.
(2)求出现5点的概率.
(3)出现6点大约有多少次?
解:(1)∵抛掷正方体骰子出现3和出现1的概率均为,∴①正确;
∵连续投掷6次,最多为6×6=36,
∴出现的点数之和不可能等于37,
∴④正确.
(2)出现5点的概率不受抛掷次数的影响,始终是.
(3)出现6点大约有24×=4(次).
31.3 用频率估计概率
1.通过观察频率的波动情况及变化趋势,认识频率的稳定性.
2.体会频率与概率之间的关系,知道用频率来估计概率.
1.经历观察思考、试验操作,认识频率的稳定性,提高学生动手操作能力及观察能力.
2.通过理解当试验次数较大时试验频率稳定于理论概率,进一步发展概率观念.
3.了解模拟试验在求一个实际问题中的作用,进一步提高用数学知识解决实际问题的能力.
4.经历试验及分析试验结果、收集数据、分析数据、得出结论的过程,体会用频率来估计概率,发展学生根据频率的集中趋势估计概率的能力.
5.学会根据问题的特点,用统计来估计事件发生的概率,培养分析问题、解决问题的能力.
1.通过对实际问题的分析,理解用频率来估计概率的方法,渗透转化和估算的思想方法.
2.通过具体实际生活情景,经历用频率估计概率的过程,激发学生的学习兴趣,体验数学的应用价值.
3.通过探究频率与概率之间的关系,提高学生动手能力,加强集体合作意识,激发学习兴趣.
4.在经历用试验的方法探究概率的过程中,培养学生的动手能力、分析能力,进一步增强统计意识、发展概率观念.
【重点】
用频率估计概率.
【难点】
用频率估计概率的探究过程.
第课时
1.通过观察频率的波动情况及变化趋势,认识频率的稳定性.
2.体会试验次数增大时,频率的变化趋势是稳定在某个值附近.
1.经历观察思考、试验操作,认识频率的稳定性,提高学生动手操作能力及观察能力.
2.通过理解当试验次数较大时试验频率稳定于理论概率,进一步发展概率观念.
3.在解决问题中学会用数学的思维方式思考生活中的实际问题的习惯.
1.通过对实际问题的分析,理解用频率来估计概率的方法,渗透转化和估算的思想方法.
2.通过具体实际生活情景,经历用频率估计概率的过程,激发学生的学习兴趣,体验数学的应用价值.
【重点】
认识频率的稳定性.
【难点】
频率稳定性的探究过程.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P71~73.
导入一:
复习提问:
(课件展示)
1.抛一次硬币,向上的一面是正面的概率是 .?
2.掷一次骰子,向上的一面数字是6的概率是 .?
3.从一副没有大小王的扑克牌中任抽一张,则抽到的牌面数字是5的概率为 .?
【师生活动】 学生独立思考回答,教师点评结果,并回忆求概率的方法,教师引导上述事件的结果是有限个,并且结果是等可能的.
导入二:
欣赏著名球星詹姆斯图片,提问:你知道詹姆斯罚球命中率是多少吗?
【师生活动】 学生猜想回答,教师鼓励学生大胆发言.教师引导学生分析当试验的所有结果不是有限个,或各种可能结果发生的可能性不相等时,又该如何求事件发生的概率呢?引出课题——用频率估计概率.
[设计意图] 通过复习和学生感兴趣的球星罚球命中率,为本节课的学习做好铺垫,同时激发学生的学习兴趣和探究欲望.
[过渡语] 对现实生活中的某些随机事件,需要做大量重复试验,用事件的频率去估计概率.那么频率和概率具有怎样的关系呢?
共同探究
思路一
(课件展示)
学生自主学习教材,并回答下列问题:
1.掷一枚质地均匀的硬币,落地后,“正面朝上”和“反面朝上”的概率分别是多少?
2.通过两次试验结果列出的表格及画出的折线图,你得到什么结论?
列表如下:
小组序号
n=50
n=500
频数
频率
频数
频率
1
22
0.44
251
0.502
2
25
0.50
249
0.498
3
21
0.42
256
0.512
4
27
0.54
246
0.492
5
24
0.48
251
0.502
将上面的试验结果用折线统计图表示,如图所示.
3.通过试验,可以看出同一事件频率和概率之间的关系吗?
【师生活动】 学生自主学习后,小组内合作交流,小组代表发言,教师鼓励学生大胆发表自己的观点,对学生回答正确的观点都给予肯定,在学生发表完自己的观点后,教师归纳总结.
结论:
对掷硬币试验,“正面朝上”的概率为0.5,而频率则具有不确定性.试验次数不同,频率可能不同;即使是相同次数的不同试验,频率也可能不同.当试验次数较小时,频率的波动较大,但是随着试验次数的增大,“正面朝上”发生的频率波动明显减小,逐渐稳定到0.5附近.这个性质叫做频率的稳定性.
思路二
进行一个分组试验:
1.明确规则:把全班分成10组,每组中有一名学生投掷硬币,另一名同学做记录,其余学生观察试验必须在同样条件下进行.
2.明确任务:每组投掷硬币50次,以实事求是的态度,认真统计“正面朝上”的频数,算出其频率,整理试验的数据,并记录下来.
3.继续试验,每组投掷硬币500次,认真统计“正面朝上”的频数,算出其频率,整理试验的数据,并记录下来.
4.各组汇报试验结果,完成表格.
小组序号
n=50
n=500
频数
频率
频数
频率
1
2
3
4
5
5.将记录的结果画成折线图.
提出问题:
观察上图,思考下列问题:
(1)当试验次数较小时,频率有什么特征?
(2)当试验次数很大时,频率有什么样的变化趋势?
(3)当试验次数较大时,频率与概率有什么关系?
【师生活动】 学生小组内完成试验,汇报结果,教师根据小组数据完成表格和折线图,小组内合作交流试验结果,教师鼓励学生大胆发表自己的观点,师生共同归纳结论.
结论:
对掷硬币试验,“正面朝上”的概率为0.5,而频率则具有不确定性.试验次数不同,频率可能不同;即使是相同次数的不同试验,频率也可能不同.当试验次数较小时,频率的波动较大,但是随着试验次数的增大,“正面朝上”发生的频率波动明显减小,逐渐稳定到0.5附近.这个性质叫做频率的稳定性.
[设计意图] 通过自主学习、合作交流或小组试验,共同得出当试验次数增加时,频率与概率之间的关系,激发学生的学习兴趣,培养学生的合作意识.
做一做
(课件展示)
1.将全班分成12个小组,课外时间每个小组做20次掷硬币试验,记录事件A=“正面朝上”发生的次数.汇总各小组的试验结果,填写下表:
小组序号
1
2
3
4
5
6
A发生次数
小组序号
7
8
9
10
11
12
A发生次数
2.整理上表中的数据,依次累计进行20次、40次、…、240次试验,记录事件A发生的次数,计算相应的频率,填写下表:
累计抛掷次数
20
40
60
80
100
120
A发生次数
A发生的频率
累计抛掷次数
140
160
180
200
220
240
A发生次数
A发生的频率
3.在图中画折线统计图,表示事件“正面朝上”发生的频率的变化趋势.
4.观察上面的统计表与统计图,随着投掷次数的增加,事件“正面朝上”发生的频率是如何变化的?是否逐渐稳定到0.5附近?
【师生活动】 教师布置具体任务,学生课下完成表格和折线图.
[设计意图] 通过课下进行抛硬币试验,让学生体会当试验次数增加时,频率与概率之间的关系,为下节课的学习做好铺垫.
[知识拓展] 用频率估计概率的大小时,试验一定要在相同的条件下进行,试验次数越多,得到的频率越准确,规律就越明显,此时频率稳定在事件发生的概率.
对掷硬币试验,“正面朝上”的概率为0.5,而频率则具有不确定性.试验次数不同,频率可能不同;即使是相同次数的不同试验,频率也可能不同.当试验次数较小时,频率的波动较大,但是随着试验次数的增大,“正面朝上”发生的频率波动明显减小,逐渐稳定到0.5附近.这个性质叫做频率的稳定性.
1.某同学抛掷两枚硬币,分10组试验,每组20次,下面是共计200次试验中记录下的结果.根据下列表格内容填空:
试验组别
两个正面
一个正面
没有正面
第1组
6
11
3
第2组
2
10
8
第3组
6
12
2
第4组
7
10
3
第5组
6
10
4
第6组
7
12
1
第7组
9
10
1
第8组
5
6
9
第9组
1
9
10
第10组
4
14
2
(1)在他的10组试验中,抛出“两个正面”频数最少的是他的第 组试验.?
(2)在他的第1组试验中抛出“两个正面”的频数是 ,在他的前两组(第1组和第2组)试验中抛出“没有正面”的频数分别是 .?
(3)在他的10组试验中,抛出“两个正面”的频率是 ,抛出“一个正面”的频率是 ,“没有正面”的频率是 ,这三个频率之和是 .?
解析:(1)观察试验结果可得抛出“两个正面”频数最少的是他的第9组试验;(2)第1组试验中抛出“两个正面”的频数是6,他的前两组试验中抛出“没有正面”的频数分别是3和8;(3)根据表中所显示的数据可知抛出“两个正面”的频率为:=0.265,抛出“一个正面”的频率是:=0.52,抛出“没有正面”的频率是:=0.215,这三个频率之和是:0.265+0.52+0.215=1.
答案:(1)9 (2)6 3和8 (3)0.265 0.215 1
2.小颖和小红两位同学在学习“概率”时,做投掷骰子(质地均匀的正方体)试验,她们共做了60次试验,试验的结果如下:
朝上的点数
1
2
3
4
5
6
出现的次数
7
9
6
8
20
10
(1)计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率.
(2)小颖说:“根据上述试验,一次试验中出现5点朝上的概率最大”;小红说:“如果投掷600次,那么出现6点朝上的次数正好是100次”.小颖和小红的说法正确吗?为什么?
解:(1)“3点朝上”的频率是=;
“5点朝上”的频率是=.
(2)小颖的说法是错误的.
因为“5点朝上”的频率最大并不能说明“5点朝上”这一事件发生的概率最大,只有当试验的次数足够大时,该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近.
小红的说法也是错误的.
因为事件的发生具有随机性,所以“6点朝上”的次数不一定是100次.
第1课时
共同探究
做一做
一、教材作业
【必做题】
教材第73页习题A组的1,2,3题.
【选做题】
教材第74页习题B组.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列说法正确的是 ( )
A.抛一枚硬币正面朝上的机会与抛一枚图钉钉尖着地的机会一样大
B.为了解汉口火车站某一天中通过的列车车辆数,可采用全面调查的方式进行
C.彩票中奖的机会是1%,买100张一定会中奖
D.中学生小亮,对他所在的那栋住宅楼的家庭进行调查,发现拥有空调的家庭占100%,于是他得出全市拥有空调家庭的百分比为100%的结论
2.九年级(1)班同学做抛质地均匀硬币的试验,每人10次,其5人,10人,15人,…,50人的试验数据及部分频率如下表:
抛掷次数n
正面朝上
的频数m
正面朝上
的频率m/n
50
20
0.4
100
53
0.53
150
70
0.47
200
98
a1
250
115
0.46
300
156
a2
350
169
0.48
400
202
a3
450
219
0.49
500
244
a4
(1)计算上表中的频率a1= ,a2= ,a3= ,a4= ;?
(2)在图中画出正面朝上的频率折线统计图;
(3)出现正面朝上的频率稳定吗?你认为它在哪个常数附近摆动?
3.抛掷一枚质地均匀的正四面体骰子,统计朝上一面出现3点的数据如下表:
抛掷次数
出现3点的频数
出现3点的频率
10
2
0.200
30
10
0.333
50
14
70
22
80
22
0.275
100
23
0.230
200
53
0.265
240
62
300
76
360
89
500
126
(1)把统计表补充完整;
(2)随着试验次数的增加,朝上一面出现3点频率变化有何趋势?
【能力提升】
4.以下是投掷一枚正四面体骰子200次所得朝上的面的点数的记录(5个数为一组):
12314,13231,32211,34223,12123,
24143,23211,13141,32324,43314,
34442,34112,11424,21123,22244,
32342,14434,33433,22141,21441,
33311,21421,31221,32244,44344,
41434,14231,24231,11124,41342,
22431,23442,33414,13114,12312,
11322,41123,42324,31144,11131.
(1)将数据整理后填入下表:
投掷次数
出现1点的频数
出现1点的频率
1
5
10
15
20
25
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
(2)根据表中所填数据绘制“出现1点的频率”随投掷次数变化趋势的折线图;
(3)投掷5次和投掷10次后所得频率值的差是多少?25次和30次之间呢?30次和40次之间、90次和100次之间、190次和200次之间呢?从中你发现了什么规律?
(4)仿照上面的方法对其他点数出现的频率进行观察,你又发现了什么?
(5)你能根据以上数据对不同点数出现的机会大小进行估计吗?
【拓展探究】
5.某园林公司去年年初种下了15000株四季常青的某种树苗,经统计,两年来的成活率如下表:
3个月
6个月
9个月
1年
15个月
1年半
2年
0.98
0.95
0.93
0.9
0.88
0.87
0.87
现打算将这批树苗立即上市.已知这批树苗的前期各种投入为30万元,预计后期投入约9万元.
(1)这批树苗的成本价为多少元/棵?
(2)考虑到收回创办园林公司时的成本及上缴利润的各项开支,预计这批树苗拟获利24万元,请计算一下这批树苗的出售价大约为多少元比较合适.(精确到元)
【答案与解析】
1.B(解析:A中图钉的两面的面积不一样,所以抛一枚硬币正面朝上的机会与抛一枚图钉钉尖着地的机会不一样,错误;B中可实际操作,所以应该用普查的方式,正确;C中概率是1%,属于随机事件,所以买100张不一定会中奖,错误;D中抽查的样本要具有代表性,他抽的样本不具有代表性,所以不能用来估计总体,错误.)
2.解:(1)0.49 0.52 0.505 0.488 (2)如图所示. (3)由表格和频率折线统计图可以看出,通过大量试验,发现出现正面朝上的频率稳定,频率围绕0.5上下波动.
3.解:(1)表中依次填:0.280,0.314,0.258,0.253,0.247,0.252. (2)分析表中数据可知在大量重复试验中,朝上一面出现3点的频率在0.25的左右摆动.随着试验次数的增加,朝上一面出现3点的频率逐渐接近于0.25.
4.解:(1)
投掷次数
出现1点的频率
出现1点的频率
1
1
100%
5
2
40.0%
10
4
40.0%
15
6
40.0%
20
6
30.0%
25
8
32.0%
30
9
30.0%
40
14
35.0%
50
15
30.0%
60
17
28.3%
70
21
30.0%
80
21
26.3%
90
22
24.4%
100
26
26.0%
110
30
27.3%
120
32
26.7%
130
33
25.4%
140
36
25.7%
150
40
26.7%
160
41
25.6%
170
45
26.5%
180
49
27.2%
190
51
26.8%
200
57
28.5%
(2)如图所示.
(3)5次和10次的频率值相等,差为0;25次和30次的差为32.2%-30.0%=2.0%;30次和40次的差为35.0%-30.0%=5.0%;90次和100次的差为26.0%-24.4%=1.6%;190次和200次的差为28.5%-26.8%=1.7%.可以发现随着试验次数的增多,差值较小且趋于稳定. (4)其他点数出现的频率也在25%左右. (5)估计都为25%.
5.解:由统计表可知即将出售的这批树苗的成活率稳定在0.87.故可出售的树苗棵数约为15000×0.87=13050(棵).(1)(30+9)×10000÷13050≈30(元/棵),所以这批树苗的成本价约为30元/棵. (2)(30+9+24)×10000÷13050≈48(元/棵),所以这批树苗的出售价大约为48元/棵.
本节课是经历观察思考、试验操作,用折线统计图表示不同试验次数下事件发生的频率,通过观察频率的波动情况及变化趋势,认识频率的稳定性.教学设计中,教师引导学生观察教材中掷硬币试验的结果,发现频率有什么规律,使学生对频率的稳定性有了初步的感性认识,然后在做一做教学环节,让学生进行重复试验,各组汇报结果,计算不同试验次数下的频率,画出频率折线统计图,观察频率变化趋势,让学生通过亲身试验,观察得出结论,在试验活动中,学生积极主动,参与意识较强,提高了学生动手、动脑及观察能力,培养学生合作意识,给学生更大的空间进行探索归纳,为下节课的学习做好铺垫.
本节课的内容较少,主要是通过分组试验,计算不同试验次数下的频率,绘制出频率折线统计图,使学生得出结论.在课堂上学生在小组内积极试验,但是教师在学生试验过程中,时间分配不是太恰当,有些枝节上还是浪费时间,造成试验过程耗时太多,没有进行相关练习.在以后教学设计中遇到学生动手操作试验时,要合理安排时间,突出重点,目的明确,保证试验过程有效,为探究数学知识提供依据.
本节课的重点是通过大量试验,体会随着试验次数的增大,频率会趋于稳定.在教学设计时,首先让学生观察教材中试验数据及频率折线统计图,对频率的稳定性有一个初步的感性认识,然后设计分组试验,试验目的要明确,重点要突出,各组试验后汇报试验结果,师生共同计算不同试验次数下的频率,然后绘制出折线统计图,观察思考频率的变化规律,得出频率随着试验次数的增大逐渐稳定在某个值附近这一事实.让学生通过动手试验,体验成功的快乐,体会知识的生成过程.
练习(教材第73页)
解:(1)不正确,由于随机性,在100次的投掷中,“正面朝上”和“反面朝上”不一定各出现50次. (2)不正确,由频率的稳定性,可知投掷的次数足够多时,“正面朝上”和“反面朝上”的频率有明显的规律.
习题(教材第73页)
A组
1.(1)正确 (2)错误 (3)错误 (4)正确 (5)正确
2.解:“掷出6点”的概率是,掷6次骰子,不一定能出现一个6点,如果做600次实验,“掷出6点”的频率接近.
3.解:由于随机性,购买100张彩票不一定能中奖,
购买10000张这样的彩票,大约有100张有奖.
B组
解:(1)P(A)=,P(B)=,P(C)=.
(2)
实验次数
10
30
50
70
90
110
130
150
“和为2”出现的次数
1
8
14
18
23
26
33
35
“和为2”的频率
0.1
0.267
0.28
0.257
0.256
0.236
0.254
0.233
“和为3”出现的次数
5
13
23
32
43
53
62
73
“和为3”的频率
0.5
0.433
0.46
0.457
0.478
0.482
0.477
0.487
“和为4”出现的次数
4
9
13
20
24
31
35
42
“和为4”的频率
0.4
0.3
0.26
0.286
0.267
0.282
0.269
0.28
折线统计图略. (3)是.
动手试验,体会知识的生成过程
概率是事件发生可能性大小的度量,频率反映在特定的重复试验中事件发生的频繁程度,二者既有联系又有区别,本节课的重点是探究频率的稳定性,即随着试验次数的增大,频率由摇摆不定到逐渐稳定,所以本节课的教学设计是以分组试验为主,把试验及探究过程放手交给学生,让他们在分组试验——汇报试验结果——计算频率——绘制折线统计图——观察折线图——归纳结论等试验环节中获取数学知识,体会频率的稳定性,同时体验成功的快乐,试验是点燃学生求知欲望的导火索,是引导学生由感性认识通往理性认识的“引桥”.假如把试验从课堂中删去,整节课就没有了引起学生共鸣的兴奋点,学生自然会觉得索然无味.在教学中还注意到,试验活动锻炼、提高了学生的动手能力及合作能力.总之,课堂上我们应把时间、空间还给学生,让学生动起来,让课堂活起来,让效果好起来.
第课时
知道大量重复试验时频率可作为事件发生概率的估计值,能通过对事件发生频率的分析,估计出事件发生的概率.
1.了解模拟试验在求一个实际问题中的作用,进一步提高用数学知识解决实际问题的能力.经历试验及分析试验结果、收集数据、分析数据、得出结论的过程,体会用频率来估计概率,发展学生根据频率的集中趋势估计概率的能力.
2.初步学会对一个简单的问题提出一种可行的模拟试验.
3.学会根据问题的特点,用统计来估计事件发生的概率,培养分析问题、解决问题的能力.
1.通过探究频率与概率之间的关系,提高学生动手能力,加强集体合作意识,激发学习兴趣.
2.在经历用试验的方法探究概率的过程中,培养学生的动手能力、分析能力,进一步增强统计意识、发展概率观念.
3.通过对实际问题的分析,培养学生实事求是的态度、勇于探索的精神及协作精神.
【重点】
频率和概率的关系,能用频率估计概率.
【难点】
利用频率与概率的关系解决生活中的相关问题.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P74~76.
导入一:
复习提问:
1.什么是频率?什么是概率?
2.同一事件的频率和概率相等吗?
3.上节课的抛硬币试验中频率是稳定的吗?概率呢?
4.上节课的抛硬币试验中频率的波动与试验次数有什么关系?
【师生活动】 学生思考回答,教师点评.
导入二:
对于抛硬币试验,各小组汇报课下试验结果,并展示各小组所画出的折线图.
【师生活动】 小组代表汇报结果,教师板书结果,并展示各小组的折线图,师生共同得出结论,教师引出本节课课题——用频率估计概率.
结论:
当试验次数增加时,频率稳定在概率附近.
[设计意图] 通过复习提问,回忆上节课的试验结果,为本节课的学习做好铺垫.通过各小组汇报课下试验结果,很自然地构建出本节课的新知识.
[过渡语] 对于掷硬币试验,当投掷次数很大时,“正面朝上”发生的频率逐渐稳定到0.5,即频率稳定到概率.对于其他的试验,事件发生的频率是否也具有稳定性呢?
共同探究
(课件展示)
如图所示,在4张图片中,(1)和(2),(3)和(4)分别拼在一起时,各为一个完整的心形图片.将4张图片背面向上,充分混匀后,从中依次任意取出2张,能拼成一个完整的心形图案算“成功”,否则算“失败”.
思路一
自主学习教材,完成教材中表格及折线图,并思考下列问题:
(课件展示)
1.随着试验次数的增大,“成功”发生的频率是否趋于稳定?稳定在哪个数附近?
2.直接计算“成功”和“失败”的概率.
3.通过观察,试验的次数越多,试验的频率与概率之间有什么关系?
【师生活动】 学生自主学习后,教师给学生充足的时间进行小组内合作交流答案并回答教师提出的问题,小组代表发言,学生提出质疑,师生共同得到结论.
结论:
大量试验表明,随着试验次数的增大,事件发生的频率逐渐稳定到它的概率,或者说概率是频率的稳定值.在实际中,我们常用比较稳定时的频率估计事件的概率,而试验次数越大,得到概率的较精确估计值的可能性越大.
思路二
教师引导学生操作、思考:
1.凭直觉判断:事件“成功”和“失败”的概率相等吗?如果你认为不等,哪一个事件的概率较大?
2.完成表格.
做重复试验进行验证.两名同学做了240次试验,结果如下表:
试验次数
30
60
90
120
150
180
210
240
“成功”发生
的次数
7
17
33
43
48
63
68
83
“成功”发
生的频率
0.23
3.根据上述结果画出折线图.
4.观察上图,随着试验次数的增大,“成功”发生的频率是否趋于稳定?稳定在哪个数附近?
5.请你根据概率的定义直接计算“成功”和“失败”的概率.
【师生活动】
学生在教师逐一问题的引导下,思考、计算、回答,完成表格和折线图,教师及时点评,学生板书计算“成功”和“失败”的概率的过程,教师规范写法.
(板书)从4张图片中依次任取2张,我们
1.体会有些事件的发生是确定的,有些是不确定的.在具体问题情景中,能区分必然事件、不可能事件、随机事件.
2.了解事件发生的可能性有大小之分,能对一些简单事件发生的可能性大小作定量描述.
3.通过试验,知道大量重复试验时的频率具有稳定性,用频率估计事件发生的概率.
4.能利用表格或树形图列举试验的所有可能结果,求简单事件的概率.
5.能设计简单的试验,验证对事件发生的可能性大小的直观猜想.
1.经历猜测、试验、收集与分析试验结果的过程,归纳出三种事件的各自的本质特征,抽象成数学概念.
2.通过现实生活中的问题的探究,体会运用数学知识解决实际问题的方法,感受数学知识与现实世界的联系.
3.通过直觉判断——试验——汇总试验数据——分析数据——发现规律等探究过程,让学生体会探究的乐趣,增强学习的自信心.
4.通过观察列举法的结果是否重复和遗漏,总结列举不重复不遗漏的方法,培养学生观察、归纳、分析问题的能力.
5.通过运用列表法或树形图法求事件的概率解决实际问题,提高学生解决问题的能力,发展应用意识.
6.经历运用列表法或树形图法解决概率实际问题的过程,渗透数学建模的思想,感知数学的应用价值.
1.从具体生活实例出发,观察、思考、总结,确定事件的分类,学会与他人合作交流,培养合作精神,发展随机观念.
2.体验从事物的表象到本质的探究过程,感受数学的科学严谨性及生活中丰富的数学现象.
3.通过在试验中获取数据,归纳总结试验结果,发现规律,真正做到在探索中学习,培养学生的探索精神.
4.在观察、思考、试验、归纳等数学活动中,培养学生的辩证唯物主义观点,增强学生的学科意识.
5.通过对实际问题的分析,理解用频率来估计概率的方法,渗透转化和估算的思想.
6.通过具体实际生活情景,经历用频率估计概率的过程,激发学生的学习兴趣,体验数学的应用价值.
统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象,它通过对数据的收集、整理、描述和分析以及对事件发生可能性的刻画,来帮助人们作出合理的决策.对统计与概率知识的认识,学生在七八年级每学期都有接触,知识螺旋上升,逐步推进.现实生活中存在大量的不确定事件,在一次观察和试验中,不确定事件发生与否具有随机性,但在大量重复试验中却呈现出确定的规律性,而概率论正是研究这种不确定事件的规律性的学科.本章的内容包括认识确定事件和随机事件,理解概率的意义;初步认识频率的稳定性,用频率估计概率;用列举法求简单事件的概率.通过本章的学习,使学生初步感受随机现象,树立随机的观念,为进一步学习统计与概率的知识和方法奠定基础.
对于随机事件的认识,让学生观察、分析摸球试验,体验有些事件的发生是不确定的,从而能区分确定事件和随机事件;随机事件发生的可能性相同时,可以利用概率公式计算事件的概率;用列举法分析事件发生的所有可能情况的结果数一般有列表和画树状图两种方法;随机事件在每次试验中发生与否具有不确定性,但只要保持试验条件不变,那么这一事件出现的频率就会随着试验次数的增大而趋于稳定.这个稳定值就可以作为该事件发生概率的估计值.用等可能事件的概率公式解决一些现实问题,用频率来估计事件发生的概率在生活生产中有着广泛的应用.它有助于我们在错综复杂的情况下,分析事件的本质属性,帮助我们作出合理的判断,这是本章学习的重点.等可能事件的概率的计算往往需要学生有较强的分析和综合能力,对在保持试验条件不变的情况下,随着试验次数的增加,某事件出现的频率趋于稳定,学生较难理解,是本章教学的难点.
【重点】
理解随机事件、必然事件、不可能事件的定义,并能准确地对某一事件进行判断;理解概率的意义,会用列表法和树形图法求事件的概率,并能利用概率知识解决日常生活中的实际问题.
【难点】
理解概率的意义;会用列表法和树形图法求确定事件发生的概率,并能利用概率解决实际问题.
1.概率内容比较抽象,试验的不确定性、概率结果的唯一性,常常使学生感到困惑.所以教学中应多选取贴近学生生活的实际问题,通过观察、分析大量学生熟悉而有趣的问题,使学生认识到不确定现象的普遍性,丰富对概率背景的认识.让学生亲身经历试验,分析试验结果,经历观察与思考、一起探究、大家谈谈等数学活动过程,调动学生的学习积极性,激发对概率学习的兴趣,培养学生的主动参与意识.
2.在本章的教学中,教师要注重引导学生积极参与试验,并和学生小组内交流试验结果,体会随机事件在一次试验中具有不确定性,在大量试验下却呈现出确定的规律.在教学设计中,要根据现有条件,设计方便操作的试验,由于试验耗费的时间较多,可以安排学生课下进行试验,课堂上重点进行汇报试验结果、数据交流、统计分析、讨论交流.
3.列举法计算事件的概率的教学,教师要提供不同类型的问题情景,让学生进行充分的观察思考和讨论交流,形成解决问题的策略,并对不同的观点进行辨析.同时引导学生探究计算概率的方法,特别对于两步完成的试验,可以用列表法列举试验的结果,对于两步以上完成的试验,用树形图列举试验的结果.
4.根据《数学课程标准》,“概率与统计”这块内容到这里已全部学完.应适当注意统计与概率之间的内在联系,频率作为概率的估计值就是体现两者联系的一个方面.用频率的近似值估计概率,在教学中有两点要引起重视.一是试验条件不变,二是随着试验次数的增加,频率趋于稳定,这个稳定值可作为概率的估计值.试验条件不变实际上不容易做到,有条件的话用计算机模拟试验,教学效果将更好.
31.1确定事件和随机事件
1课时
31.2随机事件的概率
2课时
31.3用频率估计概率
2课时
31.4用列举法求简单事件的概率
2课时
回顾与反思
1课时
31.1 确定事件和随机事件
1.初步认识有些事件的发生是确定的,有些事件的发生是不确定的.
2.在具体的问题情景中区分必然事件、不可能事件和随机事件,能正确地描述事件.
1.经历猜测、试验、收集与分析试验结果的过程,归纳出三种事件的各自的本质特征,抽象成数学概念.
2.通过观察一些现象,初步认识有些事件的发生是确定的,有些事件的发生是不确定的,体会数学与生活密切联系.
1.从具体生活实例出发,观察、思考、总结,确定事件的分类,学会与他人合作交流,培养合作精神,发展随机观念.
2.体验从事物的表象到本质的探究过程,感受数学的科学严谨性及生活中丰富的数学现象.
【重点】
必然事件、随机事件和不可能事件的特点.
【难点】
能够判断具体问题情景中的随机事件类型.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P60~62.
导入一:
(课件展示)
如图所示,彩票号码摇奖器中,有10个质地、大小完全相同的球,分别标号为0,1,2,…,9.摇奖器在转动的过程中,将有一个球从下方的洞中漏出.你事先能确定这个球的号码吗?漏出球的号码有多少种可能结果?每个号码出现的可能性大小是否相同?
【师生活动】 教师展示课件,学生观察回答,教师导出本章课题——随机事件的概率.
导入二:
播放一段天气预报,引出一句古语:“天有不测风云”.
(课件展示)
请说明下列事件是否一定发生.
(1)太阳从西边落下;
(2)某人的体温是100 ℃;
(3)a2+b2=-1(其中a,b都是实数);
(4)水往低处流;
(5)酸和碱反应生成盐和水;
(6)一元二次方程x2+2x+3=0有实数解.
【师生活动】 教师展示问题,学生思考回答,教师点评并提问“上述事件是确定的吗?”,学生思考回答后,教师导出本节课课题——确定事件和随机事件.
[设计意图] 通过教材章题页中的彩票摇奖问题简要指明了本章学习的研究内容,激发学生的学习兴趣.通过学生熟知的生活常识和学科知识中生动的、有趣的实例,引出必然事件和不可能事件,很自然地进入新知识的学习和探究,同时体会数学与生活实际息息相关.
[过渡语] 在现实生活中,有些事情事先我们能知道它们一定发生或一定不发生,但对有些事情是否发生,我们事先不能作出肯定的回答,它们有时会发生,有时不会发生,发生与否具有随机性,让我们一起观察哪些事件是随机的,哪些事件是确定的.
观察与思考
(课件展示)
观察下列摸球试验,思考相应的问题.
试验1:A盒中有10个大小和质地都相同的红球,搅匀后从中任意摸出1个球.事先能肯定摸到的是红球吗?能摸到黄球吗?
试验2:B盒中有10个大小和质地都相同的球,其中6个是红球,4个是黄球,搅匀后从中任意摸出1个球.事先能肯定摸到的是红球吗?能肯定摸到的是黄球吗?
试验3:C盒中有10个大小和质地都相同的球,分别标号为0,1,…,9,搅匀后从中任意摸出1个球.摸到球的号码有多少种可能结果?事先能肯定摸到球的号码是几吗?
思路一
【师生活动】 学生独立思考后,小组内合作交流,小组代表回答,教师点评.
教师根据学生回答归纳:
(1)在试验1中,由于A盒中全是红球,所以摸到的肯定是红球.我们说“摸到红球”是必然发生的事情.由于A盒中没有黄球,所以肯定不会摸到黄球,即“摸到黄球”是不可能发生的事情.
(2)在试验2中,可能摸到红球,也可能摸到黄球,事先不能肯定摸到的是红球还是黄球.我们说“摸到红球”和“摸到黄球”都是随机发生的事情.
(3)在试验3中,标号为0,1,…,9的球都有可能被摸到,共有10种可能结果,但事先不能肯定哪种结果会发生.
教师提问:
1.在试验1中,“摸到红球”“摸到黄球”的事件分别是什么事件?
2.在试验2中,“摸到红球”和“摸到黄球”是什么事件?
【师生活动】 学生思考回答,师生共同归纳概念.
(课件展示)
在一定条件下,必然发生的事情叫做必然事件,不可能发生的事情叫做不可能事件,可能发生也可能不发生的事情叫做随机事件.必然事件和不可能事件统称为确定事件.
思路二
【师生活动】 学生独立思考回答试验1,学生亲自做试验2和试验3,重复试验几次,观察事件发生的情况,并回答提出的问题.
教师引导思考:
上面的事件可以分几类?各类事件有什么特点?
【师生活动】 学生观察思考后,小组合作交流,小组代表回答,教师点评,师生共同归纳有关概念.
(课件展示)
在一定条件下,必然发生的事情叫做必然事件,不可能发生的事情叫做不可能事件,可能发生也可能不发生的事情叫做随机事件.必然事件和不可能事件统称为确定事件.
追加提问:
1.在试验1中,“摸到红球”和“摸到黄球”分别是什么事件?
2.试验2中,“摸到红球”和“摸到黄球”分别是什么事件?
【师生活动】 学生思考回答,教师点评.
[设计意图] 从试验出发,学生观察、思考、归纳,体会不同类型的事件的特点,培养学生的归纳总结能力,体会数学与生活之间密切联系.
做一做
(课件展示)
【思考1】
对于试验3,指出下列事件中,哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件.
(1)摸到球的号码不超过9;
(2)摸到球的号码为6;
(3)摸到球的号码为10;
(4)摸到球的号码为奇数.
【师生活动】 学生独立思考,小组内交流答案,小组代表回答,教师点评并给出提示.
【提示】 为方便起见,一般用大写拉丁字母A,B,C,…表示事件.例如,在试验3中,可设A=“摸到球的号码为奇数”,B=“摸到球的号码为偶数”,事件A和B都是随机事件.
【思考2】
你能举出现实生活中有哪些随机事件的实例吗?
【师生活动】 学生思考回答,教师鼓励学生大胆发言,教师点评并课件展示生活中常见实例.
(课件展示)
(1)抛掷一枚硬币,硬币落地后,“正面朝上”和“反面朝上”都是随机事件.
(2)上学路上,小明在某个有交通信号灯的路口“遇到红灯”是随机事件.
(3)小亮拨打火车票订票电话,“线路占线”是随机事件.
(4)从一批节能灯管中任意抽查一只,“使用寿命超过3000 h”是随机事件.
[设计意图] 通过练习,进一步巩固所学知识,加深对必然事件、不可能事件、随机事件的理解.通过列举现实生活中的随机事件的实例,感受生活中处处有数学,数学来源于生活,又运用到生活中去.
[知识拓展] 必然事件与不可能事件统称为确定事件,在叙述必然事件、不可能事件和随机事件时,必须受一定条件的制约,如标准大气压下,水加热到100 ℃沸腾是必然事件,但气压高于标准大气压时,水加热到100 ℃沸腾就不是必然事件.
判断一个事件是必然事件、不可能事件还是随机事件,要从它们的定义出发,同时也要联系生活中的相关知识.
1.事件的分类:
事件
2.在一定条件下,必然发生的事情叫做必然事件,不可能发生的事情叫做不可能事件,可能发生也可能不发生的事情叫做随机事件.
1.(2016·漳州中考)掷一枚质地均匀的硬币10次,下列说法正确的是 ( )
A.每2次必有1次正面向上
B.必有5次正面向上
C.可能有7次正面向上
D.不可能有10次正面向上
解析:掷一枚质地均匀的硬币10次是随机事件,正面可能朝上可能朝下,正面朝上的次数不会超过10次.故选C.
2.下列说法正确的是 ( )
A.如果一件事情发生的机会只有十万分之一,那么它就不可能发生
B.如果一件事情发生的可能性是100%,那么它就一定会发生
C.买彩票的中奖率是1%,那么买100张彩票,就有一张中奖
D.一个口袋中有10个质地均匀的小球,其中9个白球,只有一个红球,那么从中任取一个球,一定是白球
解析:选项A中事件发生的可能性虽然很小,但也有可能发生;选项B中的事件是必然事件,所以它一定会发生;选项C中买彩票的中奖率是1%,说明中奖的可能性小,有时买100张彩票也可能不中奖;选项D中的事件是随机事件.故选B.
3.有下列事件:①今天是6月1日,明天是6月2日;②明天是阴天;③全年级370人中,至少有两个人的生日是同一天;④下个月有32天.以上事件中,确定事件有 ,随机事件有 .(填序号)?
解析:①③是必然事件,②是随机事件,④是不可能事件,所以确定事件是①③④,随机事件是②.
答案:①③④ ②
4.下列事件中,哪些是必然事件?哪些是不可能事件?哪些是随机事件?
①抛掷一块石头,石头落地;
②某人的体温是100 ℃;
③a2+b2=-1(其中a,b都是实数);
④水往低处流;
⑤酸和碱反应生成盐和水;
⑥三个人性别各不相同;
⑦一元二次方程x2+2x+3=0无实数根;
⑧经过有信号灯的十字路口,遇见红灯.
解:事件①④⑤⑦是必然事件;事件②③⑥是不可能事件;事件⑧是随机事件.
31.1 确定事件和随机事件
观察与思考
做一做
一、教材作业
【必做题】
教材第62页习题A组.
【选做题】
教材第62页习题B组的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列事件是随机事件的是 ( )
A.抛硬币,正面朝上
B.在标准大气压下,加热到100 ℃,水沸腾
C.奥运会上,百米赛跑的成绩为5秒
D.掷一枚普通骰子,朝上的一面的点数是8
2.下列成语中描述的事件必然发生的是 ( )
A.水中捞月 B.瓮中捉鳖
C.守株待兔 D.拔苗助长
3.“a是实数,|a|≥0”这一事件是 ( )
A.必然事件 B.不确定事件
C.不可能事件 D.随机事件
4.下列事件:①在足球赛中,弱队战胜强队;②抛掷一枚硬币,落地后正面朝上;③任取两个正整数,其和大于1;④长为3 cm,5 cm,9 cm的三条线段能围成一个三角形,其中确定事件的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.从正五边形的五个顶点中,任取四个顶点连成四边形,对于事件M:“这个四边形是等腰梯形”,下列判断正确的是 ( )
A.事件M是不可能事件
B.事件M是必然事件
C.事件M是随机事件
D.以上均不正确
6.“任意打开一本200页的教科书,正好是第35页”,这是 事件.(填“随机”或“必然”)?
7.抛掷两个分别标有1,2,3,4的正四面体木块,写出这个试验中的一个随机事件是 ,写出这个试验中的一个必然事件是 .?
8.袋子中装有6个红球、3个白球、2个黄球,这些球除了颜色外完全相同,将袋中球搅拌均匀.
(1)闭上眼睛从袋子中拿出一个球,拿出 是可能的, 是不可能的;?
(2)闭上眼睛从袋子中取出3个球,拿出的都是 是不可能的,都是 是可能的.?
9.按事件的确定性,将下列事件分为两类.
(1)同种电荷,相互排斥;
(2)没有水分,种子就不会发芽;
(3)掷一枚硬币,出现正面朝上;
(4)若a,b为实数,则a+b=b+a;
(5)掷一枚骰子,向上的一面是2点;
(6)若射击运动员射击一次,命中靶心.
【能力提升】
10.下列事件中是必然事件的为 ( )
A.有两边及一角对应相等的三角形全等
B.方程x2-x+1=0有两个不相等的实数根
C.北京明天是晴天
D.圆的切线垂直于过切点的半径
11.下列事件中,哪些是必然发生的?哪些是不可能发生的?哪些是随机发生的?
(1)小明今年18岁,明年15岁;
(2)小兵期中考试,数学获得满分120分;
(3)购买一件合格率为98%的商品,买到一件次品(不合格产品);
(4)任意购买一张电影票,座位号是双号;
(5)向空中抛掷一枚硬币,硬币正面朝上;
(6)今天是10号,明天是11号.
12.如图所示的转盘被分成三个相同的扇形,指针位置固定,转动转盘后任其自由停止,其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置,并相应得到一个数(指针指向两个扇形的交线时,当作指向右边的扇形).写出此情景下一个不可能发生的事件.
【拓展探究】
13.一个不透明的袋子中装有6个红球和4个白球,请根据此信息设计一个随机事件、一个必然事件和一个不可能事件.
【答案与解析】
1.A(解析:抛硬币,可能正面朝上,可能反面朝上,是随机事件;B是必然事件;C,D是不可能事件.)
2.B(解析:只有B是必然事件.)
3.A(解析:因为任何实数的绝对值都是非负数,所以|a|≥0是必然成立的.)
4.B(解析:①在足球赛中,弱队战胜强队,此事件为随机事件.②抛掷一枚硬币,落地后正面朝上,此事件为随机事件.③任取两个正整数,其和大于1,此事件为确定事件中的必然事件.④长分别为3 cm,5 cm,9 cm的三条线段能围成一个三角形,此事件为确定事件中的不可能事件.故确定事件为③和④,一共有2个确定事件.)
5.B(解析:如图所示,正五边形ABCDE中,连接BE,根据正五边形ABCDE的性质得到BC=DE=CD=AB=AE,根据多边形的内角和定理得出∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠AED=108°,根据等腰三角形的性质求出∠ABE=∠AEB=36°,求出∠CBE=72°,推出BE∥CD,得到四边形BCDE是等腰梯形,所以该事件是必然事件.)
6.随机(解析:任意打开一本200页的教科书,可能是第35页,也可能不是第35页,所以是随机事件.)
7.着地点数之和为4 着地点数之和小于9(解析:写出的事件可能发生可能不发生的即为随机事
件,一定发生的为必然事件,答案不唯一.)
8.(1)红,白,黄球 红,白,黄颜色之外的颜色的球
(2)黄球 红球或者白球(解析:(1)因为袋中只有红,白,黄球,所以拿出红,白,黄球是可能的,其他颜色的球是不可能的,(2)因为袋中红,白,黄球中只有黄球少于3个,是2个,所以闭上眼睛随机从袋子中取3个球,拿出都是黄球是不可能的,都是红球或者白球是可能的.)
9.解:确定事件有:(1)(2)(4),不确定事件有:(3)(5)(6)
10.D(解析:如果是两边及一边的对角对应相等,这两个三角形就不一定全等,所以A是随机事件;根据根的判别式可得b2-4ac<0,所以方程x2-x+1=0没有实数根,所以B是不可能事件;北京明天是晴天也可能是阴天,所以C是随机事件;根据切线的性质可得圆的切线垂直于过切点的半径,所以D是必然事件.)
11.解:(1)是不可能发生的;(2)(3)(4)(5)是随机发生的;(6)是必然发生的.
12.解:如“转动一次得到数2”等.答案不唯一.
13.解:一个不透明的袋子中装有6个红球和4个白球,从中任意取出1个球是红球可能发生也可能不发生,是随机事件.一个不透明的袋子中装有6个红球和4个白球,从中摸出5个球,至少有1个球是红球一定发生,是必然事件.一个不透明的袋子中装有6个红球和4个白球,从中任意取出1个球是黑球一定不会发生,是不可能事件.(答案不唯一)
本节课通过具体的摸球试验,让学生了解必然事件、不可能事件和随机事件的概念,会正确描述事件.学生动手重复做试验,体会摸球试验中的事件可能发生,也可能不发生,通过观察、动手操作、思考、小组交流、师生共同归纳出随机事件的概念,学生在活动中思考,更好地体现数学的意义和价值.通过做一做环节,让学生体会同一试验中还有许多随机事件,进一步巩固所学概念,加深对必然事件、不可能事件、随机事件的理解.通过列举现实生活中的随机事件的实例,感受生活中处处有数学,数学来源于生活,又运用到生活中去.学生在课堂上思维活跃,亲身经历概念的形成过程,提高学生的归纳总结能力.
本节课通过试验体会事件可能发生,可能不发生,从而师生共同归纳事件的有关概念,并能够在具体生活情景中区分必然事件、不可能事件和随机事件,让学生认识到随机现象的普遍性.本课时内容简单,教师讲的还是较多,没有把课堂真正放手交给学生,教师可以让学生通过自主学习,小组合作交流,共同归纳得出事件的有关概念,让学生亲身经历概念的形成过程,更加突出课堂的主体作用.
本节课通过观察试验,在具体的生活情景中区分必然事件、不可能事件和随机事件.在教学设计中,教师以生活实际情景导入新课,激发学生的学习兴趣,然后通过试验,教师提出问题,学生观察、思考、合作、交流、归纳,得出事件的有关概念,在该环节教师要给学生充足的时间交流,体会三种事件的不同特点.在学生理解有关概念后,教师鼓励学生大胆发言,列举生活中的不同事件,并能区分必然事件、不可能事件和随机事件,在教学活动中,教师给学生活动的空间,让学生真正成为课堂的主人.
练习(教材第61页)
1.解:必然事件:(1)(2),不可能事件:(3),随机事件:(4)(5)
2.解:例如:中秋节的晚上看到圆圆的月亮;打开电视机,正在播少儿节目;小明坚持锻炼身体,长大后会成为飞行员等.
习题(教材第62页)
A组
解:(1)必然事件:A,不可能事件:B,随机事件:C和D. (2)必然事件:G,不可能事件:E,随机事件:F. (3)H是随机事件.
B组
1.(1)随机事件 (2)随机事件 (3)随机事件 (4)不可能事件 (5)随机事件 (6)必然事件
2.解:同时掷两枚质地均匀的正方体骰子,骰子的六个面上分别刻有1到6的点数,骰子落地后,记下朝上一面的点数,点数之和是自然数,这是必然事件;点数之和为13是不可能事件;点数之和为12,点数之和小于4,点数之积为奇数,点数之积为偶数都是随机事件.(答案不唯一)
亲身经历概念的形成过程
本节课是随机事件的概率的第一课时,主要是引入必然事件、不可能事件、 随机事件的概念,为后面事件的概率的学习做铺垫.概念的学习十分重要,随着对数学学习的深入,学生会体会越来越多.所以在本课时的教学设计中,可以让学生亲自做一做试验2和试验3,而且重复几次试验,让学生体会有些事件的发生是不确定的,有些事件的发生是确定的,然后通过小组合作交流,共同归纳事件类型的不同,从而很自然地归纳出确定事件和随机事件的有关概念,学生亲自经历知识的形成过程,体验课堂上成功的快乐,激发学好数学的自信心.为了加深学生对概念的理解和掌握,给一定的时间让学生列举现实生活中各种不同的随机现象,并指出其中的随机事件,让学生认识到随机现象的普遍性,并逐步学会正确表述随机事件,使学生对本节课概念的理解得到进一步的巩固提高.
在不透明的口袋中装有大小、质地、外形一模一样的5个红球、3个蓝球和2个白球,它们已经在口袋里被搅匀了,请判断以下是随机事件、不可能事件、还是必然事件.
(1)从口袋中一次任意取出一个球,是白球;
(2)从口袋中一次任取5个球,全是蓝球;
(3)从口袋中一次任取5个球,只有蓝球和白球,没有红球;
(4)从口袋中一次任意取出6个球,恰好红、蓝、白三种颜色的球都齐了.
解:(1)可能发生,也可能不发生,是随机事件.
(2)一定不会发生,是不可能事件.
(3)可能发生,也可能不发生,是随机事件.
(4)可能发生,也可能不发生,是随机事件.
31.2 随机事件的概率
1.认识到事件发生的可能性有大小之分,能对事件发生的可能性大小做出判断,并进行定量描述.
2.初步认识到当大量重复试验时,频率在某种程度上可以反映事件发生的可能性大小.
3.理解概率的意义,在试验结果等可能发生的条件下,会求简单事件的概率.
1.通过观察试验、分析试验结果的过程,认识到事件发生的可能性有大小之分,认识到试验在数学学习中的必要性.
2.通过直觉判断——试验——汇总试验数据——分析数据——发现规律等探究过程,让学生体会探究的乐趣,激发学习的自信心.
3.通过现实生活中的问题的探究,体会运用数学知识解决实际问题的方法,感受数学知识与现实世界的联系.
1.通过在试验中获取数据,归纳总结试验结果,发现规律,真正做到在探索中学习,培养学生的探索精神.
2.通过学生自主动手、动脑、小组合作交流,正确理解概率的有关知识,培养学生的合作意识.
3.在观察、思考、试验、归纳等数学活动中,培养学生的辩证唯物主义观点,增强学生的学科意识.
【重点】
在具体情景中了解概率的意义;会求简单事件的概率.
【难点】
理解概率的意义.
第课时
1.理解事件发生的可能性有大小之分,并能对事件发生的可能性大小做出判断.
2.初步认识大量重复试验时,频率反映事件发生的可能性大小.
3.理解概率的意义,在试验结果等可能发生的条件下,会求简单事件的概率.
1.通过现实生活中问题的探究,体会随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.
2.利用统计的定义计算实际问题中等可能事件的概率,初步掌握利用数学知识思考和解决实际问题的方法.
1.通过试验、观察、归纳,体会用随机的观点认识世界,培养辩证唯物主义思想.
2.通过在试验中获取数据,归纳总结试验结果,发现规律,真正做到在探索中学习,培养学生的探索精神.
【重点】
在具体情景中了解概率的意义;会求简单事件的概率.
【难点】
对频率和概率的初步理解.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P63~64.
导入一:
(课件展示)
请大家帮忙:
周末市体育场有一场精彩的篮球比赛,老师手中只有一张球票,小强与小明都是班里的篮球迷,两人都想去.我很为难,真不知该把球票给谁.请大家帮我想个办法来决定把球票给谁.
【师生活动】 学生思考后回答,教师鼓励学生大胆发言,对学生的较好的想法予以肯定,并提问为什么要用抓阄、抽签、猜拳、投硬币……等等方法,然后引出本节课课题.
【导入语】 我们用抓阄、抽签、猜拳、投硬币……等等方法的原因是这样做对两个人是公平的,他们得到球票的可能性一样大,这就是我们这节课要学习的事件发生的可能性大小问题.
导入二:
(课件展示)
袋中装有4个黑球,2个白球,这些球的形状、大小、质地等完全相同,在看不到球的条件下,随机地从袋子中摸出一个球.我们把“摸到白球”记为事件A,把“摸到黑球”记为事件B.
提问:
1.事件A和事件B是随机事件吗?
2.哪个事件发生的可能性大?
【师生活动】 学生思考回答,教师点评.
[设计意图] 通过解决实际生活问题,让学生感受数学在实际问题中的应用,让学生在潜意识中开始接触概率,并激发学生的学习兴趣.以学生熟悉的摸球试验为例,让学生初步体会用数值刻画随机事件发生的可能性大小,以及用数值刻画的合理性,从定性分析到定量刻画.
[过渡语] 随机事件是否发生具有偶然性,但它们发生的可能性有大小之分.如何用数值刻画随机事件发生的可能性大小呢?让我们一起去探究.
大家谈谈:
(课件展示)
1.在足球比赛时,通过掷硬币,以正、反面朝向来决定谁先挑边.你认为这种方式公平吗?
2.“今天有雨”是必然事件还是随机事件?“很可能要下雨”是什么意思?
【师生活动】 学生独立思考后,小组内合作交流答案,学生回答后,教师点评,并指出掷一枚质地均匀的硬币,落地后“正面朝上”和“反面朝上”都是随机事件,它们发生的可能性相同.“今天有雨”是随机事件,“很可能要下雨”是说事件“今天有雨”发生的可能性较大.
[设计意图] 通过简单常见的生活实际问题,初步体会生活中事件的可能性是不同的,为进一步学习可能性事件的大小做好准备,并体会表示可能性大小的常用语言.
一起探究一
(课件展示)
袋子中有大小、质地完全相同的5个球,其中3个是红球,2个是黄球.从中任意摸出1个球,事件A=“摸到红球”,B=“摸到黄球”.
思路一
(课件展示)
1.直观猜测:
事件A和B发生的可能性大小相同吗?
2.动手试验:
分组做摸球试验,每摸出1个球,记下球的颜色后放回袋子中,搅匀后再进行下一次摸球.每组重复20次试验,记录事件A和B发生的次数.
3.汇总数据:
汇总各组的摸球结果并填写下表:
事件
A=“摸
到红球”
B=“摸
到黄球”
合计
发生的次数
占试验总次数的百分比
4.分析数据:
思考:事件A和B发生的次数占试验总次数百分比的大小有什么规律?
5.发现规律:
思考:能用两个数分别刻画事件A和B发生的可能性大小吗?
【师生活动】 学生根据教师提出的思考、操作的步骤,思考后,小组内交流答案,小组内进行摸球试验,并记录结果,小组内成员通过合作完成试验过程及归纳结论.小组代表发言,其他学生提出质疑,师生共同归纳有关概念及结论.
(课件展示)
做n次重复试验,如果事件A发生了m次,那么数m叫做事件A发生的频数,比值叫做事件A发生的频率.
事件发生的频率,在某种程度上反映了事件发生的可能性大小.
思路二
【师生活动】 学生自主学习教材第63~64页.教师提示:在自主学习的过程中,小组内进行摸球试验,并完成教材中的表格的填写,小组内合作交流教师提出的问题.教师在巡视过程中帮助有困难的学生.
思考:
1.根据所填数据,计算事件A发生的次数与试验总次数的百分比是多少.
2.根据所填数据,计算事件B发生的次数与试验总次数的百分比是多少.
3.事件A和B发生的可能性大小相同吗?
4.什么叫频数?什么叫频率?
5.事件A和B的频率分别是多少?
6.事件发生的频率,某种程度上能反映事件的可能性大小吗?
【师生活动】 小组代表回答教师提出的问题,教师点评,课件展示结论.
(课件展示)
做n次重复试验,如果事件A发生了m次,那么数m叫做事件A发生的频数,比值叫做事件A发生的频率.
事件发生的频率,在某种程度上反映了事件发生的可能性大小.
[设计意图] 摸球试验操作方便、简单且可重复,又为学生所熟知,学生做起来比较方便,易激发学生的学习兴趣.让学生通过动手操作获得正确结论,初步感受事件发生的可能性大小是客观存在的,培养学生的辩证唯物主义观点.
一起探究二
思路一
(课件展示)
思考:
1.在上面“一起探究”的摸球试验中,任意摸出1个球,有几种可能的结果?摸到每个球的可能性大小是否相同?能不能用数值刻画摸到每个球的可能性大小?
2.你能用数值刻画摸到红球的可能性大小吗?
3.你能用数值刻画摸到黄球的可能性大小吗?
4.请你归纳如何用数值描述事件发生的可能性大小.
【师生活动】 学生独立思考后,小组内交流答案,学生代表回答,教师在巡视中帮助理解有困难的学生,课件展示概率的概念.
(课件展示)
我们用一个数刻画随机事件A发生的可能性大小,这个数叫做事件A的概率,记作P(A).
如果一个试验有n种等可能的结果,事件A包含其中的k种结果,那么事件A发生的概率为P(A)=.
追加思考:
必然事件的概率是多少?不可能事件的概率是多少?随机事件的概率呢?
【师生活动】 学生思考回答,教师点评.
(课件展示)
任何一个事件A都满足0≤P(A)≤1.必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0.
思路二
学生自主学习教材第64页,思考下列问题:
(课件展示)
1.什么是事件的概率?
2.事件的概率是用数值刻画事件的什么的量?
3.必然事件、不可能事件的概率是多少?随机事件的概率呢?
4.求出一起探究试验中,摸到红球、摸到黄球的概率分别是多少?
【师生活动】 学生自主学习教材,教师课件展示提出的问题,学生独立思考后,小组内合作交流,小组代表发言,教师点评后用课件展示结论.
(课件展示)
我们用一个数刻画随机事件A发生的可能性大小,这个数叫做事件A的概率,记作P(A).
如果一个试验有n种等可能的结果,事件A包含其中的k种结果,那么事件A发生的概率为P(A)=.
任何一个事件A都满足0≤P(A)≤1.必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0.
[设计意图] 学生在教师问题的引导下,思考用数值定量描述事件发生的可能性大小,从而归纳概率的定义,正确理解频率与概率的区别和联系,降低学生学习的难度,提高学生分析问题的能力.
例题讲解
(课件展示)
(教材第64页例1)有10张正面分别写有1,2,…,10的卡片,背面图案相同.将卡片背面朝上充分混匀后,从中随机抽取1张卡片,得到一个数.设A=“得到的数是5”,B=“得到的数是偶数”,C=“得到的数能被3整除”,求事件A,B,C发生的概率.
教师引导分析:
1.随机抽取1张卡片,有 种等可能的结果,等可能的结果分别为 .?
2.事件A包括 种可能的结果,根据概率计算公式,可得事件A的概率是 .?
3.事件B包括 种可能的结果,根据概率计算公式,可得事件B的概率是 .?
4.事件C包括 种可能的结果,根据概率计算公式,可得事件C的概率是 .?
5.你能归纳利用定义求概率的一般步骤吗?
(首先列举出事件中所有等可能的结果,再列举出所求事件中包含的结果,最后代入概率公式求解.)
【师生活动】 学生独立思考后,小组内交流答案,小组代表展示结果,教师点评归纳.
(课件展示)
解:试验共有10种可能结果,每个数被抽到的可能性相等,则A包含1种可能结果,B包含5种可能结果,C包含3种可能结果.
所以P(A)=,P(B)==,P(C)=.
[设计意图] 在教师问题的引导下求解简单事件的概率,并归纳总结利用概率的定义求解概率的一般步骤,让学生进一步理解概率的意义,培养学生的归纳总结能力,提高学生参与课堂的意识.
[知识拓展] 1.随机事件发生的可能性有大小之分,可以分为可能性极小、不太可能、可能、很可能、可能性极大.
2.当A是必然发生的事件时,其发生的可能性是100%,P(A)=1.当A是不可能发生的事件时,其发生的可能性是0,P(A)=0.随机事件发生的概率P的取值范围为0
1.一般地,随机事件发生的可能性有大有小,不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性大小.
2.频率的定义:做n次重复试验,如果事件A发生了m次,那么数m叫做事件A发生的频数,比值叫做事件A发生的频率.事件发生的频率,在某种程度上反映了事件发生的可能性大小.
3.概率的定义:我们用一个数刻画随机事件A发生的可能性大小,这个数叫做事件A的概率,记作P(A).
4.计算概率的公式:如果一个试验有n种等可能的结果,事件A包含其中的k种结果,那么事件A发生的概率为P(A)=.
5.任何一个事件A都满足0≤P(A)≤1.必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0.
1.(2016·常德中考)下列说法正确的是 ( )
A.袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球,从中随机抽出一个球,一定是红球
B.天气预报“明天降水概率10%”,是指明天有10%的时间会下雨
C.某地发行一种福利彩票,中奖率是千分之一,那么,买这种彩票1000张,一定会中奖
D.连续掷一枚均匀硬币,若5次都是正面朝上,则第六次仍然可能正面朝上
解析:袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球,从中随机抽出一个球,是红球的概率为,故A选项错误;天气预报“明天降水概率10%”,是指明天有10%的概率会下雨,故B选项错误;某地发行一种福利彩票,中奖率是千分之一,那么,买这种彩票1000张,可能会中奖,故C选项错误;连续掷一枚均匀硬币,若5次都是正面朝上,则第六次仍然可能正面朝上,故D选项正确.故选D.
2.事件A:打开电视,它正在播广告;事件B:抛掷一枚质地均匀的骰子,朝上的点数小于7;事件C:在标准大气压下,温度低于0 ℃时冰融化.三个事件的概率分别记为P(A),P(B),P(C),则P(A),P(B),P(C)的大小关系正确的是 ( )
A.P(C)
解析:一共有8个球,其中有5个红球,则P(摸到红球)=.故填.
4.抛一个普通的正方体骰子,观察向上一面的点数,求下列事件的概率.
(1)点数为6;(2)点数小于3;(3)点数为质数.
解析:抛一个普通的正方体骰子,向上一面的点数可能是1,2,3,4,5,6,共6种可能.
解:(1)向上一面点数是6的可能有1种,所以P(点数为6)=.
(2)向上一面点数小于3的可能有1,2,共2种,所以P(点数小于3)=.
(3)向上一面点数是质数的可能有2,3,5,共3种,所以P(点数是质数)=.
第1课时
一起探究一
一起探究二
例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第65页习题A组的1,2,3,4,5题.
【选做题】
教材第66页习题B组的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.气象台预报“本市明天降水概率是30%”,对此消息下列说法正确的是 ( )
A.本市明天将有30%的地区降水
B.本市明天将有30%的时间降水
C.本市明天有可能降水
D.本市明天肯定不降水
2.从一副扑克(去掉大、小王)中任意抽取一张,下列事件发生的可能性最大的是 ( )
A.抽到黑桃3 B.抽到红桃
C.抽到黑桃 D.抽到红色
3.在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4,5,从中随机摸出一个小球,其标号是3的概率为 ( )
A. B. C. D.
4.一个不透明的布袋里有30个球,每次摸一个,摸一次就一定摸到红球,则红球有 ( )
A.15个 B.20个 C.29个 D. 30个
5.袋中有红球4个,白球若干个,它们只有颜色上的区别,从袋中随机地抽取一个球,如果取到白球的可能性较大,那么袋中白球的个数可能是 ( )
A.3个 B.不足3个
C.4个 D.5个或5个以上
6.(2016·泰州中考)抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1次,朝上一面的点数为偶数的概率是 .?
7.(2016·龙东中考)在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的4个红球,3个白球,2个绿球,则摸出绿球的概率是 .?
8.有一个质地均匀的正方体骰子,其中5个面上分别标有1,2,2,3,4这5个数字,任意掷一次,如果掷“3”朝上的可能性与掷“2”朝上的可能性相同,那么该骰子第六个面应标上的数字是 .?
9.有一个布口袋装有白、红、黑三种颜色的小球,它们除颜色之外没有任何区别,其中有白球5个、红球3个、黑球1个.袋中的球已经搅匀,闭上眼睛随机地从袋中取出1个球,取出红球的概率是 .?
10.一个小球在如图所示的地面上随意滚动,小球“停在黑色方块上”与“停在白色方块上”的可能性哪个大?(各方块的大小、质地均相同)
(第10题图)
【能力提升】
11.如图所示,在两个同心圆中,四条直径把大圆分成八等份,若往圆面掷飞镖,则飞镖落在黑色区域的概率是 .?
(第11题图)
【拓展探究】
12.甲袋中放着22个红球和8个黑球,乙袋中则放着200个红球、8个黑球和10个白球,这三种球除了颜色以外没有任何区别,两袋中的球都已经各自搅匀,蒙上眼睛从口袋中取一个球,如果你想取出1个红球,你选哪个口袋成功的机会大呢?
小明认为选甲较好,因为里面的球比较少,容易摸到红球;小红认为选乙较好,因为里面的球比较多,成功的机会也比较大;小丽则认为都一样,因为只摸一次,谁也无法预测会取出什么颜色的球.
你觉得他们说得有道理吗?
【答案与解析】
1.C(解析:本市明天降水是一个随机事件,降水的概率是30%,既不是指30%的地区,也不是指30%的时间降水,而是指明天有可能降水,虽然有30%的可能性,但不能确定明天不降水,所以A,B,D说法不正确.)
2.D(解析:在52张扑克中,抽到黑桃3的可能只有1种,抽到红桃和黑桃的可能都是13种,抽到红色的可能是26种,所以抽到红色的可能性最大.)
3.A(解析:从口袋中随机摸出一个小球,共有5种等可能的结果,而标号是3的有1种可能,所以所求概率为.)
4.D(解析:∵一个不透明的布袋里有30个球,每次摸一个,摸一次就一定摸到红球,∴摸一次摸到红球的概率为1,∴红球的个数为30.)
5.D(解析:∵摸到白球的可能性比摸到红球的可能性大,∴白球的个数>红球的个数,∴白球的个数>4,即白球的个数≥5.)
6.(解析:抛掷一枚质地均匀的正方体骰子,一共有6种等可能的结果,朝上一面可能有2,4,6三种偶数结果,所以所求概率为=.)
7.(解析:根据概率的概念可得摸出绿球的概率是=.故填.)
8.3(解析:任意掷一次,数字2出现的可能有两次,要使掷“3”朝上的可能性与掷“2”朝上的可能性相同,数字3出现的可能要有两次,所以第六个面标上数字3.)
9.(解析:先确定口袋中所有球的个数,再确定口袋中红球的个数,最后根据概率的定义得到答案.根据题意可知,口袋中一共有9个球,其中红球有3个,所以摸到红球的概率为=.)
10.解:图中共有黑色方块7个,白色方块17个,故小球“停在白色方块上”的可能性大.
11.(解析:根据黑色区域占总面积的,知P(落在黑色区域)=.)
12.解:选乙袋成功的机会大.小明、小红、小丽他们的说法都不正确.成功的机会和总球数的多少没关系,而与红球在总球数中所占的比有关,故小明、小红、小丽的说法都不对;因为随机事件发生的机会的大小是可以预测的.
本节课是让学生经历观察试验、分析试验结果的过程,认识事件发生的可能性有大小之分,并能通过概率的定义进行定量描述.教学设计中不同的生活情景贯穿本节课的始终,让学生体会数学与实际生活之间的联系.首先教师提出简单的生活实际问题,让学生独立思考回答,初步体会随机事件发生的可能性有大小之分,接下来的一起探究,在教师的引导下以学生自主探究为主,让学生经历直觉判断——进行试验——汇总数据——分析结果——发现规律的过程,从而让学生认识到频率与概率之间的关系,自然生成概率的概念,达到真正理解概率的意义,通过让学生经历知识的形成过程,达到了突破重难点的目的.
本节课中事件的可能性大小学生理解较为简单,但对概率的意义的理解部分学生有困难,在教学过程中,学生对生活实际中的可能性大小描述都能够顺利完成,但在探究频率与概率之间的关系及概率的定义时,部分学生出现困难,教师给学生交流理解的时间较短,也没有通过练习让学生体会和理解概率的意义.在下节课的教学中,教师要注意多设计几个求随机事件的概率的问题,让学生通过练习体会概率的意义.
本节课通过现实生活中的实际问题体会随机事件的可能性有大小之分,然后在教师的引导下共同探究定量描述随机事件的可能性大小,自然生成概率的定义,通过练习让学生体会随机事件概率的意义.在教学设计中,注重培养学生独立思考、合作交流的能力,学生能通过自主学习、合作交流学会的知识,教师尽量让学生动手、动口、动脑,让学生亲身经历知识的形成过程,达到对知识的真正理解和掌握,在教学设计中注重学生参与课堂,突出学生的主体地位.
练习(教材第65页)
1.解:P(A)==0.5,P(B)==0.3,P(C)==0.2,图略.
2.解:(1)指针落在红色区域的可能性最大,因为红色占的份数最多. (2)P(红色区域)==,P(绿色区域)=,P(黄色区域)=.
习题(教材第65页)
A组
1.解:P(遇到红灯)==,P(遇到绿灯)==,<,所以遇到绿灯的可能性较大.
2.解:(1)事件A发生的可能性较大. (2)P(A)==,P(B)==.
3.解:P(红球)==.
4.解:P(碰上地雷)=.
5.P(D)>P(B)>P(C)>P(A)
B组
1.解:(1). (2)0. (3).
2.解:将除了颜色不同其他均相同的6个红球,4个白球,2个黄球放入一个不透明的袋子里,搅匀后从中摸出1个球,则摸到红球的概率是,摸到白球的概率是,摸到黄球的概率是.(答案不唯一)
重视数学与生活密切联系的教学
本节课是通过试验和生活实际情景,让学生从数值关系中发现规律,总结得出结论,明确是在相同条件下,通过大量重复试验或观察得出的结果,进而获得概率的定义,在定义的理解中,让学生清楚概率与频率的区别和联系,这是本节课的难点.概率是一门研究现实世界广泛存在的随机现象的规律的科学,因此,在教学设计中生活实际情景贯穿整个教学设计的始终,渗透数学源于生活、寓于生活、用于生活的意识,激发学生的好奇心和求知欲,体会数学与实际生活密切联系.在设计的教学活动中,在教师的引导下,以学生的自主探究为主,应充分发挥学生的主动性,让学生亲自试验,亲自感受规律的发现过程,教师鼓励学生大胆发表自己的见解,大胆质疑,经历知识的形成过程,激发学生学习兴趣,提高学生课堂参与意识,从而培养学生的动手、动脑能力,达到突破难点强化重点的目的.
下列说法中正确的是 ( )
①不太可能发生的事就一定不能发生;
②一件事情要么发生,要么不发生,所以它发生的概率为0.5;
③买1张彩票的中奖率为,那么买1张彩票一定不会中奖;
④抛一枚硬币的前9次均出现正面,则第10次一定会出现反面.
A.4个 B.3个 C.2个 D.0个
解析:不太可能发生的事是随机事件,一定不能
发生是不可能事件,故①错误;一件事情要么发生,要么不发生,所以它发生的概率大于0小于1,故②错误;彩票中奖是随机事件,不是不可能事件,故③错误;抛一枚硬币出现正面是随机事件,第10次不一定会出现反面,故④错误.故选D.
第课时
1.进一步理解概率的意义.
2.会求实际问题中等可能事件的概率,并能通过概率判断游戏是否公平.
1.经历探究游戏是否公平的过程,体会游戏是否公平的本质特征,体会数学与实际生活之间的联系.
2.提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生的数学化归思想.
1.在体会概率意义的同时,感受与他人合作的重要性.
2.体验从事物的表象到本质的探究过程,感受数学的科学性及生活中丰富是数学现象.
3.使学生认识到研究随机事件的概率是现实生活的需要,树立辩证唯物主义观点.
【重点】
用列举法求概率.
【难点】
能根据不同情况选择恰当的方法进行列举,解决较复杂事件概率的计算问题.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P66~69.
导入一:
复习提问:
1.什么是事件A的频率?
2.什么是等可能事件的概率?
【师生活动】 学生思考回答,教师点评,并强调两者之间的关系.
导入二:
思考:
1.抛掷一枚质地均匀的骰子,向上一面的点数是6的概率是多大?若点数分别是4,5呢?
2.从分别写有数字1,2,3,4,5的五张纸片中随机抽取一张,你能求出“抽到偶数”“抽到奇数”这两个事件的概率吗?
3.在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4,5,从中随机摸出一个小球,其标号大于2的概率是多少?
【师生活动】 学生独立思考后,小组内交流答案,小组代表展示后,教师点评,导入新课.
[设计意图] 通过复习回忆频率和概率的有关概念,为本节课的学习做好铺垫,同时通过求常见掷骰子、抽卡片及摸球事件中的概率,自然地构建新知识,学生易于理解和接受.
[过渡语] 上节课我们学习了概率的有关概念,并能够求等可能简单事件的概率.这节课我们进一步通过求概率,看看游戏是否公平.
一起探究一
(课件展示)
小明和小亮做掷硬币游戏.
将一枚质地均匀的硬币投掷两次.如果都是正面朝上,那么小明胜;如果一次正面朝上、一次反面朝上,那么小亮胜.这个游戏公平吗?
思路一
(课件展示)
甲同学的观点:
掷两次硬币,有三种可能结果:“两次都是正面朝上”“一次正面朝上、一次反面朝上”“两次都是反面朝上”.这三个事件的概率相等,都是.游戏是公平的.
乙同学的观点:
我做过掷两次硬币的试验,在100次重复试验中,“一次正面朝上、一次反面朝上”的频率明显比“两次都是正面朝上”的频率大.我认为游戏不公平.
大家谈谈:
1.甲、乙两名同学发表了各自的观点,你同意谁的观点?
2.怎样才算是一个公平的游戏?
【师生活动】 学生独立思考后,小组内合作交流,教师在巡视中帮助有困难的学生,小组代表展示,教师鼓励学生发表自己的看法,师生共同归纳结论.
结论:
在机会游戏中,对于两个事件A和B,如果规定A发生,甲胜,B发生,乙胜,那么当事件A和B的概率相等时,游戏是公平的.否则,就不公平.
思路二
教师引导学生思考:
1.掷两次硬币,有几种等可能的结果?你能列举出来吗?
2.你能分别求出“两次都是正面朝上”“一次正面朝上、一次反面朝上”的概率吗?
3.如果问题2中的两个事件的概率相等,那么该游戏是否公平?
4.某同学说:我做过掷两次硬币的试验,在100次重复试验中,“一次正面朝上、一次反面朝上”的频率明显比“两次都是正面朝上”的频率大.我认为游戏不公平.你认为这位同学说的有道理吗?为什么?
5.你认为怎样才算是一个公平的游戏?
【师生活动】 学生在教师提出问题的引导下思考,小组合作交流,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,小组代表展示,学生质疑,教师点评,师生共同归纳结论.
结论:
在机会游戏中,对于两个事件A和B,如果规定A发生,甲胜,B发生,乙胜,那么当事件A和B的概率相等时,游戏是公平的.否则,就不公平.
[设计意图] 通过教师引导、小组合作交流等数学活动,得到判断游戏是否公平不是看各方获胜的次数,而是通过计算各方的概率是否相等进行判断.在解决学生感兴趣的情景问题过程中,进一步理解概率的意义.
一起探究二
(课件展示)
如图所示,掷两次硬币.
【师生活动】 教师引导学生用树形图的形式列举出所有可能结果,并说明这些结果是等可能的,学生观察并思考下列问题
(课件展示)
(1)有几种等可能的结果?
(2)P(两次正面朝上)= ;?
P(一次正面朝上,一次反面朝上)= ;?
P(两次反面朝上)= ;?
(3)对于小明和小亮所做的掷硬币游戏,如果游戏不公平,怎样修改游戏规则,可使其成为一个公平的游戏?
【师生活动】 学生独立思考后,小组内合作交流,小组代表展示,对如何修改游戏规则,教师鼓励学生大胆发表自己的观点,只要双方获胜的概率相等即可,教师对学生的展示作出评价.
[设计意图] 教师引导学生通过画图列举事件的结果,为后边学习树形图求事件的概率做好铺垫,同时让学生熟练求等可能事件的概率的方法和步骤,并进一步理解游戏是否公平的判断原则,提高学生分析问题、解决问题的能力.
做一做
(课件展示)
甲、乙两个盒子中各装有三张分别标记1,2,3的卡片,分别从甲、乙两个盒子中随机抽取一张,记录上面的数,并用(m,n)表示“甲盒中抽取的卡片上的数为m,乙盒中抽取的卡片上的数为n”这一结果.
(1)这样的“数对”共有多少种可能结果?
(2)将所有这样的“数对”的可能结果及对应的两数之和填入下表:
可能结果
两数的和
(3)P(两数之和为奇数)= ,P(两数之和为偶数)= .?
【师生活动】 学生独立思考完成后,小组内交流答案,小组代表展示结果,教师点评.
[设计意图] 通过做一做,进一步巩固求等可能事件的概率的方法,培养学生独立思考的习惯.
例题讲解
(课件展示)
(教材第67页例2) 一副扑克牌除去“大、小王”后共有52张,充分洗匀后从中任意抽取1张牌.
(1)抽到红心牌的概率是多大?
(2)抽到A牌的概率是多大?
(3)抽到红色牌的概率是多大?
教师引导分析:
1.52张扑克牌中任意抽取一张共有多少等可能的结果?
2.52张扑克牌中红心牌有多少张、A有几张、红色牌有多少张?
3.52张扑克牌中任意抽取一张,抽到红心的等可能的结果有几种?抽到A、抽到红色牌呢?
4.你能根据概率的定义分别求出以上事件的概率吗?
【师生活动】 学生根据教师提出的问题,独立思考完成,小组内合作交流答案,小组代表展示,教师点评.
(板书)
解:从52张扑克牌中任意抽取1张牌,共有52种等可能结果,其中抽到红心牌的结果有13种,抽到A牌的结果有4种,抽到红色牌(红心牌13张、方块牌13张)的结果有26种.所以:
P(抽到红心牌)==,
P(抽到A牌)==,
P(抽到红色牌)==.
[设计意图] 通过例题进一步理解简单事件的概率的意义,熟练应用概率的定义求简单事件的概率的方法步骤,培养学生分析问题、解决问题的能力.
[知识拓展] 1.概率是反映事件发生可能性大小的一般规律,同一个事件可能发生的概率与不可能发生的概率之和为1.
2.在机会游戏中,判断游戏对甲、乙两人是否公平,即分别求出甲、乙两人获胜事件的概率,若两个事件的概率相等,则游戏公平,若两个事件的概率不相等,则游戏不公平.
1.求简单事件概率的方法步骤.
2.如何利用概率判断游戏是否公平.
1.某种彩票中奖的概率是1%,下列说法正确的是 ( )
A.买1张这种彩票一定不会中奖
B.买1张这种彩票一定会中奖
C.买100张这种彩票一定会中奖
D.买这种彩票中奖的可能性很小
解析:中奖机会是1%,就是说中奖的概率是1%,机会较小,但也有可能发生.故选D.
2.在一个不透明的口袋中,装有3个红球,2个白球,它们除颜色外都相同,从中任意摸出一个球,摸到红球的概率为 ( )
A. B. C. D.
解析:∵共5球在袋中,其中3个红球,∴摸到红球的概率为.故选C.
3.写有“中国”“美国”“英国”“韩国”的四张卡片,从中随机抽取一张,抽到卡片所对应的国家在亚洲的概率是 .?
解析:∵有“中国”“美国”“英国”“韩国”的四张卡片,卡片所对应的国家为亚洲的有“中国”“韩国”,∴从中随机抽取一张,抽到卡片所对应的国家为亚洲的概率是=.故填.
4.从甲、乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者,求下列事件的概率:
(1)抽取1名,恰好是甲;
(2)抽取2名,甲在其中.
解:(1)∵从甲、乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者,
∴抽取1名,恰好是甲的概率为.
(2)∵抽取2名,可得:甲乙,甲丙,乙丙,共3种等可能的结果,甲在其中的有2种情况,
∴抽取2名,甲在其中的概率为.
5.小明和小华要下棋,在决定谁先下的时候,两人起了争执,都想自己先下,笑笑想了一个游戏规则:掷骰子,大于3小明先行,小于3小华先行,若恰好是3,两人不输不赢,你认为笑笑的游戏规则公平吗?
解:掷骰子的共有6种可能结果:1,2,3,4,5,6.
大于3的有三种可能:4,5,6.小于3的有两种可能:1,2.
所以小明先行的概率为=,小华先行的概率为=,
因为≠,所以笑笑制订的游戏规则不公平.
第2课时
一起探究一
一起探究二
做一做
例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第68页习题A组的1,2,3,4题.
【选做题】
教材第69页习题B组的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为,下列说法错误的是 ( )
A.连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上
B.连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上
C.大量反复抛一枚均匀硬币,平均每100次出现正面朝上50次
D.通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
2.小芳将一个质地均匀的骰子(各面分别标有1,2,3,4,5,6)连续抛了两次,朝上的数字都是“6”,则她第三次抛掷,数字“6”朝上的概率为 ( )
A. B. C.1 D.无法确定
3.在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4,5,从中随机摸出一个小球,其标号大于2的概率为 ( )
A. B. C. D.
4.小刚掷一枚均匀硬币,结果是一连9次都掷出正面朝上,则他第10次掷硬币时,出现正面朝上的概率是 ( )
A.0 B.1 C. D.不确定
5.四张质地、大小、背面完全相同的卡片上,正面分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形四个图案.现把它们的正面向下随机摆放在桌面上,从中任意抽出一张,则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为 ( )
A. B. C. D.1
6.在一个不透明的盒子中装有8个白球,若干个黄球,它们除颜色不同外,其余均相同,若从中随机摸到一个球,它是白球的概率为,则黄球的个数为 ( )
A.2 B.4 C.12 D.16
7.端午节前,妈妈去超市买了大小、质量及包装均相同的粽子8个,其中火腿粽子5个,豆沙粽子3个,若小明从中任取1个,是火腿粽子的概率是 .?
8.有4条线段,长度分别为3 cm,4 cm,5 cm,6 cm,从中任取3条,能构成直角三角形的概率是 .?
9.一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球,其中5个黄球,8个黑球,7个红球.
(1)求从袋中摸出一个球是黄球的概率;
(2)现从袋中取出若干个黑球,搅匀后,使从袋中摸出一个球是黑球的概率是,求从袋中取出黑球的个数.
10.在只有一张足球门票的情况下,两位球迷为决定谁去,进行了下面的游戏:两枚质地均匀的硬币同时抛出,若出现一正一反,则甲胜;若出现同正或同反,则乙胜.这样的游戏对甲、乙二人是否公平?
【能力提升】
11.一儿童行走在如图所示的地板上,当他随意停下时,最终停在地板上阴影部分的概率是 ( )
A. B. C. D.
12.某公司对一批某一品牌的衬衣的质量抽检结果如下表:
抽查件数
50
100
200
300
400
500
次品件数
0
4
16
19
24
30
(1)从这批衬衣中任抽1件是次品的概率约为多少?
(2)如果销售这批衬衣600件,那么至少需要准备多少件正品衬衣供买到次品的顾客调换?
【拓展探究】
13.如图所示的是一个转盘.转盘分成8个相同的图形,颜色分为红、绿、黄三种,指针的位置固定,转动转盘后任其自由停止,其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个图形的交线时,当作指向右边的图形),求下列事件的概率.
(1)指针指向红色;
(2)指针指向黄色或绿色.
【答案与解析】
1.A(解析:连续抛一均匀硬币2次,有可能两次都正面朝上,也可能都反面朝上,故选项A错误;连续抛一均匀硬币次都正面朝上,是一个随机事件,10次都可能正面朝上有可能发生,故选项B正确;大量反复抛一均匀硬币,平均100次出现正面朝上50次,也有可能发生,故选项C正确;通过抛一均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的,概率均为,故选项D正确.)
2.A(解析:根据题意,每个面出现的机会是相等的,所以第三次抛掷,朝上数字是“6”的概率是.)
3.C(解析:从口袋中随机摸出一个小球,共有5种等可能的结果,而标号大于2的有3,4,5,共3种结果,所以所求概率为.)
4.C(解析:抛掷一枚硬币,正面朝上的概率为,与投掷次数无关.)
5.B(解析:四种图形中中心对称图形有2种,故P(中心对称图形)=.)
6.B(解析:设有x个黄球,故P(抽到白球)==,故x=4.)
7.(解析:∵共有8个粽子,火腿粽子有5个,∴从中任取1个,是火腿粽子的概率是.)
8.(解析:4条线段中任取3条线段,共有3,4,5;3,4,6;4,5,6;3,5,6四种情况,其中3,4,5一组能构成直角三角形,所以所求概率为.)
9.解:(1)从袋中摸出一个球是黄球的概率为=. (2)设从袋中取出x个黑球,根据题意可得=,解得x=2,所以从袋中取出2个黑球.
10.解:这样的游戏对甲、乙二人公平.理由如下:两枚质地均匀的硬币同时抛出,可能的情况为:正正、正反、反正、反反,∴出现一正一反的概率是,出现同正或同反的概率是.∴这样的游戏对甲、乙二人公平.
11.A(解析:观察这个图可知:黑色区域(3块)的面积占总面积(9块)的,故其概率为.)
12.解:(1)=0.06,即从这批衬衣中抽1件是次品的概率约为0.06.
(2)600×0.06=36(件),即至少需要准备36件正品衬衣供买到次品的顾客调换.
13.解:按颜色把8个扇形分为红1、红2、绿1、绿2、绿3、黄1、黄2、黄3.所有可能结果的总数为8.(1)指针指向红色的结果有2种,∴P(指向红色)==. (2)指针指向黄色或绿色的结果有3+3=6(种),∴P(指向黄色或绿色)==.
本节课通过设计判断一个机会游戏是否公平的问题情景,学生经过独立思考、小组合作交流、学生展示等数学活动作出判断,在教学活动中,教师鼓励学生大胆发表自己的看法,学生思维活跃,在具体情景中进一步理解概率的意义.在一起探究二中,教师引导学生用图形列举所有等可能的结果,为后边学习树形图求事件的概率打下铺垫,通过修改游戏规则,学生再次体会游戏是否公平通过两个事件的概率大小是否相等做出判断.做一做和例题讲解,教师把课堂再次交给学生,学生独立思考完成后,小组合作交流、展示,充分发挥学生在课堂上的主体作用,学生在课堂上体验成功的快乐,激发学习数学的兴趣.
本节课是上节课求简单事件的概率的延续,大部分知识学生能够通过自主学习完成,在课堂上给学生自主学习、独立思考、小组合作交流的时间还是较少,教师放不开手脚,重复较多,在以后的教学中给学生更多的机会和时间,让他们充分融汇到自主学习中,在合作交流中提炼结论,让每个人在课堂上学到有价值的数学.此外学生第一次接触到用图形列举试验结果,教师在引导过程中语言不够简练明确,学生理解有困难时,没有通过具体事例,让学生亲自尝试用图形列举试验结果.
本节课通过掷硬币游戏,判断游戏是否公平导入新课,学生在上节课学习概率的意义的基础上很自然地构建出新知识——通过计算事件的概率判断游戏是否公平,在教学设计中,给学生时间和空间进行独立思考、小组合作交流,让学生通过自主学习、合作交流归纳出结论,体验知识的形成过程.在教学设计中,用图形列举事件的结果是本节课的难点,教师引导语言要简练明确,设计一个小练习让学生独立完成,达到巩固难点的目的.最后的做一做及例题讲解,教师要放开手脚,让学生思考、交流完成,发挥学生的主体作用.
练习(教材第68页)
1.解:不同意,硬币正面朝上和反面朝上的概率都是,所以两人获胜的概率相同,游戏是公平的.
2.解:丙的观点是正确的.理由为:指针停在蓝色区域的概率是不变的,与其他各次试验中指针停在何种区域无关,所以甲的观点不正确;指针停在蓝色区域的概率是,表明指针停在蓝色区域的可能性是,但并不说明重复试验三次一定会有一次指针停在蓝色区域,所以乙的观点不正确;由于三种颜色区域,在转盘中所占的比例相等,所以指针停在三个区域的概率相等.
习题(教材第68页)
A组
1.解:公平.因为硬币只有正反两面,以正面或反面朝上决定先后开球的顺序,可使双方的机会是均等的,即各占,所以这种方式是公平的.
2.
3.解:P(A)=,P(B)=,P(C)=.
4.解:(1)P(选到女生)==. (2)P(选到共青团员)==. (3)P(选到女共青团员)==.
B组
1.解:不公平.因为P(甲获胜)=,P(乙获胜)=,所以游戏规则不公平.
2.解:2个扇形涂红色,4个扇形涂黄色,6个扇形涂蓝色.
采用自主学习、合作交流的学习方式
本节课的重点是进一步理解概率的意义,会求简单事件的概率,并能通过计算事件的概率判断机会游戏是否公平,在上节课学生已经学习了概率的定义,所以对本节课的学习有了一定的学习经验和基础,在教学设计中,注重采用自主学习的方式教学,在完成对相关知识点的回顾后,从学生的生活经验和已有的知识背景出发,引入新课题,让学生进行分组讨论,教师以问题的形式加以引导,学生通过小组互动交流,达成共识,共同归纳出结论.在做一做、例题讲解等教学设计中,教师为学生创造主动参与学习过程的条件,使学生领悟新知识,帮助学生在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识、技能、数学思想和方法.教师在教学活动中只是组织者和参与者,真正的实施者是学生,要最大限度地满足学生自主发展的需要,要尽可能做到让学生在“活动”中学习,在“主动”中发展,在“合作”中增知,在“探究”中创新,要充分体现学生学习的自主性.
投掷一枚普通的正方体骰子24次.
(1)你认为下列四种说法哪种是正确的?
①出现1点的概率等于出现3点的概率;
②投掷24次,2点一定会出现4次;
③投掷前默念几次“出现4点”,投掷结果出现4点的可能性就会加大;
④连续投掷6次,出现的点数之和不可能等于37.
(2)求出现5点的概率.
(3)出现6点大约有多少次?
解:(1)∵抛掷正方体骰子出现3和出现1的概率均为,∴①正确;
∵连续投掷6次,最多为6×6=36,
∴出现的点数之和不可能等于37,
∴④正确.
(2)出现5点的概率不受抛掷次数的影响,始终是.
(3)出现6点大约有24×=4(次).
31.3 用频率估计概率
1.通过观察频率的波动情况及变化趋势,认识频率的稳定性.
2.体会频率与概率之间的关系,知道用频率来估计概率.
1.经历观察思考、试验操作,认识频率的稳定性,提高学生动手操作能力及观察能力.
2.通过理解当试验次数较大时试验频率稳定于理论概率,进一步发展概率观念.
3.了解模拟试验在求一个实际问题中的作用,进一步提高用数学知识解决实际问题的能力.
4.经历试验及分析试验结果、收集数据、分析数据、得出结论的过程,体会用频率来估计概率,发展学生根据频率的集中趋势估计概率的能力.
5.学会根据问题的特点,用统计来估计事件发生的概率,培养分析问题、解决问题的能力.
1.通过对实际问题的分析,理解用频率来估计概率的方法,渗透转化和估算的思想方法.
2.通过具体实际生活情景,经历用频率估计概率的过程,激发学生的学习兴趣,体验数学的应用价值.
3.通过探究频率与概率之间的关系,提高学生动手能力,加强集体合作意识,激发学习兴趣.
4.在经历用试验的方法探究概率的过程中,培养学生的动手能力、分析能力,进一步增强统计意识、发展概率观念.
【重点】
用频率估计概率.
【难点】
用频率估计概率的探究过程.
第课时
1.通过观察频率的波动情况及变化趋势,认识频率的稳定性.
2.体会试验次数增大时,频率的变化趋势是稳定在某个值附近.
1.经历观察思考、试验操作,认识频率的稳定性,提高学生动手操作能力及观察能力.
2.通过理解当试验次数较大时试验频率稳定于理论概率,进一步发展概率观念.
3.在解决问题中学会用数学的思维方式思考生活中的实际问题的习惯.
1.通过对实际问题的分析,理解用频率来估计概率的方法,渗透转化和估算的思想方法.
2.通过具体实际生活情景,经历用频率估计概率的过程,激发学生的学习兴趣,体验数学的应用价值.
【重点】
认识频率的稳定性.
【难点】
频率稳定性的探究过程.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P71~73.
导入一:
复习提问:
(课件展示)
1.抛一次硬币,向上的一面是正面的概率是 .?
2.掷一次骰子,向上的一面数字是6的概率是 .?
3.从一副没有大小王的扑克牌中任抽一张,则抽到的牌面数字是5的概率为 .?
【师生活动】 学生独立思考回答,教师点评结果,并回忆求概率的方法,教师引导上述事件的结果是有限个,并且结果是等可能的.
导入二:
欣赏著名球星詹姆斯图片,提问:你知道詹姆斯罚球命中率是多少吗?
【师生活动】 学生猜想回答,教师鼓励学生大胆发言.教师引导学生分析当试验的所有结果不是有限个,或各种可能结果发生的可能性不相等时,又该如何求事件发生的概率呢?引出课题——用频率估计概率.
[设计意图] 通过复习和学生感兴趣的球星罚球命中率,为本节课的学习做好铺垫,同时激发学生的学习兴趣和探究欲望.
[过渡语] 对现实生活中的某些随机事件,需要做大量重复试验,用事件的频率去估计概率.那么频率和概率具有怎样的关系呢?
共同探究
思路一
(课件展示)
学生自主学习教材,并回答下列问题:
1.掷一枚质地均匀的硬币,落地后,“正面朝上”和“反面朝上”的概率分别是多少?
2.通过两次试验结果列出的表格及画出的折线图,你得到什么结论?
列表如下:
小组序号
n=50
n=500
频数
频率
频数
频率
1
22
0.44
251
0.502
2
25
0.50
249
0.498
3
21
0.42
256
0.512
4
27
0.54
246
0.492
5
24
0.48
251
0.502
将上面的试验结果用折线统计图表示,如图所示.
3.通过试验,可以看出同一事件频率和概率之间的关系吗?
【师生活动】 学生自主学习后,小组内合作交流,小组代表发言,教师鼓励学生大胆发表自己的观点,对学生回答正确的观点都给予肯定,在学生发表完自己的观点后,教师归纳总结.
结论:
对掷硬币试验,“正面朝上”的概率为0.5,而频率则具有不确定性.试验次数不同,频率可能不同;即使是相同次数的不同试验,频率也可能不同.当试验次数较小时,频率的波动较大,但是随着试验次数的增大,“正面朝上”发生的频率波动明显减小,逐渐稳定到0.5附近.这个性质叫做频率的稳定性.
思路二
进行一个分组试验:
1.明确规则:把全班分成10组,每组中有一名学生投掷硬币,另一名同学做记录,其余学生观察试验必须在同样条件下进行.
2.明确任务:每组投掷硬币50次,以实事求是的态度,认真统计“正面朝上”的频数,算出其频率,整理试验的数据,并记录下来.
3.继续试验,每组投掷硬币500次,认真统计“正面朝上”的频数,算出其频率,整理试验的数据,并记录下来.
4.各组汇报试验结果,完成表格.
小组序号
n=50
n=500
频数
频率
频数
频率
1
2
3
4
5
5.将记录的结果画成折线图.
提出问题:
观察上图,思考下列问题:
(1)当试验次数较小时,频率有什么特征?
(2)当试验次数很大时,频率有什么样的变化趋势?
(3)当试验次数较大时,频率与概率有什么关系?
【师生活动】 学生小组内完成试验,汇报结果,教师根据小组数据完成表格和折线图,小组内合作交流试验结果,教师鼓励学生大胆发表自己的观点,师生共同归纳结论.
结论:
对掷硬币试验,“正面朝上”的概率为0.5,而频率则具有不确定性.试验次数不同,频率可能不同;即使是相同次数的不同试验,频率也可能不同.当试验次数较小时,频率的波动较大,但是随着试验次数的增大,“正面朝上”发生的频率波动明显减小,逐渐稳定到0.5附近.这个性质叫做频率的稳定性.
[设计意图] 通过自主学习、合作交流或小组试验,共同得出当试验次数增加时,频率与概率之间的关系,激发学生的学习兴趣,培养学生的合作意识.
做一做
(课件展示)
1.将全班分成12个小组,课外时间每个小组做20次掷硬币试验,记录事件A=“正面朝上”发生的次数.汇总各小组的试验结果,填写下表:
小组序号
1
2
3
4
5
6
A发生次数
小组序号
7
8
9
10
11
12
A发生次数
2.整理上表中的数据,依次累计进行20次、40次、…、240次试验,记录事件A发生的次数,计算相应的频率,填写下表:
累计抛掷次数
20
40
60
80
100
120
A发生次数
A发生的频率
累计抛掷次数
140
160
180
200
220
240
A发生次数
A发生的频率
3.在图中画折线统计图,表示事件“正面朝上”发生的频率的变化趋势.
4.观察上面的统计表与统计图,随着投掷次数的增加,事件“正面朝上”发生的频率是如何变化的?是否逐渐稳定到0.5附近?
【师生活动】 教师布置具体任务,学生课下完成表格和折线图.
[设计意图] 通过课下进行抛硬币试验,让学生体会当试验次数增加时,频率与概率之间的关系,为下节课的学习做好铺垫.
[知识拓展] 用频率估计概率的大小时,试验一定要在相同的条件下进行,试验次数越多,得到的频率越准确,规律就越明显,此时频率稳定在事件发生的概率.
对掷硬币试验,“正面朝上”的概率为0.5,而频率则具有不确定性.试验次数不同,频率可能不同;即使是相同次数的不同试验,频率也可能不同.当试验次数较小时,频率的波动较大,但是随着试验次数的增大,“正面朝上”发生的频率波动明显减小,逐渐稳定到0.5附近.这个性质叫做频率的稳定性.
1.某同学抛掷两枚硬币,分10组试验,每组20次,下面是共计200次试验中记录下的结果.根据下列表格内容填空:
试验组别
两个正面
一个正面
没有正面
第1组
6
11
3
第2组
2
10
8
第3组
6
12
2
第4组
7
10
3
第5组
6
10
4
第6组
7
12
1
第7组
9
10
1
第8组
5
6
9
第9组
1
9
10
第10组
4
14
2
(1)在他的10组试验中,抛出“两个正面”频数最少的是他的第 组试验.?
(2)在他的第1组试验中抛出“两个正面”的频数是 ,在他的前两组(第1组和第2组)试验中抛出“没有正面”的频数分别是 .?
(3)在他的10组试验中,抛出“两个正面”的频率是 ,抛出“一个正面”的频率是 ,“没有正面”的频率是 ,这三个频率之和是 .?
解析:(1)观察试验结果可得抛出“两个正面”频数最少的是他的第9组试验;(2)第1组试验中抛出“两个正面”的频数是6,他的前两组试验中抛出“没有正面”的频数分别是3和8;(3)根据表中所显示的数据可知抛出“两个正面”的频率为:=0.265,抛出“一个正面”的频率是:=0.52,抛出“没有正面”的频率是:=0.215,这三个频率之和是:0.265+0.52+0.215=1.
答案:(1)9 (2)6 3和8 (3)0.265 0.215 1
2.小颖和小红两位同学在学习“概率”时,做投掷骰子(质地均匀的正方体)试验,她们共做了60次试验,试验的结果如下:
朝上的点数
1
2
3
4
5
6
出现的次数
7
9
6
8
20
10
(1)计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率.
(2)小颖说:“根据上述试验,一次试验中出现5点朝上的概率最大”;小红说:“如果投掷600次,那么出现6点朝上的次数正好是100次”.小颖和小红的说法正确吗?为什么?
解:(1)“3点朝上”的频率是=;
“5点朝上”的频率是=.
(2)小颖的说法是错误的.
因为“5点朝上”的频率最大并不能说明“5点朝上”这一事件发生的概率最大,只有当试验的次数足够大时,该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近.
小红的说法也是错误的.
因为事件的发生具有随机性,所以“6点朝上”的次数不一定是100次.
第1课时
共同探究
做一做
一、教材作业
【必做题】
教材第73页习题A组的1,2,3题.
【选做题】
教材第74页习题B组.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列说法正确的是 ( )
A.抛一枚硬币正面朝上的机会与抛一枚图钉钉尖着地的机会一样大
B.为了解汉口火车站某一天中通过的列车车辆数,可采用全面调查的方式进行
C.彩票中奖的机会是1%,买100张一定会中奖
D.中学生小亮,对他所在的那栋住宅楼的家庭进行调查,发现拥有空调的家庭占100%,于是他得出全市拥有空调家庭的百分比为100%的结论
2.九年级(1)班同学做抛质地均匀硬币的试验,每人10次,其5人,10人,15人,…,50人的试验数据及部分频率如下表:
抛掷次数n
正面朝上
的频数m
正面朝上
的频率m/n
50
20
0.4
100
53
0.53
150
70
0.47
200
98
a1
250
115
0.46
300
156
a2
350
169
0.48
400
202
a3
450
219
0.49
500
244
a4
(1)计算上表中的频率a1= ,a2= ,a3= ,a4= ;?
(2)在图中画出正面朝上的频率折线统计图;
(3)出现正面朝上的频率稳定吗?你认为它在哪个常数附近摆动?
3.抛掷一枚质地均匀的正四面体骰子,统计朝上一面出现3点的数据如下表:
抛掷次数
出现3点的频数
出现3点的频率
10
2
0.200
30
10
0.333
50
14
70
22
80
22
0.275
100
23
0.230
200
53
0.265
240
62
300
76
360
89
500
126
(1)把统计表补充完整;
(2)随着试验次数的增加,朝上一面出现3点频率变化有何趋势?
【能力提升】
4.以下是投掷一枚正四面体骰子200次所得朝上的面的点数的记录(5个数为一组):
12314,13231,32211,34223,12123,
24143,23211,13141,32324,43314,
34442,34112,11424,21123,22244,
32342,14434,33433,22141,21441,
33311,21421,31221,32244,44344,
41434,14231,24231,11124,41342,
22431,23442,33414,13114,12312,
11322,41123,42324,31144,11131.
(1)将数据整理后填入下表:
投掷次数
出现1点的频数
出现1点的频率
1
5
10
15
20
25
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
(2)根据表中所填数据绘制“出现1点的频率”随投掷次数变化趋势的折线图;
(3)投掷5次和投掷10次后所得频率值的差是多少?25次和30次之间呢?30次和40次之间、90次和100次之间、190次和200次之间呢?从中你发现了什么规律?
(4)仿照上面的方法对其他点数出现的频率进行观察,你又发现了什么?
(5)你能根据以上数据对不同点数出现的机会大小进行估计吗?
【拓展探究】
5.某园林公司去年年初种下了15000株四季常青的某种树苗,经统计,两年来的成活率如下表:
3个月
6个月
9个月
1年
15个月
1年半
2年
0.98
0.95
0.93
0.9
0.88
0.87
0.87
现打算将这批树苗立即上市.已知这批树苗的前期各种投入为30万元,预计后期投入约9万元.
(1)这批树苗的成本价为多少元/棵?
(2)考虑到收回创办园林公司时的成本及上缴利润的各项开支,预计这批树苗拟获利24万元,请计算一下这批树苗的出售价大约为多少元比较合适.(精确到元)
【答案与解析】
1.B(解析:A中图钉的两面的面积不一样,所以抛一枚硬币正面朝上的机会与抛一枚图钉钉尖着地的机会不一样,错误;B中可实际操作,所以应该用普查的方式,正确;C中概率是1%,属于随机事件,所以买100张不一定会中奖,错误;D中抽查的样本要具有代表性,他抽的样本不具有代表性,所以不能用来估计总体,错误.)
2.解:(1)0.49 0.52 0.505 0.488 (2)如图所示. (3)由表格和频率折线统计图可以看出,通过大量试验,发现出现正面朝上的频率稳定,频率围绕0.5上下波动.
3.解:(1)表中依次填:0.280,0.314,0.258,0.253,0.247,0.252. (2)分析表中数据可知在大量重复试验中,朝上一面出现3点的频率在0.25的左右摆动.随着试验次数的增加,朝上一面出现3点的频率逐渐接近于0.25.
4.解:(1)
投掷次数
出现1点的频率
出现1点的频率
1
1
100%
5
2
40.0%
10
4
40.0%
15
6
40.0%
20
6
30.0%
25
8
32.0%
30
9
30.0%
40
14
35.0%
50
15
30.0%
60
17
28.3%
70
21
30.0%
80
21
26.3%
90
22
24.4%
100
26
26.0%
110
30
27.3%
120
32
26.7%
130
33
25.4%
140
36
25.7%
150
40
26.7%
160
41
25.6%
170
45
26.5%
180
49
27.2%
190
51
26.8%
200
57
28.5%
(2)如图所示.
(3)5次和10次的频率值相等,差为0;25次和30次的差为32.2%-30.0%=2.0%;30次和40次的差为35.0%-30.0%=5.0%;90次和100次的差为26.0%-24.4%=1.6%;190次和200次的差为28.5%-26.8%=1.7%.可以发现随着试验次数的增多,差值较小且趋于稳定. (4)其他点数出现的频率也在25%左右. (5)估计都为25%.
5.解:由统计表可知即将出售的这批树苗的成活率稳定在0.87.故可出售的树苗棵数约为15000×0.87=13050(棵).(1)(30+9)×10000÷13050≈30(元/棵),所以这批树苗的成本价约为30元/棵. (2)(30+9+24)×10000÷13050≈48(元/棵),所以这批树苗的出售价大约为48元/棵.
本节课是经历观察思考、试验操作,用折线统计图表示不同试验次数下事件发生的频率,通过观察频率的波动情况及变化趋势,认识频率的稳定性.教学设计中,教师引导学生观察教材中掷硬币试验的结果,发现频率有什么规律,使学生对频率的稳定性有了初步的感性认识,然后在做一做教学环节,让学生进行重复试验,各组汇报结果,计算不同试验次数下的频率,画出频率折线统计图,观察频率变化趋势,让学生通过亲身试验,观察得出结论,在试验活动中,学生积极主动,参与意识较强,提高了学生动手、动脑及观察能力,培养学生合作意识,给学生更大的空间进行探索归纳,为下节课的学习做好铺垫.
本节课的内容较少,主要是通过分组试验,计算不同试验次数下的频率,绘制出频率折线统计图,使学生得出结论.在课堂上学生在小组内积极试验,但是教师在学生试验过程中,时间分配不是太恰当,有些枝节上还是浪费时间,造成试验过程耗时太多,没有进行相关练习.在以后教学设计中遇到学生动手操作试验时,要合理安排时间,突出重点,目的明确,保证试验过程有效,为探究数学知识提供依据.
本节课的重点是通过大量试验,体会随着试验次数的增大,频率会趋于稳定.在教学设计时,首先让学生观察教材中试验数据及频率折线统计图,对频率的稳定性有一个初步的感性认识,然后设计分组试验,试验目的要明确,重点要突出,各组试验后汇报试验结果,师生共同计算不同试验次数下的频率,然后绘制出折线统计图,观察思考频率的变化规律,得出频率随着试验次数的增大逐渐稳定在某个值附近这一事实.让学生通过动手试验,体验成功的快乐,体会知识的生成过程.
练习(教材第73页)
解:(1)不正确,由于随机性,在100次的投掷中,“正面朝上”和“反面朝上”不一定各出现50次. (2)不正确,由频率的稳定性,可知投掷的次数足够多时,“正面朝上”和“反面朝上”的频率有明显的规律.
习题(教材第73页)
A组
1.(1)正确 (2)错误 (3)错误 (4)正确 (5)正确
2.解:“掷出6点”的概率是,掷6次骰子,不一定能出现一个6点,如果做600次实验,“掷出6点”的频率接近.
3.解:由于随机性,购买100张彩票不一定能中奖,
购买10000张这样的彩票,大约有100张有奖.
B组
解:(1)P(A)=,P(B)=,P(C)=.
(2)
实验次数
10
30
50
70
90
110
130
150
“和为2”出现的次数
1
8
14
18
23
26
33
35
“和为2”的频率
0.1
0.267
0.28
0.257
0.256
0.236
0.254
0.233
“和为3”出现的次数
5
13
23
32
43
53
62
73
“和为3”的频率
0.5
0.433
0.46
0.457
0.478
0.482
0.477
0.487
“和为4”出现的次数
4
9
13
20
24
31
35
42
“和为4”的频率
0.4
0.3
0.26
0.286
0.267
0.282
0.269
0.28
折线统计图略. (3)是.
动手试验,体会知识的生成过程
概率是事件发生可能性大小的度量,频率反映在特定的重复试验中事件发生的频繁程度,二者既有联系又有区别,本节课的重点是探究频率的稳定性,即随着试验次数的增大,频率由摇摆不定到逐渐稳定,所以本节课的教学设计是以分组试验为主,把试验及探究过程放手交给学生,让他们在分组试验——汇报试验结果——计算频率——绘制折线统计图——观察折线图——归纳结论等试验环节中获取数学知识,体会频率的稳定性,同时体验成功的快乐,试验是点燃学生求知欲望的导火索,是引导学生由感性认识通往理性认识的“引桥”.假如把试验从课堂中删去,整节课就没有了引起学生共鸣的兴奋点,学生自然会觉得索然无味.在教学中还注意到,试验活动锻炼、提高了学生的动手能力及合作能力.总之,课堂上我们应把时间、空间还给学生,让学生动起来,让课堂活起来,让效果好起来.
第课时
知道大量重复试验时频率可作为事件发生概率的估计值,能通过对事件发生频率的分析,估计出事件发生的概率.
1.了解模拟试验在求一个实际问题中的作用,进一步提高用数学知识解决实际问题的能力.经历试验及分析试验结果、收集数据、分析数据、得出结论的过程,体会用频率来估计概率,发展学生根据频率的集中趋势估计概率的能力.
2.初步学会对一个简单的问题提出一种可行的模拟试验.
3.学会根据问题的特点,用统计来估计事件发生的概率,培养分析问题、解决问题的能力.
1.通过探究频率与概率之间的关系,提高学生动手能力,加强集体合作意识,激发学习兴趣.
2.在经历用试验的方法探究概率的过程中,培养学生的动手能力、分析能力,进一步增强统计意识、发展概率观念.
3.通过对实际问题的分析,培养学生实事求是的态度、勇于探索的精神及协作精神.
【重点】
频率和概率的关系,能用频率估计概率.
【难点】
利用频率与概率的关系解决生活中的相关问题.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P74~76.
导入一:
复习提问:
1.什么是频率?什么是概率?
2.同一事件的频率和概率相等吗?
3.上节课的抛硬币试验中频率是稳定的吗?概率呢?
4.上节课的抛硬币试验中频率的波动与试验次数有什么关系?
【师生活动】 学生思考回答,教师点评.
导入二:
对于抛硬币试验,各小组汇报课下试验结果,并展示各小组所画出的折线图.
【师生活动】 小组代表汇报结果,教师板书结果,并展示各小组的折线图,师生共同得出结论,教师引出本节课课题——用频率估计概率.
结论:
当试验次数增加时,频率稳定在概率附近.
[设计意图] 通过复习提问,回忆上节课的试验结果,为本节课的学习做好铺垫.通过各小组汇报课下试验结果,很自然地构建出本节课的新知识.
[过渡语] 对于掷硬币试验,当投掷次数很大时,“正面朝上”发生的频率逐渐稳定到0.5,即频率稳定到概率.对于其他的试验,事件发生的频率是否也具有稳定性呢?
共同探究
(课件展示)
如图所示,在4张图片中,(1)和(2),(3)和(4)分别拼在一起时,各为一个完整的心形图片.将4张图片背面向上,充分混匀后,从中依次任意取出2张,能拼成一个完整的心形图案算“成功”,否则算“失败”.
思路一
自主学习教材,完成教材中表格及折线图,并思考下列问题:
(课件展示)
1.随着试验次数的增大,“成功”发生的频率是否趋于稳定?稳定在哪个数附近?
2.直接计算“成功”和“失败”的概率.
3.通过观察,试验的次数越多,试验的频率与概率之间有什么关系?
【师生活动】 学生自主学习后,教师给学生充足的时间进行小组内合作交流答案并回答教师提出的问题,小组代表发言,学生提出质疑,师生共同得到结论.
结论:
大量试验表明,随着试验次数的增大,事件发生的频率逐渐稳定到它的概率,或者说概率是频率的稳定值.在实际中,我们常用比较稳定时的频率估计事件的概率,而试验次数越大,得到概率的较精确估计值的可能性越大.
思路二
教师引导学生操作、思考:
1.凭直觉判断:事件“成功”和“失败”的概率相等吗?如果你认为不等,哪一个事件的概率较大?
2.完成表格.
做重复试验进行验证.两名同学做了240次试验,结果如下表:
试验次数
30
60
90
120
150
180
210
240
“成功”发生
的次数
7
17
33
43
48
63
68
83
“成功”发
生的频率
0.23
3.根据上述结果画出折线图.
4.观察上图,随着试验次数的增大,“成功”发生的频率是否趋于稳定?稳定在哪个数附近?
5.请你根据概率的定义直接计算“成功”和“失败”的概率.
【师生活动】
学生在教师逐一问题的引导下,思考、计算、回答,完成表格和折线图,教师及时点评,学生板书计算“成功”和“失败”的概率的过程,教师规范写法.
(板书)从4张图片中依次任取2张,我们